Formules de trigonométrie en maths sup (MPSI) : cours et méthodes
Ce chapitre de trigonométrie MPSI arrive dès les premières semaines de l’année. Il reprend les acquis du lycée, puis les rend opérationnels : en colle, personne ne vous laissera chercher une formule pendant cinq minutes. Nous construisons donc toutes les formules à partir de deux seulement, les formules d’addition, et nous montrons comment les retrouver de tête.
Ensuite, nous traitons la résolution propre des équations et inéquations trigonométriques, avec le langage des congruences modulo 2π. Les transformations produit-somme, l’inégalité |sin x| ≤ |x| et le changement de variable en tan(t/2) complètent la boîte à outils.
Ces techniques servent ensuite partout : nombres complexes, calcul de primitives, équations différentielles, développements limités et séries de Fourier en deuxième année.
Ce que vous saurez faire
- Placer un angle sur le cercle trigonométrique et raisonner avec des congruences modulo \(2\pi\) ou modulo \(\pi\).
- Retrouver en quelques secondes une formule de duplication, de transformation ou de tangente à partir des seules formules d’addition.
- Transformer une somme de cosinus ou de sinus en produit, et un produit en somme.
- Résoudre une équation ou une inéquation trigonométrique et écrire proprement l’ensemble des solutions.
- Exploiter l’inégalité \(|\sin x| \leqslant |x|\) pour obtenir des majorations.
- Utiliser le paramètre \(t = \tan(x/2)\) pour ramener un calcul à une question polynomiale.
1. Le cercle trigonométrique et les congruences
Le plan est muni d’un repère orthonormé direct. Le cercle trigonométrique est le cercle de centre \(O\) et de rayon \(1\). À tout réel \(x\), on associe le point \(M(x)\) obtenu en parcourant l’arc de longueur \(|x|\) depuis le point \((1,0)\), dans le sens direct si \(x \geqslant 0\). Ainsi, le cosinus et le sinus de \(x\) sont par définition l’abscisse et l’ordonnée de \(M(x)\).
1.1 Congruences modulo un réel
Deux réels qui diffèrent d’un multiple de \(2\pi\) donnent le même point. C’est pourquoi on a besoin d’une relation qui identifie ces réels.
Soit \(a \in \mathbb{R}\) avec \(a > 0\). Deux réels \(x\) et \(y\) sont congrus modulo \(a\) lorsqu’il existe \(k \in \mathbb{Z}\) tel que \(x – y = ka\). On note alors \(x \equiv y \;[a]\).
Cette relation est réflexive, symétrique et transitive. De plus, elle est compatible avec l’addition : si \(x \equiv y\;[a]\) et \(x^{\prime} \equiv y^{\prime}\;[a]\), alors \(x + x^{\prime} \equiv y + y^{\prime}\;[a]\). On a donc \(M(x) = M(y)\) si et seulement si \(x \equiv y\;[2\pi]\).
Piège à éviter :
Multiplier une congruence par un entier \(n\) est permis : \(x \equiv y\;[a]\) entraîne \(nx \equiv ny\;[na]\), donc aussi \(nx \equiv ny\;[a]\). En revanche, diviser demande de diviser aussi le module. Par exemple, \(3x \equiv \pi\;[2\pi]\) équivaut à \(x \equiv \pi/3\;[2\pi/3]\), et non à \(x \equiv \pi/3\;[2\pi]\). Oublier ce point fait perdre deux familles de solutions sur trois.
