Produit scalaire et géométrie repérée : corrigé du contrôle de maths en première
Voici le corrigé du contrôle de maths en première sur le thème « produit scalaire et géométrie repérée », question par question.
Cette correction suit le triangle \(ABC\) d’un bout à l’autre du sujet. Chaque produit scalaire est calculé avec les coordonnées, puis chaque équation de droite est obtenue à partir d’un vecteur normal et d’un point, avant d’être vérifiée.
Une figure complète montre ensuite les deux hauteurs, les médiatrices, le cercle circonscrit et la droite qui porte les trois points alignés. Ainsi, tu peux contrôler tes résultats d’un coup d’œil. Compare ta rédaction à celle proposée, puis compte tes points avec le barème. Enfin, les pièges signalés portent surtout sur le choix du vecteur normal, qui est la source d’erreur la plus fréquente.
L’énoncé complet se trouve ici : Produit scalaire et géométrie repérée : contrôle de maths en première.
Barème du contrôle corrigé : produit scalaire et géométrie repérée
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Les angles du triangle ABC | 4 points |
| 2. Deux hauteurs et l’orthocentre | 4 points |
| 3. Médiatrices et cercle circonscrit | 4,5 points |
| 4. Trois points alignés | 3,5 points |
| 5. Le cercle de diamètre [AB] | 4 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : produit scalaire et géométrie repérée
Exercice 1 – Les angles du triangle ABC (4 points)
- On a \(\overrightarrow{AB}(5 – (-3) \,;\, -1 – (-1))\), soit \(\overrightarrow{AB}(8 \,;\, 0)\), et \(\overrightarrow{AC}(7 \,;\, 7)\).
Dans un repère orthonormé : \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 8 \times 7 + 0 \times 7\).
Donc \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 56\). - D’abord, \(AB = \sqrt{8^2 + 0^2} = 8\) et \(AC = \sqrt{49 + 49} = \sqrt{98} = 7\sqrt{2}\).
Or \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AC \times \cos \widehat{BAC}\), donc :
\(\cos \widehat{BAC} = \dfrac{56}{8 \times 7\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\).
Par conséquent, \(\widehat{BAC} = 45^\circ\). - On a \(\overrightarrow{CA}(-7 \,;\, -7)\) et \(\overrightarrow{CB}(1 \,;\, -7)\).
Ainsi, \(\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = -7 + 49 = 42\).
De plus, \(CA = 7\sqrt{2}\) et \(CB = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\).
Alors \(\cos \widehat{ACB} = \dfrac{42}{7\sqrt{2} \times 5\sqrt{2}} = \dfrac{42}{70}\).
Donc \(\cos \widehat{ACB} = \dfrac{3}{5}\). - On a \(\overrightarrow{BA}(-8 \,;\, 0)\) et \(\overrightarrow{BC}(-1 \,;\, 7)\), d’où \(\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = 8 + 0 = 8\).
Ce produit scalaire est strictement positif, donc le cosinus de l’angle aussi. L’angle \(\widehat{ABC}\) est aigu.
Piège classique : utiliser \(\overrightarrow{AC}\) au lieu de \(\overrightarrow{CA}\) pour l’angle en \(C\). En effet, les deux vecteurs doivent partir du sommet de l’angle, sinon le signe change.
Exercice 2 – Deux hauteurs et l’orthocentre (4 points)
- La hauteur \(h_A\) passe par \(A\) et elle est perpendiculaire à \((BC)\) : \(\overrightarrow{BC}(-1 \,;\, 7)\) est donc un vecteur normal à \(h_A\).
Ainsi \(h_A\) a une équation de la forme \(-x + 7y + c = 0\).
Comme \(A\) est sur \(h_A\) : \(-(-3) + 7 \times (-1) + c = 0\), soit \(-4 + c = 0\), donc \(c = 4\).
On obtient \(-x + 7y + 4 = 0\), puis on multiplie par \(-1\) : \(h_A : x – 7y – 4 = 0\). - Le côté \([AB]\) est horizontal, car \(A\) et \(B\) ont la même ordonnée. La hauteur issue de \(C\) est donc verticale et passe par \(C(4 \,;\, 6)\). \(h_C : x = 4\).
- On remplace \(x\) par 4 dans l’équation de \(h_A\) : \(4 – 7y – 4 = 0\), donc \(y = 0\). L’orthocentre est \(H(4 \,;\, 0)\).
- On a \(\overrightarrow{BH}(-1 \,;\, 1)\) et \(\overrightarrow{AC}(7 \,;\, 7)\).
Alors \(\overrightarrow{BH} \cdot \overrightarrow{AC} = -7 + 7 = 0\). Les droites \((BH)\) et \((AC)\) sont donc perpendiculaires, ce qui confirme que \(H\) est aussi sur la troisième hauteur.
Piège classique : prendre \(\overrightarrow{AB}\) comme vecteur normal de la hauteur issue de \(A\). Or cette hauteur est perpendiculaire au côté opposé à \(A\), c’est-à-dire \([BC]\).
Exercice 3 – Médiatrices et cercle circonscrit (4,5 points)
- Le milieu de \([AB]\) est \((1 \,;\, -1)\). Puisque \([AB]\) est horizontal, sa médiatrice est la droite verticale qui passe par ce milieu. La médiatrice de \([AB]\) a pour équation \(x = 1\).
- Le milieu de \([AC]\) est \(K\left(\dfrac{-3 + 4}{2} \,;\, \dfrac{-1 + 6}{2}\right)\), soit \(K\left(\dfrac{1}{2} \,;\, \dfrac{5}{2}\right)\).
