Différentielle et règle de la chaîne en maths spé (MP) : cours et méthodes

Soit \(v \in E\). On dit que \(f\) admet une dérivée en \(a\) selon \(v\) si la fonction d’une variable réelle \(t \mapsto f(a + tv)\) est dérivable en \(0\). On note alors

\[ D_v f(a) = \lim_{t \to 0} \frac{f(a + tv) – f(a)}{t}. \]

Fixons \(\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_n)\), base de \(E\). Lorsque la dérivée de \(f\) en \(a\) selon le vecteur \(e_j\) existe, on l’appelle \(j\)-ième dérivée partielle : \(\partial_j f(a) = D_{e_j} f(a)\). Lorsque \(E = \mathbb{R}^n\) muni de sa base canonique, on la note aussi \(\dfrac{\partial f}{\partial x_j}(a)\).

On considère \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par \(f(0,0) = 0\) et, sinon,

\[ f(x,y) = \frac{x y^2}{x^2 + 3 y^4}. \]

Soit \(v = (h,k)\) non nul. D’abord, pour \(t \neq 0\), on a \(\dfrac{f(th, tk)}{t} = \dfrac{h k^2}{h^2 + 3 t^2 k^4}\). Ensuite, si \(h \neq 0\), ce quotient tend vers \(\dfrac{k^2}{h}\). Enfin, si \(h = 0\), il est nul. Ainsi, \(f\) admet une dérivée en \((0,0)\) selon tout vecteur. Cependant, l’application \(v \mapsto D_v f(0,0)\) n’est pas linéaire. De plus, sur la parabole \(x = y^2\), on trouve \(f(y^2, y) = \dfrac{1}{4}\) pour \(y \neq 0\). Par conséquent, \(f\) n’est même pas continue en l’origine.

L’application \(f\) est différentiable au point \(a\) lorsqu’un élément \(L\) de \(\mathcal{L}(E,F)\) vérifie, pour \(h\) voisin de \(0\),

\[ f(a + h) – f(a) – L(h) = o(\|h\|). \]

Un tel \(L\), s’il existe, est forcément unique : c’est la différentielle de \(f\) au point \(a\), notée \(df(a)\). Lorsque cette propriété a lieu en chaque point de \(U\), \(f\) est différentiable sur \(U\).

Si \(f\) est différentiable en \(a\), alors :

• \(f\) est continue en \(a\) ;
• \(f\) admet une dérivée en \(a\) selon tout vecteur \(v\), et \(D_v f(a) = df(a)(v)\) ;
• dans une base \((e_1, \dots, e_n)\), on a \(df(a)(h) = \sum_{j=1}^{n} h_j \, \partial_j f(a)\) pour \(h = \sum h_j e_j\).

Comme \(df(a)\) est linéaire en dimension finie, elle est continue. Ainsi, \(f(a+h) – f(a) = df(a)(h) + o(\|h\|)\) tend vers \(0\). Ensuite, on remplace \(h\) par \(tv\) : on obtient \(f(a + tv) = f(a) + t \, df(a)(v) + o(t)\), d’où la deuxième propriété. Enfin, la troisième découle de la linéarité de \(df(a)\) appliquée à \(h = \sum h_j e_j\).

Pour calculer une différentielle par développement :

1. écrire \(f(a + h)\) en développant toutes les expressions ;
2. regrouper le terme constant \(f(a)\), les termes linéaires en \(h\) et les termes d’ordre supérieur ;
3. vérifier que le reste est négligeable devant \(\|h\|\), souvent par une majoration du type \(\|R(h)\| \leqslant C \|h\|^2\) ;
4. conclure : la partie linéaire est \(df(a)(h)\).

