Fonctions à valeurs vectorielles en maths spé (MP) : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Spirale logarithmique

On considère \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2\) définie par \(f(t) = \big(\mathrm{e}^{2t}\cos t, \mathrm{e}^{2t}\sin t\big)\), et l’on munit \(\mathbb{R}^2\) de sa structure euclidienne usuelle.

1. Justifier que \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^\infty\) et calculer \(f^{\prime}(t)\).
2. Calculer \(\|f(t)\|\), \(\|f^{\prime}(t)\|\) et \(\big(f(t) \mid f^{\prime}(t)\big)\).
3. En déduire que l’angle entre \(f(t)\) et \(f^{\prime}(t)\) ne dépend pas de \(t\), et donner son cosinus.

Exercice 2 – Dérivée d’une fonction matricielle

Soit \(M(t) = \begin{pmatrix} \cos t & 1 \\ t & t^2 + 1 \end{pmatrix}\) pour \(t \in \mathbb{R}\).

1. Calculer \(M^{\prime}(t)\), puis \(M(0)\) et \(M^{\prime}(0)\).
2. Calculer la dérivée de \(t \mapsto M(t)^2\) en \(0\) par la règle du produit.
3. Comparer avec \(2 M(0) M^{\prime}(0)\). Retrouver le résultat de la question 2 en calculant directement \(M(t)^2\).
4. Montrer que, pour toute fonction matricielle dérivable \(A\), on a \(\big(\mathrm{tr}(A^2)\big)^{\prime} = 2\,\mathrm{tr}(A A^{\prime})\).

Exercice 3 – Norme constante

Soit \(E\) un espace euclidien et \(f : I \to E\) dérivable.

1. Montrer que \(\|f\|\) est constante sur \(I\) si et seulement si \(\big(f(t) \mid f^{\prime}(t)\big) = 0\) pour tout \(t \in I\).
2. Application : on pose \(g(t) = \Big(\frac{1 – t^2}{1 + t^2}, \frac{2t}{1 + t^2}\Big)\). Calculer \(g^{\prime}(t)\), puis vérifier que \(g(t)\) et \(g^{\prime}(t)\) sont orthogonaux. Que vaut \(\|g(t)\|\) ?

Exercice 4 – Intégrales de fonctions vectorielles

1. Calculer \(\int_0^1 \Big(t\,\mathrm{e}^t, \frac{1}{1 + t^2}\Big)\,\mathrm{d}t\).
2. Calculer \(\int_0^{\pi/2} \begin{pmatrix} \cos t & \sin t \\ -\sin t & \cos t \end{pmatrix}\mathrm{d}t\).
3. Calculer \(\int_0^{\pi} (\cos^2 t, \sin t \cos t)\,\mathrm{d}t\), puis comparer sa norme euclidienne à \(\int_0^{\pi} \|(\cos^2 t, \sin t \cos t)\|\,\mathrm{d}t\).

Exercice 5 – Limites de sommes de Riemann

Déterminer les limites suivantes, quand \(N\) tend vers \(+\infty\).

1. \(\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}\Big(\cos\frac{k\pi}{N}, \sin\frac{k\pi}{N}\Big)\).
2. \(\frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N}\begin{pmatrix} k/N & (k/N)^2 \\ \mathrm{e}^{k/N} & 1 \end{pmatrix}\).

Exercice 6 – Composées et applications linéaires

Soit \(\gamma(t) = (t^3, t^2 + 1)\), \(\varphi(s) = \sin s\) et \(L : (x, y) \mapsto (x + y, x – y)\).

1. Calculer la dérivée de \(\gamma \circ \varphi\) de deux façons : par la règle de composition, puis en dérivant directement les coordonnées.
2. Calculer la dérivée de \(L \circ \gamma\) à l’aide de la règle de dérivation de l’image par une application linéaire.
3. En déduire la dérivée de \(L \circ \gamma \circ \varphi\).

