Corrigé des 31 exercices sur les vecteurs et droites du plan en 1ère à télécharger en PDF

\((AB)\parallel(CD)\iff\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont colinéaires \(\iff\det\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\right)=0\).

De plus, 1) \(\overrightarrow{AB}\binom{-4}{1}\), \(\overrightarrow{CD}\binom{4}{1}\) : \(\det=(-4)\times1-1\times4=-8\neq0\). Non parallèles.

Par ailleurs, 2) \(\overrightarrow{AB}\binom{10}{5}\), \(\overrightarrow{CD}\binom{-2}{-1}\) : \(\det=10\times(-1)-5\times(-2)=0\). Parallèles (\(\overrightarrow{AB}=-5\overrightarrow{CD}\)).

Ainsi, 3) \(\overrightarrow{AB}\binom{0}{1}\), \(\overrightarrow{CD}\binom{1}{0}\) : \(\det=0\times0-1\times1=-1\neq0\). Non parallèles (\((AB)\) est verticale, \((CD)\) horizontale).

Donc, 4) \(\overrightarrow{AB}\binom{2}{\frac{2}{3}}\), \(\overrightarrow{CD}\binom{-3}{-1}\) : \(\det=2\times(-1)-\dfrac{2}{3}\times(-3)=-2+2=0\). Parallèles.

Également, 5) \(\overrightarrow{AB}\binom{-32}{-16}\), \(\overrightarrow{CD}\binom{-20}{-8}\) : \(\det=(-32)\times(-8)-(-16)\times(-20)=256-320=-64\neq0\). Non parallèles.

1) \(\overrightarrow{CD}\binom{8}{-2}\), \(\overrightarrow{EH}\binom{8}{0}\) : \(\det=8\times0-(-2)\times8=16\neq0\). Non parallèles.

Par conséquent, 2) \(\overrightarrow{CD}\binom{0}{1}\), \(\overrightarrow{EH}\binom{0}{-8}\) : \(\det=0\). Parallèles (deux droites verticales, d’équations \(x=4\) et \(x=-3\)).

En effet, 3) \(\overrightarrow{CD}\binom{2}{3}\), \(\overrightarrow{EH}\binom{1}{\frac{3}{2}}\) : \(\det=2\times\dfrac{3}{2}-3\times1=0\). Parallèles (\(\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{EH}\)).

Ensuite, 4) \(\overrightarrow{CD}\binom{8}{-6}\), \(\overrightarrow{EH}\binom{\frac{5}{3}}{-\frac{5}{4}}\) : \(\det=8\times\left(-\dfrac{5}{4}\right)-(-6)\times\dfrac{5}{3}=-10+10=0\). Parallèles.

De plus, 5) \(\overrightarrow{CD}\binom{-2\sqrt{3}}{-\sqrt{2}}\), \(\overrightarrow{EH}\binom{-\sqrt{2}}{\frac{2}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{3}}}=\binom{-\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}\) :

\[ \det=(-2\sqrt{3})\times\frac{\sqrt{3}}{3}-(-\sqrt{2})\times(-\sqrt{2})=-2-2=-4\neq0 \]

Par ailleurs, Non parallèles.

\(A\), \(B\), \(C\) alignés \(\iff\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) colinéaires.

Ainsi, 1) \(\overrightarrow{AB}\binom{10}{-5}\), \(\overrightarrow{AC}\binom{13}{-6}\) : \(\det=10\times(-6)-(-5)\times13=-60+65=5\neq0\). Non alignés (de justesse : un dessin ne suffit pas).

Donc, 2) \(\overrightarrow{AB}\binom{2}{1}\), \(\overrightarrow{AC}\binom{7}{\frac{7}{2}}\) : \(\det=2\times\dfrac{7}{2}-1\times7=0\). Alignés (\(\overrightarrow{AC}=\frac{7}{2}\overrightarrow{AB}\)).

Également, 3) \(\overrightarrow{AB}\binom{0}{2}\), \(\overrightarrow{AC}\binom{1}{-2}\) : \(\det=0\times(-2)-2\times1=-2\neq0\). Non alignés (\(A\) et \(B\) ont la même abscisse, pas \(C\)).

1) \(\det(\vec{u},\vec{v})=3\times5-(-2)\times(-11)=15-22=-7\neq0\) : non colinéaires.

Par conséquent, 2) \(\det(\vec{a},\vec{b})=\dfrac{5}{2}\times\dfrac{9}{2}-3\times\dfrac{15}{4}=\dfrac{45}{4}-\dfrac{45}{4}=0\) : colinéaires (\(\vec{b}=\frac{3}{2}\vec{a}\)).

En effet, 3) \(\det(\vec{r},\vec{s})=(-\sqrt{2})\times(-3\sqrt{2})-(-3)\times(-2)=6-6=0\) : colinéaires (\(\vec{s}=\sqrt{2}\,\vec{r}\)).

Ensuite, 4) \(\det(\vec{a},\vec{u})=\dfrac{3}{2}\times\dfrac{6}{7}-\dfrac{5}{12}\times\dfrac{14}{5}=\dfrac{9}{7}-\dfrac{7}{6}=\dfrac{54-49}{42}=\dfrac{5}{42}\neq0\) : non colinéaires.

De plus, 5) \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\) et \(\sqrt{24}=2\sqrt{6}\). \(\det(\vec{b},\vec{v})=\sqrt{5}\times(-2\sqrt{6})-(-4\sqrt{3})\times2\sqrt{5}=-2\sqrt{30}+8\sqrt{15}\). Or \(8\sqrt{15}=\sqrt{960}\) et \(2\sqrt{30}=\sqrt{120}\), donc le déterminant n’est pas nul : non colinéaires.

