Corrigé des 20 exercices sur les volumes en 4ème : pyramides, cônes et solides à télécharger en PDF

Volume d’un cône de rayon r et de hauteur h : \( V = \frac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h \).

En effet :\[ \begin{aligned} V &= \frac{1}{3} \times \pi \times 5^2 \times 6 \\ &= \frac{1}{3} \times \pi \times 25 \times 6 \\ &= \frac{150\pi}{3} = 50\pi \end{aligned} \]

Ensuite, Valeur approchée : \( 50\pi \approx 157{,}08 \text{ cm}^3 \).

La base est un rectangle de 30 m sur 50 m :

De plus :\[ \mathcal{B} = 30 \times 50 = 1\,500 \text{ m}^2 \]

Par ailleurs :\[ V = \frac{1}{3} \times \mathcal{B} \times h = \frac{1}{3} \times 1\,500 \times 90 = 500 \times 90 = 45\,000 \text{ m}^3 \]

La figure du patron n’apparaît pas dans l’énoncé fourni ; on donne la correction avec les notations habituelles de ce type de patron : un secteur circulaire de centre A limité par l’arc BC (la surface latérale), et un disque de centre O (la base).

Ainsi, 1. Le sommet du cône est le centre du secteur circulaire, le point A : quand on referme le patron, tous les points de l’arc BC se rejoignent autour du disque et A devient la pointe du cône.

Donc, 2. Le disque de base a pour centre O et pour rayon r la longueur d’un rayon du disque (par exemple [OM] si un point M est marqué sur le cercle).

Également, 3. Une génératrice relie le sommet à un point du cercle de base : sur le patron, c’est un rayon du secteur, par exemple AB (ou AC). Sa longueur est le rayon du secteur circulaire.

Suite du corrigé corrigé volumes 4ème

Par conséquent, 4. Quand on enroule le secteur, l’arc BC vient s’appliquer exactement sur le cercle de base. Ensuite, L’arc BC a donc la même longueur que le périmètre du disque de base :

En effet :\[ \text{arc BC} = 2 \times \pi \times r \]

Par exemple, si le rayon de base mesure 2 cm, l’arc BC mesure \( 4\pi \approx 12{,}57 \) cm.

1. ABCDE est une pyramide à base rectangulaire de sommet A : sa base BCDE est un rectangle.

Ensuite, 2. Le codage indique que l’arête [AB] est perpendiculaire à la base (angle droit en B). Par ailleurs, la hauteur de la pyramide est donc le segment [AB], qui mesure 5 cm.

De plus, 3. [AB] est perpendiculaire au plan de la base, donc à la droite (BC) : le triangle ABC est rectangle en B, avec AB = 5 cm et BC = 7 cm. Puis pour le tracer : on trace [BC] de 7 cm, la perpendiculaire à (BC) en B, on y place A à 5 cm de B, puis on trace [AC].

Par ailleurs, Contrôle de la longueur de l’hypoténuse avec le théorème de Pythagore :

Ainsi :\[ AC^2 = AB^2 + BC^2 = 25 + 49 = 74 \qquad AC = \sqrt{74} \approx 8{,}6 \text{ cm} \]

Aire de la base carrée : \( \mathcal{B} = 6 \times 6 = 36 \text{ cm}^2 \).

Donc :\[ V = \frac{1}{3} \times 36 \times 34 = 12 \times 34 = 408 \text{ cm}^3 \]

\[ \begin{aligned} V &= \frac{1}{3} \times \pi \times 7^2 \times 9 \\ &= \frac{1}{3} \times \pi \times 49 \times 9 \\ &= 49 \times 3 \times \pi = 147\pi \end{aligned} \]

Également, Valeur approchée au centième : \( 147\pi \approx 461{,}81 \text{ cm}^3 \).

La base est le triangle ABC rectangle en B : ses deux côtés de l’angle droit, [AB] et [BC], sont une base et la hauteur associée. Ensuite, on n’utilise pas AC (l’hypoténuse).

Par conséquent :\[ \mathcal{B} = \frac{AB \times BC}{2} = \frac{4{,}5 \times 6}{2} = 13{,}5 \text{ cm}^2 \]

En effet :\[ V = \frac{1}{3} \times 13{,}5 \times 7 = 4{,}5 \times 7 = 31{,}5 \text{ cm}^3 \]

Aire d’un parallélogramme = côté × hauteur relative à ce côté. Ici [AH] est la hauteur relative au côté [DC], et DC = AB = 4 cm (côtés opposés d’un parallélogramme). Puis la longueur AD = 4,5 cm ne sert pas.

