Variations et extremums d’une fonction : corrigé du contrôle de maths en première
Voici le corrigé du contrôle de maths en première sur le thème « variations et extremums d’une fonction », question par question.
Cette correction suit l’ordre des cinq exercices. Pour chaque fonction, la dérivée est d’abord calculée puis factorisée, ensuite son signe est présenté dans un tableau. Le tableau de variations du polynôme de degré 3 est dessiné en entier, avec les images calculées aux bornes et aux valeurs critiques.
Tu verras aussi comment un tableau de variations permet de compter les solutions d’une équation sans la résoudre. La partie sur la parité détaille le calcul de \(f(-x)\) et le contre-exemple qui prouve qu’une fonction n’est ni paire ni impaire. Enfin, le problème de la navette est illustré par la courbe du coût, où apparaît le minimum. Compare ta copie à chaque étape avec le barème.
L’énoncé complet se trouve ici : Variations et extremums d’une fonction : contrôle de maths en première.
Barème du contrôle corrigé : variations et extremums d’une fonction
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Du signe de la dérivée aux variations | 3 points |
| 2. Un polynôme de degré 3 | 5 points |
| 3. Une fonction rationnelle | 4 points |
| 4. Paire, impaire ou aucune des deux | 3,5 points |
| 5. La vitesse de la navette | 4,5 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : variations et extremums d’une fonction
Exercice 1 – Du signe de la dérivée aux variations (3 points)
- On a \(f^{\prime}(x) = 2x – 6\), qui s’annule en \(x = 3\). Cette dérivée est négative pour \(x \leq 3\) et positive pour \(x \geq 3\). Par ailleurs, \(f(3) = 9 – 18 + 1 = -8\). Donc \(f\) est décroissante sur \(]-\infty\,;\,3]\), croissante sur \([3\,;\,+\infty[\), et admet un minimum égal à \(-8\) en \(x = 3\).
- On calcule \(g^{\prime}(x) = -6x^2\). Or un carré est positif, donc \(-6x^2 \leq 0\) pour tout réel \(x\), et la dérivée ne s’annule qu’en 0. Ainsi, \(g\) est décroissante sur \(\mathbb{R}\).
- Le facteur \(3 – x\) s’annule en 3 et il est positif avant, tandis que \(x + 1\) s’annule en \(-1\) et il est positif après :
\(x\) \(-\infty\) \(-1\) 3 \(+\infty\) \(3 – x\) + | + 0 − \(x + 1\) − 0 + | + \(h^{\prime}(x)\) − 0 + 0 − Donc \(h\) est décroissante sur \(]-\infty\,;\,-1]\), croissante sur \([-1\,;\,3]\), puis décroissante sur \([3\,;\,+\infty[\) : elle admet un minimum local en \(-1\) et un maximum local en 3.
Exercice 2 – Un polynôme de degré 3 (5 points)
- On dérive terme à terme : \(f^{\prime}(x) = 3x^2 – 6x – 9\).
Ensuite, on développe l’expression proposée : \(3(x – 3)(x + 1) = 3(x^2 + x – 3x – 3) = 3(x^2 – 2x – 3) = 3x^2 – 6x – 9\). Donc \(f^{\prime}(x) = 3(x – 3)(x + 1)\). - Le facteur 3 est positif. De plus, \(x – 3\) et \(x + 1\) s’annulent respectivement en 3 et en \(-1\). Le produit est donc positif à l’extérieur des racines et négatif entre elles. Ainsi, \(f^{\prime}(x) \geq 0\) sur \([-3\,;\,-1]\) et sur \([3\,;\,5]\), tandis que \(f^{\prime}(x) \leq 0\) sur \([-1\,;\,3]\).