1) \(\overrightarrow{FG}\binom{-\frac{8}{3}}{-\frac{2}{3}}\), \(\overrightarrow{FH}\binom{\frac{13}{3}}{1}\) : \(\det=-\dfrac{8}{3}\times1-\left(-\dfrac{2}{3}\right)\times\dfrac{13}{3}=-\dfrac{24}{9}+\dfrac{26}{9}=\dfrac{2}{9}\neq0\). Non alignés.

Par ailleurs, 2) \(\overrightarrow{BC}\binom{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}\), \(\overrightarrow{BD}\binom{4}{4\sqrt{3}}\) : \(\det=\sqrt{2}\times4\sqrt{3}-\sqrt{6}\times4=4\sqrt{6}-4\sqrt{6}=0\). Alignés.

Ainsi, 3) \(\overrightarrow{EF}\binom{-4}{6{,}28}\), \(\overrightarrow{EG}\binom{2}{-\pi}\) : \(\det=(-4)\times(-\pi)-6{,}28\times2=4\pi-12{,}56=4(\pi-3{,}14)\neq0\). Non alignés : 6,28 n’est qu’une valeur approchée de \(2\pi\), la calculatrice peut tromper.

Donc, 4) \(\overrightarrow{AB}\binom{\sqrt{2}+4}{-\sqrt{2}-4}=(\sqrt{2}+4)\binom{1}{-1}\) et \(\overrightarrow{AD}\binom{\sqrt{5}+4}{-\sqrt{5}-4}=(\sqrt{5}+4)\binom{1}{-1}\) : les deux vecteurs sont colinéaires à \(\binom{1}{-1}\). Alignés.

Également, 5) \(\overrightarrow{CD}\binom{1-\pi}{2-2\pi}=(1-\pi)\binom{1}{2}\) et \(\overrightarrow{CH}\binom{-4}{-2}=-2\binom{2}{1}\). \(\det\left(\binom{1}{2},\binom{2}{1}\right)=1-4=-3\neq0\). Non alignés.

1) Faux. \(\det(\vec{u},\vec{v})=0\times0-1\times(-3)=3\neq0\) : \(\vec{u}\) est vertical, \(\vec{v}\) horizontal.

Par ailleurs, 2) Faux. \(ABCD\) est un parallélogramme si et seulement si \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\). Avec \(\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{CD}\), les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont parallèles mais \(AB=2CD\) : les côtés opposés n’ont pas la même longueur (\(ABCD\) est un trapèze, ou les points sont alignés).

3) Faux. \(\overrightarrow{EF}=\dfrac{5}{6}\overrightarrow{FG}\) donne \(\overrightarrow{FE}=-\dfrac{5}{6}\overrightarrow{FG}\) : \(E\) est sur la droite \((FG)\), mais du côté opposé à \(G\) par rapport à \(F\). Puis il n’appartient donc pas au segment \([FG]\) (sauf si \(F=G\)).

4) Vrai. \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), donc \(\vec{v}\binom{3\sqrt{2}}{3x}=3\vec{u}\) pour tout réel \(x\). Autre justification : \(\det=\sqrt{2}\times3x-x\times3\sqrt{2}=0\).

1) \(\det=(2x+1)\times3-2\times(-1)=6x+5\). \(6x+5=0\iff x=-\dfrac{5}{6}\).

Ensuite, 2) \(\det=3\times\dfrac{3}{4}-x\times x=\dfrac{9}{4}-x^2\). \(x^2=\dfrac{9}{4}\iff x=-\dfrac{3}{2}\) ou \(x=\dfrac{3}{2}\).

3) Il faut \(x\neq0\) pour que \(\vec{u}\) existe. \(\det=\dfrac{1}{x}\times x-2\times3=1-6=-5\neq0\) : aucune valeur de \(x\) ne convient.

De plus, 4) \(\det=(x+1)x-3\times2=x^2+x-6\). \(\Delta=1+24=25\), racines \(\dfrac{-1-5}{2}=-3\) et \(\dfrac{-1+5}{2}=2\) : \(x=-3\) ou \(x=2\) (on vérifie : \(x^2+x-6=(x+3)(x-2)\)).

Équation de \((AB)\). \(M(x\,;\,y)\in(AB)\iff\overrightarrow{AM}\binom{x-7}{y+1}\) et \(\overrightarrow{AB}\binom{-14}{5}\) sont colinéaires :

\[ \begin{aligned} (x-7)\times5-(y+1)\times(-14)=0 &\iff 5x-35+14y+14=0 \\ &\iff 5x+14y-21=0 \end{aligned} \]

Par ailleurs, Vérification avec \(B\) : \(5\times(-7)+14\times4-21=-35+56-21=0\).

Ainsi, Axe des ordonnées (\(x=0\)) : \(14y=21\iff y=\dfrac{3}{2}\). Point \(\left(0\,;\,\dfrac{3}{2}\right)\).

Donc, Axe des abscisses (\(y=0\)) : \(5x=21\iff x=\dfrac{21}{5}\). Point \(\left(\dfrac{21}{5}\,;\,0\right)\).

On cherche un réel \(k\) tel que \(\vec{v}=k\vec{u}\), en comparant les coefficients de \(\overrightarrow{AB}\) et de \(\overrightarrow{AC}\).

Également, 1) \(-3\vec{u}=-12\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\vec{v}\). Donc \(\vec{v}=-3\vec{u}\).

