Corrigé des 27 exercices sur le cercle en 6ème : solutions détaillées à télécharger en PDF

a. De plus, Deux phrases possibles :

• « [OC] est un rayon du cercle de centre O » (de même que [OA] et [OB]).
• « [AB] est un diamètre du cercle de centre O » : c’est une corde qui passe par le centre.

b. De même, Phrases complétées :

• Le point O est le milieu du diamètre [AB].
• Ensuite, le point O est une extrémité du rayon [OC] (ou [OA], [OB]).
• Le point O est le centre du cercle.
• Également, A et B sont les extrémités du diamètre [AB].
• La portion de cercle comprise entre les points A et C est l’arc de cercle d’extrémités A et C, noté \( \overset{\frown}{AC} \).

a. Par conséquent, un rayon joint le centre à un point du cercle. Par ailleurs, on repère les points de chaque cercle : A, C, D, F sont sur (𝒞₁) ; A, B, C sur (𝒞₂) ; B, C, D, E sur (𝒞₃). Puis le point C est commun aux trois cercles.

• Rayon de (𝒞₁) : [MF] (ou [MA], [MC], [MD]).
• Donc, Rayon de (𝒞₂) : [NA] (ou [NB], [NC]).
• Rayon de (𝒞₃) : [OE] (ou [OB], [OC], [OD]).

b. On mesure un rayon à la règle, puis on double pour le diamètre. Ensuite, les valeurs dépendent de l’impression de la fiche ; sur la figure affichée à sa taille normale, on trouve environ :

De même, ce qui doit être juste dans tous les cas : la colonne « diamètre » vaut le double de la colonne « rayon », et (𝒞₂) est le plus petit cercle, (𝒞₃) le plus grand.

a. Par conséquent, on construit le carré ABCD de côté 8 cm (angles droits à l’équerre). Son centre O est le point d’intersection des diagonales [AC] et [BD].

b. De plus, les milieux sont à 4 cm des sommets : AI = IB = BJ = JC = CK = KD = DL = LA = 4 cm.

c.

• (𝒞₁) : centre O, rayon OA. Comme les diagonales d’un carré ont même longueur et même milieu, OA = OB = OC = OD : ce cercle passe par les quatre sommets. (OA ≈ 5,7 cm.)
• Donc, (𝒞₂) : centre O, écartement du compas 2,5 cm. Il reste à l’intérieur du carré, car O est à 4 cm de chaque côté.
• (𝒞₃) : [OD] est un diamètre, donc son centre est le milieu de [OD] et son rayon vaut OD ÷ 2 (≈ 2,8 cm). Il passe par O et par D, et aussi par L et K.

La figure (une croix basque) est entièrement faite de cercles et demi-cercles dont les centres sont sur les axes, à un nombre entier de carreaux du centre.

1. De plus, Tracer les deux axes et le grand cercle de centre le point central et de rayon 8 carreaux.
2. Branche de droite : demi-cercle de rayon 4 carreaux centré à 4 carreaux à droite du centre, sous l’axe (du centre jusqu’au bord).
3. De plus, Demi-cercle de rayon 2 carreaux centré à 6 carreaux, au-dessus de l’axe (la « bosse »).
4. Demi-cercle de rayon 2 carreaux centré à 2 carreaux, sous l’axe (le « creux » près du centre).
5. Par ailleurs, Recommencer pour les trois autres branches en tournant d’un quart de tour : vers le haut, vers la gauche, vers le bas.

On lit le codage : des traits identiques signalent des longueurs égales.

• a. De même, le diamètre du cercle de gauche porte le même codage que l’espace de 4 cm : ce diamètre mesure 4 cm (rayon 2 cm). Sur la même droite, on laisse 4 cm puis on trace le cercle de droite de rayon 2,6 cm, dont le bord gauche est à 4 cm du premier cercle.
• b. Grand cercle de diamètre 6 cm (rayon 3 cm). Par ailleurs, le petit cercle a pour centre l’extrémité droite de ce diamètre et pour rayon 2 cm.
• c. Cercle de gauche de rayon 3,5 cm. Ainsi, Au point où il coupe la droite à droite, on place l’extrémité d’un diamètre de 5 cm du second cercle (rayon 2,5 cm) : les deux cercles se touchent en ce point.

a. Le diamètre du grand disque est découpé en 8 segments codés de même longueur ; la flèche indique que l’un d’eux mesure 2 cm.

