Limites de suites et convergence : contrôle de maths en terminale
Voici un contrôle de maths en terminale sur le thème « limites de suites et convergence », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce sujet porte sur la deuxième partie du chapitre sur les suites. D’abord, tu calcules des limites par opérations en levant des formes indéterminées, puis tu utilises les théorèmes de comparaison et le théorème des gendarmes sur des suites qui oscillent.
Ensuite, une suite définie par récurrence est étudiée à l’aide d’un graphique en escalier : tu démontres qu’elle est monotone et bornée, afin d’appliquer le théorème de convergence monotone. Enfin, un problème de type bac sur la population d’un étang mobilise une suite auxiliaire géométrique et un algorithme Python. Ce contrôle se fait après le raisonnement par récurrence, calculatrice autorisée.
Ce qu’évalue le contrôle : limites de suites et convergence
L’essentiel du sujet
- Niveauterminale
- Durée2 heures
- Calculatriceautorisée
- Barèmesur 20
Chapitre : Suites et raisonnement par récurrence (4 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Calculer la limite d’une suite par opérations en levant une forme indéterminée par factorisation
- Utiliser les théorèmes de comparaison et le théorème des gendarmes pour déterminer une limite
- Démontrer qu’une suite définie par récurrence est monotone et bornée, puis en déduire sa convergence
- Déterminer la limite d’une suite récurrente comme point fixe d’une fonction continue
- Étudier une suite arithmético-géométrique à l’aide d’une suite auxiliaire géométrique et compléter un algorithme de seuil
Avant de commencer le devoir
Avant de conclure sur une limite, identifie toujours la forme obtenue : si elle est indéterminée, factorise par le terme dominant. Pour une suite qui contient \((-1)^n\), un sinus ou un cosinus, pense tout de suite à un encadrement. Dans le problème, les questions s’enchaînent, mais chaque résultat est donné : tu peux donc l’admettre pour continuer. Vérifie enfin tes réponses avec le nuage de points fourni.
Le sujet du contrôle : limites de suites et convergence
Exercice 1 – Limites par opérations (4 points)
Pour tout entier naturel \(n\), on pose :
\(u_n = 3n^2 – 5n + 2\) ; \(v_n = \dfrac{2n^2 + 1}{5n^2 – n + 3}\) ; \(w_n = 4 – 3 \times 0{,}6^n\) ; \(t_n = 2^n – 5^n\).
- Détermine d’abord la limite de \((u_n)\), en levant l’indétermination.
- Calcule ensuite la limite de \((v_n)\).
- Quelle est la limite de \((w_n)\) ? Justifie à l’aide d’une propriété du cours.
- Enfin, étudie la limite de \((t_n)\), par exemple en factorisant par \(5^n\).
Exercice 2 – Comparaison et encadrement (4 points)
- Soit \(a_n = 2n + \cos(n)\) pour tout entier naturel \(n\). Montre d’abord que \(a_n \geq 2n – 1\), puis déduis-en la limite de \((a_n)\).
- Soit \(b_n = \dfrac{3 + (-1)^n}{n + 1}\) pour tout entier naturel \(n\). Encadre \(b_n\) entre deux suites simples, puis détermine sa limite en citant le théorème utilisé.
- Soit enfin \(c_n = \dfrac{5n + \sin(n)}{n}\) pour tout entier \(n \geq 1\). Détermine la limite de \((c_n)\).
Exercice 3 – Une suite croissante et majorée (4 points)
On considère la fonction \(f\) définie sur \([-1{,}5\,;\,+\infty[\) par \(f(x) = \sqrt{2x + 3}\), ainsi que la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 1\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} = f(u_n)\). On admet que \(f\) est croissante sur son ensemble de définition. Le graphique ci-dessous montre la courbe de \(f\), la droite d’équation \(y = x\) et la construction des premiers termes.
- Place \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\) sur l’axe des abscisses, puis conjecture le sens de variation et la limite de \((u_n)\).
- Démontre par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), \(0 \leq u_n \leq u_{n+1} \leq 3\).
- Déduis-en alors que la suite \((u_n)\) converge.
- On note \(\ell\) sa limite. On admet que \(\ell\) vérifie \(f(\ell) = \ell\), car \(f\) est continue. Détermine ainsi la valeur de \(\ell\).
Exercice 4 – Les carpes de l’étang (8 points)
Au 1er janvier 2026, un étang contient 1 000 carpes. Chaque année, les pêcheurs prélèvent \(25\,\%\) des carpes présentes, puis l’association de pêche introduit 450 jeunes carpes. On modélise la population par la suite \((u_n)\), où \(u_n\) est le nombre de carpes au 1er janvier de l’année \(2026 + n\). Ainsi, \(u_0 = 1000\).
- Justifie que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} = 0{,}75\,u_n + 450\). Calcule ensuite \(u_1\) et \(u_2\).
- On pose \(v_n = u_n – 1800\) pour tout entier naturel \(n\). Montre que \((v_n)\) est géométrique, et précise sa raison et son premier terme.
- Exprime \(v_n\) en fonction de \(n\), puis vérifie que \(u_n = 1800 – 800 \times 0{,}75^n\).
- Étudie le sens de variation de la suite \((u_n)\).
- Détermine la limite de \((u_n)\) et interprète-la dans le contexte. Est-ce cohérent avec le nuage de points ?
L’association souhaite savoir à partir de quelle année l’étang comptera au moins 1 750 carpes. Pour cela, elle écrit la fonction Python ci-dessous, dont deux lignes sont incomplètes.
- Recopie puis complète les lignes 4 et 6 de la fonction.
- Quelle valeur renvoie cette fonction ? Justifie par un calcul de termes, puis réponds à la question de l’association.
Réviser limites de suites et convergence avant le contrôle
Si un exercice t’a bloqué, relis la leçon le raisonnement par récurrence puis suites numériques ; entraîne-toi sur la fiche raisonnement par récurrence et limites de suites avant de retenter le sujet.
La page contrôles de maths en terminale regroupe les 25 sujets de l’année, et la rubrique contrôles corrigés du CP à la terminale permet de changer de niveau.
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