1.2 Les valeurs remarquables
On retient le tableau des angles \(0\), \(\pi/6\), \(\pi/4\), \(\pi/3\) et \(\pi/2\). Pour le reconstruire, il suffit d’une astuce : les sinus de ces angles valent \(\sqrt{0}/2\), \(\sqrt{1}/2\), \(\sqrt{2}/2\), \(\sqrt{3}/2\) et \(\sqrt{4}/2\). Ensuite, les cosinus se lisent dans l’ordre inverse.
\[\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2},\qquad \tan\frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}},\qquad \tan\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}.\]
1.3 Les angles associés
Les symétries du cercle donnent des relations entre \(x\), \(-x\), \(\pi – x\), \(\pi + x\) et \(\pi/2 – x\). Par exemple, le point \(M(\pi – x)\) est le symétrique de \(M(x)\) par rapport à l’axe des ordonnées. Par conséquent, \(\cos(\pi – x) = -\cos x\) et \(\sin(\pi – x) = \sin x\). La figure suivante rassemble ces symétries.
Pour simplifier une expression comme \(\sin(x + 7\pi/2)\) :
- retirer d’abord un multiple de \(2\pi\) (ici \(4\pi\)) pour se ramener à \(\sin(x – \pi/2)\) ;
- dessiner mentalement le quart de tour : retrancher \(\pi/2\) fait passer de \(M(x)\) au point de coordonnées \((\sin x, -\cos x)\) ;
- lire la réponse : \(\sin(x + 7\pi/2) = -\cos x\).
On contrôle enfin avec une valeur simple : pour \(x = 0\), on trouve bien \(\sin(7\pi/2) = -1 = -\cos 0\).
Pour la tangente, il suffit de faire le quotient des deux relations obtenues. Ainsi, \(\tan(\pi – x) = -\tan x\) et \(\tan(\pi + x) = \tan x\), ce qui traduit la \(\pi\)-périodicité. De plus, le passage à l’angle complémentaire échange sinus et cosinus.
Pour tout réel \(x\) tel que les deux membres existent :
\[\cos\left(\frac{\pi}{2} – x\right) = \sin x,\qquad \sin\left(\frac{\pi}{2} – x\right) = \cos x,\qquad \tan\left(\frac{\pi}{2} – x\right) = \frac{1}{\tan x}.\]
Cette dernière formule est très utile en pratique. Par exemple, elle montre que deux angles aigus complémentaires ont des tangentes inverses l’une de l’autre. Par conséquent, connaître \(\tan(\pi/12)\) donne aussitôt \(\tan(5\pi/12)\), et inversement.
2. Toutes les formules de trigonométrie à partir de deux
Le cœur du chapitre tient en deux lignes. Nous les admettons ici, car leur preuve géométrique est vue au lycée ; elles se redémontrent aussi très vite avec l’exponentielle complexe.
Pour tous réels \(a\) et \(b\) :
\[\cos(a + b) = \cos a\cos b – \sin a\sin b,\qquad \sin(a + b) = \sin a\cos b + \cos a\sin b.\]
En remplaçant \(b\) par \(-b\), on obtient aussitôt les formules de \(\cos(a – b)\) et \(\sin(a – b)\), car le cosinus est pair et le sinus impair. Pour retenir les signes, une règle suffit : le cosinus « change le signe » et ne mélange pas, le sinus « garde le signe » et mélange.
2.1 Duplication et linéarisation
Prenons \(b = a\). On obtient \(\sin 2a = 2\sin a\cos a\) et \(\cos 2a = \cos^2 a – \sin^2 a\). Ensuite, la relation \(\cos^2 a + \sin^2 a = 1\) donne deux autres écritures du cosinus double.
\[\cos 2a = 2\cos^2 a – 1 = 1 – 2\sin^2 a,\qquad\text{donc}\qquad \cos^2 a = \frac{1 + \cos 2a}{2},\qquad \sin^2 a = \frac{1 – \cos 2a}{2}.\]
Ces deux dernières égalités servent à linéariser, c’est-à-dire à remplacer un carré par une expression du premier degré en \(\cos 2a\). Elles seront essentielles pour calculer des primitives.
Calculons \(\cos(\pi/12)\) sans tableau. D’abord, \(\cos^2(\pi/12) = \dfrac{1 + \cos(\pi/6)}{2} = \dfrac{2 + \sqrt{3}}{4}\). Ensuite, \(\pi/12\) appartient à \(]0, \pi/2[\), donc son cosinus est positif. On en déduit \(\cos(\pi/12) = \dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}\).