• Petits cercles : diamètre 2 × 2 = 4 cm, donc rayon 2 cm.
• Cercle moyen : diamètre 4 × 2 = 8 cm, donc rayon 4 cm.
• Grand cercle : diamètre 4 + 4 + 8 = 16 cm, donc rayon 8 cm.

On trace un segment de 16 cm, on place les centres à 2 cm, 6 cm, 8 cm et 12 cm de l’extrémité gauche, puis les quatre cercles.

b. Le segment est formé de deux parties codées égales de 4,6 cm, soit 9,2 cm en tout.

• Par ailleurs, Grand demi-cercle (au-dessus) de diamètre 9,2 cm : centre au milieu, rayon 4,6 cm.
• Petit demi-cercle (au-dessus, à gauche) de diamètre 4,6 cm : rayon 2,3 cm, il forme le creux.
• Également, Petit demi-cercle (en dessous, à droite) de diamètre 4,6 cm : rayon 2,3 cm.

On lit sur la figure : O milieu de [AB] avec OB = 4,4 cm, donc AB = 8,8 cm ; M sur le cercle avec AM = 3,5 cm ; les codes montrent que M est le milieu de [AC].

Ainsi, Programme de construction possible :

1. Tracer un segment [AB] de longueur 8,8 cm et placer son milieu O.
2. Par conséquent, Tracer le cercle de centre O passant par A (cercle de diamètre [AB]).
3. Placer un point M sur ce cercle tel que AM = 3,5 cm.
4. Placer le point C sur la demi-droite [AM) tel que M soit le milieu de [AC] (AC = 7 cm).
5. Tracer le triangle ABC.

a. Également, on trace [CD] de 3,5 cm.

Les points à moins de 2,5 cm de C sont à l’intérieur du cercle de centre C et de rayon 2,5 cm ; ceux à plus de 2,5 cm de D sont à l’extérieur du cercle de centre D et de rayon 2,5 cm.

b. Zone rouge : dans le disque de centre C, mais en dehors du disque de centre D.

c. Zone verte : dans le disque de centre D, mais en dehors du disque de centre C.

d. Donc, le milieu I de [CD] vérifie \( CI = DI = 3{,}5 \div 2 = 1{,}75 \) cm. Comme \( 1{,}75 \lt 2{,}5 \), I est à moins de 2,5 cm de C et de D : il est dans les deux disques, donc dans la partie commune qui n’est coloriée ni en rouge ni en vert.

a. Programme 1. De même, AC = 5 cm, cercle de diamètre [AC], B sur le cercle avec AB = 4 cm. Puis le triangle ABC est rectangle en B (B est sur le cercle de diamètre [AC]) ; on mesure BC = 3 cm. De plus, on place O et D sur la demi-droite [BC) avec BC = CO = OD = 3 cm. Ensuite, on trace [AD], le cercle de diamètre [AD] et le cercle de centre O passant par D (rayon 3 cm), qui passe aussi par C.

Ainsi, Programme 2. AD = 13 cm, cercle de diamètre [AD], B sur ce cercle avec AB = 5 cm (on mesure BD = 12 cm). Donc, O sur [BD] avec OD = 4 cm. Par ailleurs, le cercle de centre O passant par D a pour rayon 4 cm : il recoupe [BD] en C avec OC = 4 cm, donc DC = 8 cm et BC = 12 − 8 = 4 cm. Puis on trace [AC] et le cercle de diamètre [AC].

Exercice 9 : Programmes de construction distincts (suite)

b. Également, Remarque : les deux programmes donnent le même type de figure. Ensuite, dans les deux cas, ABC est rectangle en B, les points B, C, O, D sont alignés et régulièrement espacés (3 cm puis 4 cm), B est sur le cercle de diamètre [AC] et sur celui de diamètre [AD], et le cercle de centre O passe par C et D. Seules les dimensions changent ; on peut décrire une même figure par des programmes différents, en partant d’un segment différent.

a. De même, Échelle : 1 m → 1 cm. Puis la niche est un carré de 2 m de côté contre le mur, la laisse est attachée à son coin sur le mur. De plus, le chien reste à une distance de ce point au plus égale à la longueur de laisse, mais la laisse s’enroule autour des coins de la niche.

