Lois géométrique et de Poisson en maths spé (MP) : cours et méthodes

Une variable aléatoire discrète à valeurs dans un ensemble \(E\) est une application \(X : \Omega \to E\) dont l’image \(X(\Omega)\) est au plus dénombrable, et telle que \(\{X = x\}\) soit un événement pour chaque \(x\) de \(X(\Omega)\).

La loi de \(X\) est l’application \(P_X\) qui, à une partie \(A\) de \(X(\Omega)\), associe \(P(X \in A)\). Elle est entièrement déterminée par la famille des nombres \(P(X = x)\), positifs et de somme 1.

Réciproquement, soit \((p_x)_{x \in D}\) une famille de réels positifs de somme 1, indexée par un ensemble \(D\) au plus dénombrable. Il existe un espace probabilisé et une variable \(X\) tels que \(P(X = x) = p_x\) pour tout \(x \in D\). Ce résultat est admis ; il autorise à écrire « soit \(X\) une variable de loi… » sans construire \(\Omega\).

Cherchons \(c\) pour que \(P(X = k) = \frac{c}{k(k+1)}\), \(k \in \mathbb{N}^*\), définisse une loi. Le terme \(\frac{1}{k(k+1)}\) est la différence de \(\frac{1}{k}\) et de \(\frac{1}{k+1}\), ce qui rend la série télescopique. Sa somme vaut 1, donc \(c = 1\). On en tire aussi la queue \(P(X > n) = \frac{1}{n+1}\), qui tend lentement vers 0.

Pour tout \(y \in f(X(\Omega))\), on a :

\[ P\bigl(f(X) = y\bigr) = \sum_{x \in X(\Omega),\ f(x) = y} P(X = x). \]

Fixons un événement \(B\) tel que \(P(B) > 0\). Remplaçons \(P\) par la probabilité conditionnelle \(P_B\) : la loi de \(X\) vue sous \(P_B\) se nomme loi conditionnelle de \(X\) sachant \(B\). Concrètement, on calcule pour chaque valeur \(x\) le quotient de \(P(\{X = x\} \cap B)\) par \(P(B)\).

Si \(X\) et \(Y\) sont discrètes, le couple \(Z = (X, Y)\) l’est aussi. Sa loi s’appelle la loi conjointe de \(X\) et \(Y\). Elle est déterminée par les nombres \(P(X = x, Y = y)\), pour \(x \in X(\Omega)\) et \(y \in Y(\Omega)\). Les lois de \(X\) et de \(Y\) s’appellent les lois marginales du couple.

Les lois marginales se déduisent de la loi conjointe. Pour tout \(x \in X(\Omega)\) :

\[ P(X = x) = \sum_{y} P\bigl(\{X = x\} \cap \{Y = y\}\bigr), \]

la somme portant sur toutes les valeurs \(y\) prises par \(Y\).

La famille \(\bigl(\{Y = y\}\bigr)_{y \in Y(\Omega)}\) est un système complet d’événements, au plus dénombrable. La formule des probabilités totales, appliquée à l’événement \(\{X = x\}\), donne exactement l’égalité annoncée.

1. Déterminer l’ensemble des couples \((x, y)\) de probabilité non nulle, en le dessinant si besoin.
2. Pour la marginale de \(X\), fixer \(x\) et sommer sur les \(y\) compatibles avec \(x\), en soignant les bornes.
3. Pour une loi conditionnelle, diviser la ligne ou la colonne concernée par la probabilité marginale correspondante.
4. Reconnaître, à la fin, une loi usuelle à l’aide de ses formules.

Pour \(0 \leqslant i \leqslant j\), posons \(P(X = i, Y = j) = \dfrac{e^{-2}}{i!\,(j – i)!}\), et 0 sinon. Fixons d’abord \(j\) et sommons sur \(i\) de 0 à \(j\). La formule du binôme donne :

\[ P(Y = j) = \frac{e^{-2}}{j!} \sum_{i=0}^{j} \binom{j}{i} = \frac{e^{-2}\, 2^j}{j!}. \]

Ensuite, fixons \(i\) et sommons sur \(j \geqslant i\) en posant \(m = j – i\) : on trouve \(P(X = i) = \frac{e^{-2}}{i!} \sum_{m} \frac{1}{m!} = \frac{e^{-1}}{i!}\). Enfin, la loi de \(X\) sachant \(Y = j\) vaut \(\binom{j}{i} 2^{-j}\) : c’est une loi binomiale de paramètres \(j\) et \(\frac{1}{2}\).

Les variables \(X\) et \(Y\) sont indépendantes si, pour toutes parties \(A \subset X(\Omega)\) et \(B \subset Y(\Omega)\), on a \(P(X \in A, Y \in B) = P(X \in A)\,P(Y \in B)\). Il suffit de le vérifier pour les singletons : \(P(X = x, Y = y) = P(X = x)\,P(Y = y)\) pour tous \(x\) et \(y\).

