Construire l’image par une homothétie : corrigé du contrôle de maths en 3ème
Voici le corrigé du contrôle de maths en 3ème sur le thème « construire l’image par une homothétie », question par question.
Voici la correction complète, avec les constructions dessinées sur quadrillage : les pointillés verts montrent les droites passant par le centre, et les images apparaissent en orange. Superpose mentalement ta copie à ces figures et vérifie chaque sommet en comptant les carreaux. Pour les rapports, la correction écrit le calcul du quotient et précise son signe, car c’est lui qui dit si l’image est du même côté que la figure.
Le barème détaillé accompagne chaque exercice, et les pièges repérés concernent surtout le sens de la construction et l’aire qui ne se multiplie pas par k. Recommence ensuite une construction ratée sur une feuille à part, sans regarder.
L’énoncé complet se trouve ici : Construire l’image par une homothétie : contrôle de maths en 3ème.
Barème du contrôle corrigé : construire l’image par une homothétie
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Sur la droite graduée | 3 points |
| 2. Agrandir le triangle ABC | 4 points |
| 3. Un rapport négatif | 4 points |
| 4. Six motifs à identifier | 4 points |
| 5. Le théâtre d’ombres | 5 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : construire l’image par une homothétie
Exercice 1 – Sur la droite graduée (3 points)
- Le rapport 3 est positif, donc l’image de A est du même côté que A par rapport à O, trois fois plus loin. \(OA = 2\), donc l’image est à \(3 \times 2 = 6\) unités de O, à droite : son abscisse est 6. L’image de A est le point D.
- Le rapport \(-2\) est négatif, donc l’image de A est de l’autre côté de O, à \(2 \times 2 = 4\) unités. Son abscisse est \(-2 \times 2 = -4\). L’image de A est le point E.
- B et D sont du même côté de O, donc le rapport est positif : \(k = \dfrac{3}{6} = 0{,}5\). Le rapport est \(0{,}5\).
- E et A sont de part et d’autre de O, donc le rapport est négatif : \(k = \dfrac{2}{-4} = -0{,}5\). Le rapport est \(-0{,}5\).
Piège classique : répondre 2 au lieu de \(0{,}5\) à la question 3. On divise l’abscisse de l’image (B) par celle du point de départ (D), et non l’inverse.
Exercice 2 – Agrandir le triangle ABC (4 points)
- D’abord, pour aller de O à A, on avance de 2 carreaux vers la droite et de 1 carreau vers le haut. Le rapport vaut 2 : depuis O, on avance de \(2 \times 2 = 4\) carreaux vers la droite et de \(2 \times 1 = 2\) carreaux vers le haut. A’ est sur la demi-droite [OA), avec \(OA^{\prime} = 2 \times OA\).
- De O à B : 5 carreaux à droite et 1 vers le haut, donc B’ est à 10 carreaux à droite et 2 vers le haut de O.
De O à C : 3 carreaux à droite et 4 vers le haut, donc C’ est à 6 carreaux à droite et 8 vers le haut de O.
Le triangle A’B’C’ est tracé en orange sur la figure. - Ainsi, une homothétie de rapport 2 multiplie les longueurs par 2 : \(3 \times 2 = 6\). [A’B’] mesure 6 carreaux.
- Dans ABC, la base [AB] mesure 3 carreaux et la hauteur issue de C mesure 3 carreaux. Ainsi, l’aire de ABC vaut \(\dfrac{3 \times 3}{2} = 4{,}5\) carreaux.
Dans A’B’C’, la base mesure 6 carreaux et la hauteur 6 carreaux : \(\dfrac{6 \times 6}{2} = 18\) carreaux.
\(18 \div 4{,}5 = 4\). L’aire a été multipliée par 4, c’est-à-dire par \(2^2\).
Piège classique : croire que l’aire est multipliée par 2 comme les longueurs. Les deux dimensions doublent, donc l’aire est multipliée par \(2 \times 2 = 4\).
Exercice 3 – Un rapport négatif (4 points)
- Comme le rapport est négatif, chaque image est de l’autre côté de O, à \(1{,}5\) fois la distance.
