Corrigé des 48 exercices sur le second degré en 1ère : solutions détaillées à télécharger en PDF

D’abord, décomposons le calcul.

1) Sommet de la parabole. Dans le tableau, les images sont symétriques autour de \(x=3\) : \(f(2)=f(4)=-1{,}5\), \(f(1)=f(5)=-7{,}5\), \(f(0)=f(6)=-17{,}5\). Ensuite, l’axe de symétrie de la parabole est donc la droite d’équation \(x=3\), et le sommet a pour abscisse \(3\). Son ordonnée est \(f(3)=0{,}5\).

Le sommet de la parabole est \(S(3\,;\,0{,}5)\). Comme \(0{,}5\) est la plus grande valeur du tableau, c’est un maximum : la parabole est tournée vers le bas.

2) Forme canonique. On sait que \(f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta\) avec \(\alpha=3\) et \(\beta=0{,}5\). Par ailleurs, on trouve \(a\) avec une autre valeur du tableau, par exemple \(f(0)=-17{,}5\) :

Voici le détail :

\[ \begin{aligned} a(0-3)^2+0{,}5 &= -17{,}5 \\ 9a &= -18 \\ a &= -2 \end{aligned} \]

Vérification avec \(x=1\) : \(-2\times(1-3)^2+0{,}5=-8+0{,}5=-7{,}5\), c’est bien la valeur du tableau.

D’abord, voici la démarche.

Pour \(f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta\), le sommet est \((\alpha\,;\,\beta)\). Si \(a\gt 0\), \(f\) est décroissante puis croissante (minimum \(\beta\)) ; si \(a\lt 0\), \(f\) est croissante puis décroissante (maximum \(\beta\)).

1) \(f_1(x)=(x-1)^2+10\) : \(a=1\gt 0\), \(\alpha=1\), \(\beta=10\). \(f_1\) est décroissante sur \(]-\infty\,;\,1]\) et croissante sur \([1\,;\,+\infty[\), de minimum \(f_1(1)=10\).

2) \(f_2(x)=-2(x-5)^2+2\) : \(a=-2\lt 0\), \(\alpha=5\), \(\beta=2\). \(f_2\) est croissante sur \(]-\infty\,;\,5]\) et décroissante sur \([5\,;\,+\infty[\), de maximum \(f_2(5)=2\).

3) \(f_3(x)=3x^2+\dfrac{1}{3}=3(x-0)^2+\dfrac{1}{3}\) : \(a=3\gt 0\), \(\alpha=0\). \(f_3\) est décroissante sur \(]-\infty\,;\,0]\) et croissante sur \([0\,;\,+\infty[\), de minimum \(\dfrac{1}{3}\).

4) \(f_4(x)=-2(x+3)^2-5=-2(x-(-3))^2-5\) : \(a=-2\lt 0\), \(\alpha=-3\), \(\beta=-5\). \(f_4\) est croissante sur \(]-\infty\,;\,-3]\) et décroissante sur \([-3\,;\,+\infty[\), de maximum \(-5\).

Tout d’abord, regardons la méthode.

On cherche à chaque fois l’abscisse du sommet \(\alpha=-\dfrac{b}{2a}\) (ou le milieu des racines), puis on utilise le signe de \(a\).

1) \(f_1(x)=x^2-x+1\) : \(a=1\), \(b=-1\), donc \(\alpha=\dfrac{1}{2}\) et \(f_1\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}+1=\dfrac{3}{4}\). Forme canonique : \(f_1(x)=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\). Comme \(a=1\gt 0\), \(f_1\) est décroissante sur \(\left]-\infty\,;\,\frac{1}{2}\right]\) et croissante sur \(\left[\frac{1}{2}\,;\,+\infty\right[\), de minimum \(\dfrac{3}{4}\).

2) \(f_2(x)=-\dfrac{1}{2}(x-5)(x+\beta)\) avec \(\beta\) réel (dans certaines versions de la fiche, ce symbole est un 3). Puis la forme factorisée donne les racines \(5\) et \(-\beta\). Ensuite, l’axe de symétrie passe par leur milieu :

\[ \alpha=\frac{5+(-\beta)}{2}=\frac{5-\beta}{2} \]

Le maximum vaut \(f_2(\alpha)=-\dfrac{1}{2}\times\left(-\dfrac{5+\beta}{2}\right)\times\dfrac{5+\beta}{2}=\dfrac{(5+\beta)^2}{8}\). Comme \(a=-\dfrac{1}{2}\lt 0\), \(f_2\) est croissante sur \(\left]-\infty\,;\,\frac{5-\beta}{2}\right]\) puis décroissante sur \(\left[\frac{5-\beta}{2}\,;\,+\infty\right[\).

Avec \(\beta=3\) : \(f_2(x)=-\dfrac{1}{2}(x-5)(x+3)\), sommet en \(\alpha=1\), maximum \(f_2(1)=-\dfrac{1}{2}\times(-4)\times 4=8\) ; \(f_2\) croît sur \(]-\infty\,;\,1]\) et décroît sur \([1\,;\,+\infty[\).

3) \(f_3(x)=\dfrac{3}{2}x^2-\dfrac{4}{3}\) : \(b=0\) donc \(\alpha=0\) et le minimum vaut \(-\dfrac{4}{3}\). Comme \(a=\dfrac{3}{2}\gt 0\), \(f_3\) est décroissante sur \(]-\infty\,;\,0]\) et croissante sur \([0\,;\,+\infty[\).

4) \(f_4(x)=3x^2-6x+3=3(x^2-2x+1)=3(x-1)^2\). Sommet \((1\,;\,0)\), \(a=3\gt 0\) : \(f_4\) est décroissante sur \(]-\infty\,;\,1]\) et croissante sur \([1\,;\,+\infty[\), de minimum \(0\).

Avant tout, voici la correction détaillée.

Le tableau donne directement le sommet : on écrit la fonction sous forme canonique \(a(x-\alpha)^2+\beta\), puis on trouve \(a\) avec la valeur donnée.

1) \(f\) croît puis décroît, avec un maximum \(2\) atteint en \(-1\) : \(f(x)=a(x+1)^2+2\) avec \(a\lt 0\).

Le calcul donne :

\[ \begin{aligned} f(0)=1 &\iff a(0+1)^2+2=1 \\ &\iff a=-1 \end{aligned} \]

Donc \(f(x)=-(x+1)^2+2=-x^2-2x+1\). Puis on a bien \(a=-1\lt 0\), en accord avec le tableau.

2) \(g\) décroît puis croît, avec un minimum \(-2\) atteint en \(3\) : \(g(x)=a(x-3)^2-2\) avec \(a\gt 0\).

Ainsi, on obtient :

\[ \begin{aligned} g(1)=0 &\iff a(1-3)^2-2=0 \\ &\iff 4a=2 \\ &\iff a=\frac{1}{2} \end{aligned} \]

Donc \(g(x)=\dfrac{1}{2}(x-3)^2-2=\dfrac{1}{2}x^2-3x+\dfrac{5}{2}\). Vérification : \(g(1)=\dfrac{1}{2}-3+\dfrac{5}{2}=0\).

D’abord, décomposons le calcul.

Pour \(ax^2+bx+c=0\), on calcule le discriminant \(\Delta=b^2-4ac\) : deux solutions si \(\Delta\gt 0\), une seule si \(\Delta=0\), aucune si \(\Delta\lt 0\).

1) \(x^2+x+1=0\) : \(\Delta=1^2-4\times1\times1=-3\lt 0\) : aucune solution.

2) \(-2x^2+x+1=0\) : \(\Delta=1^2-4\times(-2)\times1=1+8=9\gt 0\) : deux solutions.

3) \(\dfrac{1}{2}x^2-4x-\dfrac{3}{2}=0\) : \(\Delta=(-4)^2-4\times\dfrac{1}{2}\times\left(-\dfrac{3}{2}\right)=16+3=19\gt 0\) : deux solutions.

4) \(\sqrt{2}\,x^2-x+\dfrac{1}{2}=0\) : \(\Delta=(-1)^2-4\times\sqrt{2}\times\dfrac{1}{2}=1-2\sqrt{2}\). Or \(2\sqrt{2}=\sqrt{8}\gt 1\), donc \(\Delta\lt 0\) : aucune solution.

D’abord, voici la démarche.

A. Nombre de solutions selon \(m\).

1) \(x^2+mx+1=0\) : \(\Delta=m^2-4=(m-2)(m+2)\).

• si \(m\lt -2\) ou \(m\gt 2\) : \(\Delta\gt 0\), deux solutions ;
• si \(m=-2\) ou \(m=2\) : \(\Delta=0\), une solution (respectivement \(x=1\) et \(x=-1\)) ;
• si \(-2\lt m\lt 2\) : \(\Delta\lt 0\), aucune solution.

2) \(x^2-2x+3m=0\) : \(\Delta=4-12m\). \(\Delta\gt 0\iff m\lt \dfrac{1}{3}\).

• si \(m\lt \dfrac{1}{3}\) : deux solutions ;
• si \(m=\dfrac{1}{3}\) : une solution, \(x=1\) ;
• si \(m\gt \dfrac{1}{3}\) : aucune solution.

B. Résoudre.

1) \(x^2+x-2=0\) : \(\Delta=1+8=9\), \(x_1=\dfrac{-1-3}{2}=-2\), \(x_2=\dfrac{-1+3}{2}=1\). \(S=\{-2\,;\,1\}\).

2) \(-3x^2+2x-1=0\) : \(\Delta=4-12=-8\lt 0\). \(S=\varnothing\).

3) \(\dfrac{3}{4}x^2+\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{8}=0\) : \(\Delta=\dfrac{1}{4}-4\times\dfrac{3}{4}\times\dfrac{3}{8}=\dfrac{1}{4}-\dfrac{9}{8}=-\dfrac{7}{8}\lt 0\). \(S=\varnothing\).

