Bornes supérieures et parties entières : contrôle de maths en MPSI

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Ce qu’évalue le contrôle : bornes supérieures et parties entières

Le sujet du contrôle : bornes supérieures et parties entières

Exercice 1 – Caractériser une borne supérieure (3 points)

Dans tout l’exercice, \(A\) désigne un sous-ensemble de \(\mathbb{R}\) qui n’est pas vide et qui admet au moins un majorant ; la lettre \(M\) désigne un réel.

1. Énoncer la propriété de la borne supérieure dans \(\mathbb{R}\). (0,5 point)
2. Démontrer l’équivalence entre l’égalité \(M = \sup A\) et la réunion des deux propriétés suivantes : d’une part \(M\) est un majorant de \(A\) ; d’autre part, chaque intervalle \(\left]M – \varepsilon\,;M\right]\) avec \(\varepsilon > 0\) contient au moins un élément de \(A\). (1,5 point)
3. On suppose que \(M\) majore \(A\). Prouver alors que \(M = \sup A\) si et seulement si \(M\) est la limite d’une suite d’éléments de \(A\). (1 point)

Exercice 2 – Inégalités sans faux pas (4 points)

Les trois questions sont indépendantes. Toute manipulation d’inégalité doit être justifiée, notamment le signe des quantités par lesquelles on multiplie.

1. Soient \(x\) et \(y\) deux réels. En écrivant \(2x\) comme somme de \(x + y\) et de \(x – y\), montrer que \(|x| + |y| \leq |x + y| + |x – y|\). (1 point)
2. On considère deux réels \(x \in [1\,;3]\) et \(y \in [2\,;4]\), puis \(q = \frac{x – y}{x + y}\). Encadrer d’abord \(x – y\) et \(\frac{x}{y}\). Exprimer ensuite \(q\) en fonction du seul rapport \(r = \frac{x}{y}\), puis en déduire que \(-\frac{3}{5} \leq q \leq \frac{1}{5}\). Ces bornes sont-elles atteintes ? (1,5 point)
3. Pour tout réel \(x\), on pose \(f(x) = |x – 1| + |x + 3|\). Montrer que \(f(x) \geq 4\) pour tout \(x\), puis déterminer l’ensemble des réels où l’égalité a lieu. Que vaut alors \(\inf_{x \in \mathbb{R}} f(x)\) ? (1,5 point)

Exercice 3 – Un ensemble image et une somme d’ensembles (5 points)

Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(u_n = \frac{3n – 1}{2n + 3}\), puis on note \(A = \{u_n : n \in \mathbb{N}\}\). La figure suivante représente les premiers termes de la suite.

1. Déterminer deux réels \(\alpha\) et \(\beta\) tels que \(u_n = \alpha – \frac{\beta}{2n + 3}\) pour tout \(n\). En déduire que la suite \((u_n)\) est strictement croissante, puis que \(A\) admet un minimum que l’on précisera. (1 point)
2. Établir que \(\sup A = \frac{3}{2}\) en appliquant le critère démontré dans l’exercice 1. Donner ensuite le plus petit entier \(n\) tel que \(u_n > \frac{3}{2} – \frac{1}{100}\). (1,5 point)
3. La borne supérieure de \(A\) est-elle un maximum ? Justifier. (0,5 point)
4. On se donne maintenant deux sous-ensembles \(B\) et \(C\) de \(\mathbb{R}\), chacun non vide et doté d’un majorant, ainsi que \(B + C = \{b + c : b \in B,\ c \in C\}\). Démontrer que \(B + C\) admet une borne supérieure, égale à \(\sup B + \sup C\). (1,5 point)
5. On pose enfin \(D = \left\{u_n – \frac{1}{p} : n \in \mathbb{N},\ p \in \mathbb{N}^*\right\}\). Déterminer \(\sup D\), puis montrer que \(D\) possède un plus petit élément. (0,5 point)

Exercice 4 – Calculs avec la partie entière (4 points)

Pour un réel \(t\), le symbole \(\lfloor t \rfloor\) désigne l’unique entier relatif \(p\) qui vérifie l’encadrement \(p \leq t < p + 1\).

1. Soient \(x\) un réel et \(k\) un entier relatif. Prouver que \(\lfloor x + k \rfloor = \lfloor x \rfloor + k\). (0,5 point)
2. Calculer \(\lfloor x \rfloor + \lfloor -x \rfloor\), en distinguant le cas où \(x\) est entier et celui où il ne l’est pas. (1 point)
3. Écrivons \(x = n + \theta\), avec \(n = \lfloor x \rfloor\) et \(\theta \in [0\,;1[\). Montrer que \(\lfloor 3x \rfloor – 3\lfloor x \rfloor\) appartient à \(\{0, 1, 2\}\), puis préciser sa valeur selon la position de \(\theta\). (1 point)
4. La figure ci-dessous représente la fonction \(x \mapsto \lfloor \sqrt{x} \rfloor\) sur \([0\,;27]\). Pour un entier \(m \geq 1\), montrer que \(\lfloor \sqrt{k} \rfloor = m\) équivaut à \(m^2 \leq k \leq m^2 + 2m\) pour un entier naturel \(k\). Compter ensuite ces entiers, puis calculer \(S = \sum_{k=1}^{99} \lfloor \sqrt{k} \rfloor\). (1,5 point)

Exercice 5 – Problème : les nombres triadiques (4 points)

On appelle nombre triadique tout réel de la forme \(\frac{m}{3^n}\), avec \(m \in \mathbb{Z}\) et \(n \in \mathbb{N}\). Leur ensemble, noté \(T\), est donc inclus dans \(\mathbb{Q}\). Nous admettrons que \(\sqrt{2}\) est irrationnel. Pour tout réel \(x\) et tout entier naturel \(n\), on pose \(t_n = \frac{\lfloor 3^n x \rfloor}{3^n}\). La figure illustre la construction pour \(x = 0{,}4\) : à chaque rang, \(t_n\) est la graduation de pas \(\frac{1}{3^n}\) située juste à gauche de \(x\).

1. Calculer \(t_1\), \(t_2\) et \(t_3\) lorsque \(x = 0{,}4\). Dans le cas général, montrer ensuite que \(t_n \in T\) et que \(t_n \leq x < t_n + \frac{1}{3^n}\). (1 point)
2. Soient \(a < b\) deux réels. Justifier qu’il existe un entier \(n\) tel que \(\frac{1}{3^n} < b – a\), puis que \(\frac{\lfloor 3^n a \rfloor + 1}{3^n}\) appartient à \(\left]a\,;b\right[\). Conclure que \(T\) est dense dans \(\mathbb{R}\). (1 point)
3. En appliquant la question précédente à l’intervalle \(\left]a – \sqrt{2}\,;b – \sqrt{2}\right[\), montrer que tout intervalle \(\left]a\,;b\right[\) contient un irrationnel. (0,5 point)
4. Soit \(E = \{t \in T : t^2 < 2\}\). Montrer que \(E\) est non vide et majoré, puis que \(\sup E = \sqrt{2}\). L’ensemble \(E\) admet-il un plus grand élément ? (1,5 point)

Réviser bornes supérieures et parties entières avant le contrôle

Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours borne supérieure, partie entière et densité dans r ; entraînez-vous sur les exercices borne supérieure, partie entière et densité dans r avant de retenter le sujet.

La page contrôles de maths en MPSI regroupe les 25 sujets de l’année, et la page maths post-bac permet de changer d’année.

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