Par ailleurs, la formule de soustraction donne \(\cos(\pi/3 – \pi/4) = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}\). Les deux résultats coïncident, ce qu’on vérifie en élevant le second au carré : \(\dfrac{8 + 2\sqrt{12}}{16} = \dfrac{2 + \sqrt{3}}{4}\).
2.2 La formule d’addition de la tangente
La tangente est définie sur \(\mathbb{R}\) privé des réels \(\pi/2 + k\pi\), par \(\tan x = \sin x / \cos x\). Elle est impaire et \(\pi\)-périodique.
Si \(a\), \(b\) et \(a + b\) ne sont pas congrus à \(\pi/2\) modulo \(\pi\), alors
\[\tan(a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 – \tan a\tan b}.\]
Par hypothèse, \(\cos a\), \(\cos b\) et \(\cos(a + b)\) sont non nuls. On écrit \(\tan(a + b)\) comme quotient des formules d’addition. Ensuite, on divise le numérateur et le dénominateur par \(\cos a\cos b\) :
\[\tan(a + b) = \frac{\sin a\cos b + \cos a\sin b}{\cos a\cos b – \sin a\sin b} = \frac{\tan a + \tan b}{1 – \tan a\tan b}.\]
Le dénominateur final est non nul, puisqu’il vaut \(\cos(a + b)/(\cos a\cos b)\).
Avec \(b = a\), on obtient \(\tan 2a = \dfrac{2\tan a}{1 – \tan^2 a}\), valable dès que \(a\) et \(2a\) évitent les valeurs interdites.
Remarque :
Si \(\tan a\tan b = 1\), le dénominateur s’annule. Dans ce cas, \(a + b \equiv \pi/2\;[\pi]\) : la tangente de la somme n’existe pas, et la formule ne s’applique pas.
2.3 Transformations produit-somme
Additionnons maintenant les formules de \(\cos(a + b)\) et de \(\cos(a – b)\). Les termes en sinus se simplifient. On procède de même pour les autres combinaisons, ce qui donne trois formules de produit en somme.
\[\cos a\cos b = \frac{\cos(a – b) + \cos(a + b)}{2},\qquad \sin a\sin b = \frac{\cos(a – b) – \cos(a + b)}{2},\qquad \sin a\cos b = \frac{\sin(a + b) + \sin(a – b)}{2}.\]
Dans l’autre sens, on pose \(p = a + b\) et \(q = a – b\), donc \(a = (p + q)/2\) et \(b = (p – q)/2\). On obtient alors les formules de somme en produit.
\[\cos p + \cos q = 2\cos\frac{p + q}{2}\cos\frac{p – q}{2},\qquad \cos p – \cos q = -2\sin\frac{p + q}{2}\sin\frac{p – q}{2},\]
\[\sin p + \sin q = 2\sin\frac{p + q}{2}\cos\frac{p – q}{2},\qquad \sin p – \sin q = 2\cos\frac{p + q}{2}\sin\frac{p – q}{2}.\]
Pour retrouver une formule de somme en produit en moins de dix secondes :
- écrire le produit qu’on soupçonne, par exemple \(\cos\frac{p + q}{2}\sin\frac{p – q}{2}\) ;
- le développer avec la formule de \(\sin A\cos B\) ci-dessus ;
- ajuster le facteur \(2\) et le signe ;
- tester avec \(q = 0\) ou \(p = q\) pour vérifier.
Par exemple, \(\cos p – \cos q\) s’annule pour \(p = q\) : un facteur \(\sin\frac{p – q}{2}\) doit donc apparaître. De plus, le test \(p = 0\), \(q = \pi\) donne \(2\), ce qui fixe le signe moins.
