Limites de fonctions en terminale : corrigé détaillé des exercices 1 à 10

1) Forme indéterminée « \(\infty-\infty\) ». On multiplie par la quantité conjuguée :

\[ \sqrt{x+1}-\sqrt{x}=\frac{(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}=\frac{(x+1)-x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}. \]

Le dénominateur tend vers \(+\infty\), donc la limite est 0.

2) Forme « \(\frac{\infty}{\infty}\) ». On factorise par \(x^2\) :

\[ \frac{2x^2-3x+1}{x^2-1}=\frac{x^2\left(2-\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(1-\frac{1}{x^2}\right)}=\frac{2-\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}}{1-\frac{1}{x^2}}\ \xrightarrow[x\to+\infty]{}\ \frac{2}{1}=2. \]

3) Forme « \(\frac{0}{0}\) ». Pour \(x\geqslant 0\), \(x\neq 4\), on a \(x-4=(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)\), donc

\[ \frac{x-4}{\sqrt{x}-2}=\sqrt{x}+2\ \xrightarrow[x\to 4]{}\ 2+2=4. \]

1) Fonction polynôme, continue : \(\lim\limits_{x\to 0}(x^3+5)=0+5=\mathbf{5}\).

2) \(\lim\limits_{x\to 0^+}\sqrt{x}=0\), donc \(\lim(\sqrt{x}+2)=\mathbf{2}\).

3) \(\sqrt{x}\to 0^+\), donc \(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\to+\infty\) et \(\lim\limits_{x\to 0^+}\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}-2\right)=\mathbf{+\infty}\).

4) \((x+1)^2\to 0^+\) quand \(x\to -1\) (un carré est positif), donc \(\lim\limits_{x\to -1}\dfrac{2}{(x+1)^2}=\mathbf{+\infty}\).

5) \(\lim\limits_{x\to-\infty}x^2=+\infty\) et \(\lim\limits_{x\to-\infty}(1-x)=+\infty\) : par produit, \(+\infty\).

6) \(x\to 2\) et, pour \(x\gt 2\), \(2-x\to 0^-\) : \(\dfrac{x}{2-x}\to\dfrac{2}{0^-}\), soit \(-\infty\).

7) Pour \(x\lt 0\), \(-x\to 0^+\), donc \(\sqrt{-x}\to 0\) et la limite vaut 1.

8) \(x\to+\infty\) et \(\dfrac{1}{x}\to 0\) : par somme, \(+\infty\).

Pour un polynôme ou une fonction rationnelle, on factorise par le terme de plus haut degré : en \(\pm\infty\), la limite est celle du quotient des termes de plus haut degré.

Exemple détaillé pour 10) : \(\dfrac{1-x^2}{1+x^2}=\dfrac{x^2\left(\frac{1}{x^2}-1\right)}{x^2\left(\frac{1}{x^2}+1\right)}=\dfrac{\frac{1}{x^2}-1}{\frac{1}{x^2}+1}\to\dfrac{-1}{1}=-1\).

1) \((x-1)^2\to 0^+\) des deux côtés : \(\lim\limits_{x\to 1^-}f(x)=\lim\limits_{x\to 1^+}f(x)=\mathbf{+\infty}\) (asymptote verticale \(x=1\)).

2) \(f\) est définie et continue en 1 (dénominateur \(x\neq 0\)) : \(\lim\limits_{x\to 1}f(x)=\dfrac{1-1}{1}=\mathbf{0}\), à gauche comme à droite.

3) \(f\) est définie si \(x^2-1\geqslant 0\) et \(x^2+6x-7\neq 0\). Or \(x^2+6x-7=(x-1)(x+7)\) et \(x^2-1\geqslant 0\iff x\leqslant -1\) ou \(x\geqslant 1\). Sur \(]-1\,;1[\), \(f\) n’est pas définie : pas de limite à gauche en 1. À droite, pour \(x\gt 1\) :

\[ f(x)=\frac{\sqrt{(x-1)(x+1)}}{(x-1)(x+7)}=\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x-1}\,(x+7)}. \]

\(\sqrt{x+1}\to\sqrt{2}\), \(x+7\to 8\) et \(\sqrt{x-1}\to 0^+\), donc \(\lim\limits_{x\to 1^+}f(x)=\mathbf{+\infty}\).

4) \(\lfloor x\rfloor\) désigne la partie entière. Pour \(x\in[1\,;2[\), \(\lfloor x\rfloor=1\), donc \(\lim\limits_{x\to 1^+}f(x)=\mathbf{1}\). Pour \(x\in[0\,;1[\), \(\lfloor x\rfloor=0\) : \(f\) n’est pas définie à gauche de 1, il n’y a pas de limite à gauche.

Un seul contre-exemple suffit pour chaque implication.

1) \(f(x)=x+1\) et \(g(x)=x\) tendent vers \(+\infty\), mais \(f(x)-g(x)=1\) : la limite vaut 1, pas 0.

