QCM : Intégrabilité sur un intervalle en maths spé (MP)

Réponse D.

En \(+\infty\), une puissance \(t^{-\alpha}\) n’est intégrable que pour \(\alpha>1\). Ici, seul l’exposant \(1{,}2\) dépasse strictement 1. Le piège \(1/t\) correspond au cas limite \(\alpha=1\), qui diverge comme le logarithme. Quant aux exposants \(1/3\) et \(0{,}9\), ils sont inférieurs à 1 : ces fonctions décroissent trop lentement.

Réponse C.

Au voisinage de 0, la condition s’inverse : \(t\mapsto t^{-\alpha}\) est intégrable sur \(]0,1]\) si et seulement si \(\alpha<1\). Ainsi, seul l’exposant \(2/3\) convient. La réponse \(t^{-3/2}\) applique par erreur le critère valable en \(+\infty\). De plus, \(t^{-1}\) est encore le cas limite divergent, avec une primitive \(\ln t\) qui tend vers \(-\infty\).

Réponse D.

Une primitive de \(e^{-3t}\) est \(-\tfrac{1}{3}e^{-3t}\), qui tend vers 0 en \(+\infty\). Par conséquent, l’intégrale vaut \(0-(-\tfrac13)=\tfrac13\). La valeur \(-\tfrac13\) vient d’un crochet évalué dans le mauvais sens ; elle est d’ailleurs impossible puisque l’intégrande est positive. Enfin, la réponse 3 confond le coefficient \(a\) avec \(1/a\).

Réponse B.

Pour des fonctions positives, la majoration se transmet de la plus grande à la plus petite : les intégrales partielles de \(f\) sont croissantes et bornées par celles de \(g\). Le sens inverse échoue : prendre \(f=0\) et \(g=1\) suffit à le voir. Ce même exemple réfute aussi l’idée que les deux fonctions sont de même nature, qui exigerait un équivalent.

Réponse A.

Une intégration par parties ramène l’étude à \(\int \cos t/t^2\), absolument convergente : l’intégrale converge donc. Cependant, \(|\sin t|\geq \sin^2 t=\tfrac{1-\cos 2t}{2}\) montre que la valeur absolue n’est pas intégrable. Le piège « majorée par \(1/t\) » oublie que ce majorant n’est pas intégrable. De même, une limite nulle ne suffit jamais à conclure.

Réponse C.

Il faut étudier chaque borne séparément. En \(+\infty\), \(f(t)\sim 1/t^2\), qui est intégrable. Près de 0, \(f(t)=\ln(1+t^2)-2\ln t\sim -2\ln t\), et le logarithme est intégrable sur \(]0,1]\). Ainsi, \(f\) est intégrable sur tout l’intervalle. Le piège principal consiste à croire qu’une fonction non bornée en 0 ne peut pas être intégrable.

Réponse B.

L’homogénéité et l’inégalité triangulaire découlent de la linéarité et de la positivité de l’intégrale. Le point délicat est la séparation : si \(\int_I|f|=0\) avec \(|f|\) continue et positive, alors \(f\) est nulle. La continuité est donc essentielle. Le piège « semi-norme » vaut pour les fonctions continues par morceaux, et la nature de \(I\) ne joue aucun rôle.

Réponse A.

On ne peut pas séparer l’intégrale en deux, car \(\int 1/t\) et \(\int 1/(t+1)\) divergent toutes deux. On travaille donc sur une intégrale partielle : \(\int_1^X = \ln X-\ln(X+1)+\ln 2\), qui tend vers \(\ln 2\). La réponse 0 vient d’un calcul formel du type « infini moins infini ». Ainsi, la linéarité ne s’applique qu’à des intégrales déjà convergentes.

Réponse B.

Sur un segment intérieur \([x,y]\), la formule usuelle s’applique. En faisant tendre \(x\) vers \(a\) et \(y\) vers \(b\), il suffit que le crochet \(uv\) ait des limites finies. La condition « tend vers 0 » est suffisante mais trop forte. En effet, des limites non nulles changent seulement la valeur du crochet. Enfin, des fonctions bornées peuvent avoir un produit sans limite, comme \(\sin\).

Réponse A.

L’application \(u\mapsto u^2\) est une bijection \(C^1\) strictement croissante de \(]0,+\infty[\) sur lui-même. Comme \(dt=2u\,du\) et \(\sqrt{t}=u\), l’intégrande devient \(2/(1+u^2)\). Le résultat vaut donc \(2\times\pi/2=\pi\). La réponse \(\pi/2\) oublie le facteur 2 venu de la dérivée. Par ailleurs, l’intégrale converge : l’intégrande se comporte en \(t^{-1/2}\) près de 0 et en \(t^{-3/2}\) en \(+\infty\).

Réponse D.

En \(+\infty\), l’intégrande est équivalente à \(1/\sqrt{t}\), positive et non intégrable. Par conséquent, on peut intégrer cet équivalent entre 1 et \(x\) : les intégrales partielles sont équivalentes. Or \(\int_1^x t^{-1/2}dt=2\sqrt{x}-2\sim 2\sqrt{x}\). Le piège \(\sqrt{x}\) oublie le facteur 2 de la primitive. De son côté, \(\ln x\) remplace à tort l’intégrande par \(1/t\).

Réponse C.

Posons \(\psi(x)=e^{-x^3}/(3x^2)\). Sa dérivée vaut \(-e^{-x^3}\left(1+\tfrac{2}{3x^3}\right)\), donc \(-\psi^{\prime}(t)\sim e^{-t^3}\), fonction positive et intégrable. Les restes sont alors équivalents, et \(\psi\) tend vers 0, d’où le résultat. La réponse \(3x^2\,e^{-x^3}\) multiplie au lieu de diviser par la dérivée de \(t^3\). Quant à \(e^{-x^3}\), elle ignore ce facteur et surestime le reste.