4) \(-3x^2-1=0\iff x^2=-\dfrac{1}{3}\) : un carré n’est jamais strictement négatif. \(S=\varnothing\).

C. Résoudre.

1) \(-x^2+3-4x=0\iff -x^2-4x+3=0\). \(\Delta=16+12=28\), \(\sqrt{28}=2\sqrt{7}\) :

\[ x=\frac{4\pm 2\sqrt{7}}{-2}=-2\mp\sqrt{7} \]

\(S=\{-2-\sqrt{7}\,;\,-2+\sqrt{7}\}\).

2) \(x^2+\dfrac{1}{2}x=0\iff x\left(x+\dfrac{1}{2}\right)=0\) : produit nul. \(S=\left\{-\dfrac{1}{2}\,;\,0\right\}\).

3) \(4x^2+2x-\dfrac{1}{2}=0\) : \(\Delta=4+8=12\), \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), \(x=\dfrac{-2\pm2\sqrt{3}}{8}=\dfrac{-1\pm\sqrt{3}}{4}\). \(S=\left\{\dfrac{-1-\sqrt{3}}{4}\,;\,\dfrac{-1+\sqrt{3}}{4}\right\}\).

4) \(x(4x^2+x+1)=0\iff x=0\) ou \(4x^2+x+1=0\). De plus, pour le trinôme, \(\Delta=1-16=-15\lt 0\) : pas de solution. \(S=\{0\}\).

D. Factoriser. Si \(\Delta\geqslant 0\), \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\) ; si \(\Delta\lt 0\), c’est impossible.

1) \(x^2+3x-4\) : \(\Delta=9+16=25\), racines \(1\) et \(-4\) : \(x^2+3x-4=(x-1)(x+4)\).

2) \(x^2+4\) : \(\Delta=-16\lt 0\), non factorisable.

3) \(3x^2-3x+1\) : \(\Delta=9-12=-3\lt 0\), non factorisable.

4) \(-x^2+4x\) : facteur commun \(x\), \(-x^2+4x=x(4-x)=-x(x-4)\).

Tout d’abord, regardons la méthode.

Le nombre \(a\) est une racine de \(P\) si et seulement si \(P(a)=0\). Ensuite, on remplace donc \(x\) par \(a\).

1) \(P(1)=8\times1^2-7\times1-1=8-7-1=0\) : oui, 1 est racine.

2) \(P(0)=-0^2+2\times0-1=-1\neq 0\) : non.

3) \(P(-2)=(-2)^2-2\times(-2)-4=4+4-4=4\neq 0\) : non.

4) \(P(2)=2^2+2+2=8\neq 0\) : non (d’ailleurs \(\Delta=1-8\lt 0\), ce trinôme n’a aucune racine).

Avant tout, voici la correction détaillée.

Notons \(x\) la largeur de l’allée, en mètres, avec \(0\lt x\lt 5\). Par ailleurs, le carré intérieur a pour côté \(10-2x\) (on retire \(x\) de chaque côté), donc pour aire \((10-2x)^2\). Puis l’aire de l’allée est \(100-(10-2x)^2\).

L’aire de l’allée est égale à celle du carré intérieur si et seulement si chacune vaut la moitié du jardin, soit \(50\text{ m}^2\) :

On calcule alors :

\[ \begin{aligned} 100-(10-2x)^2=(10-2x)^2 &\iff (10-2x)^2=50 \\ &\iff 10-2x=\sqrt{50}=5\sqrt{2} \quad (\text{car } 10-2x\gt 0) \\ &\iff x=\frac{10-5\sqrt{2}}{2}=5-\frac{5\sqrt{2}}{2} \end{aligned} \]

On peut aussi développer : \(8x^2-80x+100=0\iff 2x^2-20x+25=0\), \(\Delta=400-200=200\), \(x=\dfrac{20\pm10\sqrt{2}}{4}=5\pm\dfrac{5\sqrt{2}}{2}\). Ensuite, la solution \(5+\dfrac{5\sqrt{2}}{2}\approx 8{,}54\) est rejetée car \(x\) doit être inférieur à 5.

Vérification : \(x\approx1{,}46\), côté intérieur \(\approx7{,}07\text{ m}\), aire \(\approx 50\text{ m}^2\).

D’abord, décomposons le calcul.

Repère. On prend l’origine au pied du joueur, l’axe des abscisses au sol dans la direction du tir, en mètres. Alors \(A(0\,;\,0{,}9)\), \(B(1\,;\,1{,}1)\) (le filet est à 1 m) et le sommet \(C(h\,;\,1{,}3)\), avec \(h\gt 1\) puisque, sur la figure, la balle monte encore après le filet.

Forme canonique. La trajectoire est la parabole \(y=a(x-h)^2+1{,}3\) avec \(a\lt 0\). Puis les points \(A\) et \(B\) donnent :

\[ ah^2+1{,}3=0{,}9 \iff ah^2=-0{,}4 \qquad a(1-h)^2+1{,}3=1{,}1 \iff a(1-h)^2=-0{,}2 \]

En divisant : \(\dfrac{(h-1)^2}{h^2}=\dfrac{1}{2}\), donc \(\dfrac{h-1}{h}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) (positif car \(h\gt 1\)), d’où \(h=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}=\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)=2+\sqrt{2}\approx3{,}41\).

Puis \(a=-\dfrac{0{,}4}{h^2}=-\dfrac{0{,}4}{6+4\sqrt{2}}=\dfrac{-3+2\sqrt{2}}{5}\approx-0{,}0343\).

Point d’impact. La balle touche le sol quand \(y=0\) :

\[ (x-h)^2=\frac{1{,}3}{-a}\approx 37{,}89 \iff x=h+\sqrt{37{,}89}\approx 3{,}41+6{,}16\approx 9{,}57 \]

(l’autre racine, négative, est derrière le joueur). De plus, la balle retombe donc à environ 9,57 m du joueur, c’est-à-dire à \(9{,}57-1=8{,}57\text{ m}\) derrière le filet.

Conclusion. Le filet est au milieu du court, donc la ligne de fond adverse est à \(\dfrac{23{,}77}{2}=11{,}885\text{ m}\) du filet, soit à l’abscisse \(12{,}885\). Comme \(9{,}57\lt 12{,}885\), la balle tombe dans le court. Ensuite, on peut aussi calculer la hauteur théorique à l’abscisse 12,885 : \(y\approx-1{,}78\lt 0\), la balle a déjà touché le sol.

D’abord, voici la démarche.

Avec \(x=CM\) (\(0\lt x\lt 10\)), on a \(MB=10-x\). Par ailleurs, l’aire d’un demi-disque de diamètre \(d\) vaut \(\dfrac{1}{2}\pi\left(\dfrac{d}{2}\right)^2=\dfrac{\pi d^2}{8}\).

• demi-disque de diamètre \([BC]\) : \(\dfrac{100\pi}{8}=\dfrac{25\pi}{2}\text{ cm}^2\) ;
• demi-disque de diamètre \([CM]\) : \(\dfrac{\pi x^2}{8}\) ;
• demi-disque de diamètre \([MB]\) : \(\dfrac{\pi(10-x)^2}{8}\).

Aire de la partie blanche :

Le détail du calcul :

\[ \begin{aligned} \mathcal{A}(x) &= \frac{\pi}{8}\left(100-x^2-(10-x)^2\right) \\ &= \frac{\pi}{8}\left(100-x^2-100+20x-x^2\right) \\ &= \frac{\pi}{8}(20x-2x^2)=\frac{\pi}{4}x(10-x) \end{aligned} \]

On veut \(\mathcal{A}(x)=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{25\pi}{2}=\dfrac{25\pi}{4}\) :

\[ \frac{\pi}{4}x(10-x)=\frac{25\pi}{4} \iff 10x-x^2=25 \iff x^2-10x+25=0 \iff (x-5)^2=0 \]

Le discriminant est nul : il y a une seule solution, \(x=5\). Remarque : \(\mathcal{A}\) est maximale en \(x=5\) ; la moitié du grand demi-disque est donc l’aire blanche maximale, obtenue uniquement au milieu.

Tout d’abord, regardons la méthode.

On lit sur le quadrillage : la parabole coupe l’axe des abscisses en \(x=1\) et \(x=2\), et elle passe par les points \((0\,;2)\) et \((3\,;2)\) (symétriques par rapport à l’axe \(x=1{,}5\)).

1) \(f(x)\gt 0\) : on cherche les abscisses des points de \(C_f\) situés strictement au-dessus de l’axe des abscisses. C’est le cas à l’extérieur des racines :

\[ S=\,]-\infty\,;1[\,\cup\,]2\,;+\infty[ \]

2) \(f(x)\leqslant 2\) : on trace la droite \(y=2\), qui coupe \(C_f\) en \(x=0\) et \(x=3\). Puis la courbe est sous cette droite (ou dessus) entre ces deux abscisses :

\[ S=[0\,;3] \]

Vérification possible : la parabole qui s’annule en 1 et 2 et passe par \((0\,;2)\) est \(f(x)=(x-1)(x-2)=x^2-3x+2\), et \(f(x)\leqslant 2 \iff x^2-3x\leqslant 0 \iff x(x-3)\leqslant 0 \iff 0\leqslant x\leqslant 3\).

Avant tout, voici la correction détaillée.

Méthode : on se ramène à « trinôme \(\gt 0\) » (ou \(\lt 0\)…), on cherche les racines (discriminant) et on applique la règle : un trinôme est du signe de \(a\) à l’extérieur des racines, du signe contraire entre elles ; si \(\Delta\lt 0\), il est toujours du signe de \(a\).