La médiatrice admet \(\overrightarrow{AC}(7 \,;\, 7)\) comme vecteur normal, donc aussi \(\vec{n}(1 \,;\, 1)\).
Elle a alors une équation \(x + y + c = 0\), avec \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{5}{2} + c = 0\), donc \(c = -3\).
La médiatrice de \([AC]\) a pour équation \(x + y – 3 = 0\). - Le centre du cercle circonscrit est le point commun des médiatrices. Avec \(x = 1\), on obtient \(1 + y – 3 = 0\), donc \(y = 2\). \(\Omega(1 \,;\, 2)\).
- Le rayon vaut \(\Omega A\) : \(\Omega A^2 = (-3 – 1)^2 + (-1 – 2)^2 = 16 + 9 = 25\), donc le rayon vaut 5.
Le cercle circonscrit a pour équation \((x – 1)^2 + (y – 2)^2 = 25\).
Vérification pour \(B\) : \((5 – 1)^2 + (-1 – 2)^2 = 16 + 9 = 25\). Pour \(C\) : \((4 – 1)^2 + (6 – 2)^2 = 9 + 16 = 25\). Les deux points sont bien sur le cercle.
Exercice 4 – Trois points alignés (3,5 points)
- On fait la moyenne des coordonnées : \(x_G = \dfrac{-3 + 5 + 4}{3} = 2\) et \(y_G = \dfrac{-1 – 1 + 6}{3} = \dfrac{4}{3}\).
\(G\left(2 \,;\, \dfrac{4}{3}\right)\). - D’une part, \(\overrightarrow{\Omega H}(4 – 1 \,;\, 0 – 2)\), soit \(\overrightarrow{\Omega H}(3 \,;\, -2)\).
D’autre part, \(\overrightarrow{\Omega G}\left(2 – 1 \,;\, \dfrac{4}{3} – 2\right)\), soit \(\overrightarrow{\Omega G}\left(1 \,;\, -\dfrac{2}{3}\right)\).
Or \(3 \times 1 = 3\) et \(3 \times \left(-\dfrac{2}{3}\right) = -2\). Donc \(\overrightarrow{\Omega H} = 3\,\overrightarrow{\Omega G}\). - Les vecteurs \(\overrightarrow{\Omega H}\) et \(\overrightarrow{\Omega G}\) sont colinéaires et ont le point \(\Omega\) en commun. Les points \(\Omega\), \(G\) et \(H\) sont donc alignés.
La droite a pour vecteur directeur \(\overrightarrow{\Omega H}(3 \,;\, -2)\), donc \(\vec{n}(2 \,;\, 3)\) est un vecteur normal. Elle a alors une équation \(2x + 3y + c = 0\), et \(\Omega\) donne \(2 + 6 + c = 0\), soit \(c = -8\).
La droite a pour équation \(2x + 3y – 8 = 0\). Vérification avec \(H\) : \(8 + 0 – 8 = 0\).
Piège classique : conclure à l’alignement sans citer la colinéarité des vecteurs, ou en se contentant de la figure. Pourtant, une figure ne démontre rien.
Exercice 5 – Le cercle de diamètre [AB] (4 points)
- On a \(\overrightarrow{MA}(-3 – x \,;\, -1 – y)\) et \(\overrightarrow{MB}(5 – x \,;\, -1 – y)\). Donc :
\(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = (-3 – x)(5 – x) + (-1 – y)^2\)
\(= -15 + 3x – 5x + x^2 + 1 + 2y + y^2\)
\(= x^2 + y^2 – 2x + 2y – 14\). - On complète les carrés : \(x^2 – 2x = (x – 1)^2 – 1\) et \(y^2 + 2y = (y + 1)^2 – 1\).
L’expression devient \((x – 1)^2 + (y + 1)^2 – 16\).
Ainsi, \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0\) équivaut à \((x – 1)^2 + (y + 1)^2 = 16\).
\(\mathcal{E}\) est le cercle de centre \(I(1 \,;\, -1)\) et de rayon 4 : c’est bien le cercle de diamètre \([AB]\), car \(I\) est le milieu de \([AB]\) et \(AB = 8\). - Pour \(P\) : \((1 – 1)^2 + (3 + 1)^2 = 16\), donc \(P \in \mathcal{E}\) et \(\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = 0\). Le triangle \(APB\) est rectangle en \(P\).
Pour \(Q\) : \((4 – 1)^2 + (2 + 1)^2 = 18\), or \(18 \neq 16\). D’ailleurs, \(\overrightarrow{QA}(-7 \,;\, -3)\) et \(\overrightarrow{QB}(1 \,;\, -3)\) donnent \(\overrightarrow{QA} \cdot \overrightarrow{QB} = -7 + 9 = 2 \neq 0\). Le triangle \(AQB\) n’est donc pas rectangle en \(Q\).
Piège classique : se fier à la figure pour \(Q\), qui semble presque sur le cercle. Seul le calcul permet donc de trancher.
À retenir de ce contrôle
- Dans un repère orthonormé, le produit scalaire de u(x ; y) et v(x’ ; y’) vaut xx’ + yy’, et il est nul si et seulement si les vecteurs sont orthogonaux.
- Le cosinus d’un angle géométrique s’obtient en divisant le produit scalaire des deux vecteurs par le produit de leurs normes.
- Une droite de vecteur normal n(a ; b) a une équation de la forme ax + by + c = 0 ; on trouve c avec un point de la droite.
- La médiatrice d’un segment passe par son milieu et admet ce segment comme vecteur normal ; la hauteur admet le côté opposé comme vecteur normal.
- L’ensemble des points M tels que MA · MB = 0 est le cercle de diamètre [AB].
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