Ensuite :\[ \mathcal{B} = DC \times AH = 4 \times 4 = 16 \text{ cm}^2 \]

De plus :\[ V = \frac{1}{3} \times 16 \times 8 = \frac{128}{3} \approx 42{,}67 \text{ cm}^3 \]

On note r le rayon (en cm). De plus, on écrit la formule du volume avec les données :

Par ailleurs :\[ \begin{aligned} \frac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times 5 &= 18 \\ \pi \times r^2 \times 5 &= 54 \\ r^2 &= \frac{54}{5\pi} \end{aligned} \]

r est une longueur, donc un nombre positif : c’est la racine carrée de ce nombre.

Ainsi :\[ r = \sqrt{\frac{54}{5\pi}} \approx 1{,}85 \text{ cm} \]

Donc, Vérification : \( \frac{1}{3} \times \pi \times 1{,}854^2 \times 5 \approx 18{,}0 \text{ cm}^3 \).

Aire de la base : \( 5 \times 5 = 25 \text{ cm}^2 \). Ensuite, on note h la hauteur (en cm) :

Également :\[ \begin{aligned} \frac{1}{3} \times 25 \times h &= 63 \\ 25 \times h &= 189 \\ h &= \frac{189}{25} = 7{,}56 \end{aligned} \]

Par conséquent, Vérification : \( \frac{1}{3} \times 25 \times 7{,}56 = \frac{189}{3} = 63 \text{ cm}^3 \).

Rappels utiles pour les six parties :

• Aires : d’une unité à la suivante (km², hm², dam², m², dm², cm², mm²), on multiplie ou on divise par 100. De plus 1 a = 1 dam² = 100 m² et 1 ha = 1 hm² = 10 000 m².
• Volumes : d’une unité à la suivante (m³, dm³, cm³, mm³), on multiplie ou on divise par 1 000.
• Contenances : d’une unité à la suivante (hL, daL, L, dL, cL, mL), on multiplie ou on divise par 10. Et 1 L = 1 dm³, 1 mL = 1 cm³.

1. Recopier et compléter.

• a. 4 dam² = 400 m² (× 100)
• b. 15 hm² = 150 000 m² (× 10 000)
• c. 5,1 cm² = 510 mm² (× 100)
• d. 1 350 mm² = 13,5 cm² (÷ 100)
• e. 5,2 km² = 5 200 000 m² (× 1 000 000)
• f. 0,7 m² = 0,007 dam² (÷ 100)
• g. 320 a = 32 000 m² (1 a = 100 m²)
• h. 2,5 ha = 25 000 m² (1 ha = 10 000 m²)
• i. 15 300 mm² = 153 cm² = 1,53 dm² = 0,0153 m²

Suite du corrigé corrigé volumes 4ème

Également, 2. Conversions en m².

• a. 2 km² = 2 000 000 m²
• b. 37 000 dm² = 370 m²
• c. 45 300 mm² = 0,0453 m²
• d. 153,7 dam² = 15 370 m²
• e. 28,9 cm² = 0,00289 m²
• f. 3,008 hm² = 30 080 m²
• g. 52 a = 5 200 m²
• h. 0,05 ha = 500 m²
• i. 200 ha = 2 000 000 m²

3. Conversions en cm².

• a. 15 mm² = 0,15 cm²
• b. 28 dm² = 2 800 cm²
• c. 17 300 mm² = 173 cm²
• d. 73,1 m² = 731 000 cm² (1 m² = 10 000 cm²)
• e. 0,004 m² = 40 cm²
• f. 27,008 dam² = 2 700,8 m² = 27 008 000 cm²
• g. 0,08 mm² = 0,0008 cm²
• h. 13 a = 1 300 m² = 13 000 000 cm²
• i. 0,0105 a = 1,05 m² = 10 500 cm²

Par ailleurs, 4. Volumes.

• a. 12 m³ = 12 000 dm³
• b. 10 mm³ = 0,00001 dm³ (÷ 1 000 000)
• c. 1 200 dm³ = 1,2 m³
• d. 0,75 m³ = 750 dm³
• e. 12 426 mm³ = 12,426 cm³
• f. 25,7 cm³ = 25 700 mm³

Exercice 11 (suite 3)

5. Contenances.

• a. 127 mL = 0,127 L
• b. 752,3 hL = 75 230 L
• c. 132 cL = 1,32 L
• d. \( \frac{1}{2} \) L = 0,5 L = 50 cL
• e. 0,051 L = 5,1 cL
• f. 25 dL = 250 cL
• g. 0,3 cL = 0,03 dL
• h. \( \frac{1}{4} \) L = 0,25 L = 2,5 dL

Donc, 6. Volumes et contenances (on passe par 1 L = 1 dm³).

