Polynômes annulateurs en L2 de maths : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Puissances et inverse par division euclidienne

On considère \(B = \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}\).

1. Calculer \(B^2\) et trouver deux réels \(\alpha, \beta\) tels que \(B^2 = \alpha B + \beta I_2\).
2. En déduire que \(B\) est inversible et donner \(B^{-1}\).
3. Pour tout entier \(m \geqslant 0\), on écrit \(X^m = Q_m(X)(X^2 – \alpha X – \beta) + a_m X + b_m\). Calculer \(a_m\) et \(b_m\).
4. Écrire \(B^m\) à l’aide de \(B\), de \(I_2\), de \(a_m\) et de \(b_m\), puis coefficient par coefficient.

Exercice 2 – Trois polynômes minimaux à identifier

Pour les trois matrices ci-dessous, trouver \(\pi\), puis conclure sur la diagonalisabilité.

1. \(D = \mathrm{diag}(2, 2, 5)\).
2. \(E = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}\).
3. \(K \in \mathcal{M}_4(\mathbb{R})\) dont tous les coefficients de la ligne \(i\) valent \(i\). On pourra écrire \(K = c\, {}^{t}r\) avec \(c = {}^{t}(1, 2, 3, 4)\) et \(r = {}^{t}(1, 1, 1, 1)\).

Exercice 3 – Une matrice annulée par un polynôme de degré trois

Soit \(M \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) telle que \(M^3 – 2M^2 – M + 2I_3 = 0\) et \(\mathrm{tr}\, M = 4\).

1. Factoriser \(X^3 – 2X^2 – X + 2\). En déduire que \(M\) est diagonalisable et préciser les valeurs propres possibles.
2. Montrer que \(M\) est inversible et exprimer \(M^{-1}\) comme polynôme en \(M\).
3. Déterminer le spectre de \(M\) avec les multiplicités, puis \(\det M\).
4. Montrer que \(M^2 = 3M – 2I_3\).

Exercice 4 – Cayley-Hamilton en taille deux

1. Soit \(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{K})\). Vérifier par un calcul direct que \(A^2 – (a + d)A + (ad – bc)I_2 = 0\).
2. On suppose \(\mathrm{tr}\, A = 0\) et \(\det A = 1\). Calculer \(A^2\), puis \(A^{2026}\).
3. Avec les hypothèses de la question 2, montrer que \(A\) est diagonalisable sur \(\mathbb{C}\) mais pas sur \(\mathbb{R}\).

Exercice 5 – Trigonaliser une matrice de taille deux

Soit \(C = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\).

1. Calculer \(\chi_C\) et montrer que \(C\) n’est pas diagonalisable.
2. Trouver une matrice inversible \(P\) et une matrice triangulaire \(T\) de diagonale \((2, 2)\) telles que \(C = PTP^{-1}\).
3. Vérifier que \((C – 2I_2)^2 = 0\) et en déduire \(C^m\) pour tout \(m \in \mathbb{N}\).

Exercice 6 – Une matrice nilpotente d’indice trois

Soit \(N = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\).

1. Former \(N^2\) puis \(N^3\). En tirer l’indice de nilpotence et \(\pi_N\).
2. Montrer que \(I_3 + N\) est inversible et calculer son inverse sans pivot de Gauss.
3. Déterminer les dimensions de \(\ker N\) et de \(\ker N^2\).

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Deux matrices de même polynôme caractéristique

On pose \(G = \begin{pmatrix} 4 & -3 & 3 \\ 3 & -2 & 3 \\ 3 & -3 & 4 \end{pmatrix}\) et \(H = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 0 \\ -1 & -2 & 4 \end{pmatrix}\).

1. Montrer que \(\chi_G = \chi_H = (X – 1)^2 (X – 4)\).
2. Calculer \((G – I_3)(G – 4I_3)\) et \((H – I_3)(H – 4I_3)\).
3. En déduire les polynômes minimaux de \(G\) et de \(H\). Lesquelles sont diagonalisables ?
4. Les matrices \(G\) et \(H\) sont-elles semblables ?

Exercice 8 – Matrice réelle annulée par un trinôme sans racine réelle

Soit \(n \geqslant 1\) et \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) telle que \(A^2 – 2A + 5I_n = 0\).

1. Prouver que le spectre réel de \(A\) est vide.
2. Montrer que \(A\) est diagonalisable dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{C})\) et que \(\mathrm{Sp}_{\mathbb{C}}(A) = \{1 + 2i, 1 – 2i\}\).
3. Justifier que les deux valeurs propres ont la même multiplicité. En déduire que \(n\) est pair.
4. Calculer \(\mathrm{tr}\, A\) et \(\det A\) en fonction de \(n\).

La figure situe les deux racines du trinôme dans le plan complexe.

Exercice 9 – Projecteurs spectraux et racine carrée

Soit \(A = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}\).

