Convexité et inégalités classiques en maths sup (MPSI) : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Convexité de la fonction softplus

On considère la fonction \(s\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(s(x) = \ln(1 + e^x)\).

1. Calculer \(s^{\prime}\) et \(s^{\prime\prime}\), puis montrer que \(s\) est convexe sur \(\mathbb{R}\).
2. Déterminer la tangente à la courbe de \(s\) au point d’abscisse \(0\). En déduire que \(s(x) \geq \ln 2 + \dfrac{x}{2}\) pour tout réel \(x\).
3. Montrer directement que \(s(x) \geq \max(0, x)\) pour tout réel \(x\).

Exercice 2 – Points d’inflexion de x exp(-x²/2)

Soit \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x) = x\,e^{-x^2/2}\).

1. Calculer \(g^{\prime}(x)\) et montrer que \(g^{\prime\prime}(x) = x(x^2 – 3)\,e^{-x^2/2}\).
2. Déterminer les intervalles sur lesquels \(g\) est convexe et ceux sur lesquels elle est concave.
3. Donner les points d’inflexion de la courbe de \(g\) et l’équation de la tangente en l’origine. Préciser la position de la courbe par rapport à cette tangente sur \([0, \sqrt{3}]\).

Exercice 3 – Le logarithme sous sa tangente en e

1. Écrire l’équation de la tangente à la courbe de \(\ln\) au point d’abscisse \(e\).
2. En déduire que \(\ln x \leq \dfrac{x}{e}\) pour tout \(x > 0\), avec égalité seulement pour \(x = e\).
3. Comparer les nombres \(7^e\) et \(e^7\) sans calculatrice.

Exercice 4 – Jensen avec la racine carrée

1. Justifier que la fonction racine carrée est concave sur \(\mathbb{R}_+\).
2. Soit \(x_1, x_2, x_3, x_4\) des réels positifs de somme \(36\). Montrer que \(\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2} + \sqrt{x_3} + \sqrt{x_4} \leq 12\), et préciser le cas d’égalité.
3. Prouver de même que, pour tous réels positifs \(a, b, c\), on a \(\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} \leq \sqrt{3(a + b + c)}\).

Exercice 5 – Encadrer une fonction convexe connue en deux points

Soit \(f\) une fonction convexe sur \(\mathbb{R}\) telle que \(f(1) = 2\) et \(f(3) = 4\). On ne sait rien d’autre sur \(f\).

1. Montrer que \(f(2) \leq 3\).
2. Établir ensuite que \(f(x) \geq x + 1\) pour tout \(x \leq 1\) et pour tout \(x \geq 3\).
3. En déduire des minorations de \(f(0)\) et de \(f(6)\). Donner une fonction convexe pour laquelle ces trois inégalités sont des égalités.

Pour s’entraîner

Exercice 6 – Inégalité de Jordan et une intégrale

1. Montrer que \(\sin\) est concave sur \([0, \pi/2]\). En déduire que \(\dfrac{2x}{\pi} \leq \sin x \leq x\) pour tout \(x \in [0, \pi/2]\).
2. On pose \(I = \displaystyle\int_0^{\pi/2} e^{-3\sin t}\,dt\). Montrer que

\[ \frac{1 – e^{-3\pi/2}}{3} \leq I \leq \frac{\pi}{6}\big(1 – e^{-3}\big). \]

Exercice 7 – Encadrement de l’intégrale de exp(x²)

1. Montrer que, pour tout \(u \in [0, 1]\), on a \(1 + u \leq e^u \leq 1 + (e – 1)u\).
2. En déduire un encadrement de \(e^{x^2}\) pour \(x \in [0, 1]\).
3. Établir enfin que \(\dfrac{4}{3} \leq \displaystyle\int_0^1 e^{x^2}\,dx \leq \dfrac{e + 2}{3}\).