Première série (sur \(\mathbb{R}\))

1) \(\frac{1}{2}x^2+7x-3\gt 0\) : \(\Delta=49+6=55\gt 0\), racines \(x=\frac{-7\pm\sqrt{55}}{2\times\frac{1}{2}}=-7\pm\sqrt{55}\). Comme \(a=\frac{1}{2}\gt 0\), le trinôme est positif à l’extérieur : \(S=\,]-\infty\,;-7-\sqrt{55}[\,\cup\,]-7+\sqrt{55}\,;+\infty[\).

2) \(-3x^2+4x+1\leqslant 0\) : \(\Delta=16+12=28\), racines \(x=\frac{-4\pm 2\sqrt{7}}{-6}=\frac{2\mp\sqrt{7}}{3}\). Comme \(a=-3\lt 0\), le trinôme est négatif à l’extérieur des racines : \(S=\left]-\infty\,;\frac{2-\sqrt{7}}{3}\right]\cup\left[\frac{2+\sqrt{7}}{3}\,;+\infty\right[\).

3) \(-2x^2-9\geqslant 0\) : pour tout \(x\), \(-2x^2\leqslant 0\) donc \(-2x^2-9\leqslant -9\lt 0\). \(S=\varnothing\).

4) \(2x^2-4x\lt 0 \iff 2x(x-2)\lt 0\) : racines 0 et 2, \(a=2\gt 0\), négatif entre les racines : \(S=\,]0\,;2[\).

Deuxième série

1) \(2x^2+8x\gt 4 \iff 2x^2+8x-4\gt 0 \iff x^2+4x-2\gt 0\). \(\Delta=16+8=24\), racines \(-2\pm\sqrt{6}\). \(S=\,]-\infty\,;-2-\sqrt{6}[\,\cup\,]-2+\sqrt{6}\,;+\infty[\).

2) Les termes \(x^3\) et \(2x\) se simplifient :

\[ x^3-4x^2+2x-1\leqslant x^3+3x^2+2x+48 \iff -7x^2-49\leqslant 0 \iff 7x^2+49\geqslant 0 \]

C’est vrai pour tout réel : \(S=\mathbb{R}\).

3) Sur \(\mathbb{R}\setminus\{-1\,;1\}\), avec \(x^2-1=(x-1)(x+1)\) :

\[ \frac{1}{x^2-1}-\frac{1}{x+1}=\frac{1-(x-1)}{x^2-1}=\frac{2-x}{x^2-1} \]

\[ \frac{2-x}{x^2-1}\lt 1 \iff \frac{2-x-(x^2-1)}{x^2-1}\lt 0 \iff \frac{-x^2-x+3}{x^2-1}\lt 0 \iff \frac{x^2+x-3}{x^2-1}\gt 0 \]

\(x^2+x-3\) : \(\Delta=13\), racines \(\frac{-1\pm\sqrt{13}}{2}\) (environ \(-2{,}30\) et \(1{,}30\)). \(x^2-1\) s’annule en \(-1\) et 1.

(Entre \(-1\) et 1, \(x^2-1\lt 0\) et \(x^2+x-3\lt 0\) : le quotient est positif.) \(S=\left]-\infty\,;\frac{-1-\sqrt{13}}{2}\right[\cup\,]-1\,;1[\,\cup\left]\frac{-1+\sqrt{13}}{2}\,;+\infty\right[\).

Suite de la correction

4) \(x^2+x+1\) a pour discriminant \(1-4=-3\lt 0\) : il est toujours strictement positif. Ensuite, le quotient a donc le signe de \(x-4\) : \(\frac{x^2+x+1}{x-4}\geqslant 0 \iff x-4\gt 0\). \(S=\,]4\,;+\infty[\).

Troisième série

1) \(x^2-4\gt 3x \iff x^2-3x-4\gt 0 \iff (x+1)(x-4)\gt 0\) : \(S=\,]-\infty\,;-1[\,\cup\,]4\,;+\infty[\).

2) \(2x^2-x+1\leqslant x^2+3x-4 \iff x^2-4x+5\leqslant 0\). \(\Delta=16-20=-4\lt 0\) et \(a\gt 0\) : le trinôme est toujours strictement positif. \(S=\varnothing\).

3) Sur \(\mathbb{R}\setminus\{3\,;4\}\) : \(\frac{1}{x-4}-\frac{1}{x-3}=\frac{(x-3)-(x-4)}{(x-4)(x-3)}=\frac{1}{(x-3)(x-4)}\). Alors :

\[ \frac{1}{(x-3)(x-4)}-\frac{1}{2}\lt 0 \iff \frac{2-(x^2-7x+12)}{2(x-3)(x-4)}\lt 0 \iff \frac{-(x-2)(x-5)}{2(x-3)(x-4)}\lt 0 \iff \frac{(x-2)(x-5)}{(x-3)(x-4)}\gt 0 \]

(car \(-x^2+7x-10=-(x-2)(x-5)\)). Puis les valeurs critiques 2, 3, 4, 5 alternent les signes : \(+\) avant 2, \(-\) sur \(]2\,;3[\), \(+\) sur \(]3\,;4[\), \(-\) sur \(]4\,;5[\), \(+\) après 5. \(S=\,]-\infty\,;2[\,\cup\,]3\,;4[\,\cup\,]5\,;+\infty[\).

4) Le dénominateur \(2x^2-5x-4\) a pour discriminant \(25+32=57\) et s’annule en \(x_1=\frac{5-\sqrt{57}}{4}\approx -0{,}64\) et \(x_2=\frac{5+\sqrt{57}}{4}\approx 3{,}14\) : ces valeurs sont interdites (l’énoncé écrit \(I=\mathbb{R}\), il faut en fait les exclure). De plus, il est négatif entre \(x_1\) et \(x_2\).

\(S=\,]-\infty\,;-1[\,\cup\left]\frac{5-\sqrt{57}}{4}\,;\frac{5+\sqrt{57}}{4}\right[\).

D’abord, décomposons le calcul.

Lecture : \(C_f\) coupe l’axe des abscisses en \(-1\) et 3, avec pour sommet \((1\,;2)\). \(C_g\) a pour sommet \((-1\,;0)\). Ensuite, les deux courbes ont deux points communs : \((-1\,;0)\) et \((1\,;2)\).

1) a) \(f(x)\geqslant 0\) : \(C_f\) est sur ou au-dessus de l’axe des abscisses entre ses racines : \(S=[-1\,;3]\).

b) \(f(x)\gt g(x)\) : \(C_f\) est strictement au-dessus de \(C_g\) entre les abscisses des deux points communs : \(S=\,]-1\,;1[\).

2) Position relative :

• sur \(]-1\,;1[\), \(C_f\) est au-dessus de \(C_g\) ;
• sur \(]-\infty\,;-1[\) et sur \(]1\,;+\infty[\), \(C_f\) est en dessous de \(C_g\) ;
• les courbes se coupent aux points \((-1\,;0)\) et \((1\,;2)\).

Vérification : les lectures donnent \(f(x)=-\frac{1}{2}(x+1)(x-3)\) et \(g(x)=\frac{1}{2}(x+1)^2\), d’où \(f(x)-g(x)=-\frac{1}{2}(x+1)\big[(x-3)+(x+1)\big]=-(x+1)(x-1)\), positif exactement sur \(]-1\,;1[\).

D’abord, voici la démarche.

Choix d’un repère. On prend l’origine en G (milieu de la portée), l’axe des abscisses au niveau des pieds de l’arc, l’unité étant le mètre. Par ailleurs, les pieds de l’arc sont \((-100\,;0)\) et \((100\,;0)\), le sommet est \(S(0\,;80)\).

Équation de l’arc. La parabole a pour sommet \((0\,;80)\), donc sa forme canonique est \(y=a x^2+80\). Puis elle passe par \((100\,;0)\) :

\[ a\times 100^2+80=0 \iff a=-\frac{80}{10\,000}=-0{,}008 \]

L’arc a pour équation \(y=-0{,}008x^2+80\).

Hauteur du pont. Le pont coupe l’arc à 40 m de la rive, donc à l’abscisse \(x=-100+40=-60\) (et \(x=60\) de l’autre côté). Ensuite, la hauteur du pont est l’ordonnée de ce point :

\[ y=-0{,}008\times(-60)^2+80=-0{,}008\times 3\,600+80=-28{,}8+80=51{,}2 \]

Tout d’abord, regardons la méthode.

Pour savoir si \(a\) est solution, on remplace \(x\) par \(a\) et on regarde si l’égalité est vraie.

• 1) \(2\times 1-1=1\neq 0\) : 1 n’est pas solution.
• 2) \(2\times 2^2+2\times 2-6=8+4-6=6\neq 0\) : 2 n’est pas solution.
• 3) \(0^2-2\times 0=0\) : 0 est solution.
• 4) \(2\times(-1)^2+(-1)-1=2-1-1=0\) : \(-1\) est solution.
• 5) \((2\times 3-6)(3-1)=0\times 2=0\) : 3 est solution.
• 6) \(-2\times(-2)^2-1=-8-1=-9\neq 0\) : \(-2\) n’est pas solution (d’ailleurs \(-2x^2-1\lt 0\) pour tout \(x\) : cette équation n’a aucune solution).

Avant tout, voici la correction détaillée.

1) \(3x^2+x-2=0\) : \(\Delta=1^2-4\times 3\times(-2)=1+24=25\gt 0\), donc deux solutions (\(x=\frac{-1-5}{6}=-1\) et \(x=\frac{-1+5}{6}=\frac{2}{3}\)).

2) \(3x^2+2=0 \iff x^2=-\frac{2}{3}\) : un carré n’est jamais négatif, aucune solution (\(\Delta=-24\lt 0\)).

3) \(x^2-x=0 \iff x(x-1)=0\) : deux solutions, 0 et 1.

4) \(2(x-1)^2=0 \iff x-1=0\) : une seule solution, \(x=1\) (racine double).

D’abord, décomposons le calcul.

Une fonction du second degré s’écrit \(f(x)=ax^2+bx+c\) avec \(a\neq 0\).