• a. 12 L = 12 dm³
• b. 0,3 L = 0,3 dm³ = 300 cm³
• c. 40 mL = 0,04 L = 0,04 dm³
• d. 1,8 hL = 180 L = 180 dm³ = 0,180 m³
• e. 1 m³ = 1 000 dm³ = 1 000 L
• f. 24 dm³ = 24 L = 2 400 cL
• g. 12,9 dm³ = 12,9 L = 12 900 mL
• h. 42,1 m³ = 42 100 L = 421 hL

1. La boîte a deux bases qui sont des disques identiques et parallèles, et une surface latérale arrondie : c’est un cylindre de révolution.

Également, 2. Le volume d’un cylindre est \( V = \text{aire de la base} \times \text{hauteur} = \pi \times r^2 \times h \).

Le diamètre est 12 cm, donc le rayon est \( r = 12 \div 2 = 6 \) cm ; la hauteur est \( h = 3 \) cm.

\[ \begin{aligned} V &= \pi \times 6^2 \times 3 \\ &= \pi \times 36 \times 3 \\ &= 108\pi \text{ cm}^3 \\ &\approx 339{,}3 \text{ cm}^3 \end{aligned} \]

Le volume du coffre est la somme du volume du pavé droit et du volume du demi-cylindre.

Par conséquent, Le pavé droit mesure 50 cm × 85 cm × 35 cm :

\[ V_1 = 50 \times 85 \times 35 = 148\,750 \text{ cm}^3 \]

En effet, Le demi-cylindre a pour base un demi-disque dont le diamètre est la largeur du coffre, 50 cm, donc de rayon 25 cm ; sa longueur (sa hauteur de cylindre) est 85 cm. C’est la moitié d’un cylindre :

\[ V_2 = \frac{\pi \times 25^2 \times 85}{2} = \frac{53\,125\pi}{2} = 26\,562{,}5\pi \approx 83\,448{,}55 \text{ cm}^3 \]

Par ailleurs, Volume total :

\[ V = V_1 + V_2 \approx 148\,750 + 83\,448{,}55 \approx 232\,198{,}55 \text{ cm}^3 \]

La piscine est un solide « droit » de profondeur 1,2 m : son volume est l’aire du fond multipliée par la profondeur. Par ailleurs, on lit sur la figure que le fond se découpe en trois parties :

• un rectangle de 10 m sur 5 m (la largeur de 5 m est codée par l’angle droit à gauche) ;
• un demi-disque de diamètre 5 m, donc de rayon 2,5 m ;
• un triangle isocèle de base 5 m et de hauteur 3,1 m (ses deux côtés égaux mesurent 4 m).

Aire du fond :

\[ \begin{aligned} \mathcal{A}_{\text{rectangle}} &= 10 \times 5 = 50 \text{ m}^2 \\ \mathcal{A}_{\text{demi-disque}} &= \frac{\pi \times 2{,}5^2}{2} = 3{,}125\pi \approx 9{,}82 \text{ m}^2 \\ \mathcal{A}_{\text{triangle}} &= \frac{5 \times 3{,}1}{2} = 7{,}75 \text{ m}^2 \\ \mathcal{A} &\approx 50 + 9{,}82 + 7{,}75 \approx 67{,}57 \text{ m}^2 \end{aligned} \]

De même, Volume :

Suite du corrigé corrigé volumes 4ème

\[ V = \mathcal{A} \times 1{,}2 \approx 67{,}567 \times 1{,}2 \approx 81{,}081 \text{ m}^3 \]

Conversion en litres : 1 m³ = 1 000 dm³ = 1 000 L, donc \( V \approx 81\,081 \) L.

Donc, Vérification de la cohérence des mesures : dans le triangle isocèle, la hauteur coupe la base en deux segments de 2,5 m ; par le théorème de Pythagore, \( \sqrt{4^2 – 2{,}5^2} = \sqrt{9{,}75} \approx 3{,}12 \) m, ce qui correspond bien aux 3,1 m indiqués.

1. La tente a deux faces triangulaires identiques et parallèles (l’avant et l’arrière), reliées par des faces rectangulaires : c’est un prisme droit à base triangulaire.

