Dérivées et approximation affine : contrôle de maths en première

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Ce qu’évalue le contrôle : dérivées et approximation affine

Le sujet du contrôle : dérivées et approximation affine

Exercice 1 – Dérivées des fonctions usuelles (4 points)

Pour chaque fonction, dérivable sur l’intervalle indiqué, calcule sa fonction dérivée, puis simplifie le résultat.

1. \(f_1(x) = 3x^4 – 5x^2 + 7x – 2\) sur \(\mathbb{R}\). (1 point)
2. \(f_2(x) = \frac{2}{x} + x^3\) sur \(]0\,;+\infty[\). (1 point)
3. \(f_3(x) = 4\sqrt{x} – x\) sur \(]0\,;+\infty[\). (1 point)
4. \(f_4(x) = \frac{1}{2}x^2 – \frac{3}{x}\) sur \(]0\,;+\infty[\). (1 point)

Exercice 2 – Produit, quotient et composée (5 points)

Précise d’abord la forme de chaque fonction, puis calcule sa dérivée sur l’intervalle donné.

1. \(g(x) = (2x – 1)(x^2 + 3)\) sur \(\mathbb{R}\) ; donne le résultat sous forme développée. (1 point)
2. \(h(x) = x\sqrt{x}\) sur \(]0\,;+\infty[\) ; montre ensuite que \(h^{\prime}(x) = \frac{3}{2}\sqrt{x}\). (1 point)
3. \(k(x) = \frac{3x + 1}{x – 2}\) sur \(]2\,;+\infty[\). (1 point)
4. \(m(x) = (2x – 3)^3\) sur \(\mathbb{R}\), en utilisant la dérivée de \(x \mapsto g(ax + b)\). (1 point)
5. \(p(x) = \sqrt{6 – 2x}\) sur \(]-\infty\,;3[\). (1 point)

Exercice 3 – La racine carrée près de 4 (4 points)

On note \(f\) la fonction racine carrée et \(\mathcal{C}\) sa courbe. La droite \(T\) est la tangente à \(\mathcal{C}\) au point \(A\) d’abscisse 4.

1. Calcule \(f(4)\) et \(f^{\prime}(4)\), puis déduis-en une équation de \(T\). (1 point)
2. Justifie alors que, pour \(h\) proche de 0, \(\sqrt{4 + h} \approx 2 + \frac{h}{4}\). Donne ainsi une valeur approchée de \(\sqrt{4{,}2}\), puis de \(\sqrt{3{,}9}\). (1,5 point)
3. Compare ces deux valeurs aux résultats de la calculatrice, et donne l’erreur commise à \(10^{-5}\) près. (1 point)
4. D’après la figure, ces approximations sont-elles par excès ou par défaut ? Justifie. (0,5 point)

Exercice 4 – Quelle courbe pour h ? (3 points)

Une fonction \(h\) est définie et dérivable sur \([-3\,;3]\), avec \(h^{\prime}(x) = (x + 1)(2 – x)\). Une seule des trois courbes ci-dessous représente \(h\).

1. Étudie d’abord le signe de \(h^{\prime}(x)\) sur \([-3\,;3]\) à l’aide d’un tableau de signes. (1 point)
2. Déduis-en ensuite les variations de \(h\). (0,5 point)
3. Quelle courbe représente \(h\) ? Explique aussi pourquoi les deux autres ne conviennent pas. (1,5 point)

Exercice 5 – Le trajet de Léna sur l’autoroute (4 points)

Léna parcourt 60 km sur l’autoroute à une vitesse constante \(v\), en km/h, comprise entre 60 et 130. La durée du trajet, en heures, vaut donc \(t(v) = \frac{60}{v}\). D’habitude, elle roule à 120 km/h.

1. Calcule \(t(120)\), puis \(t^{\prime}(v)\) et \(t^{\prime}(120)\). (1 point)
2. Déduis-en que, pour \(h\) proche de 0, \(t(120 + h) \approx 0{,}5 – \frac{h}{240}\). (1 point)
3. Estime ainsi, en minutes, la durée du trajet à 126 km/h, puis compare avec la valeur exacte arrondie au centième de minute. (1 point)
4. Léna voudrait gagner 2 minutes par rapport à son trajet habituel. Quelle vitesse l’approximation affine propose-t-elle ? Calcule enfin la vitesse exacte, arrondie au centième. (1 point)

Réviser dérivées et approximation affine avant le contrôle

Si un exercice t’a bloqué, relis la leçon dérivée d’une fonction ; entraîne-toi sur la fiche dérivée avant de retenter le sujet.

La page contrôles de maths en première regroupe les 25 sujets de l’année, et la rubrique contrôles corrigés du CP à la terminale permet de changer de niveau.

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