Sur \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), on pose \(f(M) = M^{\top} A M\), où \(A\) est une matrice fixée. Pour toute matrice \(H\), on développe :

\[ f(M + H) = M^{\top} A M + \left( H^{\top} A M + M^{\top} A H \right) + H^{\top} A H. \]

Le terme central est linéaire en \(H\). Pour une norme sous-multiplicative, le dernier vérifie de plus \(\|H^{\top} A H\| \leqslant \|A\| \, \|H^{\top}\| \, \|H\| = O(\|H\|^2)\), car la transposition est une application linéaire continue. Par conséquent, \(df(M)(H) = H^{\top} A M + M^{\top} A H\).

Soit \(f : U \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^p\), de composantes \(f_1, \dots, f_p\), différentiable en \(a\). Sa matrice jacobienne en \(a\) est la matrice de \(df(a)\) dans les bases canoniques :

\[ J_f(a) = \left( \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(a) \right)_{1 \leqslant i \leqslant p, \ 1 \leqslant j \leqslant n} \in \mathcal{M}_{p,n}(\mathbb{R}). \]

Si \(f : U \to \mathbb{R}\) est différentiable en \(a\), le gradient de \(f\) en \(a\) est l’unique vecteur \(\nabla f(a)\) de \(E\) tel que

\[ \forall h \in E, \quad df(a)(h) = \langle \nabla f(a), h \rangle. \]

Dans une base orthonormée, ses coordonnées sont les dérivées partielles \(\partial_1 f(a), \dots, \partial_n f(a)\).

Soit \(u\) un endomorphisme symétrique de \(E\) et \(q(x) = \langle u(x), x \rangle\). On développe : \(q(x + h) = q(x) + \langle u(x), h \rangle + \langle u(h), x \rangle + q(h)\). Or \(\langle u(h), x \rangle = \langle h, u(x) \rangle\) par symétrie. De plus, \(|q(h)| \leqslant \|u\| \, \|h\|^2\). Donc \(dq(x)(h) = 2 \langle u(x), h \rangle\), c’est-à-dire \(\nabla q(x) = 2 u(x)\). Pour \(q(x,y) = x^2 + xy + 2y^2\), cela donne \(\nabla q(x,y) = (2x + y, \, x + 4y)\).

Une application linéaire \(\ell : E \to F\) est différentiable en tout point et \(d\ell(a) = \ell\). Autrement dit, la différentielle d’une application linéaire est elle-même, quel que soit le point.

Soit \(B : E_1 \times E_2 \to F\) bilinéaire. Alors \(B\) est différentiable en tout point \((a,b)\) et

\[ dB(a,b)(h,k) = B(h, b) + B(a, k). \]

Par bilinéarité, \(B(a + h, b + k) = B(a,b) + B(h,b) + B(a,k) + B(h,k)\). Le terme \(B(h,b) + B(a,k)\) est linéaire en \((h,k)\). Ensuite, en dimension finie, il existe \(C\) tel que \(\|B(h,k)\| \leqslant C \|h\| \, \|k\|\). Donc ce reste est un \(O(\|(h,k)\|^2)\), ce qui conclut.

Pour toutes matrices \(M\) et \(H\) de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), on a

\[ d(\det)(M)(H) = \operatorname{tr}\left( \operatorname{com}(M)^{\top} H \right). \]

En particulier, \(d(\det)(I_n)(H) = \operatorname{tr}(H)\) et, si \(M\) est inversible, \(d(\det)(M)(H) = \det(M) \operatorname{tr}(M^{-1} H)\).

On développe \(\det M\) selon la colonne \(j\) : \(\det M = \sum_{i} m_{ij} \, c_{ij}\), où \(c_{ij}\) est le cofacteur d’indice \((i,j)\). Or \(c_{ij}\) ne dépend d’aucun coefficient de la ligne \(i\) ni de la colonne \(j\). Par conséquent, \(\dfrac{\partial \det}{\partial m_{ij}}(M) = c_{ij}\). On en déduit

\[ d(\det)(M)(H) = \sum_{i,j} c_{ij} \, h_{ij} = \operatorname{tr}\left( \operatorname{com}(M)^{\top} H \right). \]

Si \(M\) est inversible, la relation \(\operatorname{com}(M)^{\top} = \det(M) \, M^{-1}\) donne la seconde forme.

