Raisonnement par récurrence : contrôle de maths en terminale
Voici un contrôle de maths en terminale sur le thème « raisonnement par récurrence », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce sujet évalue le raisonnement par récurrence, premier outil de démonstration de l’année de terminale. Tu dois rédiger avec soin les trois étapes : initialisation, hérédité puis conclusion. D’abord, tu prouves une formule explicite et une formule de somme. Ensuite, tu démontres des inégalités entre puissances et carrés, où le rang de départ compte beaucoup.
Tu analyses aussi une fausse preuve afin de comprendre pourquoi l’initialisation est indispensable. Enfin, un problème de bassin à truites te fait encadrer une suite et étudier son sens de variation. Fais ce contrôle juste après le chapitre sur la récurrence, avant d’aborder les limites de suites.
Ce qu’évalue le contrôle : raisonnement par récurrence
L’essentiel du sujet
- Niveauterminale
- Durée2 heures
- Calculatriceautorisée
- Barèmesur 20
Chapitre : Suites et raisonnement par récurrence (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Rédiger une démonstration par récurrence en trois étapes : initialisation, hérédité et conclusion
- Démontrer la formule explicite d’une suite définie par une relation de récurrence
- Établir une formule de somme ou une inégalité portant sur un entier naturel
- Repérer l’étape manquante dans une fausse démonstration par récurrence
- Encadrer une suite et prouver son sens de variation à l’aide d’une fonction croissante
Avant de commencer le devoir
Pour chaque démonstration, écris d’abord clairement la propriété \(P(n)\) que tu veux prouver. Vérifie ensuite l’initialisation au bon rang, car il n’est pas toujours égal à 0. Dans l’hérédité, pars de \(u_{n+1}\) ou de \(2^{n+1}\) et fais apparaître l’hypothèse de récurrence, puis signale précisément où tu l’utilises. Enfin, relis ta conclusion : elle doit reprendre la propriété pour tout entier concerné.
Le sujet du contrôle : raisonnement par récurrence
Exercice 1 – Une suite explicite à démontrer (4 points)
On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 2\) et, pour tout entier naturel \(n\), par \(u_{n+1} = 3u_n – 2\). Le nuage de points ci-dessous représente ses cinq premiers termes.
- Calcule \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\), puis vérifie que ces valeurs sont cohérentes avec le nuage de points.
- Démontre par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n = 3^n + 1\).
- Donne alors la valeur exacte de \(u_{10}\). Avec la calculatrice, trouve ensuite le plus petit entier \(n\) tel que \(u_n > 1\,000\,000\).
Exercice 2 – Une somme de produits (4 points)
Pour tout entier \(n \geq 1\), on note \(S_n\) la somme des produits \(k(k+1)\) quand \(k\) varie de 1 à \(n\) :
\[S_n = \sum_{k=1}^{n} k(k+1)\]
Par exemple, \(S_2 = 1 \times 2 + 2 \times 3 = 8\).
- Calcule \(S_1\) et \(S_3\), puis vérifie que la formule \(\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}\) donne bien \(S_1\), \(S_2\) et \(S_3\).
- Démontre par récurrence que, pour tout entier \(n \geq 1\), \(S_n = \dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}\).
- Déduis-en la valeur de \(S_{10}\).
Exercice 3 – Puissances de 2 et carrés (4 points)
Le diagramme compare \(2^n\) et \(n^2\) pour les entiers de 0 à 7. On remarque que l’écart se creuse vite, mais pas dès le début.
- Démontre par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), \(2^n \geq n + 1\).
- Compare \(2^n\) et \(n^2\) pour \(n = 2\), \(n = 3\), \(n = 4\) et \(n = 5\). Que remarques-tu ?
- Montre que, pour tout entier \(n \geq 3\), \(n^2 – 2n – 1 \geq 0\). On pourra écrire \(n^2 – 2n – 1 = (n-1)^2 – 2\).
- Prouve enfin par récurrence que, pour tout entier \(n \geq 5\), \(2^n > n^2\).
Exercice 4 – La récurrence de Léo (4 points)
Léo affirme que, pour tout entier naturel \(n\), le nombre \(10^n + 1\) est divisible par 9. Pour le prouver, il suppose qu’il existe un entier \(k\) tel que \(10^n + 1 = 9k\), puis il conclut que la propriété est vraie pour tout \(n\).
- Sous l’hypothèse de Léo, montre que \(10^{n+1} + 1 = 9(10k – 1)\). Que prouve ce calcul ?
- Calcule \(10^0 + 1\), \(10^1 + 1\) et \(10^2 + 1\). Sont-ils divisibles par 9 ?
- Explique quelle étape manque au raisonnement de Léo, puis pourquoi sa conclusion est fausse.
- Démontre en revanche par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), \(10^n – 1\) est divisible par 9.
Exercice 5 – Les truites du bassin (4 points)
Au 1er janvier 2026, le bassin d’une pisciculture contient 1 000 truites. Chaque année, l’exploitante, Maïwenn, vend 20 % des truites présentes, puis elle ajoute 400 jeunes truites. On note \(u_n\) le nombre de truites au 1er janvier de l’année \(2026 + n\), donc \(u_0 = 1\,000\).
On admet que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} = f(u_n)\) où \(f(x) = 0{,}8x + 400\). Le graphique ci-dessous montre la courbe de \(f\), la droite d’équation \(y = x\) et la construction de \(u_1\) et \(u_2\).
- Justifie la relation \(u_{n+1} = 0{,}8u_n + 400\), puis calcule \(u_1\) et \(u_2\).
- Explique comment prolonger l’escalier pour placer \(u_3\) sur l’axe des abscisses, puis calcule la valeur exacte de \(u_3\).
- Démontre par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), \(1\,000 \leq u_n \leq u_{n+1} \leq 2\,000\).
- Interprète ce résultat pour Maïwenn : que peut-on dire de l’évolution du nombre de truites ?
Réviser raisonnement par récurrence avant le contrôle
Si un exercice t’a bloqué, relis la leçon le raisonnement par récurrence puis suites numériques ; entraîne-toi sur la fiche raisonnement par récurrence et limites de suites avant de retenter le sujet.
La page contrôles de maths en terminale regroupe les 25 sujets de l’année, et la rubrique contrôles corrigés du CP à la terminale permet de changer de niveau.
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