Également, 2. Le volume d’un prisme droit est \( V = \text{aire de la base} \times \text{hauteur du prisme} \). Ici la base est le triangle de base 2 m et de hauteur 1,5 m, et la hauteur du prisme est la longueur de la tente, 2,5 m.

\[ \begin{aligned} \mathcal{A}_{\text{base}} &= \frac{2 \times 1{,}5}{2} = 1{,}5 \text{ m}^2 \\ V &= 1{,}5 \times 2{,}5 = 3{,}75 \text{ m}^3 \end{aligned} \]

a. Le pot de chocolat est un pavé droit de 20 cm × 15 cm × 12 cm :

\[ V_{\text{chocolat}} = 20 \times 15 \times 12 = 3\,600 \text{ cm}^3 \]

Par conséquent, le volume d’un pot de glace au chocolat est bien 3 600 cm³.

En effet, b. Le pot de vanille est un cylindre de diamètre 14 cm (rayon 7 cm) et de hauteur 15 cm :

\[ V_{\text{vanille}} = \pi \times 7^2 \times 15 = 735\pi \approx 2\,309{,}07 \text{ cm}^3 \]

Ensuite, Arrondi au cm³ : 2 309 cm³.

De plus, c. Une boule de diamètre 4,2 cm a pour rayon 2,1 cm. Puis le volume d’une boule de rayon \( r \) est \( \frac{4}{3} \pi r^3 \) :

\[ V_{\text{boule}} = \frac{4}{3} \times \pi \times 2{,}1^3 = \frac{4}{3} \times \pi \times 9{,}261 \approx 38{,}79 \text{ cm}^3 \]

Par ailleurs, Arrondi au cm³ : 39 cm³.

Ainsi, d. Pour 100 coupes, il faut 200 boules au chocolat et 100 boules à la vanille.

Suite du corrigé corrigé volumes 4ème

• Chocolat : \( 200 \times 38{,}79 \approx 7\,758 \) cm³, et \( 7\,758 \div 3\,600 \approx 2{,}16 \). Deux pots ne suffisent pas (7 200 cm³) : il faut 3 pots au chocolat.
• Vanille : \( 100 \times 38{,}79 \approx 3\,879 \) cm³, et \( 3\,879 \div 2\,309 \approx 1{,}68 \). Un pot ne suffit pas : il faut 2 pots à la vanille.

Donc, (Avec la valeur arrondie de 39 cm³ par boule, on trouve 7 800 cm³ et 3 900 cm³ : la conclusion est la même.)

Le volume d’un cône est \(\mathcal{V}=\dfrac{1}{3}\times\pi\times r^2\times h\).

1. \[\mathcal{V}=\dfrac{1}{3}\times\pi\times 3^2\times 8=\dfrac{1}{3}\times\pi\times 72=24\pi\]Valeur exacte : \(24\pi\,\text{cm}^3\).
2. \[24\pi\approx 75{,}40\]Valeur approchée : \(75{,}40\,\text{cm}^3\).

Le volume d’une pyramide est \(\mathcal{V}=\dfrac{1}{3}\times\mathcal{B}\times h\), où \(\mathcal{B}\) est l’aire de la base.

Aire de la base :

\[\mathcal{B}=6\times 4=24\,\text{cm}^2\]

Volume :

\[\mathcal{V}=\dfrac{1}{3}\times 24\times 9=72\,\text{cm}^3\]

Il faut 72 cm³ de verre.

1. Le diamètre vaut 4 m, donc le rayon vaut \(2\,\text{m}\).\[\mathcal{V}=\dfrac{1}{3}\times\pi\times 2^2\times 1{,}5=\dfrac{1}{3}\times\pi\times 6=2\pi\approx 6{,}28\]Le volume est d’environ \(6{,}28\,\text{m}^3\).
2. \[6{,}28\div 3\approx 2{,}09\]Deux voyages ne suffisent pas (\(2\times 3=6\lt 6{,}28\)). Il faut au minimum 3 voyages.

1. Cylindre : \[\mathcal{V}_{cyl}=\pi\times 3^2\times 10=90\pi\,\text{cm}^3\]Cône : \[\mathcal{V}_{c\hat{o}ne}=\dfrac{1}{3}\times\pi\times 3^2\times 10=30\pi\,\text{cm}^3\]
2. \[\dfrac{30\pi}{90\pi}=\dfrac{1}{3}\]Le cône représente un tiers du volume du cylindre.
3. \[90\pi-30\pi=60\pi\approx 188{,}50\]Il reste environ \(188{,}50\,\text{cm}^3\) de matière.