1) On développe :

\[ f_1(x)=(x-3)(5-2x)=5x-2x^2-15+6x=-2x^2+11x-15 \]

Oui : \(a=-2\), \(b=11\), \(c=-15\).

2) \(f_2\) contient \(\sqrt{x}\), qui n’est pas une puissance entière de \(x\) : ce n’est pas une fonction du second degré.

3) Oui : \(a=\sqrt{7}\), \(b=-3\), \(c=\frac{1}{2}\) (les coefficients peuvent être des réels quelconques).

4) \(f_4(x)=-2x^2+3x-1\) : oui, \(a=-2\), \(b=3\), \(c=-1\) (attention à l’ordre des termes).

D’abord, voici la démarche.

1) On développe :

\[ \frac{3}{4}(x+4)^2+1=\frac{3}{4}\left(x^2+8x+16\right)+1=\frac{3}{4}x^2+6x+13 \]

Oui : \(a=\frac{3}{4}\), \(b=6\), \(c=13\).

2) Le terme \(3x^3\) est de degré 3 : ce n’est pas un trinôme du second degré.

3) \(\frac{x^2+3x+1}{2}=\frac{1}{2}x^2+\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}\) : oui, \(a=\frac{1}{2}\), \(b=\frac{3}{2}\), \(c=\frac{1}{2}\).

4) \[ (2x-1)^2+(2-3x)^2=4x^2-4x+1+4-12x+9x^2=13x^2-16x+5 \]

Oui : \(a=13\), \(b=-16\), \(c=5\).

Tout d’abord, regardons la méthode.

La forme canonique est \(a(x-\alpha)^2+\beta\).

1) On distribue le \(\frac{1}{2}\) : \(f(x)=\frac{1}{2}(x-3)^2+\frac{1}{2}\times 4\), soit \(f(x)=\frac{1}{2}(x-3)^2+2\) (\(\alpha=3\), \(\beta=2\)).

2) On développe puis on factorise par \(a\) :

On a donc :

\[ \begin{aligned} g(x)&=x^2-6x+9+1-4x+4x^2=5x^2-10x+10 \\ &=5\left(x^2-2x\right)+10=5\left[(x-1)^2-1\right]+10 \\ &=5(x-1)^2+5 \end{aligned} \]

3) \[ \begin{aligned} h(x)&=2\left(x^2+2x-3\right)=2\left[(x+1)^2-1-3\right] \\ &=2(x+1)^2-8 \end{aligned} \]

4) \[ \begin{aligned} k(t)&=2\left(t^2+4t\right)+8=2\left[(t+2)^2-4\right]+8 \\ &=2(t+2)^2-8+8=2(t+2)^2 \end{aligned} \]

Ici \(\beta=0\) : \(k\) s’annule seulement en \(t=-2\).

Avant tout, voici la correction détaillée.

1) On développe la forme proposée :

\[ \frac{1}{2}(x-5)^2+7=\frac{1}{2}\left(x^2-10x+25\right)+7=\frac{1}{2}x^2-5x+\frac{25}{2}+\frac{14}{2}=\frac{1}{2}x^2-5x+\frac{39}{2} \]

On retrouve \(f(x)\) : la forme canonique est bien \(f(x)=\frac{1}{2}(x-5)^2+7\).

2) Pour tout réel \(x\), \((x-5)^2\geqslant 0\), donc \(\frac{1}{2}(x-5)^2\geqslant 0\) et \(f(x)\geqslant 7\). De plus \(f(5)=7\). Puis le minimum de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) est 7, atteint en \(x=5\) (sommet de la parabole \(S(5\,;7)\)).

D’abord, décomposons le calcul.

Dans la forme canonique \(a(x-\alpha)^2+\beta\), le coefficient \(a\) est le même que celui de \(x^2\) dans la forme développée : ici \(a=\frac{2}{3}\).

• Joël est éliminé : son coefficient devant le carré vaut 2 et non \(\frac{2}{3}\).
• Sophie est éliminée : son expression \(\frac{2}{3}(x-4)-5\) ne contient pas de carré ; c’est une fonction affine, pas du second degré.
• Marina est éliminée : en développant \(a(x-\alpha)^2\), le coefficient de \(x\) vaut \(b=-2a\alpha\). Ici \(a\gt 0\) et \(b=\frac{16}{3}\gt 0\), donc \(\alpha\lt 0\) : la parenthèse doit être du type \((x+\ldots)\), pas \((x-4)\).

Il reste Hicham. Vérification par le calcul :

\[ \frac{2}{3}(x+4)^2-5=\frac{2}{3}\left(x^2+8x+16\right)-5=\frac{2}{3}x^2+\frac{16}{3}x+\frac{32}{3}-\frac{15}{3}=\frac{2}{3}x^2+\frac{16}{3}x+\frac{17}{3} \]

D’abord, voici la démarche.

Pour \(a(x-\alpha)^2+\beta\), le sommet est \(S(\alpha\,;\beta)\), et le signe de \(a\) donne l’orientation (vers le haut si \(a\gt 0\)). Plus \(|a|\) est petit, plus la parabole est « ouverte ».

• \(f_1(x)=(x-1)^2+2\) : sommet \((1\,;2)\), \(a=1\) ;
• \(f_2(x)=-(x+1)^2+2\) : sommet \((-1\,;2)\), \(a=-1\lt 0\) ;
• \(f_3(x)=(x+1)^2+2\) : sommet \((-1\,;2)\), \(a=1\) ;
• \(f_4(x)=\frac{1}{2}(x-1)^2+2\) : sommet \((1\,;2)\), \(a=\frac{1}{2}\).

• \(C_3\) est la seule parabole tournée vers le bas : c’est \(f_2\) (on vérifie \(f_2(0)=-1+2=1\), et \(C_3\) passe bien par \((0\,;1)\)).
• \(C_4\) a pour sommet \((-1\,;2)\) et est tournée vers le haut : c’est \(f_3\) (\(f_3(0)=3\)).
• \(C_1\) et \(C_2\) ont pour sommet \((1\,;2)\). \(C_2\) est la plus resserrée : c’est \(f_1\) (\(a=1\), \(f_1(0)=3\)) ; \(C_1\), plus ouverte, est \(f_4\) (\(a=\frac{1}{2}\), \(f_4(0)=2{,}5\)).

Tout d’abord, regardons la méthode.

On lit le sommet \(S(-2\,;-1)\), donc \(\alpha=-2\), \(\beta=-1\) et \(f(x)=a(x+2)^2-1\).

La parabole passe par le point \((-1\,;0)\) :

\[ f(-1)=a(-1+2)^2-1=a-1=0 \iff a=1 \]

Donc \(f(x)=(x+2)^2-1\). Vérification avec un autre point lu : \(f(0)=4-1=3\), et la courbe coupe bien l’axe des ordonnées en 3.

Avant tout, voici la correction détaillée.

On utilise les identités remarquables \((x\pm k)^2=x^2\pm 2kx+k^2\) : pour compléter \(x^2+2kx\), on ajoute puis retranche \(k^2\).

1) \(x^2-6x+9=(x-3)^2\), donc \(x^2-6x=(x-3)^2-9\).

2) \(x^2+4x+4=(x+2)^2\), donc \(x^2+4x=(x+2)^2-4\).

3) \(2x=2\times 1\times x\) : \(x^2+2x=(x+1)^2-1\).

4) \(x^2-2x=(x-1)^2-1\).

D’abord, décomposons le calcul.

On met chaque trinôme sous forme canonique en factorisant par \(a\) (ou on développe les formes proposées).

• \(1-3x^2=-3x^2+1\) : c’est déjà une forme canonique (\(\alpha=0\), \(\beta=1\)).
• \(3x^2-6x+5=3\left(x^2-2x\right)+5=3\left[(x-1)^2-1\right]+5=3(x-1)^2+2\).
• \(-3x^2+6x+8=-3\left(x^2-2x\right)+8=-3\left[(x-1)^2-1\right]+8=-3(x-1)^2+11\).
• \(3x^2-6x+8=3\left[(x-1)^2-1\right]+8=3(x-1)^2+5\).
• \(3x^2+6x+8=3\left(x^2+2x\right)+8=3\left[(x+1)^2-1\right]+8=3(x+1)^2+5\).

D’abord, voici la démarche.

Une forme canonique s’écrit \(a(x-\alpha)^2+\beta\) avec \(a\neq 0\).

1) \(f_1(x)=x^2+3=1\times(x-0)^2+3\) : oui, \(a=1\), \(\alpha=0\), \(\beta=3\).

2) \(f_2(x)=(x-1)+2=x+1\) : il n’y a pas de carré, c’est une fonction affine. Non.

3) \(f_3(x)=\left(x+\sqrt{5}\right)^2=1\times\left(x-(-\sqrt{5})\right)^2+0\) : oui, \(a=1\), \(\alpha=-\sqrt{5}\), \(\beta=0\).

4) \(f_4(x)=(x+1)^2-(x-2)^2=\left(x^2+2x+1\right)-\left(x^2-4x+4\right)=6x-3\) : les \(x^2\) s’éliminent, \(f_4\) est affine. Non.

Tout d’abord, regardons la méthode.

1) \(x^2-3x+2=0\) : \(\Delta=9-8=1\gt 0\), deux racines :

\[ x_1=\frac{3-1}{2}=1 \qquad x_2=\frac{3+1}{2}=2 \]

\(S=\{1\,;2\}\), et \(x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\).

2) Le trinôme est du signe de \(a=1\gt 0\) à l’extérieur des racines :

3) D’après le tableau, \(x^2-3x+2\gt 0\) pour \(x\in\,]-\infty\,;1[\,\cup\,]2\,;+\infty[\).

Avant tout, voici la correction détaillée.

1) \(f_1(x)=2x^2+3\) : oui, \(a=2\), \(b=0\), \(c=3\) (pas de terme en \(x\)).

