Intervalles de fluctuation en terminale : corrigé des exercices 1 à 10

1) On répète \(n\) fois, de façon indépendante (tirage assimilé à un tirage avec remise), une épreuve à deux issues : la fusée fonctionne (probabilité \(1-0{,}15=0{,}85\)) ou non. Donc \(X\) suit la loi binomiale \(\mathcal{B}(n\,;\,0{,}85)\).

2) Pour \(n\geqslant 30\) (et \(np\geqslant 5\), \(n(1-p)\geqslant 5\)), l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence est

\[ I_n=\left[0{,}85-1{,}96\frac{\sqrt{0{,}85\times 0{,}15}}{\sqrt n}\,;\,0{,}85+1{,}96\frac{\sqrt{0{,}85\times 0{,}15}}{\sqrt n}\right]\approx\left[0{,}85-\frac{0{,}7}{\sqrt n}\,;\,0{,}85+\frac{0{,}7}{\sqrt n}\right]. \]

3) Le nombre de fusées opérationnelles vaut \(X=nF\). On multiplie les bornes par \(n\) :

\[ \left[0{,}85n-1{,}96\sqrt{0{,}1275\,n}\,;\,0{,}85n+1{,}96\sqrt{0{,}1275\,n}\right]. \]

4) Samuel veut que la borne inférieure soit au moins 100 : \(0{,}85n-1{,}96\sqrt{0{,}1275\,n}\geqslant 100\). En posant \(x=\sqrt n\), on obtient \(0{,}85x^2-0{,}6999x-100\geqslant 0\). La racine positive du trinôme est \(x\approx 11{,}266\), d’où \(n\geqslant 11{,}266^2\approx 126{,}9\). Vérification : pour \(n=126\), la borne vaut environ 99,24 ; pour \(n=127\), environ 100,06.

On calcule la fréquence observée de 1 et on la compare à l’intervalle \([0{,}143\,;\,0{,}190]\).

1) \(f=\dfrac{200}{1\,000}=0{,}2\). Or \(0{,}2\notin[0{,}143\,;\,0{,}190]\). On rejette l’hypothèse « le dé est équilibré », avec un risque d’erreur de 5 % : le dé semble favoriser le 1.

2) \(f=\dfrac{150}{1\,000}=0{,}15\in[0{,}143\,;\,0{,}190]\). On ne peut pas rejeter l’hypothèse : rien ne permet de dire que le dé est truqué (ce qui ne prouve pas pour autant qu’il est équilibré).

On part de l’énoncé : \(P\left(p-\dfrac{1}{\sqrt n}\leqslant F_n\leqslant p+\dfrac{1}{\sqrt n}\right)\geqslant 0{,}95\). Transformons la double inégalité :

\[ \begin{aligned} p-\frac{1}{\sqrt n}\leqslant F_n\leqslant p+\frac{1}{\sqrt n} &\iff -\frac{1}{\sqrt n}\leqslant F_n-p\leqslant\frac{1}{\sqrt n} \\ &\iff -\frac{1}{\sqrt n}\leqslant p-F_n\leqslant\frac{1}{\sqrt n} \\ &\iff F_n-\frac{1}{\sqrt n}\leqslant p\leqslant F_n+\frac{1}{\sqrt n}. \end{aligned} \]

(On a multiplié par \(-1\), ce qui inverse les inégalités, puis ajouté \(F_n\).) Les deux événements sont donc égaux, ils ont la même probabilité :

\[ P\left(F_n-\frac{1}{\sqrt n}\leqslant p\leqslant F_n+\frac{1}{\sqrt n}\right)\geqslant 0{,}95. \]

Ainsi, l’intervalle aléatoire \(\left[F_n-\frac{1}{\sqrt n}\,;\,F_n+\frac{1}{\sqrt n}\right]\) contient \(p\) avec une probabilité au moins égale à 0,95. Pour une valeur observée \(f\), l’intervalle \(\left[f-\frac{1}{\sqrt n}\,;\,f+\frac{1}{\sqrt n}\right]\) est appelé intervalle de confiance de \(p\) au niveau de confiance 0,95.

1) Ligne 11 : Afficher « On peut rejeter cette hypothèse au seuil de 95 % » (c’est-à-dire avec un risque d’erreur de 5 %).
Ligne 13 : Afficher « On ne peut pas rejeter cette hypothèse au seuil de 95 % ».

2) L’algorithme demande une proportion \(p\) supposée dans la population, la taille \(n\) d’un échantillon et la fréquence \(f\) observée. Il calcule les bornes \(a\) et \(b\) de l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %, puis teste si \(f\) appartient à \([a\,;\,b]\) : c’est un test de prise de décision sur l’hypothèse « la proportion vaut \(p\) ».

3) On ajoute une variable \(s\) (seuil) et une variable \(u\) :

• après la ligne 7 : « Demander s (95 ou 99) » ;
• « Si s = 95 Alors u prend la valeur 1,96 Sinon u prend la valeur 2,58 Fin Si » ;
• lignes 8 et 9 : remplacer 1,96 par \(u\) : \(a=p-u\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt n}\) et \(b=p+u\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt n}\) ;
• lignes 11 et 13 : afficher « … au seuil de s % ».