2) \(f(x)=2x\) et \(g(x)=x\) tendent vers \(+\infty\), mais \(\dfrac{f(x)}{g(x)}=2\) : la limite vaut 2, pas 1.

3) \(f(x)=x\) et \(g(x)=\dfrac{1}{x}\) : \(\lim f=+\infty\), \(\lim\dfrac{1}{g}=\lim x=+\infty\), mais \(f(x)g(x)=1\) : la limite vaut 1, pas 0.

1) Vrai. \(\lim\limits_{x\to+\infty}x^2=+\infty\) et \(f(x)\geqslant x^2\) : par le théorème de comparaison, \(\lim f=+\infty\).

2) Faux. Une majoration seule ne suffit pas. Contre-exemple : \(f(x)=-x\) vérifie \(f(x)\leqslant\dfrac{1}{x}\) pour \(x\gt 0\), mais \(\lim f=-\infty\).

3) Vrai. En divisant par \(x^2\gt 0\) :

\[ \frac{1}{x^2}\leqslant\frac{f(x)}{x^2}\leqslant\frac{x+1}{x^2}=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}. \]

Les deux bornes tendent vers 0 : par le théorème des gendarmes, \(\lim\dfrac{f(x)}{x^2}=0\).

• 1) Limite infinie en \(+\infty\) : pas d’asymptote horizontale ni verticale à en déduire.
• 2) Limite finie (\(10^{99}\)) en 1 : pas d’asymptote (le point d’abscisse 1 est « comblé »).
• 3) Limite finie en 0 : pas d’asymptote.
• 4) Limite finie 0 en \(-\infty\) : asymptote horizontale d’équation \(y=0\) en \(-\infty\).
• 5) Limite infinie en 0 à gauche : asymptote verticale d’équation \(x=0\).
• 6) Limite finie \(-10^{99}\) en \(-\infty\) : asymptote horizontale d’équation \(y=-10^{99}\).

Règle : une limite finie en l’infini donne une asymptote horizontale ; une limite infinie en un réel \(a\) donne une asymptote verticale \(x=a\).

1) Sur le graphique, la courbe présente un « trou » au point d’abscisse 1 (cercle vide, ordonnée environ 0,4), et le point de \(\mathcal{C}\) d’abscisse 1 est isolé plus haut (ordonnée environ 1,75). On ne peut pas tracer la courbe sans lever le crayon : \(f\) n’est pas continue en 1, donc pas continue sur \(\mathbb{R}\).

2) Par définition \(f(1)=\alpha\) (sur le graphique, \(\alpha\approx 1{,}75\)). Pour \(x\neq 1\), \(f(x)=\sqrt{x^2+1}-1\), expression continue, donc

\[ \lim_{x\to 1^-}f(x)=\lim_{x\to 1^+}f(x)=\sqrt{1+1}-1=\sqrt{2}-1\approx 0{,}414. \]

3) \(f\) est continue en 1 si et seulement si \(\lim\limits_{x\to 1}f(x)=f(1)\), soit \(\alpha=\sqrt{2}-1\). Sur \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\), \(f\) est continue (composée de fonctions continues), donc \(f\) est alors continue sur \(\mathbb{R}\).

1) \(\lim\limits_{x\to+\infty}x^3=+\infty\) et \(\lim\limits_{x\to-\infty}x^3=-\infty\).

2) \(f^{\prime}(x)=3x^2\geqslant 0\), nul seulement en 0 : \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).

3) a) Sur \([1{,}5\,;1{,}6]\), \(f\) est continue et strictement croissante, avec \(f(1{,}5)=3{,}375\) et \(f(1{,}6)=4{,}096\). Comme \(4\in[3{,}375\,;4{,}096]\), d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation \(x^3=4\) admet une unique solution sur \([1{,}5\,;1{,}6]\) : \(\sqrt[3]{4}\approx 1{,}587\).

b) Sur \(\mathbb{R}\), \(f\) est continue, strictement croissante, de limites \(-\infty\) et \(+\infty\) : elle prend une fois et une seule chaque valeur réelle. L’équation \(x^3=-3\) admet une unique solution, \(-\sqrt[3]{3}\approx -1{,}442\).

1) La partie entière \(\lfloor x\rfloor\) est le plus grand entier inférieur ou égal à \(x\). Sur chaque intervalle \([k\,;k+1[\) (\(k\) entier), \(\lfloor x\rfloor=k\) : la courbe est formée de paliers horizontaux, fermés à gauche et ouverts à droite. La fonction est discontinue en chaque entier.

2) a) \(\lfloor x\rfloor\) est toujours un entier et \(\dfrac{1}{2}\) n’en est pas un : l’équation n’a aucune solution, \(S=\varnothing\).

b) \(\lfloor x\rfloor=1\iff 1\leqslant x\lt 2\) : \(S=[1\,;2[\).