Calcul de développements limités en maths sup (MPSI) : cours et méthodes

Soit \(f\) définie sur un intervalle \(I\) contenant \(0\) ou d’extrémité \(0\), et \(n\in\mathbb{N}\). Un \(\mathrm{DL}_n(0)\) de \(f\) est la donnée de \(n+1\) réels \(a_0,\dots,a_n\) pour lesquels

\[f(x)-\sum_{k=0}^{n}a_kx^k\underset{x\to0}{=}o(x^n).\]

On appelle partie régulière le polynôme \(\sum_{k=0}^{n}a_kx^k\), et reste le terme \(o(x^n)\).

Si \(f\) admet un \(\mathrm{DL}_n(0)\), ses coefficients \(a_0,\dots,a_n\) sont uniques. Par ailleurs, si \(p\leqslant n\), effacer les monômes de degré strictement supérieur à \(p\) fournit un \(\mathrm{DL}_p(0)\) : on parle de troncature.

Supposons deux écritures \(\sum_{k=0}^n a_kx^k+o(x^n)=\sum_{k=0}^n b_kx^k+o(x^n)\) avec des coefficients différents. Notons \(p\) le plus petit indice où \(a_p\neq b_p\). En soustrayant, il vient \((a_p-b_p)x^p+\dots=o(x^n)\), donc \((a_p-b_p)x^p=o(x^p)\).

On divise alors par \(x^p\) et on fait tendre \(x\) vers \(0\). On trouve \(a_p-b_p=0\), ce qui contredit le choix de \(p\). Quant à la troncature, elle vient de \(a_kx^k=o(x^p)\) pour \(k>p\).

On suppose que \(f\), définie sur un intervalle centré en \(0\), possède un \(\mathrm{DL}_n(0)\). Pour \(f\) paire, tous les coefficients d’indice impair sont nuls. Pour \(f\) impaire, ce sont ceux d’indice pair qui s’annulent.

La parité sert de contrôle gratuit. Par exemple, \(\ln(\cos x)\) est paire : si votre calcul fait apparaître un terme en \(x^3\), une erreur s’est glissée. Elle fait aussi gagner un ordre : un DL pair à l’ordre \(4\) est automatiquement un DL à l’ordre \(5\).

Si \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^n\) sur un intervalle \(I\) contenant \(a\), alors

\[f(a+h)\underset{h\to0}{=}\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}h^k+o(h^n).\]

Cherchons \(f^{(6)}(0)\) pour \(f(x)=x^2\cos x\), qui est de classe \(\mathcal{C}^\infty\). On écrit \(x^2\cos x=x^2-\frac{x^4}{2}+\frac{x^6}{24}+o(x^6)\). Par unicité, \(\frac{f^{(6)}(0)}{6!}=\frac1{24}\). Donc \(f^{(6)}(0)=\frac{720}{24}=30\), sans aucune dérivation.

• Exponentielle : \(\mathrm{e}^x=\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}+o(x^n)\).
• Cosinus et sinus : \(\cos x=\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!}+o(x^{2n+1})\) et \(\sin x=\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!}+o(x^{2n+2})\).
• Cosinus et sinus hyperboliques : mêmes formules sans le facteur \((-1)^k\).
• Géométrique : \(\frac1{1-x}=\sum_{k=0}^{n}x^k+o(x^n)\), puis \(\frac1{1+x}\) en changeant \(x\) en \(-x\).
• Logarithme : \(\ln(1+x)=\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k-1}x^k}{k}+o(x^n)\).
• Puissance réelle, pour \(\alpha\in\mathbb{R}\) : \((1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2+\dots+\binom{\alpha}{n}x^n+o(x^n)\), où \(\binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}\).
• Arctangente : \(\arctan x=\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^kx^{2k+1}}{2k+1}+o(x^{2n+2})\).
• Tangente, à l’ordre 5 : \(\tan x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+o(x^6)\).