• Laisse de 2 m : un quart de disque de rayon 2 cm, centré au point d’attache, du côté libre.
• Également, Laisse de 4 m : un quart de disque de rayon 4 cm, plus, sous la niche, un quart de disque de rayon \( 4 – 2 = 2 \) cm centré au coin inférieur de la niche.
• Laisse de 6 m : un quart de disque de rayon 6 cm, un quart de disque de rayon 4 cm centré au coin inférieur droit de la niche, et, à gauche de la niche, un quart de disque de rayon \( 6 – 2 – 2 = 2 \) cm centré au coin inférieur gauche.

Exercice 10 : A la ferme (corrigé cercle 6ème) (suite)

b. Enclos de 10 cm sur 8 cm ; chaque chèvre broute un quart de disque centré en un coin.

• De plus, Corde de 5 m : quatre quarts de disque de rayon 5 cm. Sur les côtés de 10 m, les deux quarts de disque se touchent juste au milieu (5 + 5 = 10). Par ailleurs, Sur les côtés de 8 m, ils se chevauchent (5 + 5 = 10 \( \gt \) 8) : zone broutée par 2 chèvres. Le centre de l’enclos est à environ 6,4 m de chaque coin : il reste une zone où aucune chèvre ne va.
• Corde de 7 m : les quarts de disque se chevauchent sur tous les côtés, et même en diagonale (la diagonale mesure environ 12,8 m \( \lt \) 14 m). Ensuite, le centre, à 6,4 m de chaque coin, est brouté par les 4 chèvres ; on obtient des zones à 1, 2, 3 ou 4 chèvres et plus aucune zone vide.

Calcul de la demi-diagonale : \( \sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{41} \approx 6{,}4 \) m (on peut aussi la mesurer sur le dessin).

a. On cherche d’abord la longueur d’un motif le long de la frise.

• De même, un carré a 4 cm de côté.
• Un losange est posé avec sa grande diagonale verticale (10 cm) : sa largeur dans le sens de la frise est donc sa petite diagonale, soit 4 cm.

Un motif « 1 losange + 1 carré » mesure donc \( 4 + 4 = 8 \text{ cm} \). Ensuite, le périmètre de la chambre est \( 15 \text{ m} = 1\,500 \text{ cm} \).

\[ 1\,500 = 187 \times 8 + 4 \]

Donc, on place 187 motifs complets (1 496 cm) et il reste 4 cm : juste la place d’un losange de plus, comme sur le pochoir qui commence et finit par un losange. Vérification : \( 188 \times 4 + 187 \times 4 = 752 + 748 = 1\,500 \text{ cm} \).

On verrait donc 188 losanges et 187 carrés tout autour de la chambre.

b. Donc, on calcule l’aire des motifs à peindre.

• Aire d’un losange : \( \dfrac{\text{grande diagonale} \times \text{petite diagonale}}{2} = \dfrac{10 \times 4}{2} = 20 \text{ cm}^2 \).
• De même, Aire d’un carré : \( 4 \times 4 = 16 \text{ cm}^2 \).

\[ \begin{aligned} \mathcal{A} &= 188 \times 20 + 187 \times 16 \\ &= 3\,760 + 2\,992 \\ &= 6\,752 \text{ cm}^2 \end{aligned} \]

Comme \( 1 \text{ m}^2 = 10\,000 \text{ cm}^2 \), on a \( 6\,752 \text{ cm}^2 = 0{,}6752 \text{ m}^2 \).

Donc, le pot de peinture doit pouvoir recouvrir au moins 0,6752 m², soit environ 0,68 m² (pour une seule couche).

De plus, pour reproduire une figure faite de cercles, il faut trouver le centre et le rayon de chaque cercle. Ici, tous les centres sont sur la ligne en pointillés : on commence donc par tracer une droite et on y mesure les longueurs à partir de l’extrémité gauche.

Figure 1. Longueur totale sur la droite : \( 4 + 2 + 4 = 10 \text{ cm} \). Par ailleurs, on place un point X à gauche de la droite (le bord gauche de la figure).