Factorisons \(S = \sin x + \sin 4x + \sin 7x\). D’abord, on regroupe les termes extrêmes, dont la demi-somme des angles vaut \(4x\) : \(\sin x + \sin 7x = 2\sin 4x\cos 3x\). Ensuite, on met \(\sin 4x\) en facteur :
\[S = \sin 4x\,(2\cos 3x + 1).\]
Ainsi, \(S = 0\) si et seulement si \(\sin 4x = 0\) ou \(\cos 3x = -1/2\). Autrement dit, \(x \equiv 0\;[\pi/4]\), ou \(3x \equiv \pm 2\pi/3\;[2\pi]\), c’est-à-dire \(x \equiv \pm 2\pi/9\;[2\pi/3]\).
2.4 Retrouver une formule oubliée en colle
En colle, une formule oubliée n’est jamais un drame. En effet, toutes découlent des deux formules d’addition, et un contrôle numérique rapide détecte les erreurs de signe. Ainsi, on gagne à s’entraîner à refaire chaque calcul de tête, plutôt qu’à relire un formulaire.
Calculons \(\tan(5\pi/12)\). D’abord, \(5\pi/12 = \pi/4 + \pi/6\), et aucun de ces angles n’est interdit. Ensuite, la formule d’addition de la tangente donne
\[\tan\frac{5\pi}{12} = \frac{1 + 1/\sqrt{3}}{1 – 1/\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} – 1} = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{2} = 2 + \sqrt{3}.\]
On contrôle enfin la cohérence : \(5\pi/12\) est proche de \(\pi/2\), donc sa tangente doit être grande. Or \(2 + \sqrt{3}\) vaut environ \(3{,}7\), ce qui est plausible.
Le produit \(\cos(a + b)\cos(a – b)\) se simplifie remarquablement. Par la formule de produit en somme, il vaut \(\frac{1}{2}(\cos 2a + \cos 2b)\). Ensuite, on écrit \(\cos 2a = 2\cos^2 a – 1\) et \(\cos 2b = 1 – 2\sin^2 b\). On obtient donc \(\cos(a + b)\cos(a – b) = \cos^2 a – \sin^2 b\), formule utile pour factoriser des différences de carrés.
3. Les fonctions cosinus, sinus et tangente
Les fonctions \(\cos\) et \(\sin\) sont définies sur \(\mathbb{R}\), \(2\pi\)-périodiques et dérivables. On a \(\cos^{\prime} = -\sin\) et \(\sin^{\prime} = \cos\). Le cosinus est pair, le sinus impair. Par conséquent, il suffit de les étudier sur \([0, \pi]\), puis de compléter par symétrie et périodicité.
La tangente est dérivable sur chaque intervalle \(]-\pi/2 + k\pi, \pi/2 + k\pi[\). Sa dérivée admet deux écritures utiles :
\[\tan^{\prime} x = 1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}.\]
Elle est donc strictement croissante sur chacun de ces intervalles, avec des asymptotes verticales aux bornes. La figure montre les trois courbes sur une même fenêtre.
Piège à éviter :
La tangente est croissante sur chaque intervalle de son domaine, mais elle n’est pas croissante sur son domaine entier. Par exemple, \(\pi/4 < 3\pi/4\), pourtant \(\tan(\pi/4) = 1 > -1 = \tan(3\pi/4)\). On ne compare donc deux tangentes qu’à l’intérieur d’un même intervalle de longueur \(\pi\).
3.1 L’inégalité fondamentale du sinus
Près de \(0\), la courbe du sinus reste sous sa tangente \(y = x\) du côté positif. Ce constat graphique devient une inégalité valable sur tout \(\mathbb{R}\).
Pour tout réel \(x\), on a \(|\sin x| \leqslant |x|\), avec égalité si et seulement si \(x = 0\).
D’abord, si \(|x| \geqslant \pi/2\), alors \(|x| > 1 \geqslant |\sin x|\) et c’est terminé. Supposons ensuite \(0 \leqslant x < \pi/2\). La fonction \(g : x \mapsto x – \sin x\) a pour dérivée \(1 – \cos x\), qui est positive et ne s’annule qu’en \(0\) sur cet intervalle. Ainsi, \(g\) est strictement croissante et \(g(0) = 0\), donc \(\sin x < x\) pour \(x > 0\). De plus, \(\sin x \geqslant 0\) sur \([0, \pi/2[\), d’où \(|\sin x| \leqslant |x|\).
