Volumes de pyramides, cônes et boules : corrigé du contrôle de maths en 3ème
Voici le corrigé du contrôle de maths en 3ème sur le thème « volumes de pyramides, cônes et boules », question par question.
Cette correction rédige chaque exercice comme on l’attend au brevet : la formule est d’abord écrite, ensuite les valeurs sont remplacées, puis le résultat est donné en valeur exacte avant l’arrondi. Ainsi, tu vois à quel moment la calculatrice intervient.
Pour les solides composés, le corrigé découpe le silo en deux parties simples et additionne leurs volumes. Dans le problème des bougies, il explique aussi pourquoi on arrondit à l’entier inférieur, car une bougie incomplète ne compte pas. Compare ta copie ligne par ligne, puis compte tes points avec le barème. Enfin, les pièges signalés, comme l’oubli du tiers ou la confusion entre rayon et diamètre, t’aident à fiabiliser tes calculs de volumes.
L’énoncé complet se trouve ici : Volumes de pyramides, cônes et boules : contrôle de maths en 3ème.
Barème du contrôle corrigé : volumes de pyramides, cônes et boules
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Échauffement sur les volumes | 3 points |
| 2. Une pyramide face à un cône | 4 points |
| 3. La boule dans sa boîte | 4 points |
| 4. Le silo de la coopérative | 4 points |
| 5. Les bougies de Lina | 5 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : volumes de pyramides, cônes et boules
Exercice 1 – Échauffement sur les volumes (3 points)
- Le volume d’un pavé droit est le produit de ses trois dimensions :
\(V = 6 \times 4 \times 2{,}5 = 60\).
Le pavé a un volume de \(60\text{ cm}^3\). - D’abord, l’aire de la base triangulaire vaut \(\dfrac{3 \times 4}{2} = 6\text{ cm}^2\). Ensuite, pour un prisme droit, on multiplie l’aire de la base par la hauteur :
\(V = 6 \times 10 = 60\).
Le prisme a un volume de \(60\text{ cm}^3\). - Pour un cylindre, \(V = \pi \times r^2 \times h\), donc :
\(V = \pi \times 3^2 \times 5 = 45\pi\).
Le volume exact est \(45\pi\text{ cm}^3\), soit environ \(141{,}4\text{ cm}^3\). - Comme \(1\text{ dm}^3 = 1\text{ L}\), on a directement \(2{,}5\text{ dm}^3 = 2{,}5\text{ L}\). De plus, \(1\text{ L} = 1\,000\text{ cm}^3\), alors \(750 \div 1\,000 = 0{,}75\). \(2{,}5\text{ dm}^3 = 2{,}5\text{ L}\) et \(750\text{ cm}^3 = 0{,}75\text{ L}\).
Piège classique : multiplier \(3 \times 4 \times 10 = 120\) pour le prisme. En effet, la base est un triangle, donc son aire est la moitié de \(3 \times 4\).
Exercice 2 – Une pyramide face à un cône (4 points)
- La base est un carré de côté \(6\text{ cm}\), donc son aire vaut \(6 \times 6 = 36\text{ cm}^2\). Le volume d’une pyramide est le tiers de l’aire de la base multipliée par la hauteur :
\(V = \dfrac{36 \times 8}{3} = \dfrac{288}{3} = 96\).
La pyramide \(SABCD\) a un volume de \(96\text{ cm}^3\). - La base du cône est un disque d’aire \(\pi \times 3^2 = 9\pi\text{ cm}^2\). Ainsi :
\(V = \dfrac{9\pi \times 8}{3} = \dfrac{72\pi}{3} = 24\pi\).
Le volume exact du cône est \(24\pi\text{ cm}^3\), soit environ \(75{,}4\text{ cm}^3\). - Les deux volumes se calculent avec la même formule : aire de la base multipliée par la hauteur, puis divisée par 3. Comme les hauteurs sont égales, le plus grand volume est celui qui a la plus grande base. Or le disque de rayon \(3\text{ cm}\) tient à l’intérieur du carré de côté \(6\text{ cm}\) : son aire \(9\pi \approx 28{,}3\text{ cm}^2\) est donc inférieure à \(36\text{ cm}^2\). La pyramide a une base plus grande pour une même hauteur, c’est pourquoi son volume est plus grand.
Piège classique : oublier de diviser par 3 et trouver \(288\text{ cm}^3\). Ce serait alors le volume du pavé de même base et de même hauteur.
Exercice 3 – La boule dans sa boîte (4 points)
- On applique la formule rappelée avec \(r = 3\) :
\(V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 3^3 = \dfrac{4 \times 27}{3} \times \pi = 36\pi\).