Par conséquent, 2) \(\dfrac{9}{2}\vec{u}=\dfrac{9}{2}\times\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{9}{2}\times\dfrac{5}{6}\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AB}+\dfrac{15}{4}\overrightarrow{AC}=\vec{v}\). Donc \(\vec{v}=\dfrac{9}{2}\vec{u}\).

En effet, 3) Avec Chasles, \(\overrightarrow{CA}=-\overrightarrow{AC}\), donc \(\vec{u}=\dfrac{15}{2}\overrightarrow{AB}-\dfrac{5}{4}\overrightarrow{AC}\). Alors :

\[ -\frac{5}{4}\vec{v}=-\frac{5}{4}\times(-6)\overrightarrow{AB}-\frac{5}{4}\overrightarrow{AC}=\frac{15}{2}\overrightarrow{AB}-\frac{5}{4}\overrightarrow{AC}=\vec{u} \]

Donc \(\vec{u}=-\dfrac{5}{4}\vec{v}\).

On suppose \(A\neq B\). \(\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}\) signifie que \(M\) est sur la droite \((AB)\), à l’« abscisse » \(k\) si l’on gradue la droite avec \(A\) en 0 et \(B\) en 1.

Ensuite, 1) \(A\) est le milieu de \([MB]\iff\overrightarrow{AM}=-\overrightarrow{AB}\iff\) \(k=-1\).

De plus, 2) Par Chasles, \(\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}=(k-1)\overrightarrow{AB}\), donc \(BM=|k-1|\times AB\). \(M\) est sur le cercle de centre \(B\) et de rayon \(2AB\iff|k-1|=2\iff\) \(k=3\) ou \(k=-1\).

Par ailleurs, 3) \(M\in[BA]\iff M\) est entre \(A\) (\(k=0\)) et \(B\) (\(k=1\)) \(\iff\) \(0\leqslant k\leqslant 1\).

1) On trace un triangle \(ABC\) quelconque (figure ci-dessous, où l’on a aussi placé \(M\)).

Ainsi, 2) a) On regroupe les deux premiers vecteurs. Comme \(-\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{MB}\), la relation de Chasles donne :

\[ \overrightarrow{AM}-\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{AB} \]

L’égalité de l’énoncé devient donc :

\[ \overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} \iff 2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AC} \iff \overrightarrow{MC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC} \]

Donc, on revient à \(\overrightarrow{AM}\) avec Chasles, en passant par \(C\) :

\[ \overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC} \]

Donc \(\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\).

Également, b) Les vecteurs \(\overrightarrow{AM}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires, donc les points \(A\), \(C\) et \(M\) sont alignés. Plus précisément, \(\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{MC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\) donnent \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MC}\) : \(M\) est le milieu du segment \([AC]\).

Par conséquent, c) On place \(M\) au milieu de \([AC]\) :

Première partie : \(d : x-4y-5=0\) et \(d^{\prime} : -2x+3y=4\).

En effet, 1) a) On remplace les coordonnées de \(A(1\,;\,-1)\) dans l’équation de \(d\) : \(1-4\times(-1)-5=1+4-5=0\). L’équation est vérifiée, donc \(A\in d\).

Ensuite, b) \(E\) a pour abscisse 5 : \(5-4y-5=0\iff -4y=0\iff y=0\). Donc \(E(5\,;\,0)\).

De plus, c) Deux points suffisent pour tracer une droite : \(d\) est la droite \((AE)\).

Par ailleurs, 2) On cherche deux points de \(d^{\prime}\) : pour \(x=-2\), \(3y=4-4=0\), donc \(y=0\) ; pour \(x=1\), \(3y=4+2=6\), donc \(y=2\) ; pour \(x=4\), \(3y=12\), donc \(y=4\). De plus, la droite \(d^{\prime}\) passe par \((-2\,;\,0)\), \((1\,;\,2)\) et \((4\,;\,4)\).

Ainsi, Deuxième partie : \(d : 2x+y+3=0\) et \(d^{\prime} : 3x-y+1=0\).

Suite du corrigé corrigé vecteurs première

Donc, 1) a) Intersection avec l’axe des ordonnées : \(x=0\), donc \(y+3=0\), soit \(y=-3\) : point \((0\,;\,-3)\).
Intersection avec l’axe des abscisses : \(y=0\), donc \(2x+3=0\), soit \(x=-\dfrac{3}{2}\) : point \(\left(-\dfrac{3}{2}\,;\,0\right)\), c’est-à-dire \((-1{,}5\,;\,0)\).

Également, b) On trace \(d\) en joignant ces deux points.

2) a) \(3x-y+1=0\iff y=3x+1\). Ensuite, en prenant \(x\) entier, \(y\) est entier : \((0\,;\,1)\) et \((1\,;\,4)\) conviennent (et aussi \((-1\,;\,-2)\)). Vérification : \(3\times1-4+1=0\).

Par conséquent, b) On trace \(d^{\prime}\) dans le même repère.

Tracé des droites. \(4x-y+5=0\iff y=4x+5\) : \(d\) passe par \((-2\,;\,-3)\), \((-1\,;\,1)\) et \((0\,;\,5)\).
\(-x+1{,}5y-3{,}5=0\iff 1{,}5y=x+3{,}5\iff y=\dfrac{2x+7}{3}\) : \(d^{\prime}\) passe par \((-5\,;\,-1)\), \((-2\,;\,1)\) et \((1\,;\,3)\).

Points inconnus. \(A\in d\) si et seulement si les coordonnées de \(A\) vérifient l’équation de \(d\). Par ailleurs, on remplace, puis on résout en \(m\).

