Convergence uniforme et contre-exemples : contrôle de maths en MP

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Ce qu’évalue le contrôle : convergence uniforme et contre-exemples

Le sujet du contrôle : convergence uniforme et contre-exemples

Exercice 1 – Une bosse qui glisse vers 1 (3 points)

Pour \(n \geq 1\) et \(x \in [0\,;1]\), on pose \(f_n(x) = x^n(1 – x^n)\). La figure représente \(f_1\), \(f_2\), \(f_5\) et \(f_{20}\).

1. Pour chaque \(x\) fixé, étudier le comportement de \(f_n(x)\) quand \(n\) grandit. (0,5 point)
2. Calculer \(\|f_n\|_\infty\) en posant \(t = x^n\), puis dire si la convergence est uniforme sur \([0\,;1]\). (1,5 point)
3. Soit \(a \in [0\,;1[\). Prouver que la convergence est uniforme sur \([0\,;a]\). (1 point)

Exercice 2 – Vrai ou faux avec contre-exemples (4 points)

Dire si chaque affirmation est vraie ou fausse. Une affirmation vraie se démontre ; une affirmation fausse se réfute par un contre-exemple dont toutes les hypothèses sont vérifiées.

1. Une limite simple sur \([0\,;1]\) d’une suite de fonctions continues est continue. (1 point)
2. Si chaque \(f_n\) est bornée sur \(\mathbb{R}\) et si \((f_n)\) converge uniformément vers \(f\) sur \(\mathbb{R}\), alors \(f\) est bornée. (1 point)
3. Une limite uniforme sur \([0\,;1]\) d’une suite de fonctions dérivables est dérivable. On pourra examiner \(x \mapsto \sqrt{\left(x – \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{n}}\). (1 point)
4. Lorsque \((f_n)\) converge uniformément vers \(f\) sur \(\mathbb{R}\), la suite \((f_n^2)\) converge aussi uniformément vers \(f^2\) sur \(\mathbb{R}\). (1 point)

Exercice 3 – Des tentes de masse constante (3 points)

Pour \(n \geq 3\), la fonction \(h_n\) est continue sur \([0\,;1]\), nulle sur \(\left[0\,;\frac{1}{n}\right]\) et sur \(\left[\frac{3}{n}\,;1\right]\), affine sur \(\left[\frac{1}{n}\,;\frac{2}{n}\right]\) et sur \(\left[\frac{2}{n}\,;\frac{3}{n}\right]\), avec \(h_n\left(\frac{2}{n}\right) = n\). Les fonctions \(h_3\), \(h_4\) et \(h_6\) sont tracées ci-dessous.

1. Montrer que \((h_n)\) converge simplement vers la fonction nulle sur \([0\,;1]\). (1 point)
2. Calculer l’intégrale \(I_n\) de \(h_n\) sur \([0\,;1]\), ainsi que \(\|h_n\|_\infty\). Que peut-on en conclure sur la convergence uniforme, puis sur l’échange de la limite et de l’intégrale ? (1 point)
3. Soit \(a \in \left]0\,;1\right]\). Montrer que la convergence est uniforme sur \([a\,;1]\). (0,5 point)
4. Soit \(\varphi\) continue sur \([0\,;1]\). Montrer que \(\int_0^1 h_n(x)\varphi(x)\,\mathrm{d}x\) tend vers \(\varphi(0)\). (0,5 point)

Exercice 4 – Une série de sinus aux fréquences impaires (4 points)

On ne garde ici que les fréquences impaires : pour \(k \in \mathbb{N}\) et \(t\) réel, \(v_k(t) = \frac{\sin\left((2k+1)t\right)}{(2k+1)^3}\), puis \(F(t) = \sum_{k=0}^{+\infty} v_k(t)\). On rappelle aussi les valeurs \(\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}\) et \(\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}\).

1. Établir la convergence normale de \(\sum v_k\) sur \(\mathbb{R}\). Montrer ensuite que \(F\) est continue, impaire, \(2\pi\)-périodique, et que \(F(\pi – t) = F(t)\) pour tout réel \(t\). (1 point)
2. Prouver que \(F\) est de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}\), puis écrire \(F^{\prime}(t)\) sous forme de série. (1 point)
3. Après avoir justifié l’échange entre somme et intégrale sur \([0\,;\pi]\), calculer \(\int_0^{\pi} F(t)\,\mathrm{d}t\). On exprimera d’abord \(\sum_{k \geq 0} \frac{1}{(2k+1)^4}\) à l’aide de \(\zeta(4)\). (1,5 point)
4. En déduire, de la même manière, un équivalent simple de \(F(t)\) lorsque \(t\) tend vers 0. (0,5 point)

Exercice 5 – Problème : une série d’exponentielles sur ]0 ; +∞[ (6 points)

Pour \(n \geq 1\) et \(x\) réel, on pose \(u_n(x) = \frac{\mathrm{e}^{-nx}}{n}\), puis \(S_N = \sum_{n=1}^{N} u_n\) et, lorsque la série converge, \(S(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} u_n(x)\). Les sommes partielles \(S_1\), \(S_2\) et \(S_5\) sont représentées sur \(]0\,;3]\).

Partie A : modes de convergence

1. Déterminer l’ensemble \(D\) des réels \(x\) pour lesquels la série \(\sum u_n(x)\) converge. (1 point)
2. Soit \(a > 0\). Montrer que la série converge normalement sur \([a\,;+\infty[\), mais pas sur \(]0\,;+\infty[\). (1 point)
3. Pour \(x > 0\), on note \(R_n(x) = S(x) – S_n(x)\). Minorer \(R_n\left(\frac{1}{n}\right)\) en ne gardant que les termes d’indice \(n+1\) à \(2n\). Ainsi, la série converge-t-elle uniformément sur \(]0\,;+\infty[\) ? (1 point)

Partie B : étude de la somme

4. Prouver que \(S\) est de classe \(C^1\) sur \(]0\,;+\infty[\), puis que \(S^{\prime}(x) = -\frac{1}{\mathrm{e}^x – 1}\). (1 point)
5. Établir que \(S\) tend vers 0 en \(+\infty\), puis en déduire que \(S(x) = -\ln\left(1 – \mathrm{e}^{-x}\right)\) pour tout \(x > 0\). (1 point)
6. Montrer que \(S(x) \sim -\ln x\) lorsque \(x\) tend vers 0 par valeurs positives. (0,5 point)
7. Sur la figure, chaque \(S_N\) admet une limite finie en 0. Calculer cette limite, puis expliquer pourquoi ce constat ne contredit pas la question 6. (0,5 point)

Réviser convergence uniforme et contre-exemples avant le contrôle

Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours convergence des suites et séries de fonctions ; entraînez-vous sur les exercices convergence des suites et séries de fonctions avant de retenter le sujet.

La page contrôles de maths en MP regroupe les 25 sujets de l’année, et la page maths post-bac permet de changer d’année.

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