La boule a un volume exact de \(36\pi\text{ cm}^3\), soit environ \(113{,}1\text{ cm}^3\). - La boîte est un cylindre de rayon \(3\text{ cm}\) et de hauteur \(6\text{ cm}\) :
\(V = \pi \times 3^2 \times 6 = 54\pi\).
Le volume exact de la boîte est \(54\pi\text{ cm}^3\). - On calcule le quotient des deux volumes, puis on simplifie par \(\pi\) et par 18 :
\(\dfrac{36\pi}{54\pi} = \dfrac{36}{54} = \dfrac{2}{3}\).
La boule occupe donc exactement les deux tiers du volume de la boîte. - Le volume d’air est la différence des deux volumes :
\(54\pi – 36\pi = 18\pi \approx 56{,}5\).
Il reste environ \(56{,}5\text{ cm}^3\) d’air dans la boîte.
Piège classique : calculer \(3^3 = 9\) au lieu de \(27\). Pourtant, le cube de 3 vaut \(3 \times 3 \times 3\).
Exercice 4 – Le silo de la coopérative (4 points)
- Pour la partie cylindrique :
\(V_1 = \pi \times 3^2 \times 10 = 90\pi\).
Le cylindre a un volume exact de \(90\pi\text{ m}^3\). - D’abord, une boule de rayon \(3\text{ m}\) a pour volume \(\dfrac{4}{3} \times \pi \times 3^3 = 36\pi\text{ m}^3\). Ensuite, la demi-boule en représente la moitié :
\(V_2 = 36\pi \div 2 = 18\pi\).
La demi-boule a un volume exact de \(18\pi\text{ m}^3\). - On additionne les volumes des deux parties :
\(V = 90\pi + 18\pi = 108\pi \approx 339{,}3\).
Le silo a un volume exact de \(108\pi\text{ m}^3\), soit environ \(339\text{ m}^3\). - Comme \(1\text{ m}^3 = 1\,000\text{ L}\), on calcule \(339 \times 1\,000 = 339\,000\). Le silo contient environ \(339\,000\text{ L}\).
Piège classique : compter la boule entière au sommet du silo. Or seule une moitié de boule surmonte le cylindre.
Exercice 5 – Les bougies de Lina (5 points)
- Comme \(1\text{ L} = 1\,000\text{ cm}^3\), on obtient \(2 \times 1\,000 = 2\,000\). Lina dispose de \(2\,000\text{ cm}^3\) de cire.
- Une bougie est un cône de rayon \(3\text{ cm}\) et de hauteur \(10\text{ cm}\) :
\(V = \dfrac{\pi \times 3^2 \times 10}{3} = \dfrac{90\pi}{3} = 30\pi\).
Une bougie conique a un volume exact de \(30\pi\text{ cm}^3\), soit environ \(94{,}2\text{ cm}^3\). - On divise le volume de cire par le volume d’une bougie :
\(2\,000 \div (30\pi) \approx 21{,}2\).
Vérifions : 21 bougies utilisent \(630\pi \approx 1\,979{,}2\text{ cm}^3\), ce qui est inférieur à \(2\,000\text{ cm}^3\) ; en revanche, 22 bougies demanderaient \(660\pi \approx 2\,073{,}5\text{ cm}^3\). Lina peut donc fabriquer au maximum 21 bougies coniques. - D’après l’exercice 3, une boule de rayon \(3\text{ cm}\) a un volume de \(36\pi\text{ cm}^3\). Les 10 boules utilisent alors :
\(10 \times 36\pi = 360\pi \approx 1\,131{,}0\text{ cm}^3\).
Ensuite, il reste \(2\,000 – 360\pi \approx 869{,}0\text{ cm}^3\) de cire. Enfin, \(869{,}0 \div 94{,}2 \approx 9{,}2\), et 9 bougies coniques utilisent \(270\pi \approx 848{,}2\text{ cm}^3\), qui est bien inférieur au reste. Après ses 10 boules, Lina peut encore fabriquer 9 bougies coniques.
Piège classique : arrondir \(21{,}2\) ou \(9{,}2\) à l’entier le plus proche sans réfléchir. Ici, c’est correct par chance, mais on doit toujours prendre l’entier inférieur, car une bougie incomplète ne se vend pas.
À retenir de ce contrôle
- Le volume d’un prisme ou d’un cylindre vaut l’aire de la base multipliée par la hauteur du solide.
- Le volume d’une pyramide ou d’un cône vaut le tiers du produit de l’aire de la base par la hauteur.
- Le volume d’une boule de rayon r vaut quatre tiers de pi multiplié par le cube du rayon.
- On garde pi dans les calculs pour obtenir une valeur exacte, puis on arrondit seulement à la dernière étape.
- Un décimètre cube correspond à un litre, et un mètre cube correspond donc à mille litres.
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