Ensuite, 1) \(d : 2x-5y+2=0\).

• a) \(2m-5\times\left(-\dfrac{1}{3}\right)+2=0\iff 2m+\dfrac{11}{3}=0\iff\) \(m=-\dfrac{11}{6}\).
• b) \(2\times0-5m^2+2=0\iff m^2=\dfrac{2}{5}\iff\) \(m=\sqrt{\dfrac{2}{5}}=\dfrac{\sqrt{10}}{5}\) ou \(m=-\dfrac{\sqrt{10}}{5}\).
• c) \(2\times5m-5(2m+1)+2=10m-10m-5+2=-3\). On obtient \(-3=0\), ce qui est faux pour tout \(m\) : aucune valeur de \(m\) (les points \(A(5m\,;\,2m+1)\) décrivent une droite parallèle à \(d\), distincte de \(d\)).

Suite du corrigé corrigé vecteurs première

• d) \(2(m^2-1)-5m+2=0\iff 2m^2-5m=0\iff m(2m-5)=0\iff\) \(m=0\) ou \(m=\dfrac{5}{2}\).

De plus, 2) \(d^{\prime} : 4x+5=0\iff x=-\dfrac{5}{4}\) : seule l’abscisse compte.

• a) \(m=-\dfrac{5}{4}\) : \(m=-\dfrac{5}{4}\).
• b) L’abscisse vaut 0 et \(0\neq-\dfrac{5}{4}\) : aucune valeur de \(m\).
• c) \(5m=-\dfrac{5}{4}\iff\) \(m=-\dfrac{1}{4}\).
• d) \(m^2-1=-\dfrac{5}{4}\iff m^2=-\dfrac{1}{4}\), impossible car un carré est positif : aucune valeur de \(m\).

Méthode : \(M(x\,;\,y)\) appartient à la droite passant par \(P\) et dirigée par \(\vec{u}\binom{\alpha}{\beta}\) si et seulement si \(\overrightarrow{PM}\) et \(\vec{u}\) sont colinéaires, c’est-à-dire \(\det\left(\overrightarrow{PM},\vec{u}\right)=0\).

Par ailleurs, 1) \(\overrightarrow{AM}\binom{x-4}{y+1}\) et \(\vec{u}\binom{-2}{3}\) :

\[ (x-4)\times3-(y+1)\times(-2)=0\iff 3x-12+2y+2=0\iff 3x+2y-10=0 \]

Ainsi, Vérification avec \(A\) : \(12-2-10=0\). \(d_1 : 3x+2y-10=0\).

Donc, 2) \(\overrightarrow{BM}\binom{x}{y}\) et \(\vec{v}\binom{1}{5}\) : \(5x-y\times1=0\). \(d_2 : 5x-y=0\).

Également, 3) \(\overrightarrow{CM}\binom{x}{y+1}\) et \(\vec{r}\binom{1/3}{-1/2}\) :

\[ x\times\left(-\frac{1}{2}\right)-(y+1)\times\frac{1}{3}=0 \]

Par conséquent, on multiplie par \(-6\) : \(3x+2(y+1)=0\), soit \(d_3 : 3x+2y+2=0\) (on peut aussi remplacer \(\vec{r}\) par \(6\vec{r}\binom{2}{-3}\), plus simple).

En effet, 4) \(\overrightarrow{DM}\binom{x-1}{y-1}\) et \(\vec{s}\binom{0}{2}\) : \((x-1)\times2-(y-1)\times0=0\iff 2x-2=0\). \(d_4 : x-1=0\) : c’est une droite parallèle à l’axe des ordonnées.

Première partie. La droite d’équation \(ax+by+c=0\) a pour vecteur directeur \(\vec{u}\binom{-b}{a}\). Puis pour un point, on fixe une coordonnée (souvent \(x=0\)) et on calcule l’autre. Ensuite, on met d’abord chaque équation sous la forme \(ax+by+c=0\).

Ensuite, Vérifications : pour 2), \(12\times11+25\times(-5)-7=132-125-7=0\) ; pour 4), \(x=\frac{1}{2}\) pour tous les points, la droite est parallèle à l’axe des ordonnées ; pour 5), le coefficient directeur 2 donne directement \(\binom{1}{2}\).

Suite du corrigé corrigé vecteurs première

Deuxième partie. On calcule \(\overrightarrow{AB}\), puis on écrit \(\det\left(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AB}\right)=0\).

• 1) \(\overrightarrow{AB}\binom{-1}{1}\) : \((x-1)\times1-(y-2)\times(-1)=0\iff x+y-3=0\). \((AB) : x+y-3=0\) (vérification avec \(B\) : \(0+3-3=0\)).
• 2) \(\overrightarrow{AB}\binom{-1}{0}\) : \(x\times0-(y-5)\times(-1)=0\iff y-5=0\). \((AB) : y-5=0\), droite parallèle à l’axe des abscisses.
• 3) \(\overrightarrow{AB}\binom{1}{-1}\) : \(x\times(-1)-(y-1)\times1=0\iff -x-y+1=0\). \((AB) : x+y-1=0\).
• 4) \(\overrightarrow{AB}\binom{3/2}{-3}\), colinéaire à \(\binom{1}{-2}\) : \(\left(x-\frac{1}{2}\right)\times(-2)-(y+1)\times1=0\iff -2x+1-y-1=0\iff -2x-y=0\). \((AB) : 2x+y=0\) (vérification avec \(B\) : \(4-4=0\)).

On procède comme à l’exercice précédent, en simplifiant d’abord le vecteur directeur quand il contient des fractions.