2) \(f_2(x)=2x^3+3x\) est de degré 3 : non.

3) \(f_3(x)=-\frac{1}{3}x^2+\frac{4}{3}x+\frac{2}{3}\) : oui, \(a=-\frac{1}{3}\), \(b=\frac{4}{3}\), \(c=\frac{2}{3}\).

4) \(f_4(x)=x^2-4x+\frac{1}{2}\) : oui, \(a=1\), \(b=-4\), \(c=\frac{1}{2}\).

D’abord, décomposons le calcul.

Une parabole (au sens du cours) est la courbe d’une fonction \(x\mapsto ax^2+bx+c\) avec \(a\neq 0\).

1) \(y=2x-1\) : fonction affine, la courbe est une droite. Non.

2) \(y=2x^2-1\) : fonction du second degré (\(a=2\), \(b=0\), \(c=-1\)) : oui, c’est une parabole, de sommet \((0\,;-1)\).

3) \(y=\frac{1}{x}\) : fonction inverse, la courbe est une hyperbole. Non.

4) \(y^2=x^2 \iff y=x\) ou \(y=-x\) : la courbe est formée de deux droites sécantes en O. Non.

D’abord, voici la démarche.

Un réel \(a\) est une racine du trinôme \(f\) si et seulement si \(f(a)=0\). De plus, il suffit donc de calculer l’image de \(a\).

1. \(f(1)=1^2-1+1=1\). Comme \(f(1)\neq 0\), 1 n’est pas une racine de \(f\).
2. \(f(-1)=3\times(-1)^2+(-1)-2=3-1-2=0\) : \(-1\) est une racine de \(f\).
3. \(f(2)=2\times 2^2-3\times 2-2=8-6-2=0\) : 2 est une racine de \(f\).
4. \(f(3)=-2\times 3^2+3+1=-18+4=-14\). Comme \(f(3)\neq 0\), 3 n’est pas une racine de \(f\).

Tout d’abord, regardons la méthode.

Le plus sûr est de développer chaque forme canonique proposée et de la comparer aux trinômes.

• a. \((x+2)^2-1=x^2+4x+4-1=x^2+4x+3\) : c’est le trinôme 3.
• b. \((x+1)^2-6=x^2+2x+1-6=x^2+2x-5\) : c’est le trinôme 1.
• c. \(2\left[\left(x+\frac{1}{4}\right)^2-\frac{33}{16}\right]=2\left(x^2+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}-\frac{33}{16}\right)=2x^2+x+\frac{1}{8}-\frac{33}{8}=2x^2+x-4\) : c’est le trinôme 4.
• d. \(2\left[(x+1)^2-\frac{1}{2}\right]=2(x^2+2x+1)-1=2x^2+4x+1\) : c’est le trinôme 2.

Pour aller plus vite, on peut aussi repérer le coefficient \(a\) : les trinômes 2 et 4 ont \(a=2\), ils vont donc avec c et d, qui sont les seules formes avec le facteur 2 devant.

Avant tout, voici la correction détaillée.

Le nombre de racines d’un trinôme est le nombre de points d’intersection de sa parabole avec l’axe des abscisses, et ce nombre dépend du signe de \(\Delta\) :

• \(\Delta=0\) : une seule racine, la parabole touche l’axe des abscisses en un seul point, son sommet. C’est la courbe bleue.
• \(\Delta\gt 0\) : deux racines, la parabole coupe l’axe des abscisses en deux points. C’est la courbe verte.
• \(\Delta\lt 0\) : aucune racine, la parabole ne rencontre pas l’axe des abscisses (elle est ici entièrement au-dessus). C’est la courbe orange.

D’abord, décomposons le calcul.

Discriminant et nombre de racines. Pour \(ax^2+bx+c\), on calcule \(\Delta=b^2-4ac\).

1. \(f(x)=x^2+x-1\) : \(\Delta=1^2-4\times1\times(-1)=1+4=5\). \(\Delta\gt 0\) : deux racines.
2. \(g(x)=2x^2-x+3\) : \(\Delta=(-1)^2-4\times2\times3=1-24=-23\). \(\Delta\lt 0\) : aucune racine.
3. \(h(x)=-5x^2+4x+3\) : \(\Delta=4^2-4\times(-5)\times3=16+60=76\). \(\Delta\gt 0\) : deux racines.
4. \(j(x)=x^2-\sqrt{2}\,x+7\) : \(\Delta=(-\sqrt{2})^2-4\times1\times7=2-28=-26\). \(\Delta\lt 0\) : aucune racine.

Résolution des équations.

1. \(x^2+2x-3=0\) : \(\Delta=4+12=16=4^2\), donc \(x_1=\frac{-2-4}{2}=-3\) et \(x_2=\frac{-2+4}{2}=1\). \(S=\{-3\,;\,1\}\).
2. \(x^2-2x-8=0\) : \(\Delta=4+32=36=6^2\), donc \(x_1=\frac{2-6}{2}=-2\) et \(x_2=\frac{2+6}{2}=4\). \(S=\{-2\,;\,4\}\).
3. \(2x^2+5x-3=0\) : \(\Delta=25+24=49=7^2\), donc \(x_1=\frac{-5-7}{4}=-3\) et \(x_2=\frac{-5+7}{4}=\frac{1}{2}\). \(S=\left\{-3\,;\,\frac{1}{2}\right\}\).
4. \(x^2-2x+1=0\) : \(\Delta=4-4=0\), une seule solution \(x_0=\frac{2}{2}=1\) (on reconnaît d’ailleurs \((x-1)^2=0\)). \(S=\{1\}\).

D’abord, voici la démarche.

Pour chaque équation \(ax^2+bx+c=0\) : on calcule \(\Delta=b^2-4ac\), puis \(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\) si \(\Delta\gt 0\), \(x_0=-\frac{b}{2a}\) si \(\Delta=0\), et pas de solution réelle si \(\Delta\lt 0\).

Première série

1. \(2x^2-4x+8=0\) : \(\Delta=16-64=-48\lt 0\). \(S=\varnothing\).
2. \(9x^2+24x+16=0\) : \(\Delta=576-576=0\), \(x_0=-\frac{24}{18}=-\frac{4}{3}\) (c’est \((3x+4)^2=0\)). \(S=\left\{-\frac{4}{3}\right\}\).
3. \(-5x^2+9x+2=0\) : \(\Delta=81+40=121=11^2\), \(x_1=\frac{-9-11}{-10}=2\), \(x_2=\frac{-9+11}{-10}=-\frac{1}{5}\). \(S=\left\{-\frac{1}{5}\,;\,2\right\}\).
4. \(4x^2-8x+3=0\) : \(\Delta=64-48=16\), \(x_1=\frac{8-4}{8}=\frac{1}{2}\), \(x_2=\frac{8+4}{8}=\frac{3}{2}\). \(S=\left\{\frac{1}{2}\,;\,\frac{3}{2}\right\}\).

Deuxième série

1. \(3x^2+4x+5=0\) : \(\Delta=16-60=-44\lt 0\). \(S=\varnothing\).
2. \(-3x^2+11x+4=0\) : \(\Delta=121+48=169=13^2\), \(x_1=\frac{-11+13}{-6}=-\frac{1}{3}\), \(x_2=\frac{-11-13}{-6}=4\). \(S=\left\{-\frac{1}{3}\,;\,4\right\}\).
3. \(2x^2-2x-3=0\) : \(\Delta=4+24=28\), \(\sqrt{28}=2\sqrt{7}\), donc \(x_{1,2}=\frac{2\pm2\sqrt{7}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{7}}{2}\). \(S=\left\{\frac{1-\sqrt{7}}{2}\,;\,\frac{1+\sqrt{7}}{2}\right\}\).
4. \(x^2-2x-2=0\) : \(\Delta=4+8=12\), \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), donc \(x_{1,2}=\frac{2\pm2\sqrt{3}}{2}=1\pm\sqrt{3}\). \(S=\{1-\sqrt{3}\,;\,1+\sqrt{3}\}\).

Troisième série

1. \(2x^2+4x+2=0\) : \(\Delta=16-16=0\), \(x_0=-\frac{4}{4}=-1\) (c’est \(2(x+1)^2=0\)). \(S=\{-1\}\).
2. \(-3x^2+4x+2=0\) : \(\Delta=16+24=40\), \(\sqrt{40}=2\sqrt{10}\), \(x_{1,2}=\frac{-4\pm2\sqrt{10}}{-6}=\frac{2\mp\sqrt{10}}{3}\). \(S=\left\{\frac{2-\sqrt{10}}{3}\,;\,\frac{2+\sqrt{10}}{3}\right\}\).
3. \(3x^2+12x-15=0\) : on peut diviser par 3 : \(x^2+4x-5=0\), \(\Delta=16+20=36\), \(x_1=\frac{-4-6}{2}=-5\), \(x_2=\frac{-4+6}{2}=1\). \(S=\{-5\,;\,1\}\).
4. \(7x^2-x-2=0\) : \(\Delta=1+56=57\), \(x_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{57}}{14}\). \(S=\left\{\frac{1-\sqrt{57}}{14}\,;\,\frac{1+\sqrt{57}}{14}\right\}\).

Factorisation. Si \(\Delta\gt 0\), \(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\) ; si \(\Delta=0\), \(f(x)=a(x-x_0)^2\) ; si \(\Delta\lt 0\), le trinôme ne se factorise pas en produit de facteurs du premier degré.