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Dériver un déterminant 3×3

Pour \(t \in \mathbb{R}\), on pose \(\Delta(t) = \begin{vmatrix} \mathrm{e}^t & t & 1 \\ 0 & \mathrm{e}^{2t} & t \\ 1 & 0 & \mathrm{e}^{-t} \end{vmatrix}\).

1. Calculer \(\Delta^{\prime}(0)\) en dérivant les lignes une à une, sans développer \(\Delta(t)\).
2. Calculer \(\Delta(t)\) explicitement et vérifier le résultat de la question 1.
3. Pour \(t\) quelconque, calculer chacun des trois déterminants obtenus en dérivant une ligne, et retrouver \(\Delta^{\prime}(t)\).

Exercice 8 – Aire balayée et bilinéaire composée

Soit \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2\) de classe \(\mathcal{C}^2\). On pose \(g(t) = \det\big(f(t), f^{\prime}(t)\big)\).

1. Montrer que \(g\) est dérivable et que \(g^{\prime}(t) = \det\big(f(t), f^{\prime\prime}(t)\big)\).
2. On suppose qu’il existe une fonction réelle \(\lambda\) telle que \(f^{\prime\prime}(t) = \lambda(t) f(t)\) pour tout \(t\). Montrer que \(g\) est constante.
3. Vérifier ce résultat pour \(f(t) = (\cosh t, 2\sinh t)\) en calculant \(g\).
4. Pour cette même fonction \(f\), on pose \(h(t) = \big(f(t^2) \mid f(t)\big)\), avec le produit scalaire usuel. Exprimer \(h^{\prime}(t)\) à l’aide de \(f\) et \(f^{\prime}\), puis calculer \(h^{\prime}(1)\).

Exercice 9 – Dérivée de l’inverse d’une matrice

Soit \(A : I \to \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) de classe \(\mathcal{C}^1\), avec \(A(t)\) inversible pour tout \(t \in I\).

1. À l’aide de la formule \(A^{-1} = \frac{1}{\det A}\, \mathrm{com}(A)^{T}\), montrer que \(t \mapsto A(t)^{-1}\) est de classe \(\mathcal{C}^1\).
2. En dérivant l’égalité \(A(t) A(t)^{-1} = I_n\), établir que \(\big(A^{-1}\big)^{\prime} = -A^{-1} A^{\prime} A^{-1}\).
3. Vérifier cette formule pour \(A(t) = \begin{pmatrix} 1 & t \\ t & 1 + t^2 \end{pmatrix}\).

Exercice 10 – Une courbe parcourue à vitesse 1

Soit \(f(t) = \big(\ln(1 + t^2),\; 2\arctan t – t\big)\) pour \(t \in \mathbb{R}\).

1. Calculer \(f^{\prime}(t)\) et montrer que \(\|f^{\prime}(t)\| = 1\) pour la norme euclidienne.
2. En déduire que, pour tout réel \(t\), \(\ln(1 + t^2)^2 + (2\arctan t – t)^2 \leq t^2\).
3. Contrôler numériquement cette inégalité pour \(t = 1\).

Exercice 11 – Pas d’égalité des accroissements finis

Soit \(f(t) = (t^2, t^3)\) sur \([0, 1]\).

1. Montrer qu’il n’existe aucun \(c \in \,]0, 1[\) tel que \(f(1) – f(0) = f^{\prime}(c)\).
2. Vérifier en revanche l’inégalité des accroissements finis pour la norme euclidienne, en majorant \(\|f^{\prime}\|\) sur \([0, 1]\).
3. Calculer exactement \(\int_0^1 \|f^{\prime}(t)\|\,\mathrm{d}t\) et comparer la borne obtenue à \(\|f(1) – f(0)\|\).

Exercice 12 – Taylor-Young et point de rebroussement

Soit \(f(t) = (\cosh t – 1, \sinh t – t)\) pour \(t \in \mathbb{R}\).

