Fourier, Dirichlet et Parseval en L2 de maths : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Linéariser un polynôme trigonométrique

Soit \(f(t) = \sin^3 t + \cos^2(2t)\).

1. Écrire \(f\) comme combinaison linéaire de \(1\), \(\cos(nt)\) et \(\sin(nt)\).
2. En déduire tous les coefficients \(a_n(f)\), \(b_n(f)\), puis tous les \(c_n(f)\).
3. Calculer \(\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} f(t)^2\,\mathrm{d}t\) sans intégrer, à l’aide de l’orthonormalité des \(e_n\).

Exercice 2 – Parité et antipériodicité

Soit \(f \in \mathcal{D}\).

1. Montrer que si \(f\) est paire, alors \(b_n(f) = 0\) et \(a_n(f) = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} f(t)\cos(nt)\,\mathrm{d}t\) pour tout \(n\).
2. On suppose que \(f(t + \pi) = -f(t)\) pour tout réel \(t\). Montrer que \(c_n(f) = \frac{1 – (-1)^n}{2\pi}\int_0^{\pi} f(t)\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}nt}\,\mathrm{d}t\). Que dire des coefficients d’indice pair ?
3. Vérifier ce résultat sur la fonction \(t \mapsto \sin^3 t\) de l’exercice 1.

Exercice 3 – Coefficients d’une impulsion centrée

Soit \(v\) la fonction \(2\pi\)-périodique qui vaut 1 sur \([-\pi/2, \pi/2]\) et 0 sur le reste de \([-\pi, \pi[\).

1. Justifier que \(b_n(v) = 0\) pour tout \(n\).
2. Calculer \(a_0(v)\), puis \(a_n(v)\) pour \(n \geqslant 1\). Donner \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\).
3. En déduire les \(c_n(v)\).

Exercice 4 – Une série trigonométrique de coefficients donnés

Pour \(x \in \mathbb{R}\), on pose \(F(x) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} \dfrac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}nx}}{1 + n^2}\).

1. Montrer que la série converge normalement sur \(\mathbb{R}\) et que \(F\) est continue et \(2\pi\)-périodique.
2. Calculer \(c_m(F)\) pour tout \(m \in \mathbb{Z}\), en justifiant l’échange de la somme et de l’intégrale.
3. Montrer que \(F\) est à valeurs réelles et paire, et l’écrire comme série de cosinus.

Exercice 5 – Bessel interdit certains coefficients

1. Montrer qu’il n’existe aucune fonction \(f \in \mathcal{D}\) telle que \(b_n(f) = 1/\sqrt{n}\) pour tout \(n \geqslant 1\).
2. Soit \(f \in \mathcal{D}\). Montrer que la série \(\sum_{n \geqslant 1} \dfrac{|a_n(f)| + |b_n(f)|}{n}\) converge.

Exercice 6 – Dirichlet sans calcul de coefficients

Soit \(f\) la fonction \(2\pi\)-périodique définie sur \([-\pi, \pi[\) par \(f(x) = x + 1\) si \(-\pi \leqslant x < 0\) et \(f(x) = x^2\) si \(0 \leqslant x < \pi\).

1. Vérifier que \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) par morceaux.
2. Sans calculer de coefficient, déterminer la somme \(S(x)\) de la série de Fourier de \(f\) pour tout \(x \in [-\pi, \pi]\).
3. La série de Fourier de \(f\) converge-t-elle normalement sur \(\mathbb{R}\) ?

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Valeur absolue du sinus

On considère \(f(x) = |\sin x|\), vue comme fonction \(2\pi\)-périodique.

1. Calculer \(a_n(f)\) pour tout \(n \geqslant 0\). Montrer que \(a_{2k+1} = 0\) et \(a_{2k} = -\dfrac{4}{\pi(4k^2 – 1)}\) pour \(k \geqslant 1\).
2. Justifier que la série de Fourier converge normalement vers \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
3. En déduire \(\sum_{k \geqslant 1} \dfrac{1}{4k^2 – 1}\) et \(\sum_{k \geqslant 1} \dfrac{(-1)^k}{4k^2 – 1}\).
4. À l’aide de Parseval, calculer \(\sum_{k \geqslant 1} \dfrac{1}{(4k^2 – 1)^2}\).

Exercice 8 – Exponentielle sur une période

Soit \(f\) la fonction \(2\pi\)-périodique telle que \(f(x) = \mathrm{e}^{x}\) pour \(x \in [0, 2\pi[\). On pose \(K = \dfrac{\mathrm{e}^{2\pi} – 1}{2\pi}\).