De O à D : 2 à droite, 2 en haut ; donc D’ : 3 à gauche, 3 en bas de O.
De O à E : 4 à droite, 2 en haut ; donc E’ : 6 à gauche, 3 en bas de O.
De O à F : 2 à droite, 4 en haut ; donc F’ : 3 à gauche, 6 en bas de O.
Le triangle D’E’F’ est tracé en orange sur la figure. - Ainsi, une homothétie de rapport \(-1{,}5\) multiplie les longueurs par \(1{,}5\) : \(2 \times 1{,}5 = 3\). [D’E’] mesure 3 carreaux.
- Les longueurs sont multipliées par \(1{,}5\), car ce nombre est supérieur à 1. D’E’F’ est un agrandissement de DEF.
- C’est la symétrie centrale de centre O : chaque point est envoyé de l’autre côté de O, à la même distance.
Piège classique : penser qu’un rapport négatif donne une réduction. Le signe indique seulement le côté ; c’est la distance à zéro de k, ici \(1{,}5\), qui dit si on agrandit ou si on réduit.
Exercice 4 – Six motifs à identifier (4 points)
- D’abord, le motif 3 a la même orientation que le motif 1, du même côté de O, deux fois plus grand ; chaque sommet est deux fois plus loin de O. Motif 3 : rapport 2.
Ensuite, le motif 5 est deux fois plus grand, retourné de l’autre côté de O. Motif 5 : rapport \(-2\).
Enfin, le motif 6 a la même taille, de l’autre côté de O, chaque sommet à la même distance de O. Motif 6 : rapport \(-1\) (c’est aussi la symétrie de centre O). - D’abord, le motif 2 a la même taille et la même orientation que le motif 1, décalé de 10 carreaux vers la gauche et de 3 vers le haut. C’est une translation.
Ensuite, le motif 4 est le reflet du motif 1 par rapport à la droite (d). C’est la symétrie axiale d’axe (d). - Le motif 3 est deux fois plus grand que le motif 1, donc pour revenir au motif 1, on divise les distances par 2. \(k = \dfrac{1}{2} = 0{,}5\). Le rapport est \(0{,}5\).
Piège classique : prendre le motif 4 pour une homothétie de rapport \(-1\). Il est retourné par rapport à (d), mais son bras reste à droite : une symétrie centrale l’aurait envoyé à gauche, comme le motif 6.
Exercice 5 – Le théâtre d’ombres (5 points)
- La figurine est à 40 cm de la lampe et le mur à 200 cm, du même côté de L. Le rapport est donc positif : \(k = \dfrac{200}{40} = 5\). Le rapport de l’homothétie est 5.
- Puis les longueurs sont multipliées par 5 : \(12 \times 5 = 60\). L’ombre mesure 60 cm de haut.
- Ensuite, les aires sont multipliées par \(k^2 = 5^2 = 25\) : \(30 \times 25 = 750\). L’aire de l’ombre est de \(750\text{ cm}^2\).
- D’abord, \(1{,}5\text{ m} = 150\text{ cm}\). Le nouveau rapport doit être \(k = \dfrac{150}{12} = 12{,}5\).
Le mur reste à 200 cm de la lampe, donc la distance d de la figurine vérifie \(\dfrac{200}{d} = 12{,}5\), soit \(d = \dfrac{200}{12{,}5} = 16\).
Maëlys doit placer la figurine à 16 cm de la lampe.
Piège classique : répondre \(30 \times 5 = 150\text{ cm}^2\) à la question 3. Une aire se multiplie par le carré du rapport, soit 25 et non 5.
À retenir de ce contrôle
- L’image M’ de M par l’homothétie de centre O et de rapport k vérifie OM’ = |k| × OM, sur la droite (OM).
- Si k est positif, M’ est du même côté que M par rapport à O ; si k est négatif, M’ est de l’autre côté.
- Une homothétie de rapport k multiplie les longueurs par |k| et les aires par k², et conserve le parallélisme et les angles.
- L’homothétie de centre O et de rapport −1 est la symétrie centrale de centre O : elle ne change pas les dimensions.
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