Enfin, si \(x < 0\), on applique le résultat à \(-x\) : la fonction \(|\sin|\) est paire, tout comme la valeur absolue.
Pour tous réels \(x\) et \(y\), on a \(|\sin x – \sin y| \leqslant |x – y|\) et \(|\cos x – \cos y| \leqslant |x – y|\).
On transforme la différence en produit, puis on majore chaque facteur. En effet, \(\sin x – \sin y = 2\cos\frac{x + y}{2}\sin\frac{x – y}{2}\). Or \(\left|\cos\frac{x + y}{2}\right| \leqslant 1\) et \(\left|\sin\frac{x – y}{2}\right| \leqslant \frac{|x – y|}{2}\). Le produit est donc majoré par \(|x – y|\). Le cas du cosinus est identique.
Ce corollaire montre que \(\sin\) et \(\cos\) sont continues, et même lipschitziennes de rapport \(1\). Il fournit aussi des estimations d’erreur très simples.
3.2 Étudier une fonction trigonométrique
Pour étudier une fonction construite à partir de \(\cos\) et \(\sin\), on commence toujours par réduire l’intervalle d’étude. La périodicité ramène l’étude à une période, puis la parité permet souvent de la diviser par deux. Ensuite, on factorise la dérivée à l’aide des formules du chapitre.
Étudions \(f : x \mapsto \sin x\,(1 + \cos x)\) sur \(\mathbb{R}\). D’abord, \(f\) est \(2\pi\)-périodique et impaire : on l’étudie donc sur \([0, \pi]\). Ensuite, on dérive :
\[f^{\prime}(x) = \cos x\,(1 + \cos x) – \sin^2 x = 2\cos^2 x + \cos x – 1 = (2\cos x – 1)(\cos x + 1).\]
Sur \([0, \pi[\), le facteur \(\cos x + 1\) est strictement positif. Par conséquent, \(f^{\prime}\) a le signe de \(2\cos x – 1\) : positive sur \([0, \pi/3]\), négative sur \([\pi/3, \pi]\). Finalement, \(f\) atteint son maximum en \(\pi/3\), qui vaut \(\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{3}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4}\).
4. Résoudre une équation ou une inéquation trigonométrique
Toute équation trigonométrique se ramène, après transformation, à l’une des trois équations de base. Il faut donc d’abord les maîtriser parfaitement.
4.1 Les trois équations de base
Pour tous réels \(x\) et \(a\) :
- \(\cos x = \cos a \iff x \equiv a\;[2\pi]\) ou \(x \equiv -a\;[2\pi]\) ;
- \(\sin x = \sin a \iff x \equiv a\;[2\pi]\) ou \(x \equiv \pi – a\;[2\pi]\) ;
- si \(x\) et \(a\) sont dans le domaine de la tangente, \(\tan x = \tan a \iff x \equiv a\;[\pi]\).
Ces équivalences se lisent sur le cercle : deux points de même abscisse sont symétriques par rapport à l’axe horizontal, et deux points de même ordonnée sont symétriques par rapport à l’axe vertical.
On pourrait croire que \(\sin x = \sin y\) entraîne \(x \equiv y\;[\pi]\), par analogie avec la tangente. C’est faux. Par exemple, \(\sin(\pi/6) = \sin(5\pi/6) = 1/2\), alors que la différence \(5\pi/6 – \pi/6 = 2\pi/3\) n’est pas un multiple de \(\pi\).
- Préciser l’ensemble de définition, surtout en présence de tangentes ou de quotients.
- Transformer l’équation : factorisation par produit-somme, polynôme en \(\cos x\) ou en \(\sin x\), forme \(\cos(x – \varphi)\).