- On calcule d’abord les images utiles :
\(f(-3) = -27 – 27 + 27 + 5 = -22\)
\(f(-1) = -1 – 3 + 9 + 5 = 10\)
\(f(3) = 27 – 27 – 27 + 5 = -22\)
\(f(5) = 125 – 75 – 45 + 5 = 10\)
On obtient alors le tableau suivant.![Tableau de variations de f sur [−3 ; 5] : croissante de −22 à 10, décroissante de 10 à −22, puis croissante de −22 à 10](data:image/svg+xml,%3Csvg%20xmlns='http://www.w3.org/2000/svg'%20viewBox='0%200%20800%20383'%3E%3C/svg%3E)
La fonction \(f\) est croissante sur \([-3\,;\,-1]\), décroissante sur \([-1\,;\,3]\), puis croissante sur \([3\,;\,5]\).
- D’après le tableau, la plus grande valeur est 10 et la plus petite est \(-22\). Le maximum de \(f\) vaut 10, atteint en \(-1\) et en 5 ; le minimum vaut \(-22\), atteint en \(-3\) et en 3.
- Sur chacun des trois intervalles, \(f\) est strictement monotone et passe de \(-22\) à 10, ou de 10 à \(-22\). Comme 0 est compris entre \(-22\) et 10, l’équation \(f(x) = 0\) a exactement une solution dans chaque intervalle. En revanche, 12 dépasse le maximum 10, donc \(f(x) = 12\) n’a aucune solution. L’équation \(f(x) = 0\) a 3 solutions et l’équation \(f(x) = 12\) n’en a aucune.
![Tableau de variations de f sur [−3 ; 5] : croissante de −22 à 10, décroissante de 10 à −22, puis croissante de −22 à 10](https://maths-pdf.fr/wp-content/uploads/controles-maths-pdf/corrige-variations-extremums-fonction-controle-maths-premiere-corr-ex2-variations.png)
Piège classique : oublier les bornes \(-3\) et 5 dans la recherche des extremums globaux. Ici, elles donnent pourtant les mêmes valeurs que les extremums locaux.
Exercice 3 – Une fonction rationnelle (4 points)
- On pose \(u(x) = x^2 + 4\) et \(w(x) = x\), donc \(u^{\prime}(x) = 2x\) et \(w^{\prime}(x) = 1\). La formule du quotient donne alors :
\(g^{\prime}(x) = \frac{2x \times x – (x^2 + 4) \times 1}{x^2} = \frac{x^2 – 4}{x^2}\).
Puis on factorise le numérateur avec l’identité \(a^2 – b^2\). Ainsi, \(g^{\prime}(x) = \frac{(x – 2)(x + 2)}{x^2}\). - Sur \(]0\,;\,+\infty[\), \(x^2 > 0\) et \(x + 2 > 0\), donc \(g^{\prime}(x)\) a le signe de \(x – 2\). Par ailleurs, \(g(2) = \frac{4 + 4}{2} = 4\).
\(x\) 0 2 \(+\infty\) \(g^{\prime}(x)\) || − 0 + \(g\) || décroissante 4 croissante La fonction \(g\) est décroissante sur \(]0\,;\,2]\), puis croissante sur \([2\,;\,+\infty[\).
- D’après le tableau, \(g\) admet un minimum égal à 4, atteint en \(x = 2\). Donc, pour tout \(x > 0\), \(g(x) \geq 4\). Or \(g(x) = \frac{x^2}{x} + \frac{4}{x} = x + \frac{4}{x}\). Par conséquent, \(x + \frac{4}{x} \geq 4\) pour tout réel \(x > 0\).
- Comme 5 est supérieur au minimum 4, l’équation a une solution sur \(]0\,;\,2[\) et une sur \(]2\,;\,+\infty[\). En effet, \(\frac{x^2 + 4}{x} = 5\) équivaut à \(x^2 – 5x + 4 = 0\), soit \((x – 1)(x – 4) = 0\). L’équation a deux solutions : 1 et 4.