1. \(x^2-6x-7\) : \(\Delta=36+28=64\), racines \(\frac{6-8}{2}=-1\) et \(\frac{6+8}{2}=7\). \(f(x)=(x+1)(x-7)\).
2. \(-x^2+2x+8\) : \(\Delta=4+32=36\), racines \(\frac{-2+6}{-2}=-2\) et \(\frac{-2-6}{-2}=4\). \(f(x)=-(x+2)(x-4)\).
3. \(-3x^2+5x+2\) : \(\Delta=25+24=49\), racines \(\frac{-5+7}{-6}=-\frac{1}{3}\) et \(\frac{-5-7}{-6}=2\). \(f(x)=-3\left(x+\frac{1}{3}\right)(x-2)=-(3x+1)(x-2)\).
4. \(3x^2+x+4\) : \(\Delta=1-48=-47\lt 0\) : pas de factorisation possible.
5. \(-4x^2+28x-49\) : \(\Delta=784-784=0\), \(x_0=\frac{-28}{-8}=\frac{7}{2}\). \(f(x)=-4\left(x-\frac{7}{2}\right)^2=-(2x-7)^2\).
6. \(x^2-x-1\) : \(\Delta=1+4=5\), racines \(\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\). \(f(x)=\left(x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\left(x-\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)\).

Tout d’abord, regardons la méthode.

Règle du signe d’un trinôme : \(ax^2+bx+c\) est du signe de \(a\) à l’extérieur des racines et du signe contraire entre les racines ; s’il n’a pas de racine, il est toujours du signe de \(a\).

1. \(3x^2+5x-2\geqslant 0\) : \(\Delta=25+24=49\), racines \(\frac{-5-7}{6}=-2\) et \(\frac{-5+7}{6}=\frac{1}{3}\). \(a=3\gt 0\) : le trinôme est positif à l’extérieur des racines, racines comprises. \(S=\left]-\infty\,;\,-2\right]\cup\left[\frac{1}{3}\,;\,+\infty\right[\).
2. \(-2x^2+7x+4\gt 0\) : \(\Delta=49+32=81\), racines \(\frac{-7+9}{-4}=-\frac{1}{2}\) et \(\frac{-7-9}{-4}=4\). \(a=-2\lt 0\) : le trinôme est positif entre les racines. \(S=\left]-\frac{1}{2}\,;\,4\right[\).
3. \(16x^2-40x+25\leqslant 0\) : \(\Delta=1600-1600=0\), \(x_0=\frac{40}{32}=\frac{5}{4}\) ; en fait \(16x^2-40x+25=(4x-5)^2\), qui est toujours positif et ne s’annule qu’en \(\frac{5}{4}\). \(S=\left\{\frac{5}{4}\right\}\).
4. \(3x^2-x+5\gt 0\) : \(\Delta=1-60=-59\lt 0\), le trinôme est toujours du signe de \(a=3\), donc strictement positif. \(S=\mathbb{R}\).
5. \(-x^2+x-7\geqslant 0\) : \(\Delta=1-28=-27\lt 0\), le trinôme est toujours du signe de \(a=-1\), donc strictement négatif. \(S=\varnothing\).
6. \(-3x^2+5x+8\lt 0\) : \(\Delta=25+96=121\), racines \(\frac{-5+11}{-6}=-1\) et \(\frac{-5-11}{-6}=\frac{8}{3}\). \(a=-3\lt 0\) : le trinôme est négatif à l’extérieur des racines. \(S=\left]-\infty\,;\,-1\right[\cup\left]\frac{8}{3}\,;\,+\infty\right[\).

Avant tout, voici la correction détaillée.

Quand le trinôme \(ax^2+bx+c\) a deux racines \(x_1\) et \(x_2\), on a, sans les calculer :

\[ S=x_1+x_2=-\frac{b}{a} \qquad P=x_1\times x_2=\frac{c}{a} \]

Première série

1. \(x^2-x-2\) : \(S=-\frac{-1}{1}=\mathbf{1}\) et \(P=\frac{-2}{1}=\mathbf{-2}\) (les racines sont \(-1\) et \(2\) : on vérifie \(-1+2=1\) et \(-1\times2=-2\)).
2. \(x^2+3x+1\) : \(S=-3\) et \(P=1\).
3. \(-x^2+5x+2\) : \(S=-\frac{5}{-1}=\mathbf{5}\) et \(P=\frac{2}{-1}=\mathbf{-2}\).
4. \(2x^2+7x-1\) : \(S=-\frac{7}{2}\) et \(P=-\frac{1}{2}\).
5. \(-3x^2+11x+7\) : \(S=-\frac{11}{-3}=\frac{11}{3}\) et \(P=\frac{7}{-3}=-\frac{7}{3}\). \(S=\frac{11}{3}\), \(P=-\frac{7}{3}\).

Deuxième série

1. \(9x^2+x-1\) : \(S=-\frac{1}{9}\) et \(P=-\frac{1}{9}\).
2. \(-x^2-\sqrt{2}\,x+3\) : \(S=-\frac{-\sqrt{2}}{-1}=-\sqrt{2}\) et \(P=\frac{3}{-1}=-3\). \(S=-\sqrt{2}\), \(P=-3\).
3. \(\sqrt{3}\,x^2+2x-1\) : \(S=-\frac{2}{\sqrt{3}}=-\frac{2\sqrt{3}}{3}\) et \(P=-\frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}\). \(S=-\frac{2\sqrt{3}}{3}\), \(P=-\frac{\sqrt{3}}{3}\).
4. \(-\sqrt{3}\,x^2-3\sqrt{5}\,x+1\) : \(S=-\frac{-3\sqrt{5}}{-\sqrt{3}}=-\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{3}}=-\frac{3\sqrt{15}}{3}=-\sqrt{15}\) et \(P=\frac{1}{-\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}\). \(S=-\sqrt{15}\), \(P=-\frac{\sqrt{3}}{3}\).
5. \(5x^2+\pi x-3\) : \(S=-\frac{\pi}{5}\) et \(P=-\frac{3}{5}\).

Remarque : on a rationalisé les dénominateurs (multiplier en haut et en bas par \(\sqrt{3}\)) pour obtenir des écritures simplifiées.

D’abord, décomposons le calcul.

Le sommet de la parabole de \(f(x)=ax^2+bx+c\) a pour abscisse \(\alpha=-\frac{b}{2a}\) et pour ordonnée \(\beta=f(\alpha)\), que l’on peut aussi obtenir par \(\beta=-\frac{\Delta}{4a}\) (pratique pour vérifier).

1. \(f(x)=x^2-4x+1\) : \(\Delta=16-4=12\) ; \(\alpha=\frac{4}{2}=2\), \(\beta=4-8+1=-3\). \(\Delta=12\), sommet \(S(2\,;\,-3)\).
2. \(f(x)=-x^2+x-1\) : \(\Delta=1-4=-3\) ; \(\alpha=-\frac{1}{-2}=\frac{1}{2}\), \(\beta=-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}-1=-\frac{3}{4}\). \(\Delta=-3\), sommet \(S\left(\frac{1}{2}\,;\,-\frac{3}{4}\right)\).
3. \(f(x)=2x^2-4x+5\) : \(\Delta=16-40=-24\) ; \(\alpha=\frac{4}{4}=1\), \(\beta=2-4+5=3\). \(\Delta=-24\), sommet \(S(1\,;\,3)\).
4. \(f(x)=-3x^2+7x+2\) : \(\Delta=49+24=73\) ; \(\alpha=-\frac{7}{-6}=\frac{7}{6}\), \(\beta=-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{73}{-12}=\frac{73}{12}\). \(\Delta=73\), sommet \(S\left(\frac{7}{6}\,;\,\frac{73}{12}\right)\).
5. \(f(x)=5x^2+x-3\) : \(\Delta=1+60=61\) ; \(\alpha=-\frac{1}{10}\), \(\beta=-\frac{61}{20}\). \(\Delta=61\), sommet \(S\left(-\frac{1}{10}\,;\,-\frac{61}{20}\right)\).

Vérification pour le 4 : \(f\left(\frac{7}{6}\right)=-3\times\frac{49}{36}+\frac{49}{6}+2=-\frac{49}{12}+\frac{98}{12}+\frac{24}{12}=\frac{73}{12}\).

D’abord, voici la démarche.

1. Algorithme en langage naturel.

Entrées : les réels a, b, c (avec a ≠ 0)
Δ prend la valeur b² − 4ac
Si Δ < 0 alors retourner 0
Sinon si Δ = 0 alors retourner 1
Sinon retourner 2
Fin Si

2. Fonction delta.

def delta(a, b, c):
    return b**2 – 4*a*c

3. L’instruction elif (contraction de « else if », « sinon si ») permet de tester une nouvelle condition seulement lorsque la condition du if précédent est fausse. Ici, elle sert à distinguer le cas \(\Delta=0\) après avoir écarté le cas \(\Delta\lt 0\).

4. Programme complété (lignes 4, 5 et 8) :

def nombre_solutions(a, b, c):
    discriminant = delta(a, b, c)
    if discriminant < 0:
        return 0
    elif discriminant == 0:
        return 1
    else:
        return 2

Attention : le test d’égalité s’écrit avec deux signes = (==) ; un seul signe = sert à affecter une valeur à une variable.

5. Programme qui donne les solutions. On utilise les formules \(x_0=-\frac{b}{2a}\) et \(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\) et la fonction sqrt du module math :

from math import sqrt

def solutions(a, b, c):
    d = delta(a, b, c)
    if d < 0:
        return « pas de solution réelle »
    elif d == 0:
        return -b / (2*a)
    else:
        x1 = (-b – sqrt(d)) / (2*a)
        x2 = (-b + sqrt(d)) / (2*a)
        return x1, x2

Test : solutions(1, 2, -3) renvoie (-3.0, 1.0), ce sont bien les solutions de \(x^2+2x-3=0\).

Tout d’abord, regardons la méthode.

Les points d’intersection des deux courbes ont pour abscisses les solutions de l’équation \(f(x)=g(x)\) :

On a donc :

\[ \begin{aligned} x^2+2x-7 &= -x^2+3x-1 \\ 2x^2-x-6 &= 0 \end{aligned} \]

\(\Delta=(-1)^2-4\times2\times(-6)=1+48=49=7^2\), donc \(x_1=\frac{1-7}{4}=-\frac{3}{2}\) et \(x_2=\frac{1+7}{4}=2\).