- Se ramener à des équations de base, puis écrire les solutions avec des congruences.
- Seulement à la fin, restreindre à l’intervalle demandé en listant les entiers \(k\) qui conviennent.
Résolvons \(\cos(3x) = \sin(x + \pi/5)\) sur \(\mathbb{R}\). D’abord, on transforme le sinus en cosinus : \(\sin(x + \pi/5) = \cos(\pi/2 – x – \pi/5) = \cos(3\pi/10 – x)\). L’équation de base donne alors deux cas.
- Premier cas : \(3x \equiv 3\pi/10 – x\;[2\pi]\), donc \(4x \equiv 3\pi/10\;[2\pi]\), soit \(x \equiv 3\pi/40\;[\pi/2]\).
- Second cas : \(3x \equiv x – 3\pi/10\;[2\pi]\), donc \(2x \equiv -3\pi/10\;[2\pi]\), soit \(x \equiv -3\pi/20\;[\pi]\).
On remarque que le module a été divisé en même temps que l’angle, conformément au piège de la partie 1.
4.2 Les expressions a cos x + b sin x
Une combinaison \(a\cos x + b\sin x\), avec \((a, b) \neq (0, 0)\), se ramène à un seul cosinus. On pose \(r = \sqrt{a^2 + b^2}\). Le point \((a/r, b/r)\) est alors sur le cercle trigonométrique, donc il existe \(\varphi\) tel que \(a = r\cos\varphi\) et \(b = r\sin\varphi\).
\[a\cos x + b\sin x = r\cos(x – \varphi),\qquad r = \sqrt{a^2 + b^2}.\]
Par exemple, \(\cos x – \sqrt{3}\sin x = 2\cos(x + \pi/3)\). En effet, ici \(r = 2\), \(\cos\varphi = 1/2\) et \(\sin\varphi = -\sqrt{3}/2\), donc \(\varphi = -\pi/3\). On en déduit aussitôt que cette expression varie entre \(-2\) et \(2\).
4.3 Les inéquations
Pour une inéquation, le cercle est l’outil le plus sûr. On résout d’abord l’équation associée sur une période. Ensuite, on lit sur le cercle les arcs où l’inégalité est vraie.
Résolvons \(2\cos^2 x – 3\cos x + 1 < 0\) sur \([0, 2\pi]\). Posons \(c = \cos x\). Le trinôme \(2c^2 – 3c + 1\) a pour racines \(1/2\) et \(1\). Il est strictement négatif entre ses racines, donc l’inéquation équivaut à \(1/2 < \cos x < 1\).
Sur le cercle, la condition \(\cos x > 1/2\) décrit l’arc ouvert compris entre \(-\pi/3\) et \(\pi/3\). La condition \(\cos x \neq 1\) retire seulement le point d’angle \(0\). Finalement, sur \([0, 2\pi]\), l’ensemble des solutions est
\[\left]0, \frac{\pi}{3}\right[\;\cup\;\left]\frac{5\pi}{3}, 2\pi\right[.\]
Piège à éviter :
Une inégalité stricte sur \(\cos x\) peut retirer un point isolé. Inversement, une inégalité large peut en ajouter un, par exemple lorsqu’un facteur \(\cos x + 1\) s’annule. On vérifie toujours les bornes une par une.
4.4 Les équations en tangente
Avec la tangente, le domaine de définition joue un rôle décisif. En effet, une solution du calcul peut tomber sur une valeur interdite, et il faut alors l’écarter.
Résolvons \(\tan 3x = \tan x\). D’abord, l’équation a un sens si \(x \not\equiv \pi/2\;[\pi]\) et \(3x \not\equiv \pi/2\;[\pi]\). Sur ce domaine, elle équivaut à \(3x \equiv x\;[\pi]\), donc à \(x \equiv 0\;[\pi/2]\).
Cependant, les réels \(x \equiv \pi/2\;[\pi]\) de cette famille sont interdits. Il ne reste donc que \(x \equiv 0\;[\pi]\). Pour ces réels, on vérifie bien \(\tan 3x = 0 = \tan x\).