Une famille \((X_i)_{i \in I}\), avec \(I\) quelconque, est mutuellement indépendante si, pour toute partie finie \(J\) de \(I\) et tous choix de valeurs \(x_j\), on a :

\[ P\Bigl(\bigcap_{j \in J} \{X_j = x_j\}\Bigr) = \prod_{j \in J} P(X_j = x_j). \]

On part d’une famille indépendante \(X_1, \dots, X_n\) et d’un indice \(p\) compris entre 1 et \(n – 1\). On coupe la famille en deux blocs : les \(p\) premières variables, puis les suivantes. Quelles que soient les fonctions \(f\) et \(g\), les variables \(f(X_1, \dots, X_p)\) et \(g(X_{p+1}, \dots, X_n)\) sont alors indépendantes. L’énoncé reste vrai avec plus de deux blocs, pourvu qu’ils soient deux à deux sans variable commune.

Pour toute loi discrète \(\mu\), il existe un espace probabilisé portant une suite \((X_n)_{n \geqslant 1}\) de variables indépendantes et de même loi \(\mu\). On parle de suite i.i.d. Ce résultat est admis.

Soit \(X\) et \(Y\) indépendantes, à valeurs dans \(\mathbb{N}\). Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), on a :

\[ P(X + Y = n) = \sum_{k=0}^{n} P(X = k)\,P(Y = n – k). \]

De plus, pour tout entier \(n\), \(P(\min(X, Y) > n) = P(X > n)\,P(Y > n)\) et \(P(\max(X, Y) \leqslant n) = P(X \leqslant n)\,P(Y \leqslant n)\).

L’événement \(\{X + Y = n\}\) est la réunion disjointe des \(\{X = k\} \cap \{Y = n – k\}\), pour \(k\) de 0 à \(n\). L’indépendance factorise chaque terme. Ensuite, le minimum dépasse \(n\) exactement quand \(X\) et \(Y\) le dépassent tous deux. De même, le maximum reste sous \(n\) quand les deux variables y restent.

1. Pour une somme, écrire la convolution, puis reconnaître un binôme ou une somme géométrique.
2. Pour un minimum, calculer la queue \(P(\min > n)\) comme un produit, puis revenir à la loi par \(P(\min = n) = P(\min > n – 1) – P(\min > n)\).
3. Pour un maximum, calculer la fonction de répartition \(P(\max \leqslant n)\) comme un produit, puis faire la différence de deux valeurs consécutives.

Soit \(p \in \,]0, 1[\). Une variable \(X\) suit la loi géométrique de paramètre \(p\), notée \(\mathcal{G}(p)\), si \(X(\Omega) = \mathbb{N}^*\) et si, pour tout \(k \geqslant 1\) :

\[ P(X = k) = p\,(1 – p)^{k-1}. \]

Soit \((B_n)_{n \geqslant 1}\) une suite i.i.d. de variables de Bernoulli de paramètre \(p\). Le rang \(T\) du premier succès, défini par \(T = \min\{n \mid B_n = 1\}\), est presque sûrement fini et suit la loi \(\mathcal{G}(p)\).

Pour \(k \geqslant 1\), l’événement \(\{T = k\}\) s’écrit \(\{B_1 = 0\} \cap \dots \cap \{B_{k-1} = 0\} \cap \{B_k = 1\}\). Par indépendance, sa probabilité vaut \((1 – p)^{k-1} p\). Ensuite, ces probabilités ont pour somme 1. L’événement « aucun succès » est donc de probabilité nulle, et \(T\) est fini presque sûrement.

Si \(X \sim \mathcal{G}(p)\), alors \(P(X > n) = (1 – p)^n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\). Par conséquent, pour tous entiers \(n\) et \(k\), la probabilité conditionnelle sachant \(\{X > n\}\) vérifie :

\[ P_{\{X > n\}}\bigl(X > n + k\bigr) = (1 – p)^k = P(X > k). \]

L’événement \(\{X > n\}\) signifie que les \(n\) premières épreuves sont des échecs. Sa probabilité vaut donc \((1 – p)^n\). On peut aussi sommer la série géométrique des \(P(X = k)\) pour \(k > n\). Ensuite, \(\{X > n + k\}\) est inclus dans \(\{X > n\}\), d’où le quotient \((1 – p)^{n+k}/(1 – p)^n = (1 – p)^k\).

1. Vérifier que la variable prend ses valeurs dans \(\mathbb{N}^*\). Sinon, la translater.
2. Soit l’interpréter comme le rang d’un premier succès dans des épreuves indépendantes de même paramètre.
3. Soit calculer sa queue : si \(P(X > n) = q^n\) pour tout \(n\), avec \(q \in \,]0, 1[\), alors \(X \sim \mathcal{G}(1 – q)\).
4. Conclure par \(P(X = n) = P(X > n – 1) – P(X > n)\).