L’application \(\iota\) est différentiable sur \(GL_n(\mathbb{R})\) et, pour toute matrice \(H\),

\[ d\iota(M)(H) = – M^{-1} H M^{-1}. \]

Soit \(H\) assez petite pour que \(M + H\) soit inversible. D’abord, \((M + H)^{-1} – M^{-1} = -(M+H)^{-1} H M^{-1}\), ce qu’on vérifie en multipliant à gauche par \(M + H\). Ensuite, on réinjecte cette identité :

\[ (M+H)^{-1} – M^{-1} + M^{-1} H M^{-1} = (M+H)^{-1} H M^{-1} H M^{-1}. \]

Pour une norme sous-multiplicative, le membre de droite est majoré par \(\|(M+H)^{-1}\| \, \|M^{-1}\|^2 \, \|H\|^2\). Or \(\|(M+H)^{-1}\|\) reste borné près de \(H = 0\) par continuité de \(\iota\). Le reste est donc un \(O(\|H\|^2)\).

Soit \(f : U \to F\) différentiable en \(a\), et \(g : V \to G\) avec \(V\) ouvert de \(F\) contenant \(f(U)\). Si \(g\) est différentiable en \(f(a)\), alors \(g \circ f\) est différentiable en \(a\) et

\[ d(g \circ f)(a) = dg\big(f(a)\big) \circ df(a). \]

Matriciellement, \(J_{g \circ f}(a) = J_g\big(f(a)\big) \, J_f(a)\).

Posons \(b = f(a)\) et \(k = f(a+h) – b\). D’abord, \(k = df(a)(h) + o(\|h\|)\), donc \(k = O(\|h\|)\). Ensuite, \(g(b + k) = g(b) + dg(b)(k) + o(\|k\|)\). Or \(o(\|k\|)\) est aussi un \(o(\|h\|)\). Enfin, par linéarité et continuité de \(dg(b)\), on a \(dg(b)(k) = dg(b)\big(df(a)(h)\big) + o(\|h\|)\), ce qui donne le résultat.

Soit \(\gamma : I \to U\) un arc dérivable sur un intervalle \(I\) et \(f\) différentiable sur \(U\). Alors \(f \circ \gamma\) est dérivable sur \(I\) et

\[ (f \circ \gamma)^{\prime}(t) = df\big(\gamma(t)\big)\big(\gamma^{\prime}(t)\big). \]

Si \(f\) est numérique et \(E\) euclidien, cela s’écrit \((f \circ \gamma)^{\prime}(t) = \langle \nabla f(\gamma(t)), \gamma^{\prime}(t) \rangle\).

Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) et \(\psi(t) = \det(I_n + tA)\). L’arc \(t \mapsto I_n + tA\) a pour vitesse \(A\). D’après le corollaire et la partie 3.2, on obtient \(\psi^{\prime}(0) = d(\det)(I_n)(A) = \operatorname{tr}(A)\). Ainsi, \(\det(I_n + tA) = 1 + t \operatorname{tr}(A) + o(t)\). Pour \(A = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}\), un calcul direct donne \(\det(I_2 + tA) = 1 + 6t + 13t^2\), ce qui confirme \(\psi^{\prime}(0) = 6\).

Pour dériver \(g(r, \theta) = f(r \cos \theta, r \sin \theta)\), avec \(f\) de classe \(C^1\) :

1. nommer l’application intermédiaire \(P(r,\theta) = (r\cos\theta, r\sin\theta)\) et calculer ses dérivées partielles ;
2. appliquer la formule en coordonnées de la règle de la chaîne ;
3. évaluer les dérivées de \(f\) au point \(P(r,\theta)\) et non en \((r,\theta)\).