1. Montrer que \((X – 1)(X – 3)\) annule \(A\).
2. Trouver deux réels \(a, b\) tels que \(a(X – 1) + b(X – 3) = 1\). En déduire deux matrices \(P_1\) et \(P_3\), polynômes en \(A\), telles que \(P_1 + P_3 = I_2\), \(P_1 P_3 = 0\) et \(A = P_1 + 3P_3\).
3. Vérifier que \(P_1\) et \(P_3\) sont des projecteurs, puis décrire leurs images.
4. Calculer \(A^m\) pour \(m \in \mathbb{N}\).
5. Trouver une matrice réelle \(S\) telle que \(S^2 = A\).

Exercice 10 – Inverse d’une matrice circulante par Cayley-Hamilton

Soit \(M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\).

1. Montrer que \(\chi_M = (X – 1)^3 – 1\), puis développer ce polynôme.
2. Utiliser le théorème de Cayley-Hamilton pour justifier que \(M\) est inversible et calculer \(M^{-1}\).
3. Déterminer les valeurs propres complexes de \(M\). La matrice \(M\) est-elle diagonalisable sur \(\mathbb{C}\) ? sur \(\mathbb{R}\) ?

Exercice 11 – Trigonalisation d’une matrice de taille trois

Soit \(T = \begin{pmatrix} 3 & -2 & 2 \\ 1 & 0 & 3 \\ 1 & -1 & 4 \end{pmatrix}\).

1. Calculer \(\chi_T\).
2. Déterminer les sous-espaces propres de \(T\). Est-elle diagonalisable ?
3. Trigonaliser \(T\) : trouver \(P\) inversible telle que \(P^{-1}TP = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}\).
4. En déduire le polynôme minimal de \(T\).

Exercice 12 – Diagonalisation simultanée de deux endomorphismes

Dans un espace \(E\) de dimension finie, on considère deux endomorphismes diagonalisables \(u\) et \(v\) qui commutent.

1. Soit \(\lambda\) une valeur propre de \(u\). Prouver que \(v\) envoie \(\ker(u – \lambda\,\mathrm{id})\) dans lui-même.
2. Justifier que la restriction de \(v\) à ce noyau se diagonalise.
3. Construire une base de \(E\) dont chaque vecteur est propre à la fois pour \(u\) et pour \(v\).
4. Application : contrôler l’égalité \(AB = BA\) pour \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\), puis exhiber une base qui diagonalise les deux matrices.

Exercice 13 – Un endomorphisme de l’espace des matrices

Soit \(n \geqslant 2\) et \(\varphi : \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \to \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) définie par \(\varphi(M) = M – \mathrm{tr}(M)\, I_n\).

1. Montrer que \(\varphi\) est linéaire et que \(\varphi \circ \varphi = (2 – n)\varphi + (n – 1)\,\mathrm{id}\).
2. En déduire un polynôme annulateur de \(\varphi\), puis que \(\varphi\) est diagonalisable.
3. Déterminer les valeurs propres de \(\varphi\) et ses sous-espaces propres, avec leurs dimensions.
4. Calculer \(\mathrm{tr}\, \varphi\) et \(\det \varphi\). L’endomorphisme \(\varphi\) est-il inversible ?

Exercice 14 – Sous-espaces caractéristiques et réduction par blocs

Soit \(F = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 3 & -2 & 1 \\ 3 & -1 & 0 \end{pmatrix}\).

1. Calculer \(\chi_F\) et les sous-espaces propres. La matrice \(F\) est-elle diagonalisable ?
2. Déterminer les sous-espaces caractéristiques \(F_2 = \ker(F – 2I_3)\) et \(F_{-1} = \ker(F + I_3)^2\). Vérifier que \(\mathbb{R}^3 = F_2 \oplus F_{-1}\).
3. Établir l’identité \(-\frac{1}{9}(X + 4)(X – 2) + \frac{1}{9}(X + 1)^2 = 1\). En déduire que \(\Pi = \frac{1}{9}(F + I_3)^2\) est le projecteur sur \(F_2\) parallèlement à \(F_{-1}\), puis calculer \(\Pi\).
4. Écrire la matrice de \(F\) dans la base \(\big((1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)\big)\).

Exercice 15 – Caractérisations des nilpotents

Soit \(E\) un \(\mathbb{C}\)-espace vectoriel de dimension \(n \geqslant 1\).

1. Montrer qu’un endomorphisme \(u\) de \(E\) est nilpotent si et seulement si \(\mathrm{Sp}(u) = \{0\}\).
2. Montrer que tout nilpotent \(u\) vérifie \(u^n = 0\).
3. Soit \(u, v\) nilpotents tels que \(u \circ v = v \circ u\). Montrer que \(u + v\) et \(u \circ v\) sont nilpotents.
4. Montrer par un exemple en taille deux que l’hypothèse de commutation est indispensable pour la somme.
5. Soit \(u\) nilpotent. Montrer que \(\mathrm{id}_E – u\) est inversible et exprimer son inverse comme polynôme en \(u\).