Par ailleurs, 1) \(\overrightarrow{CD}\binom{2}{-3}\) : \((x-2)\times(-3)-y\times2=0\iff -3x+6-2y=0\). \(3x+2y-6=0\). Vérification avec \(D\) : \(12-6-6=0\).

Ainsi, 2) \(E\) et \(H\) ont la même abscisse 2 : la droite est parallèle à l’axe des ordonnées. \(x-2=0\).

Donc, 3) \(\overrightarrow{FR}\binom{2-\frac{1}{3}}{-\frac{1}{5}-3}=\binom{5/3}{-16/5}\). Puis en le multipliant par 15, on obtient le vecteur directeur \(\binom{25}{-48}\).

\[ \left(x-\frac{1}{3}\right)\times(-48)-(y-3)\times25=0\iff -48x+16-25y+75=0\iff 48x+25y-91=0 \]

Également, \(48x+25y-91=0\). Vérification avec \(R\) : \(96-5-91=0\).

Par conséquent, 4) \(\overrightarrow{LN}\binom{\frac{4}{3}-\frac{1}{3}}{-\frac{1}{2}-5}=\binom{1}{-11/2}\), colinéaire à \(\binom{2}{-11}\).

\[ \left(x-\frac{1}{3}\right)\times(-11)-(y-5)\times2=0\iff -11x+\frac{11}{3}-2y+10=0 \]

En effet, on multiplie par \(-3\) : \(33x+6y-41=0\). Vérification avec \(N\) : \(33\times\frac{4}{3}+6\times\left(-\frac{1}{2}\right)-41=44-3-41=0\).

On lit sur le quadrillage des points à coordonnées entières de chaque droite, puis on cherche l’équation qu’ils vérifient.

• \(d_4\) est verticale et coupe l’axe des abscisses au milieu entre 2 et 3 : c’est la droite \(x=2{,}5\), soit \(2x-5=0\) : équation 2).
• \(d_3\) passe par l’origine \(O(0\,;\,0)\) et par \((-3\,;\,-2)\). Seule l’équation 4) a un terme constant nul, et \(2\times(-3)-3\times(-2)=-6+6=0\) : équation 4) \(2x-3y=0\).
• \(d_2\) passe par \((0\,;\,1)\) et \((-1\,;\,0)\) : \(-0+1-1=0\) et \(1+0-1=0\). Équation 1) \(-x+y-1=0\), soit \(y=x+1\).
• \(d_1\) passe par \((0\,;\,3)\) et \((-3\,;\,0)\) : \(2\times0-2\times3+6=0\) et \(2\times(-3)-0+6=0\). Équation 3) \(2x-2y+6=0\), soit \(y=x+3\).

Ensuite, Remarque : \(d_1\) et \(d_2\) sont parallèles (même coefficient directeur 1), ce qui se voit sur la figure.

\(\vec{u}\binom{x}{y}\) et \(\vec{v}\binom{x^{\prime}}{y^{\prime}}\) sont colinéaires si et seulement si \(\det(\vec{u},\vec{v})=xy^{\prime}-yx^{\prime}=0\).

De plus, 1) \(\det(\vec{u},\vec{v})=3\times2-(-1)\times(-6)=6-6=0\) : colinéaires. De plus, en effet \(\vec{v}=-2\vec{u}\).

Par ailleurs, 2) \(\det(\vec{u},\vec{v})=0\times(-1)-4\times0=0\) : colinéaires (\(\vec{u}=-4\vec{v}\) ; les deux vecteurs dirigent l’axe des ordonnées).

Ainsi, 3) \(\det(\vec{u},\vec{v})=(-14)\times12-28\times(-8)=-168+224=56\neq0\) : non colinéaires.

\(d : -2x+3y-4=0\).

Donc, 1) Avec \(A(-1\,;\,2)\) : \(-2\times(-1)+3\times2-4=2+6-4=4\neq0\). L’équation n’est pas vérifiée : \(A\notin d\).

Également, 2) Un point de l’axe des abscisses a une ordonnée nulle. Ensuite, on pose \(y=0\) : \(-2x-4=0\iff x=-2\). Par ailleurs, le point d’intersection est \((-2\,;\,0)\).

On lit les déplacements sur le quadrillage (en carreaux, vers la droite et vers le haut) : \(\vec{u}\binom{1}{0}\) et \(\vec{v}\binom{-1}{1}\). Puis en prenant le coin inférieur gauche du quadrillage comme origine : \(C(3\,;\,2)\), \(A(5\,;\,2)\) et \(B(6\,;\,4)\).

Par conséquent, \(\overrightarrow{AB}\binom{1}{2}\). Ensuite, on cherche \(a\) et \(b\) tels que \(\overrightarrow{AB}=a\vec{u}+b\vec{v}\), c’est-à-dire \(\binom{1}{2}=\binom{a-b}{b}\). Donc \(b=2\) et \(a-b=1\), soit \(a=3\) : \(\overrightarrow{AB}=3\vec{u}+2\vec{v}\).

En effet, \(\overrightarrow{AC}\binom{-2}{0}\) : \(b=0\) et \(a=-2\), donc \(\overrightarrow{AC}=-2\vec{u}\).

Ensuite, \(\overrightarrow{BC}\binom{-3}{-2}\) : \(b=-2\) et \(a-b=-3\), soit \(a=-5\) : \(\overrightarrow{BC}=-5\vec{u}-2\vec{v}\). Puis on le retrouve avec Chasles : \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=-3\vec{u}-2\vec{v}-2\vec{u}=-5\vec{u}-2\vec{v}\).