Si \(f\) et \(g\) admettent des \(\mathrm{DL}_n(0)\) de parties régulières \(P\) et \(Q\), alors \(f+g\) admet le \(\mathrm{DL}_n(0)\) de partie régulière \(P+Q\). De même, \(fg\) admet un \(\mathrm{DL}_n(0)\), dont la partie régulière est le produit \(PQ\) tronqué au degré \(n\).

1. Repérer la valuation de chaque facteur, c’est-à-dire l’exposant de son premier terme non nul : \(p\) pour \(f\), \(q\) pour \(g\).
2. Viser l’ordre \(n\) pour \(fg\) : cela demande \(n-q\) pour \(f\), mais seulement \(n-p\) pour \(g\).
3. Développer le produit en ne gardant que les monômes de degré au plus \(n\) ; ranger les termes par degré croissant.
4. Contrôler par la parité ou par une valeur connue, par exemple le premier terme.

Calculons le \(\mathrm{DL}_5(0)\) de \(\sin x\,\ln(1+x)\). Les deux facteurs ont pour valuation \(1\). Il suffit donc de les développer à l’ordre \(4\) :

\[\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^4),\qquad \ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+o(x^4).\]

On multiplie, puis on regroupe par degré. Le coefficient de \(x^4\) vaut \(\frac13-\frac16=\frac16\), celui de \(x^5\) vaut \(-\frac14+\frac1{12}=-\frac16\). Finalement :

\[\sin x\,\ln(1+x)=x^2-\frac{x^3}{2}+\frac{x^4}{6}-\frac{x^5}{6}+o(x^5).\]

En colle, un DL de produit à l’ordre \(5\) doit tenir en trois minutes environ. Pour y parvenir, on organise le brouillon en tableau : une ligne par facteur, une colonne par degré. Ensuite, pour chaque degré \(k\), on liste les couples de degrés dont la somme vaut \(k\), puis on additionne les produits de coefficients. Cette présentation évite les oublis, car chaque case est visitée une seule fois. Enfin, on écrit le reste \(o(x^n)\) dès la première ligne, ce qui empêche de garder par mégarde un terme de degré trop élevé.

Soit \(u\) admettant un \(\mathrm{DL}_n(0)\) avec \(u(x)\to0\), et \(g\) admettant un \(\mathrm{DL}_n(0)\) de partie régulière \(Q\). Alors \(g\circ u\) admet un \(\mathrm{DL}_n(0)\). On l’obtient en remplaçant la variable de \(Q\) par le DL de \(u\), puis en tronquant au degré \(n\).

Développons \(\mathrm{e}^{\sin x}\) à l’ordre \(4\). On pose \(u=\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^4)\), qui tend vers \(0\) et a pour valuation \(1\). Il faut donc \(\mathrm{e}^u\) jusqu’à \(u^4\). Ensuite, on calcule chaque puissance à l’ordre \(4\) :

\[u^2=x^2-\frac{x^4}{3}+o(x^4),\qquad u^3=x^3+o(x^4),\qquad u^4=x^4+o(x^4).\]

Enfin, on assemble \(1+u+\frac{u^2}2+\frac{u^3}6+\frac{u^4}{24}\). Le coefficient de \(x^3\) vaut \(-\frac16+\frac16=0\). Celui de \(x^4\) vaut \(-\frac16+\frac1{24}=-\frac18\). On obtient ainsi \(\mathrm{e}^{\sin x}=1+x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{8}+o(x^4)\).

1. Écrire le dénominateur sous la forme \(c\,x^q\,(1+u(x))\), avec \(c\neq0\) et \(u(x)\to0\).
2. Développer \(\frac1{1+u}=1-u+u^2-u^3+\dots\) en s’arrêtant selon la valuation de \(u\).
3. Multiplier par le numérateur, puis diviser par \(c\,x^q\). Pour finir à l’ordre \(n\), le produit doit donc être connu à l’ordre \(n+q\).

Cherchons le \(\mathrm{DL}_4(0)\) de \(f(x)=\frac{x}{\mathrm{e}^x-1}\), prolongée par \(f(0)=1\). D’abord, on factorise le dénominateur : \(\mathrm{e}^x-1=x(1+u)\) avec \(u=\frac x2+\frac{x^2}6+\frac{x^3}{24}+\frac{x^4}{120}+o(x^4)\). Le facteur \(x\) se simplifie avec le numérateur, donc \(f(x)=\frac1{1+u}\).