1) \(n=60\), \(p=0{,}9\) : \(n\geqslant 30\), \(np=54\geqslant 5\) et \(n(1-p)=6\geqslant 5\). L’intervalle est

\[ I=\left[0{,}9-1{,}96\frac{\sqrt{0{,}9\times 0{,}1}}{\sqrt{60}}\,;\,0{,}9+1{,}96\frac{\sqrt{0{,}9\times 0{,}1}}{\sqrt{60}}\right]\approx[0{,}824\,;\,0{,}976]. \]

2) a) Le train est arrivé à l’heure \(60-12=48\) fois : \(f=\dfrac{48}{60}=0{,}8\). Or \(0{,}8\lt 0{,}824\) : \(f\notin I\).

b) Deux hypothèses possibles :

• l’affirmation de la compagnie est fausse (ou trop optimiste) : la proportion réelle de trains à l’heure est inférieure à 90 % ;
• le taux de 90 % est une moyenne sur tout le réseau, et la ligne de cet usager est plus souvent en retard que les autres (travaux, période hivernale…) ; ou encore l’échantillon fait partie des 5 % de cas où la fréquence sort de l’intervalle alors que \(p=0{,}9\).

1) \(p=0{,}5\), \(n=1\,000\) : conditions vérifiées (\(np=n(1-p)=500\)).

\[ I=\left[0{,}5-1{,}96\frac{\sqrt{0{,}5\times 0{,}5}}{\sqrt{1\,000}}\,;\,0{,}5+1{,}96\frac{\sqrt{0{,}5\times 0{,}5}}{\sqrt{1\,000}}\right]\approx[0{,}469\,;\,0{,}531]. \]

2) \(f=\dfrac{556}{1\,000}=0{,}556\notin I\). On rejette l’hypothèse selon laquelle la proportion de naissances hors mariage est restée égale à 50 % en 2010, avec un risque de 5 % de se tromper. Elle semble avoir augmenté.

1) 598 tirages indépendants, succès « bouteille non commercialisable » de probabilité 0,04 : \(X\sim\mathcal{B}(598\,;\,0{,}04)\).

2) \(n=598\geqslant 30\), \(np=23{,}92\geqslant 5\), \(n(1-p)=574{,}08\geqslant 5\).

\[ I=\left[0{,}04-1{,}96\frac{\sqrt{0{,}04\times 0{,}96}}{\sqrt{598}}\,;\,0{,}04+1{,}96\frac{\sqrt{0{,}04\times 0{,}96}}{\sqrt{598}}\right]\approx[0{,}024\,;\,0{,}056]. \]

3) \(f=\dfrac{19}{598}\approx 0{,}032\in I\). La fréquence observée est compatible avec une proportion de 4 % : l’écart s’explique par la fluctuation d’échantillonnage. Le producteur ne peut pas affirmer qu’il a fait mieux que l’an dernier.

On vérifie les conditions puis on applique \(\left[p-u\frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt n}\,;\,p+u\frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt n}\right]\) avec \(u=1{,}96\) (95 %) ou \(u\approx 2{,}58\) (99 %). Les bornes sont arrondies vers l’extérieur au millième.

• \(n=100\), \(p=0{,}4\) : \(np=40\), \(n(1-p)=60\). \(1{,}96\times\dfrac{\sqrt{0{,}24}}{10}\approx 0{,}096\), d’où \([0{,}303\,;\,0{,}497]\).
• \(n=4\,000\), \(p=\dfrac13\) : \(np\approx 1\,333\), \(n(1-p)\approx 2\,667\). \(1{,}96\times\dfrac{\sqrt{2/9}}{\sqrt{4\,000}}\approx 0{,}0146\), d’où \([0{,}318\,;\,0{,}348]\).
• \(n=77\), \(p=0{,}89\) : \(np=68{,}53\), \(n(1-p)=8{,}47\geqslant 5\). \(2{,}58\times\dfrac{\sqrt{0{,}89\times 0{,}11}}{\sqrt{77}}\approx 0{,}092\), d’où \([0{,}798\,;\,0{,}982]\).

1) 400 tirages avec remise, succès « la personne porte des lunettes ou des lentilles » de probabilité 0,7 : \(X\sim\mathcal{B}(400\,;\,0{,}7)\).

2) \(n=400\geqslant 30\), \(np=280\geqslant 5\), \(n(1-p)=120\geqslant 5\) : les conditions sont vérifiées.

3)

\[ I=\left[0{,}7-1{,}96\frac{\sqrt{0{,}7\times 0{,}3}}{\sqrt{400}}\,;\,0{,}7+1{,}96\frac{\sqrt{0{,}7\times 0{,}3}}{\sqrt{400}}\right]\approx[0{,}655\,;\,0{,}745]. \]

4) Dans environ 95 % des échantillons de 400 personnes, la proportion de porteurs de lunettes ou de lentilles est comprise entre 65,5 % et 74,5 %, soit entre 262 et 298 personnes.

\(X\sim\mathcal{B}(50\,;\,0{,}5)\), avec \(n=50\geqslant 30\) et \(np=n(1-p)=25\geqslant 5\).

1) a) \(1{,}96\times\dfrac{\sqrt{0{,}25}}{\sqrt{50}}\approx 0{,}1386\), donc

\[ I_{95}\approx[0{,}361\,;\,0{,}639]. \]

b) \(X=50F\). En multipliant par 50 : \(50\times 0{,}3614\approx 18{,}07\) et \(50\times 0{,}6386\approx 31{,}93\). Comme \(X\) est entier, \(18{,}07\leqslant X\leqslant 31{,}93\) équivaut à \(19\leqslant X\leqslant 31\).

2) Au seuil de 99 % : \(2{,}58\times\dfrac{0{,}5}{\sqrt{50}}\approx 0{,}1824\), soit \([0{,}317\,;\,0{,}683]\) pour la fréquence. Pour \(X\) : \([15{,}88\,;\,34{,}12]\), c’est-à-dire \(16\leqslant X\leqslant 34\).