• Cercle rouge : diamètre 4 cm, donc rayon 2 cm ; centre A à 2 cm de X.
• Cercle bleu : rayon 2 cm ; il commence à \( 4 + 2 = 6 \text{ cm} \) de X, donc son centre B est à 8 cm de X.
• Demi-cercle jaune du haut : il va du bord gauche du cercle rouge au bord gauche du cercle bleu, soit un diamètre de \( 4 + 2 = 6 \text{ cm} \) : rayon 3 cm, centre O à 3 cm de X. Ainsi, on trace seulement la moitié au-dessus de la droite.
• Demi-cercle jaune du bas : il va du bord droit du cercle rouge (4 cm) au bord droit du cercle bleu (10 cm) : diamètre 6 cm, rayon 3 cm, centre P à 7 cm de X. Par conséquent, on trace la moitié sous la droite.

Exercice 12 : Construction de cercles (suite)

Figure 2. Longueur du diamètre en pointillés : \( 6 + 3 + 3 = 12 \text{ cm} \). Puis on part encore du bord gauche X.

• Grand cercle : diamètre 12 cm, rayon 6 cm, centre O à 6 cm de X.
• Ainsi, Cercle jaune (le croissant) : il va de X jusqu’au bord droit du disque de 3 cm, soit \( 6 + 3 = 9 \text{ cm} \) de diamètre : rayon 4,5 cm, centre J à 4,5 cm de X.
• Disque bleu de 6 cm : rayon 3 cm, centre I à 3 cm de X.
• Donc, Petit disque bleu de 3 cm : rayon 1,5 cm, centre K à \( 6 + 1{,}5 = 7{,}5 \text{ cm} \) de X (il commence exactement en O).
• Petit disque jaune de 3 cm : rayon 1,5 cm, centre L à \( 9 + 1{,}5 = 10{,}5 \text{ cm} \) de X.

On trace les cercles du plus grand au plus petit, puis on colorie.

a. On trace d’abord le carré de 6 cm de côté en pointillés. Ainsi, Chaque branche du moulinet est formée de deux arcs :

• un quart de cercle de rayon 6 cm (la longueur du côté), dont le centre est un sommet du carré ; par exemple, pour la branche du haut, centre au sommet en haut à droite, on part du sommet en haut à gauche et on monte jusqu’au point situé 6 cm au-dessus du centre ;
• un demi-cercle de rayon 3 cm (diamètre 6 cm) qui revient de la pointe jusqu’au sommet du carré ; son centre est le milieu de ce diamètre, à 3 cm du sommet.

Également, on recommence de la même façon en tournant autour du carré pour les trois autres branches.

b. De plus, le périmètre est la longueur du contour : les pointillés du carré n’en font pas partie. Ensuite, le contour est formé de 4 quarts de cercle de rayon 6 cm et de 4 demi-cercles de rayon 3 cm.

• Un quart de cercle de rayon 6 cm : \( \dfrac{2 \times \pi \times 6}{4} = 3\pi \text{ cm} \).
• Par conséquent, un demi-cercle de rayon 3 cm : \( \dfrac{2 \times \pi \times 3}{2} = 3\pi \text{ cm} \).

\[ \begin{aligned} p &= 4 \times 3\pi + 4 \times 3\pi \\ &= 24\pi \\ &\approx 75{,}4 \text{ cm} \end{aligned} \]

(Avec \( \pi \approx 3{,}14 \), on trouve \( 24 \times 3{,}14 = 75{,}36 \text{ cm} \).)

1. On trace un segment [RS] de 6 cm.

2. Tous les points sont à 6 cm de S : ils sont donc tous sur le cercle de centre S et de rayon 6 cm, que l’on trace en premier (il passe par R, puisque SR = 6 cm).

De même, pour placer A et B : on pique le compas en R avec un écartement de 1 cm et on trace un arc qui coupe le cercle de centre S en deux points : ce sont A et B (un de chaque côté de [RS]). Puis on fait de même avec un écartement de 3 cm (C et D), 5 cm (E et F), 7 cm (G et H), 9 cm (I et J) et 11 cm (K et L). Chaque arc coupe bien le cercle, car chaque distance est plus petite que \( 6 + 6 = 12 \text{ cm} \).