Pour approfondir

Exercice 16 – Problème : matrices de rang un

Soit \(n \geqslant 2\), et \(c, r\) deux vecteurs colonnes non nuls de \(\mathbb{R}^n\). On pose \(A = c\, {}^{t}r \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).

1. Montrer que \(A\) est de rang \(1\), que \(\mathrm{tr}\, A = {}^{t}r\, c\) et que \(A^2 = (\mathrm{tr}\, A)\, A\).
2. Déterminer \(\pi_A\) selon que \(\mathrm{tr}\, A\) est nul ou non.
3. Montrer que \(A\) est diagonalisable si et seulement si \(\mathrm{tr}\, A \neq 0\).
4. Montrer que \(\chi_A = X^{n-1}(X – \mathrm{tr}\, A)\).
5. Application avec \(c = {}^{t}(1, -1, 2)\) et \(r = {}^{t}(2, 1, 0)\) : écrire \(A\), reconnaître sa nature géométrique, puis calculer \((I_3 + A)^{-1}\).
6. Application avec \(c = {}^{t}(1, 1, -1)\) et \(r = {}^{t}(1, 0, 1)\) : montrer que \(A\) est nilpotente et trouver une base dans laquelle sa matrice est \(\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\).

Exercice 17 – Problème : puissances par les sous-espaces caractéristiques

Soit \(D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}\).

1. Montrer que \(\chi_D = (X – 1)^2 (X – 2)\).
2. Vérifier que \((X – 1)^2 – X(X – 2) = 1\). On pose \(\Pi_2 = (D – I_3)^2\) et \(\Pi_1 = I_3 – \Pi_2\). Montrer que \(\Pi_1\) et \(\Pi_2\) sont les projecteurs associés à la décomposition \(\mathbb{R}^3 = \ker(D – I_3)^2 \oplus \ker(D – 2I_3)\). Calculer \(\Pi_2\).
3. On pose \(\Delta = \Pi_1 + 2\Pi_2\) et \(N = D – \Delta\). Montrer que \(\Delta\) est diagonalisable, que \(N = (D – I_3)\Pi_1\), que \(N^2 = 0\) et que \(\Delta N = N\Delta\). Calculer \(N\).
4. Montrer que \(D^m = \Pi_1 + 2^m\, \Pi_2 + m N\) pour tout \(m \in \mathbb{N}\), puis écrire \(D^m\) explicitement.
5. La matrice \(D\) est-elle diagonalisable ?

Exercice 18 – Problème : matrices compagnons

Soit \(a_0, a_1, a_2 \in \mathbb{K}\), \(P = X^3 + a_2 X^2 + a_1 X + a_0\) et

\[C_P = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -a_0 \\ 1 & 0 & -a_1 \\ 0 & 1 & -a_2 \end{pmatrix}.\]

On note \((e_1, e_2, e_3)\) la base canonique de \(\mathbb{K}^3\). La figure résume l’action de \(C_P\) sur cette base.

1. Calculer \(\chi_{C_P}\) et montrer qu’il est égal à \(P\).
2. Vérifier que \(C_P e_1 = e_2\) et \(C_P e_2 = e_3\). En déduire que \(Q(C_P)e_1 \neq 0\) pour tout polynôme non nul \(Q\) de degré au plus \(2\).
3. En déduire que \(\pi_{C_P} = P\).
4. Établir l’équivalence : \(C_P\) se diagonalise exactement lorsque \(P\) possède trois racines distinctes dans \(\mathbb{K}\).
5. Étudier le cas \(P = X^3 – 3X – 2\) : factoriser \(P\), puis dire si \(C_P\) est diagonalisable ou trigonalisable sur \(\mathbb{R}\).
6. Pour \(n \geqslant 2\), on admet que la matrice compagnon de taille \(n\) d’un polynôme unitaire \(P\) de degré \(n\) a pour polynôme caractéristique \(P\). Montrer que son polynôme minimal vaut encore \(P\).

Exercice 19 – Nilpotent d’indice maximal et son commutant

Soit \(E\) de dimension \(n \geqslant 2\) et \(u \in \mathcal{L}(E)\) nilpotent tel que \(u^{n-1} \neq 0\).

1. Justifier que l’indice de nilpotence de \(u\) vaut \(n\).
2. Soit \(x\) tel que \(u^{n-1}(x) \neq 0\). Prouver que la famille \(\mathcal{B} = (x, u(x), \dots, u^{n-1}(x))\) engendre \(E\) librement, puis donner \(\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(u)\).
3. Montrer que \(\dim \ker u^k = k\) pour \(0 \leqslant k \leqslant n\).
4. Soit \(v \in \mathcal{L}(E)\) tel que \(u \circ v = v \circ u\). Montrer qu’il existe des scalaires \(b_0, \dots, b_{n-1}\) tels que \(v = \sum_{k=0}^{n-1} b_k u^k\).
5. En déduire que l’ensemble des endomorphismes qui commutent avec \(u\) est un sous-espace vectoriel de dimension \(n\).

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