QCM : Convergence dominée et paramètre en maths spé (MP)

Réponse C.

Le théorème réclame seulement une limite simple continue par morceaux et un majorant intégrable valable pour chaque rang \(n\). La convergence uniforme n’est donc pas requise : c’est tout l’intérêt du résultat sur un intervalle non borné. En effet, sur \([0,+\infty[\), la convergence uniforme seule ne suffit même pas. Le piège sur \(\varphi\) oublie que la dominante doit être intégrable, sinon la majoration ne sert à rien.

Réponse A.

Grâce à \(|\sin u|\le|u|\), on obtient \(|f_n(t)|\le(1+t)^{-2}\), majorant intégrable qui ne dépend pas de \(n\). Par ailleurs, \(n\sin(t/n)\to t\), donc \(f_n(t)\to(1+t)^{-2}\). Ainsi la limite vaut \(\int_0^{+\infty}(1+t)^{-2}\,dt=1\). La réponse \(0\) croit que \(\sin(t/n)\to0\) suffit, en oubliant le facteur \(n\). La réponse \(\frac12\) se trompe de primitive.

Réponse B.

Si une dominante intégrable existait, le théorème donnerait une limite des intégrales égale à \(0\), ce qui contredit la valeur constante \(1\). Par conséquent, aucune domination n’est possible : la masse se concentre près de \(0\). La majoration par \(\frac{1}{et}\) est exacte, cependant \(t\mapsto\frac1t\) n’est pas intégrable en \(0\). Enfin, la convergence simple a bien lieu en chaque point \(t>0\).

Réponse D.

Pour \(t\in[0,1[\), \(t^x\to0\), donc l’intégrande tend vers \(1\) sauf au seul point \(t=1\). De plus, il reste majoré par \(1\), intégrable sur \([0,1]\). La version à paramètre réel du théorème, obtenue par la caractérisation séquentielle, donne donc la limite \(1\). La réponse \(\frac12\) retient la valeur en \(t=1\), sans effet sur l’intégrale. La réponse \(\ln 2\) est seulement la valeur pour \(x=1\).

Réponse C.

On a \(\int_0^{+\infty}t\,e^{-(n+1)t}\,dt=\frac{1}{(n+1)^2}\). La série des intégrales des valeurs absolues converge, ce qui justifie l’échange. Ainsi l’intégrale vaut \(\sum_{k\ge1}\frac{(-1)^{k-1}}{k^2}=\frac{\pi^2}{12}\). La réponse \(\frac{\pi^2}{6}\) oublie le signe alterné. La réponse \(\ln 2\) perd le carré, comme si le facteur \(t\) était absent.

Réponse B.

Pour \(x\ge0\) et \(t\ge0\), on a \(0\le e^{-xt}\le1\), donc l’intégrande est majoré par \(\frac{1}{4+t^2}\), intégrable. Ainsi \(F\) est continue sur \([0,+\infty[\), avec \(F(0)=\frac{\pi}{4}\). En revanche, pour \(x<0\), l’exponentielle explose et l’intégrale diverge. La dominante \(e^{-t}\) ne convient pas : elle ne majore pas \(e^{-xt}\) lorsque \(x<1\).

Réponse B.

Pour \(t\le1\), la fonction \(x\mapsto t^{x-1}\) décroît, donc le pire cas est \(x=a\). Au contraire, pour \(t\ge1\) elle croît, et le pire cas est \(x=b\). Les deux morceaux sont intégrables. La dominante \(t^{b-1}e^{-t}\) seule échoue près de \(0\), tandis que \(t^{a-1}e^{-t}\) seule échoue vers l’infini. Enfin, \(e^{-t}\) ne majore rien dès que \(x<1\) près de \(0\).

Réponse A.

Le module de \(e^{-i\xi t}\) vaut \(1\), donc l’intégrande est majoré par \(|f(t)|\), intégrable et indépendant de \(\xi\). Par conséquent, la transformée de Fourier est continue partout. En revanche, dériver fait apparaître \(-it\,f(t)\), qu’il faudrait aussi supposer intégrable : la classe \(\mathcal{C}^1\) n’est donc pas gratuite. Les hypothèses de bornitude ou de support borné sont inutiles.

Réponse C.

C’est la dérivée partielle qui passe sous l’intégrale ; c’est donc elle qu’il faut dominer, localement en \(x\), par une fonction intégrable. On demande en plus que \(f(x,\cdot)\) soit intégrable pour chaque \(x\). Dominer \(f\) seule ne donne que la continuité. L’intégrabilité point par point ne suffit pas sans dominante commune. Enfin, une constante n’est pas intégrable sur un intervalle non borné.

Réponse A.

Dériver deux fois sous l’intégrale fait sortir \((-t)^2=t^2\), donc la dérivée seconde a pour intégrande \(\frac{t^2e^{-xt}}{4+t^2}\). En ajoutant \(4F\), le dénominateur se simplifie et il reste \(\int_0^{+\infty}e^{-xt}\,dt=\frac1x\). La réponse \(-\frac1x\) garde le signe de la dérivée première. Quant à \(\frac{1}{x^2}\), elle intègre \(t\,e^{-xt}\) au lieu de \(e^{-xt}\).

Réponse D.

On applique deux fois la relation fonctionnelle : \(\Gamma\left(\frac52\right)=\frac32\,\Gamma\left(\frac32\right)=\frac32\cdot\frac12\,\Gamma\left(\frac12\right)=\frac{3\sqrt{\pi}}{4}\). Le piège \(\frac{3\sqrt{\pi}}{2}\) oublie le facteur \(\frac12\). Le piège \(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\) correspond à \(\Gamma\left(\frac32\right)\), une étape trop tôt. Quant à \(\frac{15\sqrt{\pi}}{8}\), c’est \(\Gamma\left(\frac72\right)\), une étape trop loin.

Réponse D.

Le changement de variable \(u=xt\) donne \(xF(x)=\int_0^{+\infty}\frac{e^{-u}\,du}{4+u^2/x^2}\). L’intégrande est dominé par \(e^{-u}/4\) et tend vers \(e^{-u}/4\). Donc \(xF(x)\to\frac14\), soit \(F(x)\sim\frac{1}{4x}\). Le piège \(\frac{\pi}{4}\) est la valeur en \(0\), pas la limite à l’infini. Quant à \(\frac{1}{x}\), il oublie la constante \(4\) du dénominateur.