Ensuite, \(u\) a pour valuation \(1\) : on garde \(1-u+u^2-u^3+u^4\). Les puissances donnent \(u^2=\frac{x^2}4+\frac{x^3}6+\frac{5x^4}{72}+o(x^4)\), \(u^3=\frac{x^3}8+\frac{x^4}8+o(x^4)\) et \(u^4=\frac{x^4}{16}+o(x^4)\). En regroupant :

\[\frac{x}{\mathrm{e}^x-1}=1-\frac x2+\frac{x^2}{12}-\frac{x^4}{720}+o(x^4).\]

Le terme en \(x^3\) est nul. Ce n’est pas un hasard : \(f(x)+\frac x2\) est une fonction paire, ce qui fournit une vérification.

On considère \(f\) dérivable au voisinage de \(0\), sur un intervalle \(I\). Lorsque \(f^{\prime}\) se développe en \(f^{\prime}(x)=\sum_{k=0}^{n}b_kx^k+o(x^n)\), alors

\[f(x)=f(0)+\sum_{k=0}^{n}\frac{b_k}{k+1}x^{k+1}+o(x^{n+1}).\]

On pose \(\varphi(x)=f(x)-f(0)-\sum_{k=0}^{n}\frac{b_k}{k+1}x^{k+1}\). Elle est dérivable, nulle en \(0\), et \(\varphi^{\prime}(x)=o(x^n)\). Fixons \(\varepsilon>0\) ; près de \(0\), disons pour \(|t|\leqslant\delta\), on a \(|\varphi^{\prime}(t)|\leqslant\varepsilon|t|^n\).

Prenons \(x\) avec \(0<|x|\leqslant\delta\). Entre \(0\) et \(x\), la dérivée de \(\varphi\) est majorée en valeur absolue par \(\varepsilon|x|^n\). Les accroissements finis, sous forme d’inégalité, fournissent \(|\varphi(x)-\varphi(0)|\leqslant\varepsilon|x|^{n+1}\). Ainsi, \(\varphi(x)=o(x^{n+1})\).

Pour \(\arcsin\), la dérivée vaut \((1-x^2)^{-1/2}\). Avec \(\alpha=-\frac12\) et \(-x^2\) à la place de \(x\), on obtient \((1-x^2)^{-1/2}=1+\frac{x^2}2+\frac{3x^4}8+o(x^4)\). On primitive terme à terme, et \(\arcsin0=0\) :

\[\arcsin x=x+\frac{x^3}{6}+\frac{3x^5}{40}+o(x^5).\]

Cherchons la limite en \(0\) de \(\frac{\cos x-\sqrt{1-x^2}}{x^4}\). Le dénominateur impose l’ordre \(4\) au numérateur. D’un côté, \(\cos x=1-\frac{x^2}2+\frac{x^4}{24}+o(x^4)\). De l’autre, avec \(\alpha=\frac12\), \(\sqrt{1-x^2}=1-\frac{x^2}2-\frac{x^4}8+o(x^4)\).

Les termes constants et en \(x^2\) se compensent. Il reste \(\left(\frac1{24}+\frac18\right)x^4=\frac{x^4}6\). Donc le quotient tend vers \(\frac16\).

1. Repérer le dénominateur et son premier terme non nul, par exemple \(x^4\) ou \(\frac{x^2}2\).
2. Fixer l’ordre de chaque DL du numérateur à cette même puissance, ni plus ni moins.
3. Calculer le numérateur ; si tout s’annule jusqu’à cet ordre, recommencer un cran plus loin.
4. Conclure par un équivalent : le quotient des deux premiers termes non nuls donne la limite.

Par exemple, en \(+\infty\), la même méthode s’applique après le changement \(t=\frac1x\).