On calcule les ordonnées avec \(f\) (et on vérifie avec \(g\)) :

• \(f(2)=4+4-7=1\) et \(g(2)=-4+6-1=1\) : point \(A(2\,;\,1)\).
• \(f\left(-\frac{3}{2}\right)=\frac{9}{4}-3-7=-\frac{31}{4}=-7{,}75\) et \(g\left(-\frac{3}{2}\right)=-\frac{9}{4}-\frac{9}{2}-1=-\frac{31}{4}\) : point \(B\left(-\frac{3}{2}\,;\,-\frac{31}{4}\right)\).

Le graphique confirme : un point d’intersection un peu au-dessus de l’axe des abscisses vers \(x=2\), l’autre tout en bas de l’écran vers \(x=-1{,}5\).

Avant tout, voici la correction détaillée.

1. L’équation \(2x^2+x+m-1=0\) est du second degré avec \(a=2\), \(b=1\) et \(c=m-1\).

\[ \Delta=1^2-4\times2\times(m-1)=1-8m+8=9-8m \]

2. Le nombre de solutions dépend du signe de \(9-8m\), qui s’annule pour \(m=\frac{9}{8}\) :

• si \(m\lt \frac{9}{8}\), \(\Delta\gt 0\) : l’équation a deux solutions ;
• si \(m=\frac{9}{8}\), \(\Delta=0\) : l’équation a une seule solution, \(x_0=-\frac{1}{4}\) ;
• si \(m\gt \frac{9}{8}\), \(\Delta\lt 0\) : l’équation n’a aucune solution réelle.

D’abord, décomposons le calcul.

1. Pour \(x^2-3x-4\) : \(\Delta=9+16=25=5^2\), donc \(x_1=\frac{3-5}{2}=-1\) et \(x_2=\frac{3+5}{2}=4\). Ensuite, les racines sont \(-1\) et \(4\).

2. Avec \(a=1\) : \(x^2-3x-4=(x+1)(x-4)\). (Vérification : \((x+1)(x-4)=x^2-4x+x-4=x^2-3x-4\).)

3. \(A(x)\) existe si et seulement si son dénominateur est non nul, c’est-à-dire \(x\neq-1\) et \(x\neq 4\). \(A(x)\) est donc défini sur \(\mathbb{R}\setminus\{-1\,;\,4\}\). Par ailleurs, pour ces valeurs de \(x\), on peut simplifier par \(x+1\neq0\) :

\[ A(x)=\frac{x+1}{(x+1)(x-4)}=\frac{1}{x-4} \]

D’abord, voici la démarche.

Méthode : \(\Delta=b^2-4ac\), puis sommet \(S(\alpha\,;\,\beta)\) avec \(\alpha=-\frac{b}{2a}\) et \(\beta=f(\alpha)\). Si \(a\gt 0\), la fonction est décroissante puis croissante (minimum \(\beta\)) ; si \(a\lt 0\), croissante puis décroissante (maximum \(\beta\)).

1. \(f(x)=-x^2+4x-1\) : \(\Delta=16-4=12\) ; \(\alpha=-\frac{4}{-2}=2\), \(\beta=-4+8-1=3\). Sommet \(S(2\,;\,3)\), \(a=-1\lt 0\) : maximum.

2. \(g(x)=4x^2+16x+12\) : \(\Delta=256-192=64\) ; \(\alpha=-\frac{16}{8}=-2\), \(\beta=16-32+12=-4\). Sommet \(S(-2\,;\,-4)\), \(a=4\gt 0\) : minimum.

3. \(h(x)=-2x^2+20x-50\) : \(\Delta=400-400=0\) ; \(\alpha=-\frac{20}{-4}=5\), \(\beta=-50+100-50=0\). Sommet \(S(5\,;\,0)\) (sur l’axe des abscisses, ce qui est cohérent avec \(\Delta=0\)), \(a=-2\lt 0\) : maximum.

4. \(k(x)=10x^2-30x+\frac{57}{2}\) : \(\Delta=900-4\times10\times\frac{57}{2}=900-1140=-240\) ; \(\alpha=\frac{30}{20}=\frac{3}{2}\), \(\beta=10\times\frac{9}{4}-45+\frac{57}{2}=\frac{45}{2}-\frac{90}{2}+\frac{57}{2}=6\). Sommet \(S\left(\frac{3}{2}\,;\,6\right)\), \(a=10\gt 0\) : minimum.

Tout d’abord, regardons la méthode.

Mise en équation. La longueur \(x\) est comprise entre 0 et 4 : \(x\in[0\,;\,4]\).

• Le triangle bleu \(EKF\) est la moitié du carré \(AFKE\) de côté \(x\) (coupé par sa diagonale \([EF]\)) : son aire est \(\frac{x^2}{2}\).
• Le carré \(KHCG\) a pour côté \(GC=DC-DG=4-x\) : son aire est \((4-x)^2\).

L’aire bleue est donc :

Voici le détail :

\[ \begin{aligned} \mathcal{A}(x) &= \frac{x^2}{2}+(4-x)^2 \\ &= \frac{1}{2}x^2+16-8x+x^2 \\ &= \frac{3}{2}x^2-8x+16 \end{aligned} \]

Minimum. \(\mathcal{A}\) est un trinôme avec \(a=\frac{3}{2}\gt 0\) : il admet un minimum atteint en \(\alpha=-\frac{b}{2a}=\frac{8}{3}\), qui appartient bien à \([0\,;\,4]\).

\[ \mathcal{A}\left(\frac{8}{3}\right)=\frac{3}{2}\times\frac{64}{9}-8\times\frac{8}{3}+16=\frac{32}{3}-\frac{64}{3}+\frac{48}{3}=\frac{16}{3} \]

L’aire bleue minimale vaut \(\frac{16}{3}\approx 5{,}33\) cm², contre 16 cm² pour \(x=0\) et 8 cm² pour \(x=4\).

Avant tout, voici la correction détaillée.

L’image de cet exercice reprend les mêmes quatre trinômes que l’exercice 42. Puis on utilise ici une autre méthode : la forme canonique \(a(x-\alpha)^2+\beta\), qui donne directement le sommet \(S(\alpha\,;\,\beta)\) ; on retrouve ensuite \(\Delta\) grâce à la relation \(\beta=-\frac{\Delta}{4a}\), soit \(\Delta=-4a\beta\).

1. \(f(x)=-(x^2-4x)-1=-\left[(x-2)^2-4\right]-1=-(x-2)^2+3\). Sommet \(S(2\,;\,3)\) et \(\Delta=-4\times(-1)\times3=12\). Comme \(-(x-2)^2\leqslant 0\), \(f(x)\leqslant 3\) : maximum 3 en \(x=2\) ; \(f\) est croissante sur \(\left]-\infty\,;\,2\right]\) et décroissante sur \(\left[2\,;\,+\infty\right[\).

2. \(g(x)=4(x^2+4x)+12=4\left[(x+2)^2-4\right]+12=4(x+2)^2-4\). Sommet \(S(-2\,;\,-4)\) et \(\Delta=-4\times4\times(-4)=64\). Minimum \(-4\) : \(g\) est décroissante sur \(\left]-\infty\,;\,-2\right]\) et croissante sur \(\left[-2\,;\,+\infty\right[\).

3. \(h(x)=-2(x^2-10x)-50=-2\left[(x-5)^2-25\right]-50=-2(x-5)^2\). Sommet \(S(5\,;\,0)\) et \(\Delta=0\). Maximum 0 : \(h\) est croissante sur \(\left]-\infty\,;\,5\right]\) et décroissante sur \(\left[5\,;\,+\infty\right[\).

4. \(k(x)=10(x^2-3x)+\frac{57}{2}=10\left[\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{9}{4}\right]+\frac{57}{2}=10\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{45}{2}+\frac{57}{2}=10\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+6\). Sommet \(S\left(\frac{3}{2}\,;\,6\right)\) et \(\Delta=-4\times10\times6=-240\). Minimum 6 : \(k\) est décroissante sur \(\left]-\infty\,;\,\frac{3}{2}\right]\) et croissante sur \(\left[\frac{3}{2}\,;\,+\infty\right[\).

D’abord, décomposons le calcul.

Si un trinôme a deux racines \(x_1\) et \(x_2\), il s’écrit \(a(x-x_1)(x-x_2)\). Ensuite, on lit les racines sur l’axe des abscisses, puis on trouve \(a\) grâce à un autre point lisible, ici le point d’intersection avec l’axe des ordonnées.

1. La courbe verte coupe l’axe des abscisses en \(-2\) et \(5\), donc \(f(x)=a(x+2)(x-5)\). Puis elle coupe l’axe des ordonnées en \(-1\) : \(f(0)=a\times2\times(-5)=-10a=-1\), d’où \(a=\frac{1}{10}\).

\[ f(x)=\frac{1}{10}(x+2)(x-5)=0{,}1x^2-0{,}3x-1 \]

2. La courbe rouge coupe l’axe des abscisses en \(-2\) et \(8\) et l’axe des ordonnées en \(-4\) : \(g(0)=a\times2\times(-8)=-16a=-4\), d’où \(a=\frac{1}{4}\).

\[ g(x)=\frac{1}{4}(x+2)(x-8)=0{,}25x^2-1{,}5x-4 \]

La courbe bleue coupe l’axe des abscisses en \(-5\) et \(6\) et l’axe des ordonnées en \(-3\) : \(h(0)=a\times5\times(-6)=-30a=-3\), d’où \(a=\frac{1}{10}\).

\[ h(x)=\frac{1}{10}(x+5)(x-6)=0{,}1x^2-0{,}1x-3 \]

Contrôle : le minimum de \(g\) est atteint en \(x=3\) (milieu de \(-2\) et 8) et vaut \(g(3)=\frac{1}{4}\times5\times(-5)=-6{,}25\), ce qui correspond bien au bas de la courbe rouge.