5. Le paramétrage par tan(x/2)
Lorsque \(x \not\equiv \pi\;[2\pi]\), on peut poser \(t = \tan(x/2)\). Le cosinus et le sinus de \(x\) deviennent alors des fractions rationnelles en \(t\). Ce changement de variable ramène toute équation rationnelle en \(\cos x\) et \(\sin x\) à une équation polynomiale.
5.1 Les formules en t
Si \(x \not\equiv \pi\;[2\pi]\) et \(t = \tan(x/2)\), alors
\[\cos x = \frac{1 – t^2}{1 + t^2},\qquad \sin x = \frac{2t}{1 + t^2},\qquad \tan x = \frac{2t}{1 – t^2}\;\text{ si } t^2 \neq 1.\]
Notons \(u = x/2\), de sorte que \(\cos u \neq 0\). On utilise la duplication, puis on divise par \(\cos^2 u + \sin^2 u = 1\) :
\[\sin x = \frac{2\sin u\cos u}{\cos^2 u + \sin^2 u} = \frac{2\tan u}{1 + \tan^2 u}.\]
De même, \(\cos x = \dfrac{\cos^2 u – \sin^2 u}{\cos^2 u + \sin^2 u} = \dfrac{1 – \tan^2 u}{1 + \tan^2 u}\). Le quotient donne la tangente.
Géométriquement, \(t\) est l’ordonnée du point où la droite qui joint \((-1, 0)\) à \(M(x)\) coupe l’axe vertical. En effet, l’angle inscrit en \((-1, 0)\) vaut la moitié de l’angle au centre.
5.2 Résoudre une équation avec t
La méthode est toujours la même. D’abord, on teste à part les réels \(x \equiv \pi\;[2\pi]\). Ensuite, on remplace \(\cos x\) et \(\sin x\) par leurs expressions en \(t\), puis on chasse le dénominateur \(1 + t^2\), qui ne s’annule jamais. Enfin, on revient à \(x\) par l’équation de base de la tangente.
Résolvons \(3\cos x – \sin x = 1\). D’abord, \(x \equiv \pi\;[2\pi]\) donne \(-3 \neq 1\) : ces réels ne sont pas solutions. Pour les autres, on pose \(t = \tan(x/2)\) et on multiplie par \(1 + t^2\) :
\[3(1 – t^2) – 2t = 1 + t^2 \iff 4t^2 + 2t – 2 = 0 \iff (t + 1)(2t – 1) = 0.\]
Ainsi, \(t = -1\) donne \(x/2 \equiv -\pi/4\;[\pi]\), soit \(x \equiv -\pi/2\;[2\pi]\). Ensuite, la tangente réalise une bijection de \(]-\pi/2, \pi/2[\) sur \(\mathbb{R}\) : il existe donc un unique \(\alpha\) dans cet intervalle tel que \(\tan\alpha = 1/2\). La valeur \(t = 1/2\) donne alors \(x/2 \equiv \alpha\;[\pi]\), soit \(x \equiv 2\alpha\;[2\pi]\). On vérifie la seconde famille : \(\cos x = 3/5\) et \(\sin x = 4/5\), et bien \(9/5 – 4/5 = 1\).
Piège à éviter :
Oublier le cas \(x \equiv \pi\;[2\pi]\) peut faire perdre des solutions. Par exemple, l’équation \(\cos x = -1\) devient \(1 – t^2 = -1 – t^2\), c’est-à-dire \(2 = 0\) : aucune valeur de \(t\) ne convient. Pourtant, \(x = \pi\) est évidemment solution. Le paramètre \(t\) ne « voit » pas ce point, car la droite issue de \((-1, 0)\) devient alors verticale.