Première partie. \(M(x\,;\,y)\in d\iff\det\left(\overrightarrow{AM},\vec{u}\right)=0\) avec \(\overrightarrow{AM}\binom{x}{y-1}\) et \(\vec{u}\binom{-1}{2}\) :

\[ x\times2-(y-1)\times(-1)=0\iff 2x+y-1=0\iff y=-2x+1 \]

De plus, Une équation de \(d\) est \(2x+y-1=0\), d’équation réduite \(y=-2x+1\) (le coefficient directeur \(\frac{2}{-1}=-2\) se lit aussi sur \(\vec{u}\)).

Également, Deuxième partie. \(y-3x=4\iff -3x+y-4=0\) : \(a=-3\) et \(b=1\), donc un vecteur directeur est \(\vec{u}\binom{-b}{a}=\binom{-1}{-3}\), ou plus simplement \(\binom{1}{3}\) (l’équation réduite \(y=3x+4\) a pour coefficient directeur 3).

Troisième partie. On isole \(y\).

• 1) \(x-y+2=0\iff y=x+2\) : \(d : y=x+2\).
• 2) \(6x+2y=1\iff 2y=-6x+1\iff y=-3x+\dfrac{1}{2}\) : \(d^{\prime} : y=-3x+\dfrac{1}{2}\).

ABCD est un carré de côté 8 et de centre O : ses diagonales ont la même longueur, sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu O. De plus, on utilise surtout la projection orthogonale : si H est le projeté orthogonal de C sur la droite (AB), alors \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH} \).

Donc, Notons I le milieu de [AB] et J le milieu de [BC] : ce sont les projetés orthogonaux de O sur (AB) et sur (BC).

Également, a) Le projeté de O sur (AB) est I, et \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{AI} \) sont de même sens :

Par conséquent :\[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AO} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AI} = AB \times AI = 8 \times 4 = 32 \]

b) O est le milieu de [BD], donc \( \overrightarrow{OD} = -\overrightarrow{OB} \). Ensuite, la demi-diagonale vaut \( OB = \dfrac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \), donc \( OB^2 = 32 \) :

En effet :\[ \overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OD} = -\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OB} = -OB^2 = -32 \]

Suite du corrigé corrigé vecteurs première

Ensuite, c) Les droites (AB) et (AD) sont perpendiculaires (angle droit en A), donc les vecteurs sont orthogonaux : \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = 0 \).

De plus, d) Le projeté de O sur (BC) est J, et \( \overrightarrow{BJ} \) a le même sens que \( \overrightarrow{BC} \) :

Par ailleurs :\[ \overrightarrow{BO} \cdot \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BJ} \cdot \overrightarrow{BC} = BJ \times BC = 4 \times 8 = 32 \]

L’énoncé ne donne aucune longueur : les résultats s’expriment en fonction de AB (et de la diagonale AC pour le dernier). Par ailleurs, on utilise deux propriétés de la figure :

• F est le milieu des diagonales, et son projeté orthogonal sur (AB) est le milieu H de [AB].
• E est le symétrique de F par rapport à (BC), donc (BC) est la médiatrice de [FE] : FB = BE et FC = CE. Comme FB = FC (demi-diagonales), BFCE est un losange, donc \( \overrightarrow{BE} = \overrightarrow{FC} = \overrightarrow{AF} \). Le projeté orthogonal K de E sur (AB) est sur le prolongement de [AB] au-delà de B, avec \( BK = HB = \dfrac{AB}{2} \).

Ainsi, a) Le projeté de E sur (AB) est K. \( \overrightarrow{BA} \) et \( \overrightarrow{BK} \) sont de sens contraires :

Donc :\[ \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BE} = \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BK} = -BA \times BK = -AB \times \frac{AB}{2} = -\frac{AB^2}{2} \]

Également, b) Le projeté de F sur (CD) est le milieu de [CD], à la distance \( \dfrac{CD}{2} \) de C, dans le sens de \( \overrightarrow{CD} \) :

Suite du corrigé corrigé vecteurs première

Par conséquent :\[ \overrightarrow{CF} \cdot \overrightarrow{CD} = CD \times \frac{CD}{2} = \frac{AB^2}{2} \]

c) Le projeté de F sur (AB) est H, de même sens que \( \overrightarrow{AB} \) :

En effet :\[ \overrightarrow{AF} \cdot \overrightarrow{AB} = AH \times AB = \frac{AB}{2} \times AB = \frac{AB^2}{2} \]

Ensuite, d) Le projeté de E sur (AB) est K, et \( \overrightarrow{BK} \) a le même sens que \( \overrightarrow{AB} \) :

De plus :\[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BE} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BK} = AB \times \frac{AB}{2} = \frac{AB^2}{2} \]

e) ABCD est un rectangle, donc \( \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} \). Puis le projeté de F sur (AB) est H, et \( \overrightarrow{BH} \) est de sens contraire à \( \overrightarrow{AB} \) :

Par ailleurs :\[ \overrightarrow{BF} \cdot \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{BH} \cdot \overrightarrow{AB} = -\frac{AB}{2} \times AB = -\frac{AB^2}{2} \]

Ainsi, f) Comme \( \overrightarrow{BE} = \overrightarrow{AF} \) (losange BFCE) et \( AF = \dfrac{AC}{2} \) :

Donc :\[ \overrightarrow{AF} \cdot \overrightarrow{BE} = \overrightarrow{AF} \cdot \overrightarrow{AF} = AF^2 = \frac{AC^2}{4} = \frac{AB^2 + BC^2}{4} \]

Également, (la dernière égalité vient du théorème de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en B).