1. Écrire le développement de Taylor-Young de \(f\) à l’ordre 3 en \(0\).
2. En déduire que \(f(t) \neq 0\) pour \(t\) non nul voisin de \(0\), et déterminer la limite de \(\frac{f(t)}{\|f(t)\|}\) quand \(t \to 0\).
3. Étudier le signe de la seconde coordonnée selon le signe de \(t\). Décrire l’allure de la courbe au voisinage de l’origine.

Exercice 13 – Taylor-Lagrange sur le cercle

Soit \(f(t) = (\cos t, \sin t)\), et \(\mathbb{R}^2\) muni de la norme euclidienne.

1. Calculer \(\|f^{(k)}(t)\|\) pour tout entier \(k\) et tout réel \(t\).
2. Utiliser Taylor-Lagrange au premier ordre sur le segment d’extrémités \(0\) et \(h\). En déduire que \((1 – \cos h)^2 + (h – \sin h)^2 \leq \frac{h^4}{4}\).
3. Faire de même à l’ordre 2 et obtenir une majoration de \(\big(\cos h – 1 + \frac{h^2}{2}\big)^2 + (\sin h – h)^2\).

Exercice 14 – Inégalité triangulaire intégrale

Soit \(\theta > 0\) et \(f(t) = (\cos t, \sin t)\) sur \([0, \theta]\).

1. Calculer \(\int_0^\theta f\) et montrer que sa norme euclidienne vaut \(2\,|\sin(\theta/2)|\).
2. En déduire, grâce à l’inégalité triangulaire pour les intégrales, que \(|\sin x| \leq |x|\) pour tout réel \(x\).
3. Soit \(u\) un vecteur unitaire fixé de \(E\) euclidien et \(\varphi \geq 0\) continue sur \([a, b]\). Montrer que \(g = \varphi\, u\) réalise l’égalité \(\big\|\int_a^b g\big\| = \int_a^b \|g\|\).

Exercice 15 – Classe C1 sans être C2

On définit sur \(\mathbb{R}\) les fonctions \(f(t) = (t\,|t|, t^3)\) et \(g(t) = (t^3, t^2)\).

1. Montrer que \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(\mathbb{R}\) et calculer \(f^{\prime}\).
2. Montrer que \(f\) n’est pas deux fois dérivable en \(0\).
3. Montrer que \(g\) est de classe \(\mathcal{C}^\infty\), mais que \(g^{\prime}(0) = 0\). Que dire de la courbe décrite par \(g\) au voisinage de l’origine ?

Pour approfondir

Exercice 16 – Formule de Jacobi et déterminant d’une solution

Soit \(A : I \to \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) de classe \(\mathcal{C}^1\). On note \(\mathrm{com}(A)\) la comatrice de \(A\).

1. En dérivant les lignes une à une et en développant chaque déterminant suivant la ligne dérivée, montrer que \((\det A)^{\prime} = \mathrm{tr}\big(\mathrm{com}(A)^{T} A^{\prime}\big)\).
2. On suppose que \(A^{\prime} = B A\), où \(B : I \to \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) est continue. Montrer que \(\delta = \det A\) vérifie \(\delta^{\prime} = \mathrm{tr}(B)\, \delta\).
3. En déduire, pour \(t_0 \in I\), que \(\det A(t) = \det A(t_0) \exp\Big(\int_{t_0}^{t} \mathrm{tr}\, B(s)\,\mathrm{d}s\Big)\).
4. Application : \(B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\) est constante et \(A(0) = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\). Donner \(\det A(t)\) sans calculer \(A(t)\).

Exercice 17 – Formule de Leibniz bilinéaire

Soit \(B : E_1 \times E_2 \to F\) bilinéaire, les espaces étant de dimension finie, et \(f, g\) de classe \(\mathcal{C}^n\) sur \(I\).