1. Montrer que \(c_n(f) = \dfrac{K}{1 – \mathrm{i}n}\) pour tout \(n \in \mathbb{Z}\).
2. Calculer \(c_n(f) + c_{-n}(f)\) pour \(n \geqslant 1\).
3. Appliquer le théorème de Dirichlet en \(x = 0\) et en déduire que \(\sum_{n \geqslant 1} \dfrac{1}{1 + n^2} = \dfrac{1}{2}\Big(\pi\,\dfrac{\mathrm{e}^{2\pi} + 1}{\mathrm{e}^{2\pi} – 1} – 1\Big)\).
4. Vérifier que la formule de Parseval redonne le même résultat.

Exercice 9 – Meilleure approximation de degré 1

Soit \(f\) la fonction \(2\pi\)-périodique telle que \(f(x) = x\) sur \(]-\pi, \pi[\) et \(f(\pi) = 0\).

1. Calculer \(c_n(f)\) pour tout \(n \in \mathbb{Z}\), puis \(b_n(f)\).
2. Déterminer le polynôme trigonométrique \(P \in \mathcal{T}_1\) qui minimise \(\|f – P\|_2\).
3. Calculer la valeur de ce minimum.

Exercice 10 – Coefficients de la dérivée

Soit \(f\) une fonction continue, \(2\pi\)-périodique et de classe \(\mathcal{C}^1\) par morceaux.

1. Montrer que \(c_n(f^{\prime}) = \mathrm{i}n\,c_n(f)\) pour tout \(n \in \mathbb{Z}\).
2. En déduire que \(n\,c_n(f) \to 0\) quand \(|n| \to +\infty\).
3. Montrer que \(\sum |c_n(f)|\) converge.
4. Montrer par un exemple que la conclusion de la question 1 tombe en défaut si \(f\) n’est pas continue.

Exercice 11 – Une marche de largeur 2π/3 et ζ(2)

Soit \(w\) la fonction \(2\pi\)-périodique qui vaut 1 sur \([0, 2\pi/3[\) et 0 sur \([2\pi/3, 2\pi[\).

1. Calculer \(c_0(w)\) et, pour \(n \neq 0\), montrer que \(|c_n(w)|^2 = \dfrac{\sin^2(n\pi/3)}{\pi^2 n^2}\).
2. Montrer que \(|c_n(w)|^2\) vaut \(\dfrac{3}{4\pi^2 n^2}\) si 3 ne divise pas \(n\), et 0 sinon.
3. Appliquer Parseval et en déduire la valeur de \(\zeta(2)\).

Exercice 12 – Un triangle et ζ(4)

Soit \(T\) la fonction \(2\pi\)-périodique et paire telle que \(T(x) = \frac{\pi}{2} – x\) sur \([0, \pi]\).

1. Calculer \(a_0(T)\) et \(a_n(T)\) pour \(n \geqslant 1\).
2. Justifier la convergence normale et en déduire \(\sum_{k \geqslant 0} \dfrac{1}{(2k+1)^2}\).
3. À l’aide de Parseval, calculer \(\sum_{k \geqslant 0} \dfrac{1}{(2k+1)^4}\).
4. En séparant indices pairs et impairs, en déduire \(\zeta(4)\).

Exercice 13 – Un carré non symétrique et deux sommes

Soit \(q\) la fonction \(2\pi\)-périodique telle que \(q(x) = x^2\) pour \(x \in [0, 2\pi[\).

1. Calculer \(c_0(q)\) et montrer que \(c_n(q) = \dfrac{2}{n^2} + \dfrac{2\pi\mathrm{i}}{n}\) pour \(n \neq 0\).
2. Appliquer le théorème de Dirichlet en \(x = 0\) et en déduire \(\zeta(2)\).
3. Appliquer le théorème de Dirichlet en \(x = \pi\) et en déduire \(\sum_{n \geqslant 1} \dfrac{(-1)^{n+1}}{n^2}\).

Exercice 14 – Coefficients géométriques et une intégrale

Pour \(x \in \mathbb{R}\), on pose \(F(x) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} 2^{-|n|}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}nx}\).

1. Justifier que \(F\) est continue et que \(c_n(F) = 2^{-|n|}\).
2. En sommant deux séries géométriques, montrer que \(F(x) = \dfrac{3}{5 – 4\cos x}\).
3. À l’aide de Parseval, calculer \(\displaystyle\int_0^{2\pi} \frac{\mathrm{d}x}{(5 – 4\cos x)^2}\).