I est le milieu de [AB], donc \( \overrightarrow{IB} = -\overrightarrow{IA} \) et \( IA = \dfrac{12}{2} = 6 \). Ensuite, on décompose avec la relation de Chasles en passant par I :

Par conséquent :\[ \begin{aligned} \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} &= \left(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA}\right) \cdot \left(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB}\right) \\ &= \left(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA}\right) \cdot \left(\overrightarrow{MI} – \overrightarrow{IA}\right) \\ &= MI^2 – IA^2 \\ &= MI^2 – 36 \end{aligned} \]

On résout alors :

En effet :\[ \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 4 \iff MI^2 – 36 = 4 \iff MI^2 = 40 \iff MI = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \]

(MI est une distance, donc positive.) L’ensemble cherché est formé des points situés à la distance \( 2\sqrt{10} \approx 6{,}32 \) de I : c’est un cercle de centre I.

Propriété : la droite d’équation cartésienne \( ax + by + c = 0 \) admet pour vecteur normal \( \vec{n}\binom{a}{b} \) : on lit les coefficients de x et de y, avec leur signe.

• a) \( 2x + y – 3 = 0 \) : a = 2, b = 1, donc \( \vec{n}\binom{2}{1} \).
• b) \( -3x + 5y = 0 \) : a = −3, b = 5 (ici c = 0), donc \( \vec{n}\binom{-3}{5} \).
• c) \( 5x – 3y + 2 = 0 \) : a = 5, b = −3, donc \( \vec{n}\binom{5}{-3} \).
• d) \( -2x – 4y + 1 = 0 \) : a = −2, b = −4, donc \( \vec{n}\binom{-2}{-4} \). Tout vecteur colinéaire non nul convient aussi, par exemple \( \binom{1}{2} \) (on a multiplié par \( -\frac{1}{2} \)).

On écrit d’abord chaque équation sous la forme \( ax + by + c = 0 \), puis on prend \( \vec{n}\binom{a}{b} \).

Ensuite, a) \( x = -2 \iff x + 2 = 0 \iff 1x + 0y + 2 = 0 \). Donc \( \vec{n}\binom{1}{0} \) : la droite est parallèle à l’axe des ordonnées, un vecteur normal est horizontal.

De plus, b) \( 2x + 5y – 1 = 0 \) : directement \( \vec{n}\binom{2}{5} \).

Par ailleurs, c) \( y = \frac{1}{2}x + 2 \iff \frac{1}{2}x – y + 2 = 0 \). Puis un vecteur normal est \( \binom{\frac{1}{2}}{-1} \) ; en multipliant par 2 (équation \( x – 2y + 4 = 0 \)), on obtient un vecteur plus simple \( \vec{n}\binom{1}{-2} \).

a) \( 4x + 5y – 1 = 0 \) : \( \vec{n}\binom{4}{5} \).

Ainsi, b) \( -2x + 7y = 0 \) : \( \vec{n}\binom{-2}{7} \).

Donc, c) Pour une équation réduite, on passe tout du même côté : \( y = -3x + 4 \iff 3x + y – 4 = 0 \), donc \( \vec{n}\binom{3}{1} \).

Également, d) \( y = -5x + 3 \iff 5x + y – 3 = 0 \), donc \( \vec{n}\binom{5}{1} \).

De même, Astuce : la droite d’équation réduite \( y = mx + p \) a toujours pour vecteur normal \( \binom{m}{-1} \) ou \( \binom{-m}{1} \) : ici \( \binom{3}{1} \) et \( \binom{5}{1} \).

Méthode : si \( \vec{n}\binom{a}{b} \) est normal à la droite, elle a une équation de la forme \( ax + by + c = 0 \). De plus, on trouve c en écrivant que les coordonnées de B vérifient l’équation.

En effet, a) \( \vec{n}\binom{1}{-3} \) : \( x – 3y + c = 0 \). Avec B(4 ; 1) : \( 4 – 3 + c = 0 \), donc \( c = -1 \). Équation : \( x – 3y – 1 = 0 \).

Ensuite, b) \( \vec{n}\binom{4}{2} \) : \( 4x + 2y + c = 0 \). Avec B(2 ; 3) : \( 8 + 6 + c = 0 \), donc \( c = -14 \). Équation : \( 4x + 2y – 14 = 0 \), soit en divisant par 2 : \( 2x + y – 7 = 0 \).

De plus, c) \( \vec{n}\binom{-3}{-1} \) : \( -3x – y + c = 0 \). Avec B(−2 ; −1) : \( 6 + 1 + c = 0 \), donc \( c = -7 \). Équation : \( -3x – y – 7 = 0 \), soit en multipliant par −1 : \( 3x + y + 7 = 0 \).

Par ailleurs, d) \( \vec{n}\binom{5}{3} \) : \( 5x + 3y + c = 0 \). Avec B(0 ; 5) : \( 0 + 15 + c = 0 \), donc \( c = -15 \). Équation : \( 5x + 3y – 15 = 0 \).

Vérification (d) : \( 5 \times 0 + 3 \times 5 – 15 = 0 \), le point B est bien sur la droite.

Même méthode : équation \( ax + by + c = 0 \) avec \( \binom{a}{b} = \vec{n} \), puis c grâce au point donné.

Donc, a) \( \vec{n}\binom{2}{3} \) : \( 2x + 3y + c = 0 \). Avec \( A\left(-\frac{2}{3} ; \frac{1}{3}\right) \) :

Également :\[ 2 \times \left(-\frac{2}{3}\right) + 3 \times \frac{1}{3} + c = 0 \iff -\frac{4}{3} + 1 + c = 0 \iff c = \frac{1}{3} \]

Par conséquent, équation : \( 2x + 3y + \frac{1}{3} = 0 \), soit en multipliant par 3 : \( 6x + 9y + 1 = 0 \).