Exercice 8 – Inégalité arithmético-géométrique à trois termes

1. Soit \(x, y, z\) des réels strictement positifs tels que \(xyz = 1\). Montrer que \(x + 2y + 4z \geq 6\), et déterminer le cas d’égalité.
2. Établir ensuite que, pour tous réels \(a, b, c\) strictement positifs, \((a + b)(b + c)(c + a) \geq 8abc\).
3. Déterminer le minimum de \(x \mapsto 2x^2 + \dfrac{16}{x}\) sur \(\mathbb{R}_+^*\) en écrivant \(\dfrac{16}{x} = \dfrac{8}{x} + \dfrac{8}{x}\).

Exercice 9 – Chaîne des quatre moyennes

Soit \(n \geq 2\) et \(x_1, \dots, x_n\) des réels strictement positifs. On note \(A\) leur moyenne arithmétique, \(G\) leur moyenne géométrique, \(Q = \sqrt{\frac{1}{n}\sum x_k^2}\) leur moyenne quadratique et \(H = \dfrac{n}{\sum 1/x_k}\) leur moyenne harmonique.

1. Prouver d’abord que \(A \leq Q\) à l’aide de l’inégalité de Jensen.
2. Montrer ensuite que \(H \leq G\) en appliquant l’inégalité arithmético-géométrique aux réels \(1/x_k\).
3. En déduire \(H \leq G \leq A \leq Q\).
4. Calculer les quatre moyennes pour \(n = 3\) et \((x_1, x_2, x_3) = (1, 4, 16)\), puis vérifier la chaîne d’inégalités.

Exercice 10 – Sinus des angles d’un triangle

Soit \(A, B, C\) les angles (en radians) d’un triangle non aplati, de sorte que \(A, B, C > 0\) et \(A + B + C = \pi\).

1. Montrer que \(\sin A + \sin B + \sin C \leq \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\). Pour quels triangles a-t-on égalité ?
2. En déduire que \(\sin A \sin B \sin C \leq \dfrac{3\sqrt{3}}{8}\).

Exercice 11 – Fonction convexe majorée sur R

1. Soit \(f\) convexe sur \(\mathbb{R}\) et majorée. Montrer que \(f\) est constante. On pourra raisonner par l’absurde avec deux réels \(a < b\) tels que \(f(a) \neq f(b)\).
2. Donner une fonction convexe sur \(\mathbb{R}\), minorée et non constante.
3. Donner une fonction convexe sur \(\mathbb{R}_+^*\), majorée et non constante. Quelle hypothèse de la question 1 n’est plus satisfaite ?

Exercice 12 – Inégalité de Young pour l’exposant 3

1. Montrer que, pour tous réels \(a, b > 0\), on a \(ab \leq \dfrac{a^3}{3} + \dfrac{2}{3}\,b^{3/2}\). On écrira \(\ln(ab)\) comme une combinaison de \(\ln(a^3)\) et de \(\ln(b^{3/2})\) avec les poids \(\frac{1}{3}\) et \(\frac{2}{3}\).
2. Préciser le cas d’égalité.
3. En choisissant \(b = 4\), en déduire que \(x^3 – 12x + 16 \geq 0\) pour tout \(x > 0\). Vérifier ce résultat en factorisant le polynôme.

Exercice 13 – Limite d’un produit par encadrement du logarithme

1. Montrer que, pour tout \(x \geq 0\), on a \(x – \dfrac{x^2}{2} \leq \ln(1 + x) \leq x\).
2. Pour \(n \geq 1\), on pose \(P_n = \displaystyle\prod_{k=1}^{n} \Big(1 + \frac{k}{n^2}\Big)\). Encadrer \(\ln P_n\) à l’aide de \(\sum k\) et de \(\sum k^2\).
3. En déduire la limite de \((P_n)\).

Pour approfondir

Exercice 14 – Inégalité d’Hermite-Hadamard

Soit \(a < b\) et \(f\) une fonction convexe et continue sur \([a, b]\). On note \(m = \frac{a + b}{2}\).

1. Montrer que \(f(m) \leq \dfrac{f(x) + f(a + b – x)}{2}\) pour tout \(x \in [a, b]\). En déduire que \((b – a) f(m) \leq \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\).
2. Prouver de même que \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx \leq (b – a)\,\frac{f(a) + f(b)}{2}\).
3. Appliquer ce résultat à \(x \mapsto 1/x\) sur \([1, 2]\) pour encadrer \(\ln 2\).
4. Appliquer ce résultat à l’exponentielle sur \([0, 1]\) et en déduire \(\sqrt{e} \leq e – 1 \leq \dfrac{e + 1}{2}\).