Exercice 15 – Noyau de Dirichlet et sommes partielles

Pour \(N \in \mathbb{N}\), on pose \(D_N(t) = \sum_{n=-N}^{N} \mathrm{e}^{\mathrm{i}nt}\).

1. Montrer que \(D_N(t) = \dfrac{\sin\big((2N+1)t/2\big)}{\sin(t/2)}\) pour \(t \notin 2\pi\mathbb{Z}\), et calculer \(D_N(0)\).
2. Calculer \(\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} D_N(t)\,\mathrm{d}t\).
3. Soit \(f \in \mathcal{D}\). Montrer que \(S_N(f)(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x – t) D_N(t)\,\mathrm{d}t\).
4. Montrer que \(D_N\) est paire et en déduire que \(\frac{1}{2\pi}\int_0^{\pi} D_N(t)\,\mathrm{d}t = \frac{1}{2}\).

Pour approfondir

Exercice 16 – Problème – La fonction x(π − |x|) et ζ(6)

Soit \(f\) la fonction \(2\pi\)-périodique telle que \(f(x) = x(\pi – |x|)\) pour \(x \in [-\pi, \pi]\).

1. Montrer que \(f\) est bien définie, impaire, continue et de classe \(\mathcal{C}^1\) par morceaux.
2. Montrer que \(\int_0^{\pi} x(\pi – x)\sin(nx)\,\mathrm{d}x = \dfrac{2(1 – (-1)^n)}{n^3}\) pour \(n \geqslant 1\). En déduire les coefficients \(a_n(f)\) et \(b_n(f)\).
3. En évaluant la série en \(x = \pi/2\), calculer \(\sum_{k \geqslant 0} \dfrac{(-1)^k}{(2k+1)^3}\).
4. À l’aide de Parseval, calculer \(\sum_{k \geqslant 0} \dfrac{1}{(2k+1)^6}\). On pourra utiliser \(\int_0^{\pi} x^2(\pi – x)^2\,\mathrm{d}x = \pi^5/30\), à justifier.
5. En déduire \(\zeta(6) = \sum_{n \geqslant 1} \frac{1}{n^6}\).

Exercice 17 – Problème – Développement de la cotangente

Soit \(a \in \,]0, 1[\) et \(f\) la fonction \(2\pi\)-périodique telle que \(f(x) = \cos(ax)\) pour \(x \in [-\pi, \pi]\).

1. Montrer que \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\) et de classe \(\mathcal{C}^1\) par morceaux.
2. Montrer que \(a_0(f) = \dfrac{2\sin(a\pi)}{a\pi}\) et que, pour \(n \geqslant 1\), \(a_n(f) = (-1)^n\, \dfrac{2a\sin(a\pi)}{\pi(a^2 – n^2)}\).
3. En évaluant la série en \(x = \pi\), montrer que \(\pi\cot(a\pi) = \dfrac{1}{a} + \sum_{n \geqslant 1} \dfrac{2a}{a^2 – n^2}\).
4. En évaluant la série en \(x = 0\), obtenir une formule analogue pour \(\dfrac{\pi}{\sin(a\pi)}\).
5. Appliquer la question 4 avec \(a = \frac{1}{2}\) pour calculer \(\sum_{n \geqslant 1} \dfrac{(-1)^n}{1 – 4n^2}\).

Exercice 18 – Problème – Inégalité de Wirtinger

Soit \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) de classe \(\mathcal{C}^1\) et \(2\pi\)-périodique, telle que \(\int_0^{2\pi} f(t)\,\mathrm{d}t = 0\).

1. Exprimer \(\int_0^{2\pi} f^2\) et \(\int_0^{2\pi} (f^{\prime})^2\) à l’aide des coefficients \(c_n(f)\).
2. En déduire l’inégalité de Wirtinger : \(\int_0^{2\pi} f(t)^2\,\mathrm{d}t \leqslant \int_0^{2\pi} f^{\prime}(t)^2\,\mathrm{d}t\).
3. Montrer qu’il y a égalité si et seulement si \(f\) est de la forme \(t \mapsto \alpha\cos t + \beta\sin t\), avec \(\alpha, \beta\) réels.
4. Vérifier l’inégalité sur \(f(t) = \sin t + \sin(2t)\), puis montrer qu’elle est fausse sans l’hypothèse de moyenne nulle.

Pour aller plus loin

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