Le même paramétrage donne la formule \(\tan\dfrac{x}{2} = \dfrac{\sin x}{1 + \cos x} = \dfrac{1 – \cos x}{\sin x}\), quand ces quotients existent. Elle permet par exemple d’obtenir \(\tan(\pi/12) = \dfrac{1/2}{1 + \sqrt{3}/2} = 2 – \sqrt{3}\) en une ligne.
Les erreurs fréquentes
- Diviser une congruence par un entier sans diviser le module, et perdre ainsi des solutions.
- Écrire \(\sin x = \sin a \iff x \equiv \pm a\;[2\pi]\) : le \(\pm\) appartient au cosinus, le sinus utilise \(\pi – a\).
- Oublier les valeurs interdites de la tangente, ou les réels \(x \equiv \pi\;[2\pi]\) avec le paramètre \(\tan(x/2)\).
- Restreindre à un intervalle avant d’avoir écrit toutes les familles de solutions.
- Prendre une racine carrée sans discuter le signe, par exemple pour \(\cos(\pi/12)\).
Fiche mémo
- \(x \equiv y\;[a]\) signifie \(x – y \in a\mathbb{Z}\) ; diviser l’angle par \(n\) divise aussi le module par \(n\).
- Formules d’addition : \(\cos(a + b) = \cos a\cos b – \sin a\sin b\) et \(\sin(a + b) = \sin a\cos b + \cos a\sin b\).
- Duplication : \(\sin 2a = 2\sin a\cos a\) et \(\cos 2a = 2\cos^2 a – 1 = 1 – 2\sin^2 a\).
- Tangente : \(\tan(a + b) = \dfrac{\tan a + \tan b}{1 – \tan a\tan b}\) et \(\tan^{\prime} = 1 + \tan^2\).
- Somme en produit : \(\cos p + \cos q = 2\cos\frac{p + q}{2}\cos\frac{p – q}{2}\), et les trois autres s’en déduisent.
- Pour tout réel \(x\), \(|\sin x| \leqslant |x|\) ; sinus et cosinus sont \(1\)-lipschitziennes.
- Équations de base : \(\cos x = \cos a\) donne \(\pm a\), \(\sin x = \sin a\) donne \(a\) ou \(\pi – a\), \(\tan x = \tan a\) donne \(a\) modulo \(\pi\).
- \(a\cos x + b\sin x = \sqrt{a^2 + b^2}\cos(x – \varphi)\).
- Avec \(t = \tan(x/2)\) : \(\cos x = \dfrac{1 – t^2}{1 + t^2}\) et \(\sin x = \dfrac{2t}{1 + t^2}\).
Questions fréquentes
Faut-il vraiment connaître toutes les formules de trigonométrie par cœur en MPSI ?
Non. Il suffit de connaître parfaitement les formules d’addition du cosinus et du sinus, ainsi que les valeurs remarquables. Toutes les autres (duplication, produit-somme, tangente) s’en déduisent en quelques lignes. En revanche, cette déduction doit devenir un réflexe rapide.
Pourquoi écrire les solutions avec un « modulo 2π » plutôt qu'avec un intervalle ?
Une équation trigonométrique posée sur ℝ a en général une infinité de solutions. L’écriture x ≡ a [2π] décrit d’un coup toute la famille a + 2kπ. On ne restreint à un intervalle que si l’énoncé le demande, et on liste alors les valeurs de k qui conviennent.
Quand utiliser le changement de variable t = tan(x/2) ?
On l’utilise lorsqu’une expression mêle cos x et sin x de façon rationnelle et qu’aucune transformation simple ne conclut. Il transforme le problème en une équation polynomiale en t. Il faut toutefois traiter à part les valeurs x ≡ π [2π], pour lesquelles t n’est pas défini.
L'inégalité |sin x| ≤ |x| est-elle vraie pour tout réel x ?
Oui. Pour |x| ≥ 1, elle découle simplement de |sin x| ≤ 1. Pour x ≥ 0, l’étude de x − sin x, dont la dérivée 1 − cos x est positive, donne sin x ≤ x, et la parité règle le cas négatif. L’égalité n’a lieu qu’en x = 0.
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