1. Montrer par récurrence que \(B(f, g)\) est de classe \(\mathcal{C}^n\) et que \(B(f, g)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} B\big(f^{(k)}, g^{(n-k)}\big)\).
2. Application : soit \(v(t) = (\cos t, \sin t)\). Montrer que \(v^{(k)}(t) = \big(\cos(t + k\pi/2), \sin(t + k\pi/2)\big)\).
3. En déduire la dérivée \(n\)-ième de \(w(t) = t^2\, v(t)\) pour \(n \geq 2\), puis la valeur de \(w^{(n)}(0)\).

Exercice 18 – Problème – Longueur d’un arc de cycloïde

On considère \(f(t) = (t – \sin t, 1 – \cos t)\) pour \(t \in [0, 2\pi]\), et la norme euclidienne de \(\mathbb{R}^2\). Pour \(n \geq 1\), on pose \(h = 2\pi / n\), \(t_k = kh\), et l’on note \(\ell_n = \sum_{k=0}^{n-1} \|f(t_{k+1}) – f(t_k)\|\) la longueur de la ligne polygonale inscrite.

1. Calculer \(f^{\prime}(t)\) et montrer que \(\|f^{\prime}(t)\| = 2\sin(t/2)\) sur \([0, 2\pi]\).
2. Calculer \(L = \int_0^{2\pi} \|f^{\prime}(t)\|\,\mathrm{d}t\).
3. Montrer que \(\ell_n \leq L\) pour tout \(n\).
4. Montrer que \(\|f^{\prime\prime}(t)\| = 1\), puis que \(\|f^{\prime}(s) – f^{\prime}(t_k)\| \leq |s – t_k|\) pour tout \(s\).
5. En déduire que \(\big\|f(t_{k+1}) – f(t_k) – h f^{\prime}(t_k)\big\| \leq \frac{h^2}{2}\).
6. Montrer que \(\Big|\ell_n – h\sum_{k=0}^{n-1}\|f^{\prime}(t_k)\|\Big| \leq \frac{2\pi^2}{n}\), puis que \(\ell_n\) tend vers \(L\).

Exercice 19 – Problème – Matrices orthogonales et matrice antisymétrique

Soit \(S : \mathbb{R} \to \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) continue, à valeurs antisymétriques : \(S(t)^{T} = -S(t)\). Soit \(Q : \mathbb{R} \to \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) de classe \(\mathcal{C}^1\) telle que \(Q^{\prime} = S Q\) et \(Q(0) \in O_n(\mathbb{R})\). On munit \(\mathbb{R}^n\) du produit scalaire usuel.

1. Soit \(x \in \mathbb{R}^n\). Montrer que \((x \mid S(t) x) = 0\) pour tout \(t\).
2. On note \(c_i(t)\) la \(i\)-ième colonne de \(Q(t)\). Montrer que \(c_i^{\prime} = S c_i\), puis que \(\big(c_i \mid c_j\big)^{\prime} = 0\) pour tous \(i, j\).
3. En déduire que \(Q(t) \in O_n(\mathbb{R})\) pour tout réel \(t\), puis que \(\det Q(t) = \det Q(0)\).
4. Exemple : pour \(\omega \in \mathbb{R}\), on prend \(n = 2\), \(S = \begin{pmatrix} 0 & -\omega \\ \omega & 0 \end{pmatrix}\) et \(Q(t) = \begin{pmatrix} \cos \omega t & -\sin \omega t \\ \sin \omega t & \cos \omega t \end{pmatrix}\). Vérifier que \(Q^{\prime} = S Q\).
5. Dans le cas où \(S\) est constante, montrer que \(Q^{\prime\prime} = S^2 Q\), puis écrire le développement de Taylor-Young de \(Q\) à l’ordre 2 en \(0\). Le vérifier sur l’exemple de la question 4.
6. Toujours avec \(S\) constante, on munit \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) de la norme \(\|M\| = \sqrt{\mathrm{tr}(M^{T} M)}\). Montrer que \(\|S Q(t)\| = \|S\|\), puis que \(\|Q(t) – Q(0)\| \leq |t|\,\|S\|\). Vérifier cette inégalité sur l’exemple.

Pour aller plus loin

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