En effet, b) \( \vec{n}\binom{-5}{1} \) : \( -5x + y + c = 0 \). Avec \( G\left(\frac{3}{2} ; -4\right) \) :

Ensuite :\[ -5 \times \frac{3}{2} – 4 + c = 0 \iff -\frac{15}{2} – \frac{8}{2} + c = 0 \iff c = \frac{23}{2} \]

De plus, équation : \( -5x + y + \frac{23}{2} = 0 \), soit en multipliant par −2 : \( 10x – 2y – 23 = 0 \).

Par ailleurs, c) \( \vec{n}\binom{3}{-2} \) : \( 3x – 2y + c = 0 \). Avec \( D\left(-\sqrt{3} ; -1\right) \) :

Ainsi :\[ 3 \times \left(-\sqrt{3}\right) – 2 \times (-1) + c = 0 \iff -3\sqrt{3} + 2 + c = 0 \iff c = 3\sqrt{3} – 2 \]

Donc, équation : \( 3x – 2y + 3\sqrt{3} – 2 = 0 \) (on garde la valeur exacte).

1. La droite d a pour équation \( 3x + y – 4 = 0 \), donc un vecteur normal à d est \( \vec{n}\binom{3}{1} \).

Également, 2. Une droite perpendiculaire à d a pour vecteur directeur \( \vec{n}\binom{3}{1} \). Ensuite, un vecteur normal à cette perpendiculaire est donc orthogonal à \( \vec{n} \), par exemple \( \binom{1}{-3} \) (car \( 3 \times 1 + 1 \times (-3) = 0 \)). Son équation est de la forme \( x – 3y + c = 0 \).

Par conséquent, Avec B(2 ; −3) : \( 2 – 3 \times (-3) + c = 0 \iff 2 + 9 + c = 0 \iff c = -11 \).

En effet, la perpendiculaire à d passant par B a pour équation \( x – 3y – 11 = 0 \).

Ensuite, 3. Le projeté orthogonal K de B sur d est le point d’intersection de d et de la perpendiculaire trouvée. Par ailleurs, on résout le système :

De plus :\[ \begin{cases} 3x + y – 4 = 0 \\ x – 3y – 11 = 0 \end{cases} \]

La première équation donne \( y = 4 – 3x \). Puis on remplace dans la seconde :

Par ailleurs :\[ x – 3(4 – 3x) – 11 = 0 \iff x – 12 + 9x – 11 = 0 \iff 10x = 23 \iff x = \frac{23}{10} \]

Suite du corrigé corrigé vecteurs première

puis \( y = 4 – 3 \times \dfrac{23}{10} = \dfrac{40}{10} – \dfrac{69}{10} = -\dfrac{29}{10} \).

Vérification : \( 3 \times 2{,}3 + (-2{,}9) – 4 = 6{,}9 – 2{,}9 – 4 = 0 \), donc K est bien sur d, et \( \overrightarrow{BK}\binom{0{,}3}{0{,}1} = 0{,}1 \times \binom{3}{1} \) est bien colinéaire à \( \vec{n} \).

Méthode : si d a pour équation \( ax + by + c = 0 \), son vecteur normal \( \binom{a}{b} \) est un vecteur directeur de toute perpendiculaire à d. Ensuite, un vecteur normal de la perpendiculaire est alors \( \binom{-b}{a} \) (ou \( \binom{b}{-a} \)), qui est orthogonal à \( \binom{a}{b} \). Puis on termine avec le point A.

Donc, a) d : \( x – 3y + 5 = 0 \), vecteur normal \( \binom{1}{-3} \). De plus, la perpendiculaire a pour vecteur normal \( \binom{3}{1} \) : \( 3x + y + c = 0 \). Avec A(3 ; 2) : \( 9 + 2 + c = 0 \iff c = -11 \). Équation : \( 3x + y – 11 = 0 \).

Également, b) d : \( 2x – 3y + 1 = 0 \), vecteur normal \( \binom{2}{-3} \). Ensuite, la perpendiculaire a pour vecteur normal \( \binom{3}{2} \) : \( 3x + 2y + c = 0 \). Avec A(−3 ; −1) : \( -9 – 2 + c = 0 \iff c = 11 \). Équation : \( 3x + 2y + 11 = 0 \).

Par conséquent, c) d : \( 5x + 3y = 0 \), vecteur normal \( \binom{5}{3} \). Par ailleurs, la perpendiculaire a pour vecteur normal \( \binom{3}{-5} \) : \( 3x – 5y + c = 0 \). Avec A(0 ; −2) : \( 0 + 10 + c = 0 \iff c = -10 \). Équation : \( 3x – 5y – 10 = 0 \).

Suite du corrigé corrigé vecteurs première

En effet, d) d : \( y = -3x + 1 \iff 3x + y – 1 = 0 \), vecteur normal \( \binom{3}{1} \). Puis la perpendiculaire a pour vecteur normal \( \binom{1}{-3} \) : \( x – 3y + c = 0 \). Avec A(−2 ; 0) : \( -2 – 0 + c = 0 \iff c = 2 \). Équation : \( x – 3y + 2 = 0 \).

Également, Contrôle rapide : dans chaque cas, le produit scalaire des deux vecteurs normaux est nul, par exemple en a) \( 1 \times 3 + (-3) \times 1 = 0 \) : les droites sont bien perpendiculaires.