3. De plus, on trace les 12 triangles RSA, RSB, RSC, RSD, RSE, RSF, RSG, RSH, RSI, RSJ, RSK et RSL.

Exercice 14 : Construction de cercle et triangles (suite)

4. Codage des longueurs égales :

• Ensuite, SR, SA, SB, SC, …, SL mesurent tous 6 cm : on met le même codage sur tous ces segments. Chaque triangle a donc deux côtés égaux : ils sont tous isocèles en S.
• RA = RB (1 cm) : un deuxième codage ; RC = RD (3 cm) : un troisième ; puis RE = RF, RG = RH, RI = RJ et RK = RL, chacun avec son propre codage.

1. Également, on place un point O. De plus, on écarte le compas de 3 cm sur la règle, on pique la pointe en O et on trace le cercle : c’est le cercle de centre O et de rayon 3 cm.

2. Ainsi, Attention, on donne ici le diamètre : le rayon est la moitié du diamètre.

\[ r = 5 \div 2 = 2{,}5 \text{ cm} \]

On écarte donc le compas de 2,5 cm, on pique en O et on trace le cercle. Ensuite, il est à l’intérieur du premier, car 2,5 cm est plus petit que 3 cm.

1. On trace un segment [AB] de 4 cm (on ne garde que ses extrémités A et B).

2. Ensuite, on pique le compas en A, on l’écarte jusqu’à B et on trace le cercle : il passe par B.

De même, le segment [AB] relie le centre à un point du cercle : c’est un rayon. Par ailleurs, le rayon mesure donc 4 cm. Puis le diamètre est le double du rayon :

\[ d = 2 \times 4 = 8 \text{ cm} \]

1. On trace un segment [PQ] (par exemple de 5 cm) et on place son milieu H (à 2,5 cm de P).

2. Donc, on pique le compas en H, on l’écarte jusqu’à P et on trace le cercle. Comme H est le milieu de [PQ], HQ = HP : le cercle passe aussi par Q.

3. Ensuite, le segment [PQ] a ses deux extrémités sur le cercle et passe par le centre H : c’est un diamètre du cercle.

1. On trace un segment [EF] (par exemple de 3,5 cm), puis on pique le compas en E, on l’écarte jusqu’à F et on trace le cercle de centre E passant par F. De plus, Son rayon est EF.

2. On garde le même écartement (EF), on pique en F et on trace le cercle de centre F et de rayon EF.

Les deux cercles ont le même rayon EF. Ensuite, le second passe par E, puisque FE = EF : chaque cercle passe par le centre de l’autre.

1. On marque A et on trace le cercle φ de centre A et de rayon 2 cm.

2. Ainsi, on place E, F, G et H en mesurant les distances depuis A (dans n’importe quelle direction).

3. Un point appartient au cercle φ lorsque sa distance au centre A est exactement égale au rayon, 2 cm.

• De plus, A : c’est le centre, AA = 0 cm : A n’appartient pas au cercle.
• E : AE = 4 cm, plus que 2 cm : E n’appartient pas au cercle (il est à l’extérieur).
• De plus, F : AF = 2,1 cm, différent de 2 cm : F n’appartient pas au cercle (il est à l’extérieur, tout près).
• G : AG = 2 cm : G appartient au cercle φ.
• De même, H : AH = 1,5 cm, moins que 2 cm : H n’appartient pas au cercle (il est à l’intérieur).

1. On reproduit le cercle de centre O et la corde [AB] : A et B sont deux points du cercle, et une corde est un segment qui joint deux points du cercle.

2. Le point C doit être sur le cercle (pour que [BC] soit une corde). Puis la corde [AB] partage le disque en deux parties ; O est dans la grande partie. De plus, pour que O soit à l’intérieur du triangle ABC, on place C dans cette grande partie, loin de A et de B, par exemple en haut du cercle. Ensuite, on trace [BC] puis [CA].

3. De plus, le point E doit être sur le cercle. Par ailleurs, pour que O soit à l’extérieur du triangle ABE, on place E sur le petit arc compris entre A et B (dans la petite partie, en bas à droite). Tout le triangle ABE est alors du même côté de la corde [AB] que E, alors que O est de l’autre côté.

a. Ensuite, un rayon joint le centre à un point du cercle. Puis on repère les points qui sont sur chaque cercle :

• (𝒞₁) a pour centre M et passe par F, A, C et D : [MF] est un rayon (ou [MA], [MC], [MD]) ;
• De même, (𝒞₂) a pour centre N et passe par A, B et C : [NA] est un rayon (ou [NB], [NC]) ;
• (𝒞₃) a pour centre O et passe par E, B, C et D : [OE] est un rayon (ou [OB], [OC], [OD]).

b. On mesure un rayon à la règle, puis on double pour le diamètre. Ensuite, les mesures dépendent de la taille de la figure imprimée ou affichée ; sur la figure telle qu’elle apparaît ici, on trouve environ :

Ce qui compte : la colonne « Diamètre » doit toujours contenir le double de la colonne « Rayon », et (𝒞₃) est le plus grand cercle, (𝒞₂) le plus petit.

