Cercle trigonométrique et radians : corrigé du contrôle de maths en première

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Barème du contrôle corrigé : cercle trigonométrique et radians

Le corrigé détaillé : cercle trigonométrique et radians

Exercice 1 – Degrés et radians (3 points)

1. Les mesures sont proportionnelles, car \(180^\circ\) correspondent à \(\pi\) radians. On multiplie donc par \(\frac{\pi}{180}\) :
   \(30 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{6}\) ; \(135 \times \frac{\pi}{180} = \frac{3\pi}{4}\) ; \(240 \times \frac{\pi}{180} = \frac{4\pi}{3}\).
   \(30^\circ = \frac{\pi}{6}\) rad, \(135^\circ = \frac{3\pi}{4}\) rad et \(240^\circ = \frac{4\pi}{3}\) rad.
2. À l’inverse, on remplace \(\pi\) par \(180^\circ\) :
   \(\frac{5 \times 180}{6} = 150\) ; \(\frac{7 \times 180}{4} = 315\) ; \(\frac{2 \times 180}{5} = 72\).
   Les mesures valent \(150^\circ\), \(315^\circ\) et \(72^\circ\).

Barème : Q1 : 0,5 point par conversion ; Q2 : 0,5 point par conversion.

Exercice 2 – Lire le cercle trigonométrique (4 points)

1. On mesure l’angle depuis le point I, dans le sens direct. A est au tiers du premier quart de tour, B au milieu du deuxième quart, C sur l’axe à gauche, puis D et E dans la moitié inférieure. A est associé à \(\frac{\pi}{6}\), B à \(\frac{3\pi}{4}\), C à \(\pi\), D à \(\frac{4\pi}{3}\) et E à \(\frac{7\pi}{4}\).
2. Deux réels sont associés au même point quand leur différence est un multiple de \(2\pi\).
   D’abord, \(-\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4}\), donc \(-\frac{\pi}{4}\) est associé à E.
   Ensuite, \(\frac{25\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + 4\pi\), soit deux tours complets de plus : c’est le point A.
   Enfin, \(-\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3}\), ce qui donne le point D.
   Les réels \(-\frac{\pi}{4}\), \(\frac{25\pi}{6}\) et \(-\frac{2\pi}{3}\) sont associés à E, A et D.

Barème : Q1 : 0,5 point par point ; Q2 : 0,5 point par réel avec sa justification.

Piège classique : associer E à \(-\frac{7\pi}{4}\). Or un réel négatif se lit dans le sens des aiguilles d’une montre, c’est pourquoi \(-\frac{7\pi}{4}\) correspond au point associé à \(\frac{\pi}{4}\).

Exercice 3 – Mesures principales (4 points)

1. On ajoute ou on retire des multiples de \(2\pi\) jusqu’à tomber dans \(]-\pi \,;\, \pi]\) :
   \(\frac{17\pi}{6} – 2\pi = \frac{17\pi}{6} – \frac{12\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}\) ;
   \(-\frac{11\pi}{4} + 2\pi = -\frac{11\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4}\) ;
   \(\frac{31\pi}{3} – 10\pi = \frac{31\pi}{3} – \frac{30\pi}{3} = \frac{\pi}{3}\) ;
   \(-\frac{7\pi}{2} + 4\pi = -\frac{7\pi}{2} + \frac{8\pi}{2} = \frac{\pi}{2}\).
   Les mesures principales sont \(\frac{5\pi}{6}\), \(-\frac{3\pi}{4}\), \(\frac{\pi}{3}\) et \(\frac{\pi}{2}\).
2. On place ainsi M à \(\frac{5\pi}{6}\), N à \(-\frac{3\pi}{4}\), P à \(\frac{\pi}{3}\) et Q à \(\frac{\pi}{2}\). Les quatre points sont placés sur la figure ci-dessous.

3. On calcule la différence : \(\frac{29\pi}{4} – \left(-\frac{3\pi}{4}\right) = \frac{32\pi}{4} = 8\pi = 4 \times 2\pi\). C’est donc un multiple entier de \(2\pi\). Sacha a raison : les deux réels sont associés au même point, qui est N.

Barème : Q1 : 0,5 point par mesure principale ; Q2 : 1 point (0,25 par point bien placé) ; Q3 : 1 point (0,5 pour le calcul de la différence, 0,5 pour la conclusion).

Piège classique : s’arrêter à \(\frac{17\pi}{6} – 2\pi\) sans vérifier l’intervalle, ou garder \(\frac{5\pi}{4}\) pour N. En effet, \(\frac{5\pi}{4}\) est plus grand que \(\pi\) et ne peut donc pas être une mesure principale.