On suppose \(f(a+h)=a_0+a_1h+a_ph^p+o(h^p)\), où \(p\geqslant2\) et \(a_p\neq0\). La droite \(y=a_0+a_1(x-a)\) est la tangente en \(a\). Quant à la différence \(f(a+h)-a_0-a_1h\), elle se comporte comme \(a_ph^p\).

• Exposant \(p\) pair : près de \(a\), la courbe ne change pas de côté ; elle est au-dessus quand \(a_p>0\) et au-dessous quand \(a_p<0\).
• Exposant \(p\) impair : le signe de l’écart bascule en \(a\), et la courbe franchit sa tangente ; on parle de point d’inflexion.

Pour \(f(x)=\mathrm{e}^x\cos x\), le produit des DL à l’ordre \(3\) donne \(\left(1+x+\frac{x^2}2+\frac{x^3}6\right)\left(1-\frac{x^2}2\right)\) tronqué. Les termes en \(x^2\) s’annulent, et l’on obtient \(f(x)=1+x-\frac{x^3}{3}+o(x^3)\).

Ainsi, la tangente en \(0\) est la droite \(y=1+x\). L’écart vaut \(-\frac{x^3}3\), qui change de signe en \(0\). Par conséquent, le point \((0,1)\) est un point d’inflexion : la courbe passe au-dessus à gauche et en dessous à droite.

On se place en un point critique \(a\), intérieur à l’intervalle où \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^2\) : \(f^{\prime}(a)=0\).

• Condition suffisante : une dérivée seconde \(f^{\prime\prime}(a)>0\) garantit un minimum local strict ; une dérivée seconde \(f^{\prime\prime}(a)<0\) garantit un maximum local strict.
• Condition nécessaire : un minimum local en \(a\) force \(f^{\prime\prime}(a)\geqslant0\), et un maximum local force \(f^{\prime\prime}(a)\leqslant0\).

Par Taylor-Young, \(f(a+h)-f(a)=\frac{f^{\prime\prime}(a)}2h^2+o(h^2)=h^2\left(\frac{f^{\prime\prime}(a)}2+\varepsilon(h)\right)\), avec \(\varepsilon(h)\to0\). Si \(f^{\prime\prime}(a)>0\), la parenthèse est strictement positive pour \(h\) petit et non nul ; donc \(f(a+h)>f(a)\). Pour le second point, si \(f^{\prime\prime}(a)<0\), le premier point donnerait un maximum strict, ce qui est incompatible avec un minimum.

Soit \(f(x)=\cos x+\frac{x^2}2\). On a \(f^{\prime}(0)=0\) et \(f^{\prime\prime}(0)=-1+1=0\) : le test d’ordre \(2\) ne conclut pas. Cependant, le DL donne \(f(x)=1+\frac{x^4}{24}+o(x^4)\). Le premier terme non constant est d’ordre pair, de coefficient positif. Donc \(f\) admet en \(0\) un minimum local strict, très plat.

1. Factoriser le terme dominant, souvent \(x\) ou \(|x|\), pour faire apparaître une expression en \(\frac1x\).
2. Développer cette expression en \(t=\frac1x\) jusqu’au premier terme après la constante et le terme en \(t\) qui ne s’annule pas.
3. Lire l’asymptote \(y=ax+b\) et le signe de \(\frac{c}{x^k}\), qui donne la position.
4. Recommencer en \(-\infty\) : le signe de \(x\), et parfois \(|x|\), change les conclusions.

Soit \(f(x)=\sqrt[3]{x^3+3x^2}\). Pour \(|x|>3\), on écrit \(f(x)=x\left(1+\frac3x\right)^{1/3}\), car la racine cubique est impaire. Avec \(\alpha=\frac13\) et \(u=\frac3x\) :

\[\left(1+u\right)^{1/3}=1+\frac u3-\frac{u^2}9+o(u^2),\quad\text{soit}\quad f(x)=x+1-\frac1x+o\left(\frac1x\right).\]

La droite \(y=x+1\) est donc asymptote en \(+\infty\) et en \(-\infty\). En outre, \(f(x)-(x+1)\sim-\frac1x\). La courbe est en dessous de l’asymptote en \(+\infty\), au-dessus en \(-\infty\).

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