Ensuite, Sur un quadrillage, on repère chaque centre sur un nœud (croisement de lignes) et chaque rayon en nombre de carreaux. Puis on note un nœud (colonne ; ligne) en comptant les carreaux depuis le coin en haut à gauche.

a. Le parapluie (12 carreaux de large, 16 de haut).

• Le sommet est au milieu du bord du haut, en (6 ; 0). Ensuite, on le relie aux points (0 ; 6), (4 ; 6), (8 ; 6) et (12 ; 6).
• Trois demi-cercles de rayon 2 carreaux, tournés vers le bas, de centres (2 ; 6), (6 ; 6) et (10 ; 6).
• De plus, le manche descend de (6 ; 8) à (6 ; 15) ; le crochet est un demi-cercle de rayon 1 carreau de centre (7 ; 15), tourné vers le bas.

b. La croix aux bords arrondis (16 carreaux sur 16).

• Aux quatre coins : des arcs de rayon 2 carreaux (trois quarts de cercle), de centres (3 ; 3), (13 ; 3), (3 ; 13) et (13 ; 13).
• De même, Au milieu de chaque côté : un demi-cercle de rayon 3 carreaux tourné vers l’intérieur, de centres (8 ; 3), (3 ; 8), (13 ; 8) et (8 ; 13).

Exercice 22 : Quadrillage et cercles (corrigé cercle 6ème) (suite)

c. La rosace (16 carreaux sur 16).

• Le grand cercle : centre (8 ; 8), rayon 8 carreaux.
• Par conséquent, Quatre cercles de rayon 4 carreaux, de centres (8 ; 4), (4 ; 8), (12 ; 8) et (8 ; 12) : chacun passe par le centre (8 ; 8) et touche le grand cercle.
• Le petit cercle vert : centre (8 ; 8), rayon 2 carreaux.

a. Par conséquent, les points situés à moins de 5 cm de C sont à l’intérieur du cercle de centre C et de rayon 5 cm. De plus, les points situés à plus de 3 cm de C sont à l’extérieur du cercle de centre C et de rayon 3 cm.

On trace ces deux cercles de même centre C (en pointillés, car les points des cercles ne sont pas « à moins de » ni « à plus de ») et on colorie en rouge la couronne comprise entre les deux.

b. La zone jaune est une couronne de centre D comprise entre le cercle de rayon 2,5 cm et le cercle de rayon 4,5 cm. Ensuite, les points de la zone jaune sont donc les points situés à plus de 2,5 cm de D et à moins de 4,5 cm de D.

a. On trace un segment [AB] de 5 cm.

b. Par conséquent, les points à moins de 3 cm de A forment l’intérieur du disque de centre A et de rayon 3 cm : on le colorie en rouge.

c. Les points à moins de 4 cm de B forment l’intérieur du disque de centre B et de rayon 4 cm : on le colorie en bleu.

d. Le milieu I de [AB] est à \( 5 \div 2 = 2{,}5 \text{ cm} \) de A et de B.

• Par conséquent, 2,5 cm est moins que 3 cm : I est dans la zone rouge ;
• 2,5 cm est moins que 4 cm : I est dans la zone bleue.