On obtient alors

\[ \frac{\partial g}{\partial r} = \cos\theta \, \partial_1 f + \sin\theta \, \partial_2 f, \qquad \frac{\partial g}{\partial \theta} = – r \sin\theta \, \partial_1 f + r \cos\theta \, \partial_2 f. \]

L’application \(f\) est de classe \(C^1\) sur \(U\) lorsque, d’une part, elle y est différentiable et, d’autre part, \(x \mapsto df(x)\) est continue de \(U\) dans \(\mathcal{L}(E,F)\).

On fixe une base \((e_1, \dots, e_n)\) de \(E\). Pour que \(f\) soit \(C^1\) sur \(U\), il faut et il suffit que les \(n\) fonctions \(\partial_1 f, \dots, \partial_n f\) soient définies partout sur \(U\) et y soient continues.

On suppose \(f : U \to F\) de classe \(C^1\). Pour tout chemin \(\gamma : [0,1] \to U\) lui-même de classe \(C^1\), on dispose de l’égalité

\[ f\big(\gamma(1)\big) – f\big(\gamma(0)\big) = \int_0^1 df\big(\gamma(t)\big)\big(\gamma^{\prime}(t)\big) \, dt. \]

La fonction \(\varphi = f \circ \gamma\) est dérivable, de dérivée \(t \mapsto df(\gamma(t))(\gamma^{\prime}(t))\) d’après le corollaire 4.2. Cette dérivée est continue, car \(df\), \(\gamma\) et \(\gamma^{\prime}\) le sont. Le théorème fondamental de l’analyse donne alors \(\varphi(1) – \varphi(0) = \int_0^1 \varphi^{\prime}(t) \, dt\).

Soit \(U\) un ouvert connexe par arcs et \(f : U \to F\) différentiable sur \(U\), telle que \(df(x) = 0\) pour tout \(x \in U\). Alors \(f\) est constante sur \(U\).

Fixons \(a \in U\) et posons \(A = \{x \in U \mid f(x) = f(a)\}\). D’abord, \(A\) est non vide. Ensuite, \(A\) est ouvert : si \(x \in A\), une boule \(B(x, r)\) incluse dans \(U\) est convexe, et pour \(y\) dans cette boule, \(\varphi(t) = f(x + t(y – x))\) a une dérivée nulle sur \([0,1]\). Donc \(f(y) = f(x) = f(a)\). De plus, \(A\) est fermé dans \(U\) par continuité de \(f\). Enfin, un ouvert connexe par arcs est connexe, donc \(A = U\).

L’hypothèse de connexité est indispensable. Sur la réunion de deux disques ouverts disjoints, la fonction égale à \(2\) sur le premier et à \(-1\) sur le second a une différentielle nulle. Pourtant, elle n’est pas constante.

Pour prouver qu’une fonction est constante :

1. vérifier que l’ensemble de définition est un ouvert connexe par arcs, par exemple convexe ou étoilé ;
2. montrer que toutes les dérivées partielles sont nulles, ou que l’accroissement est un \(o(\|h\|)\) ;
3. conclure par le théorème, puis calculer la constante en un point simple.

Soit \(U = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid xy < 1\}\). C’est un ouvert, image réciproque de \(]-\infty, 1[\) par une application continue. De plus, il est étoilé par rapport à l’origine : si \(xy < 1\) et \(t \in [0,1]\), alors \(t^2 xy < 1\). Il est donc connexe par arcs. On pose, sur \(U\),

\[ f(x,y) = \arctan\left( \frac{x + y}{1 – xy} \right) – \arctan x – \arctan y. \]

Notons \(u = \dfrac{x+y}{1-xy}\). D’une part, \(\partial_1 u = \dfrac{1 + y^2}{(1 – xy)^2}\). D’autre part, \(1 + u^2 = \dfrac{(1+x^2)(1+y^2)}{(1-xy)^2}\). Par conséquent, \(\partial_1 f = \dfrac{1}{1+x^2} – \dfrac{1}{1+x^2} = 0\). Par symétrie, \(\partial_2 f = 0\) aussi. Donc \(f\) est constante sur \(U\), égale à \(f(0,0) = 0\). On obtient ainsi la formule d’addition des arctangentes dès que \(xy < 1\).

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