Exercice 4 – Paire, impaire ou aucune des deux (3,5 points)
- La courbe 2 est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées, alors que la courbe 1 est symétrique par rapport à l’origine \(O\). La courbe 2 représente donc une fonction paire et la courbe 1 une fonction impaire.
- Tout d’abord, \(u(-x) = (-x)^3 – 5(-x) = -x^3 + 5x = -u(x)\), donc \(u\) est impaire.
Ensuite, \(v(-x) = 3(-x)^4 – (-x)^2 + 2 = 3x^4 – x^2 + 2 = v(x)\), donc \(v\) est paire.
Enfin, \(w(1) = 2\) et \(w(-1) = 1 – 1 = 0\). Comme \(w(-1) \neq w(1)\), \(w\) n’est pas paire ; comme \(w(-1) \neq -w(1)\), elle n’est pas impaire non plus. Ainsi, \(u\) est impaire, \(v\) est paire et \(w\) n’est ni paire ni impaire. - Puisque \(k\) est impaire, \(k(-2) = -k(2) = -5\). De même, \(k(-0) = -k(0)\), c’est-à-dire \(k(0) = -k(0)\), d’où \(2k(0) = 0\). Donc \(k(-2) = -5\) et \(k(0) = 0\).
Piège classique : vérifier \(w(-x) = w(x)\) pour une seule valeur et conclure que \(w\) est paire. Un exemple ne prouve rien, alors qu’un contre-exemple suffit à réfuter.
Exercice 5 – La vitesse de la navette (4,5 points)
- La durée est la distance divisée par la vitesse, soit \(\frac{60}{v}\) heures. Le coût du trajet est alors la durée multipliée par le coût horaire :
\(C(v) = \frac{60}{v} \times (400 + v^2) = \frac{24000}{v} + \frac{60v^2}{v}\).
Donc \(C(v) = \frac{24000}{v} + 60v\). - La dérivée de \(\frac{1}{v}\) est \(-\frac{1}{v^2}\), donc :
\(C^{\prime}(v) = -\frac{24000}{v^2} + 60 = \frac{60v^2 – 24000}{v^2} = \frac{60(v^2 – 400)}{v^2}\).
Comme \(v^2 – 400 = (v – 20)(v + 20)\), on obtient \(C^{\prime}(v) = \frac{60(v – 20)(v + 20)}{v^2}\). - Sur \([10\,;\,40]\), \(60\), \(v + 20\) et \(v^2\) sont positifs, donc \(C^{\prime}(v)\) a le signe de \(v – 20\). Puis on calcule \(C(10) = 2400 + 600 = 3000\), \(C(20) = 1200 + 1200 = 2400\) et \(C(40) = 600 + 2400 = 3000\).
\(v\) 10 20 40 \(C^{\prime}(v)\) − 0 + \(C\) 3 000 décroissante 2 400 croissante 3 000 La fonction \(C\) est décroissante sur \([10\,;\,20]\), puis croissante sur \([20\,;\,40]\).
- Le coût est minimal pour \(v = 20\), comme le montre la courbe ci-dessous. La durée vaut alors \(\frac{60}{20} = 3\) heures.
Mme Lefèvre doit choisir 20 km/h : le trajet coûte alors 2 400 € et dure 3 heures.
Piège classique : multiplier le coût horaire par la distance au lieu de la durée. En effet, le coût est donné par heure, pas par kilomètre.
À retenir de ce contrôle
- Sur un intervalle, une fonction dont la dérivée est positive est croissante, et décroissante quand sa dérivée est négative.
- Un extremum local se situe là où la dérivée s’annule en changeant de signe ; une dérivée nulle sans changement de signe ne suffit pas.
- Les extremums globaux sur un intervalle fermé se cherchent parmi les images des bornes et des valeurs où la dérivée s’annule.
- Une fonction est paire quand f(−x) = f(x) et impaire quand f(−x) = −f(x) ; un seul contre-exemple suffit à le réfuter.
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