Le milieu de [AB] se situe donc dans la partie coloriée à la fois en rouge et en bleu.

e. Par conséquent, les points qui sont à la fois dans la zone rouge et dans la zone bleue sont situés à moins de 3 cm de A et à moins de 4 cm de B.

a. De plus, on trace une droite et on place deux points A et B dessus.

b. B est le milieu de [AD] : D est sur la droite, de l’autre côté de B par rapport à A, avec BD = AB. Par ailleurs, on reporte la longueur AB au compas à partir de B.

c. A est le milieu de [CD] : C est sur la droite, de l’autre côté de A par rapport à D, avec AC = AD. Or \( AD = AB + BD = 2 \times AB \), donc AC = 2 × AB.

d. Le cercle de centre A et de rayon AB coupe la droite en deux points : B et un autre point E, situé de l’autre côté de A, avec AE = AB.

e. E est entre C et A, et \( AE = AB \) alors que \( AC = 2 \times AB \). Donc \( CE = AC – AE = 2 \times AB – AB = AB \), c’est-à-dire CE = EA. Puis le point E est sur le segment [CA] et à égale distance de C et de A : E est le milieu de [AC].

a. On observe la figure : les cinq petits cercles ont le même rayon r. Ensuite, le cercle du milieu a le même centre O que le grand cercle. Chaque petit cercle extérieur touche le cercle du milieu : son centre est donc à \( r + r = 2r \) de O. Puis il touche aussi le grand cercle : le rayon du grand cercle vaut \( 2r + r = 3r \). De plus, en mesurant, on vérifie que le grand rayon est bien trois fois le petit.

Les quatre cercles extérieurs sont répartis régulièrement : leurs centres sont aux extrémités de deux diamètres perpendiculaires du cercle de centre O et de rayon 2r.

Construction avec r = 2 cm :

1. tracer le grand cercle de centre O et de rayon 6 cm ;
2. tracer le cercle central de centre O et de rayon 2 cm ;
3. tracer légèrement (au crayon) le cercle de centre O et de rayon 4 cm, puis deux diamètres perpendiculaires de ce cercle : leurs 4 extrémités sont les centres des autres cercles ;
4. tracer les quatre cercles de rayon 2 cm autour de ces centres, puis effacer les traits de construction.

Exercice 26 : Reproduire des figures contenant des cercles (suite)

b. Le quadrillage fait 18 carreaux de côté. Ensuite, on compte les carreaux :

• le grand cercle a pour centre O, au milieu du quadrillage (9 carreaux du bord gauche, 9 du haut), et pour rayon 8 carreaux ;
• la ligne en S est faite de deux demi-cercles de rayon 4 carreaux : celui de gauche a son centre à 4 carreaux à gauche de O et il est tracé au-dessus du diamètre horizontal ; celui de droite a son centre à 4 carreaux à droite de O et il est tracé en dessous ;
• les deux petits disques ont les mêmes centres que ces demi-cercles et un rayon de 1 carreau : le noir à gauche, le blanc à droite.

On colorie en noir la moitié haute du grand disque sans le demi-disque blanc de gauche, plus le demi-disque du bas à droite ; on garde le petit disque de droite blanc et on noircit celui de gauche.

a. La calculatrice affiche 0,076923076. Par ailleurs, on remarque que la suite de chiffres 076923 se répète : après 0,076923 on retrouve 076… C’est normal : dans la division de 1 par 13, les restes ne peuvent prendre que 12 valeurs, donc on finit par retrouver un reste déjà obtenu et les chiffres recommencent.

\[ \frac{1}{13} = 0{,}076923\,076923\,076923\ldots \]

La calculatrice affiche les 9 premières décimales : 0 7 6 9 2 3 0 7 6. Puis les dix décimales suivantes (de la 10e à la 19e) sont donc : 9 2 3 0 7 6 9 2 3 0.

b. Avec le même affichage (9 décimales, sans arrondir le dernier chiffre ; certaines calculatrices arrondissent le dernier chiffre) :

c. Chaque quotient a une partie décimale périodique de période 6 chiffres (1/13 : période 076923). Ensuite, on remarque que les périodes n’utilisent que deux groupes de chiffres :

Exercice 27 : Résultat à la calculatrice (suite)

• Famille 1 : 1/13, 3/13, 4/13, 9/13, 10/13 et 12/13. Leurs périodes 076923, 230769, 307692, 692307, 769230 et 923076 utilisent les chiffres 0, 7, 6, 9, 2, 3, toujours dans le même ordre circulaire (on « fait tourner » 076923).
• Famille 2 : 2/13, 5/13, 6/13, 7/13, 8/13 et 11/13. Leurs périodes 153846, 384615, 461538, 538461, 615384 et 846153 utilisent les chiffres 1, 5, 3, 8, 4, 6, dans l’ordre circulaire de 153846.