Soit \(X \sim \mathcal{G}(p)\) et \(Y \sim \mathcal{G}(q)\) indépendantes. Par la proposition de la partie 3, on a \(P(\min(X, Y) > n) = (1 – p)^n (1 – q)^n\). Cette queue est de la forme \(r^n\) avec \(r = (1 – p)(1 – q)\). Donc \(\min(X, Y) \sim \mathcal{G}(1 – r)\). Avec \(p = \frac{1}{5}\) et \(q = \frac{3}{8}\), on trouve \(r = \frac{1}{2}\), et le minimum suit la loi \(\mathcal{G}\bigl(\frac{1}{2}\bigr)\).

Soit \(\lambda > 0\). Une variable \(X\) suit la loi de Poisson de paramètre \(\lambda\), notée \(\mathcal{P}(\lambda)\), si \(X(\Omega) = \mathbb{N}\) et si, pour tout \(k \in \mathbb{N}\) :

\[ P(X = k) = e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!}. \]

Soit \(X\) et \(Y\) deux variables indépendantes, de lois respectives \(\mathcal{P}(\lambda)\) et \(\mathcal{P}(\mu)\). Leur somme suit alors la loi de Poisson de paramètre \(\lambda + \mu\).

La variable \(X + Y\) prend ses valeurs dans \(\mathbb{N}\). Pour \(n \in \mathbb{N}\), la formule de convolution donne :

\[ P(X + Y = n) = \sum_{k=0}^{n} e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}\, e^{-\mu}\frac{\mu^{n-k}}{(n-k)!} = \frac{e^{-(\lambda + \mu)}}{n!} \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \lambda^k \mu^{n-k}. \]

On reconnaît la formule du binôme, qui donne \((\lambda + \mu)^n\). Par récurrence, la propriété s’étend à une somme finie de variables de Poisson mutuellement indépendantes, grâce au lemme des coalitions.

Soit \(\lambda > 0\) et \((p_n)\) une suite de \(]0, 1[\) telle que \(n p_n \to \lambda\). Si \(X_n \sim \mathcal{B}(n, p_n)\), alors pour tout \(k \in \mathbb{N}\) :

\[ P(X_n = k) \xrightarrow[n \to +\infty]{} \frac{\lambda^k\, e^{-\lambda}}{k!}. \]

Fixons \(k\) et prenons \(n > k\). On écrit \(P(X_n = k)\) comme le produit de trois facteurs :

\[ \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k} \cdot \frac{(n p_n)^k}{k!} \cdot (1 – p_n)^{n-k}. \]

Le premier facteur tend vers 1, car \(k\) est fixé. Le deuxième tend vers \(\frac{\lambda^k}{k!}\). Pour le troisième, on remarque d’abord que \(p_n\) tend vers 0, puisque \(n p_n\) a une limite finie. Le développement \(\ln(1 – u) = -u + o(u)\) montre alors que le logarithme de ce facteur vaut \(-(n – k)\,p_n\bigl(1 + o(1)\bigr)\). Ce produit a pour limite \(-\lambda\), et le facteur tend donc vers \(e^{-\lambda}\).

Un lot contient 200 composants, chacun défectueux avec probabilité \(0{,}015\), indépendamment des autres. Le nombre \(X\) de défauts suit \(\mathcal{B}(200\,;\,0{,}015)\), et \(np = 3\). La loi de Poisson donne \(P(X \leqslant 2) \approx e^{-3}\bigl(1 + 3 + \frac{9}{2}\bigr) = 8{,}5\, e^{-3} \approx 0{,}423\). Le calcul exact donne environ \(0{,}421\) : l’erreur reste inférieure à deux millièmes.

Un correcteur relit un manuscrit page par page. Le nombre de coquilles d’une page suit la loi \(\mathcal{P}\bigl(\frac{1}{2}\bigr)\), et les pages sont indépendantes. D’abord, une page est sans coquille avec probabilité \(e^{-1/2} \approx 0{,}61\). Ensuite, le rang \(R\) de la première page fautive est le rang d’un premier succès de paramètre \(1 – e^{-1/2}\). Donc \(R\) suit la loi géométrique de ce paramètre. Enfin, sur 40 pages, le nombre total de coquilles suit la loi \(\mathcal{P}(20)\), par stabilité de la loi de Poisson.

Avant tout calcul, écrivez une phrase qui nomme la suite i.i.d. sous-jacente et l’événement « succès ». Cette phrase justifie à elle seule la loi géométrique, et les correcteurs l’attendent. De même, citez l’indépendance chaque fois que vous additionnez des variables de Poisson.

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