3. Un point commun aux trois courbes vérifie \(f(x)=h(x)\) et \(f(x)=g(x)\).

• \(f(x)=h(x)\) ⟺ \(0{,}1x^2-0{,}3x-1=0{,}1x^2-0{,}1x-3\) ⟺ \(-0{,}2x=-2\) ⟺ \(x=10\).
• \(f(x)=g(x)\) ⟺ \(0{,}15x^2-1{,}2x-3=0\) ⟺ \(x^2-8x-20=0\) : \(\Delta=64+80=144\), solutions \(x=\frac{8-12}{2}=-2\) et \(x=\frac{8+12}{2}=10\).

La seule abscisse commune est \(x=10\), et \(f(10)=\frac{1}{10}\times12\times5=6\), \(g(10)=\frac{1}{4}\times12\times2=6\), \(h(10)=\frac{1}{10}\times15\times4=6\). C’est bien le point en haut à droite du graphique où les trois courbes se rejoignent. (En \(x=-2\), \(f\) et \(g\) se coupent sur l’axe, mais \(h(-2)=-2{,}4\) : ce point n’est pas commun aux trois.)

D’abord, voici la démarche.

L’aire du triangle \(FEC\) s’obtient en retirant à l’aire du carré (16) les aires des trois triangles rectangles qui l’entourent. De plus, on a \(AE=x\), \(EB=4-x\), \(DF=x\) et \(AF=4-x\).

• Triangle \(AEF\), rectangle en A : \(\frac{AE\times AF}{2}=\frac{x(4-x)}{2}\).
• Triangle \(EBC\), rectangle en B : \(\frac{EB\times BC}{2}=\frac{4(4-x)}{2}=8-2x\).
• Triangle \(FDC\), rectangle en D : \(\frac{DF\times DC}{2}=\frac{4x}{2}=2x\).

\[ \begin{aligned} \mathcal{A}(x) &= 16-\frac{4x-x^2}{2}-(8-2x)-2x \\ &= 16-2x+\frac{x^2}{2}-8 \\ &= \frac{1}{2}x^2-2x+8 \end{aligned} \]

C’est un trinôme avec \(a=\frac{1}{2}\gt 0\) : il admet un minimum en \(\alpha=-\frac{-2}{2\times\frac{1}{2}}=2\), qui est bien dans \([0\,;\,4]\). Sa forme canonique le confirme : \(\mathcal{A}(x)=\frac{1}{2}(x-2)^2+6\geqslant 6\).

\(\mathcal{A}(2)=2-4+8=6\). Ensuite, pour \(x=2\), E et F sont les milieux de [AB] et [AD].

Tout d’abord, regardons la méthode.

1. \(\sqrt{x-1}=-2x+3\). Par ailleurs, la racine existe si \(x\geqslant 1\) ; de plus une racine carrée est positive, donc il faut \(-2x+3\geqslant 0\), soit \(x\leqslant\frac{3}{2}\). Ensemble de résolution : \(\left[1\,;\,\frac{3}{2}\right]\). Sur cet intervalle, les deux membres sont positifs, on peut élever au carré :

Le calcul donne :

\[ \begin{aligned} x-1 &= 4x^2-12x+9 \\ 4x^2-13x+10 &= 0 \end{aligned} \]

\(\Delta=169-160=9\), solutions \(\frac{13-3}{8}=\frac{5}{4}\) et \(\frac{13+3}{8}=2\). Seule \(\frac{5}{4}\) appartient à \(\left[1\,;\,\frac{3}{2}\right]\) (pour \(x=2\), le second membre vaut \(-1\lt 0\)). Vérification : \(\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}\) et \(-\frac{5}{2}+3=\frac{1}{2}\). \(S=\left\{\frac{5}{4}\right\}\).

2. \(\sqrt{x^2+18}=\sqrt{2x^2+8x-2}\). \(x^2+18\) est toujours positif ; il faut \(2x^2+8x-2\geqslant 0\), soit \(x^2+4x-1\geqslant 0\) : racines \(-2\pm\sqrt{5}\), d’où l’ensemble de résolution \(\left]-\infty\,;\,-2-\sqrt{5}\right]\cup\left[-2+\sqrt{5}\,;\,+\infty\right[\). Deux racines carrées sont égales si et seulement si les nombres sous les racines sont égaux :

\[ x^2+18=2x^2+8x-2 \iff x^2+8x-20=0 \]

\(\Delta=64+80=144\), solutions \(\frac{-8-12}{2}=-10\) et \(\frac{-8+12}{2}=2\). Comme \(-2-\sqrt{5}\approx-4{,}24\) et \(-2+\sqrt{5}\approx0{,}24\), les deux valeurs conviennent (vérification : pour \(x=2\), \(\sqrt{22}=\sqrt{22}\) ; pour \(x=-10\), \(\sqrt{118}=\sqrt{118}\)). \(S=\{-10\,;\,2\}\).

3. \(\sqrt{x+5}\leqslant\sqrt{x^2-x-2}\). Puis il faut \(x\geqslant-5\) et \(x^2-x-2\geqslant 0\) ; ce trinôme a pour racines \(-1\) et \(2\) et il est positif à l’extérieur. Ensemble de résolution : \(D=[-5\,;\,-1]\cup\left[2\,;\,+\infty\right[\). Ensuite, la fonction racine carrée étant croissante sur \(\left[0\,;\,+\infty\right[\), l’inéquation équivaut sur \(D\) à :

Suite du calcul

\[ x+5\leqslant x^2-x-2 \iff x^2-2x-7\geqslant 0 \]

\(\Delta=4+28=32\), racines \(\frac{2\pm4\sqrt{2}}{2}=1\pm2\sqrt{2}\) (environ \(-1{,}83\) et \(3{,}83\)) ; le trinôme est positif à l’extérieur. Puis on garde ce qui est dans \(D\) : \(S=\left[-5\,;\,1-2\sqrt{2}\right]\cup\left[1+2\sqrt{2}\,;\,+\infty\right[\).

4. \(\frac{1}{x+2}\gt 4x+3\). Ensemble de résolution : \(\mathbb{R}\setminus\{-2\}\). De plus, on ne multiplie pas par \(x+2\) (son signe change) : on passe tout dans le même membre.

\[ \frac{1}{x+2}-(4x+3)=\frac{1-(4x+3)(x+2)}{x+2}=\frac{-4x^2-11x-5}{x+2} \]

Numérateur : \(\Delta=121-80=41\), racines \(x_1=\frac{-11-\sqrt{41}}{8}\approx-2{,}18\) et \(x_2=\frac{-11+\sqrt{41}}{8}\approx-0{,}57\) ; il est négatif (signe de \(a=-4\)) à l’extérieur des racines.

L’inégalité est stricte, les bornes sont exclues : \(S=\left]-\infty\,;\,\frac{-11-\sqrt{41}}{8}\right[\cup\left]-2\,;\,\frac{-11+\sqrt{41}}{8}\right[\).

5. \(\frac{3x^2-5}{2x^2+x-3}\leqslant 0\). Dénominateur : \(\Delta=1+24=25\), racines \(\frac{-1-5}{4}=-\frac{3}{2}\) et \(\frac{-1+5}{4}=1\), valeurs interdites. Ensemble de résolution : \(\mathbb{R}\setminus\left\{-\frac{3}{2}\,;\,1\right\}\). Numérateur : \(3x^2-5=0\iff x=\pm\sqrt{\frac{5}{3}}=\pm\frac{\sqrt{15}}{3}\approx\pm1{,}29\). Ensuite, les deux trinômes sont positifs à l’extérieur de leurs racines.

Le quotient est négatif ou nul (il s’annule en \(\pm\frac{\sqrt{15}}{3}\), valeurs incluses, mais pas en \(-\frac{3}{2}\) ni en 1) : \(S=\left]-\frac{3}{2}\,;\,-\frac{\sqrt{15}}{3}\right]\cup\left]1\,;\,\frac{\sqrt{15}}{3}\right]\).

Avant tout, voici la correction détaillée.

1. Dans le premier montage, les résistances \(x\) et \(R\) sont en parallèle ; leur résistance équivalente \(R_p\) vérifie \(\frac{1}{R_p}=\frac{1}{x}+\frac{1}{R}=\frac{x+R}{xR}\), donc \(R_p=\frac{xR}{x+R}\). Par ailleurs, ce bloc est en série avec la résistance \(2x\) :

\[ R_{eq_1}=2x+\frac{xR}{x+R} \]

2. Dans le second montage, \(2R\) et \(x\) sont en série :

\[ R_{eq_2}=2R+x \]

3. On écrit \(R_{eq_1}=R_{eq_2}\) et on multiplie par \(x+R\gt 0\) :

Ainsi, on obtient :

\[ \begin{aligned} 2x+\frac{xR}{x+R} &= 2R+x \\ x+\frac{xR}{x+R} &= 2R \\ x(x+R)+xR &= 2R(x+R) \\ x^2+2xR &= 2Rx+2R^2 \\ x^2-2R^2 &= 0 \end{aligned} \]

\(x\) est donc solution de l’équation du second degré \(x^2-2R^2=0\).

4. \(x^2=2R^2\) avec \(x\gt 0\) et \(R\gt 0\) donne \(x=\sqrt{2R^2}=R\sqrt{2}\). Puis pour \(R=100\) ohms : \(x=100\sqrt{2}\approx 141{,}4\) ohms.

Vérification : \(R_{eq_2}=200+141{,}4=341{,}4\) et \(R_{eq_1}=282{,}8+\frac{141{,}4\times100}{241{,}4}\approx282{,}8+58{,}6=341{,}4\) ohms.