Intégrabilité aux bornes et IPP : contrôle de maths en MP

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Ce qu’évalue le contrôle : intégrabilité aux bornes et IPP

Le sujet du contrôle : intégrabilité aux bornes et IPP

Exercice 1 – Quatre fonctions et leurs bornes (4 points)

Pour chacune des fonctions suivantes, dire si elle est intégrable sur l’intervalle indiqué, en étudiant chaque borne séparément. La figure trace la fonction \(g\) de la question 2, ainsi que deux fonctions qui la majorent.

1. \(f(t) = \frac{\ln t}{\sqrt{t}}\) sur \(\left] 0, 1 \right]\). (1 point)
2. \(g(t) = \frac{\arctan t}{t^{3/2}}\) sur \(\left] 0, +\infty \right[\). (1 point)
3. \(h(t) = \frac{1 – \cos t}{t^{5/2}}\) sur \(\left] 0, +\infty \right[\). (1 point)
4. \(k(t) = \frac{\mathrm{e}^{-1/t}}{t}\) sur \(\left] 0, +\infty \right[\). (1 point)

Exercice 2 – Une famille d’intégrales logarithmiques (4 points)

Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(K_n = \int_1^{+\infty} \frac{(\ln t)^n}{t^3}\, \mathrm{d}t\).

1. Montrer que \(K_n\) est bien définie pour tout \(n\). (1 point)
2. Pour \(n \geq 1\), établir la relation \(K_n = \frac{n}{2} K_{n-1}\) par une intégration par parties sur \(\left[ 1, +\infty \right[\), dont on justifiera soigneusement la validité. (1,5 point)
3. Calculer alors \(K_0\), puis en déduire \(K_n\) en fonction de \(n\). (0,5 point)
4. À l’aide du changement de variable \(t = \mathrm{e}^u\), écrire \(K_n\) comme une intégrale sur \(\left[ 0, +\infty \right[\). En déduire ensuite la valeur de \(\int_0^{+\infty} u^5 \mathrm{e}^{-2u}\, \mathrm{d}u\). (1 point)

Exercice 3 – Équivalents de deux restes (4 points)

Les deux questions sont indépendantes ; dans chacune, \(x\) désigne un réel strictement positif qui tend vers \(+\infty\).

1. On pose \(R(x) = \int_x^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^3 + \sqrt{t}}\). Justifier l’existence de \(R(x)\), puis donner un équivalent simple de \(R(x)\). (1,5 point)
2. On pose maintenant \(T(x) = \int_x^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-2t}}{\sqrt{t}}\, \mathrm{d}t\) et \(U(x) = \int_x^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-2t}}{t^{3/2}}\, \mathrm{d}t\).
   1. Justifier l’existence de ces deux intégrales. Démontrer ensuite, par une intégration par parties, que \(T(x) = \frac{\mathrm{e}^{-2x}}{2\sqrt{x}} – \frac{1}{4} U(x)\). (1 point)
   2. Prouver que \(0 \leq U(x) \leq \frac{T(x)}{x}\). En déduire alors que \(T(x)\) est équivalent à \(\frac{\mathrm{e}^{-2x}}{2\sqrt{x}}\). (1,5 point)

Exercice 4 – Problème : le sinus cardinal (8 points)

On note \(\varphi(t) = \frac{\sin t}{t}\) pour \(t > 0\). Pour tout entier \(k \geq 0\), on pose aussi \(A_k = \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} |\varphi(t)|\, \mathrm{d}t\). La figure représente \(\varphi\) sur \(\left] 0, 5\pi \right]\) ; les aires \(A_0\) à \(A_4\) y sont colorées, en bleu quand \(\varphi\) est positive et en orange sinon.

1. Montrer que \(\varphi\) se prolonge par continuité en 0. Quelle est alors la seule borne qui pose problème pour \(\int_0^{+\infty} \varphi(t)\, \mathrm{d}t\) ? (1 point)
2. Pour \(x \geq 1\), intégrer par parties \(\int_1^x \varphi(t)\, \mathrm{d}t\). En déduire que l’intégrale \(I = \int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t}\, \mathrm{d}t\) converge. (2 points)
3. Minorer \(A_k\) par \(\frac{2}{(k+1)\pi}\). Démontrer ensuite que \(\varphi\) n’est pas intégrable sur \(\left] 0, +\infty \right[\). (2 points)
4. Pour \(x > 0\), on note \(r(x) = \int_x^{+\infty} \varphi(t)\, \mathrm{d}t\). Établir que \(r(x) = \frac{\cos x}{x} – \int_x^{+\infty} \frac{\cos t}{t^2}\, \mathrm{d}t\), puis que \(r(x) – \frac{\cos x}{x}\) est un \(O\left(\frac{1}{x^2}\right)\). (1,5 point)
5. Soit \(a > 0\). Montrer d’abord que \(\int_0^{+\infty} \frac{\sin(at)}{t}\, \mathrm{d}t = I\). Prouver enfin que \(\frac{\sin^2 t}{t^2}\) est intégrable sur \(\left] 0, +\infty \right[\) et que son intégrale vaut aussi \(I\). (1,5 point)

Réviser intégrabilité aux bornes et IPP avant le contrôle

Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours intégrabilité sur un intervalle quelconque ; entraînez-vous sur les exercices intégrabilité sur un intervalle quelconque avant de retenter le sujet.

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