Exercice 4 – Valeurs remarquables et angles associés (5 points)

1. On lit ces valeurs sur le cercle, en tenant compte du quadrant :
   \(\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}\) ; \(\sin\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) ; \(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) ; \(\sin\left(\frac{11\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}\).
   Les valeurs sont \(-\frac{1}{2}\), \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) et \(-\frac{1}{2}\).
2. Comme \(\frac{4\pi}{5} = \pi – \frac{\pi}{5}\), on a \(\cos\left(\frac{4\pi}{5}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{5}\right) = -\frac{1 + \sqrt{5}}{4}\).
   De même, \(\frac{6\pi}{5} = \pi + \frac{\pi}{5}\), donc \(\cos\left(\frac{6\pi}{5}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{5}\right) = -\frac{1 + \sqrt{5}}{4}\).
   Enfin, la fonction cosinus vérifie \(\cos(-x) = \cos x\), d’où \(\cos\left(-\frac{\pi}{5}\right) = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}\).
   On obtient \(-\frac{1 + \sqrt{5}}{4}\), \(-\frac{1 + \sqrt{5}}{4}\) et \(\frac{1 + \sqrt{5}}{4}\).
3. On utilise les quatre formules des angles associés :
   \(\sin(\pi – x) = \sin x\) et \(\sin(\pi + x) = -\sin x\) ;
   \(\cos(-x) = \cos x\) et \(\cos(\pi – x) = -\cos x\).
   Par conséquent :
   \(A(x) = \sin x – \sin x + \cos x – (-\cos x)\)
   \(A(x) = \cos x + \cos x = 2\cos x\).
   Pour tout réel \(x\), \(A(x) = 2\cos x\).

Barème : Q1 : 0,5 point par valeur ; Q2 : 0,5 point par cosinus avec l’angle associé cité ; Q3 : 1,5 point (1 pour les quatre formules, 0,5 pour la conclusion).

Piège classique : oublier le signe moins devant \(\cos(\pi – x)\) dans \(A(x)\). Ainsi, on trouve à tort \(A(x) = 0\), alors que \(-(-\cos x)\) donne bien \(+\cos x\).

Exercice 5 – L’aiguille de l’horloge (4 points)

1. La grande aiguille fait un tour complet, soit \(2\pi\) radians, en 60 minutes. Elle tourne donc de \(\frac{2\pi}{60} = \frac{\pi}{30}\) radian par minute. De plus, elle tourne dans le sens des aiguilles d’une montre, qui est le sens indirect : c’est pourquoi on retire \(\frac{\pi t}{30}\).
2. Pour \(t = 10\), on obtient \(\frac{\pi}{2} – \frac{10\pi}{30} = \frac{\pi}{2} – \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6}\). Les coordonnées de M sont alors \(\left(\cos\frac{\pi}{6} \,;\, \sin\frac{\pi}{6}\right)\). À 12 h 10, M a pour coordonnées \(\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \,;\, \frac{1}{2}\right)\).
3. Pour \(t = 45\), on a \(\frac{\pi}{2} – \frac{45\pi}{30} = \frac{\pi}{2} – \frac{3\pi}{2} = -\pi\). Or \(\cos(-\pi) = -1\) et \(\sin(-\pi) = 0\). À 12 h 45, M a pour coordonnées \((-1 \,;\, 0)\) : l’aiguille pointe bien vers le 9.
4. M est sur le cercle trigonométrique, donc ses coordonnées vérifient \(x^2 + y^2 = 1\), car \(\cos^2 heta + \sin^2 heta = 1\) pour tout réel \( heta\).
   Ainsi, \(x^2 = 1 – \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 – \frac{9}{25} = \frac{16}{25}\).
   L’abscisse est négative, donc \(x = -\frac{4}{5}\). L’abscisse de M vaut \(-\frac{4}{5}\), soit \(-0{,}8\).
5. En 25 minutes, l’aiguille tourne de \(\frac{25\pi}{30} = \frac{5\pi}{6}\) radian. Sur un cercle de rayon \(r\), un arc d’angle \(\theta\) radians mesure \(r \times \theta\). Donc la longueur parcourue vaut \(15 \times \frac{5\pi}{6} = \frac{25\pi}{2}\). L’extrémité parcourt \(\frac{25\pi}{2}\) cm, soit \(12{,}5\pi\) cm, environ 39 cm.

Barème : Q1 : 0,5 point ; Q2 : 0,5 point pour le réel, 0,5 point pour les coordonnées ; Q3 : 0,5 point ; Q4 : 1 point (0,5 pour la relation, 0,5 pour le signe) ; Q5 : 1 point (0,5 pour l’angle, 0,5 pour la longueur).

Piège classique : garder \(x = \frac{4}{5}\) à la question 4. Pourtant, l’énoncé précise que l’abscisse est négative, donc seule la racine négative convient.

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Consolider cercle trigonométrique et radians après ce corrigé

Pour ne plus perdre de points sur ce thème, relis la leçon fonctions trigonométriques ; entraîne-toi sur la fiche angles orientés et trigonométrie.

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