Exercice 15 – Fonctions log-convexes

Une fonction \(f : I \to \mathbb{R}_+^*\) est dite log-convexe si \(\ln f\) est convexe sur \(I\).

1. Montrer qu’une fonction log-convexe est convexe.
2. Vérifier que \(x \mapsto x^2\) est convexe sur \(\mathbb{R}_+^*\) mais n’est pas log-convexe : la réciproque de la question 1 est donc fausse.
3. Prouver ensuite que le produit de deux fonctions log-convexes est log-convexe.
4. On suppose \(f\) deux fois dérivable. Montrer que \(f\) est log-convexe si et seulement si \(f f^{\prime\prime} \geq (f^{\prime})^2\) sur \(I\).
5. En déduire que \(\operatorname{ch}\) est log-convexe sur \(\mathbb{R}\).

Exercice 16 – Entropie et inégalité de Gibbs

Soit \(n \geq 2\) et \(p_1, \dots, p_n\) des réels strictement positifs de somme \(1\). On définit l’entropie \(H(p) = -\sum_{k=1}^{n} p_k \ln p_k\).

1. Montrer que \(\varphi : x \mapsto x \ln x\) est convexe sur \(\mathbb{R}_+^*\). En appliquant l’inégalité de Jensen à \(\varphi\), montrer que \(H(p) \leq \ln n\), avec égalité si et seulement si tous les \(p_k\) valent \(1/n\).
2. Soit \(q_1, \dots, q_n\) d’autres réels strictement positifs de somme \(1\). À l’aide de l’inégalité \(\ln z \leq z – 1\), montrer l’inégalité de Gibbs : \(\sum_{k=1}^{n} p_k \ln \dfrac{q_k}{p_k} \leq 0\).
3. Retrouver le résultat de la question 1 en choisissant les \(q_k\).
4. Calculer \(H(p)\) pour \(n = 3\) et \(p = \big(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}\big)\), puis comparer avec \(\ln 3\).

Exercice 17 – Problème – Deux preuves de l’inégalité arithmético-géométrique

Pour \(n \geq 1\), on note \((\mathcal{P}_n)\) l’assertion : pour tous réels \(x_1, \dots, x_n\) strictement positifs, \(x_1 x_2 \cdots x_n \leq \big(\frac{x_1 + \cdots + x_n}{n}\big)^n\).

Partie A : par une tangente. Soit \(x_1, \dots, x_n > 0\) et \(m\) leur moyenne arithmétique.

1. Appliquer l’inégalité \(\ln z \leq z – 1\) aux réels \(z_k = x_k / m\), puis sommer pour démontrer \((\mathcal{P}_n)\).
2. En déduire que l’égalité n’a lieu que si tous les \(x_k\) sont égaux.

Partie B : par une récurrence aller-retour.

1. Démontrer \((\mathcal{P}_2)\) en développant un carré.
2. Montrer que \((\mathcal{P}_n)\) implique \((\mathcal{P}_{2n})\). En déduire \((\mathcal{P}_{2^k})\) pour tout \(k \geq 1\).
3. Soit \(n \geq 2\). Montrer que \((\mathcal{P}_n)\) implique \((\mathcal{P}_{n-1})\), en ajoutant aux \(n – 1\) réels donnés le réel \(x_n = m\), leur moyenne.
4. Conclure que \((\mathcal{P}_n)\) est vraie pour tout \(n \geq 1\).

Partie C : deux applications.

1. Pour \(n \geq 1\), on pose \(u_n = \big(1 + \frac{1}{n}\big)^n\). En appliquant \((\mathcal{P}_{n+1})\) aux \(n\) réels égaux à \(1 + \frac{1}{n}\) et au réel \(1\), montrer que la suite \((u_n)\) est strictement croissante.
2. On considère les pavés droits dont la somme des longueurs des douze arêtes vaut \(36\) cm. Montrer que leur volume est au plus \(27\) cm³ et déterminer le pavé qui l’atteint.

Pour aller plus loin

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