Noyau, image et rang en maths sup (MPSI) : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Reconnaître une application linéaire

Dire, en justifiant, lesquelles des applications suivantes sont linéaires.

1. \(f_1 : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2\), \(f_1(x, y, z) = (x – 3z,\ 2y + z)\).
2. \(f_2 : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\), \(f_2(x, y) = (xy,\ x)\).
3. \(f_3 : \mathbb{R}_3[X] \to \mathbb{R}\), \(f_3(P) = P(2) – P^{\prime}(-1)\).
4. \(f_4 : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\), \(f_4(x, y) = (x + 1,\ y)\).

Exercice 2 – Noyau et image d’une application de R³ dans R²

Soit \(u : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2\) définie par \(u(x, y, z) = (2x – y + z,\ x + y – 4z)\).

1. Justifier que \(u\) est linéaire.
2. Déterminer une base de \(\mathrm{Ker}\, u\).
3. En déduire \(\mathrm{rg}\, u\), puis \(\mathrm{Im}\, u\). L’application \(u\) est-elle injective ? surjective ?

Exercice 3 – Une forme linéaire sur les polynômes

On considère \(\varphi : \mathbb{R}_3[X] \to \mathbb{R}\) définie par \(\varphi(P) = P(1) + P(-1)\).

1. Montrer que \(\varphi\) est linéaire et non nulle. Que vaut \(\mathrm{Im}\, \varphi\) ?
2. Donner la dimension de \(\mathrm{Ker}\, \varphi\).
3. Déterminer une base de \(\mathrm{Ker}\, \varphi\).

Exercice 4 – Application définie par l’image d’une base

On note \((e_1, e_2)\) la base canonique de \(\mathbb{R}^2\). Soit \(f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^2, \mathbb{R}^3)\) l’unique application linéaire telle que \(f(e_1) = (1, 0, 2)\) et \(f(e_2) = (-1, 1, 0)\).

1. Expliquer pourquoi \(f\) existe et est unique, puis donner \(f(x, y)\).
2. Montrer que \(f\) est injective.
3. Montrer que \(\mathrm{Im}\, f\) est un plan et en donner une équation cartésienne.

La figure représente les deux vecteurs \(f(e_1)\) et \(f(e_2)\) et le plan qu’ils engendrent.

Exercice 5 – Images directes et réciproques dans le plan

Soit \(u\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^2\) défini par \(u(x, y) = (x – 2y,\ -2x + 4y)\). On note \(D_1 = \mathrm{Vect}\left((1, 1)\right)\), \(D_2 = \mathrm{Vect}\left((1, -2)\right)\) et \(D_3 = \mathrm{Vect}\left((1, 0)\right)\).

1. Déterminer \(\mathrm{Ker}\, u\) et \(\mathrm{Im}\, u\).
2. Déterminer l’image directe \(u(D_1)\).
3. Déterminer les images réciproques \(u^{-1}(D_2)\) et \(u^{-1}(D_3)\).
4. Calculer \(u^{-1}\left(u(D_1)\right)\) et comparer avec \(D_1\).

Exercice 6 – Quelques dimensions d’espaces d’applications

Déterminer la dimension de chacun des espaces suivants.

1. \(\mathcal{L}\left(\mathbb{R}_2[X], \mathcal{M}_2(\mathbb{R})\right)\), comme espace vectoriel réel.
2. \(\mathcal{L}(\mathbb{C}^3)\), comme espace vectoriel complexe.
3. \(\mathcal{A} = \{u \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^3, \mathbb{R}^2),\ u(1, 1, 1) = (0, 0)\}\). On utilisera l’application \(u \mapsto u(1, 1, 1)\).
4. \(\mathcal{B} = \{u \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^3),\ u(e_1) \in \mathrm{Vect}(e_1)\}\), où \((e_1, e_2, e_3)\) est la base canonique.

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Différence seconde sur les polynômes

Pour \(P \in \mathbb{R}_4[X]\), on pose \(\delta(P) = P(X + 2) – 2P(X + 1) + P(X)\).

1. Montrer que \(\delta\) est un endomorphisme de \(\mathbb{R}_4[X]\).
2. Pour \(k \geqslant 2\), montrer que \(\delta(X^k)\) est de degré \(k – 2\) et de coefficient dominant \(k(k – 1)\). Calculer \(\delta(1)\) et \(\delta(X)\).
3. En déduire \(\mathrm{Ker}\, \delta\).
4. Montrer, sans chercher d’antécédent, que \(\mathrm{Im}\, \delta = \mathbb{R}_2[X]\).
5. Montrer que pour tout \(Q \in \mathbb{R}_2[X]\), il existe un unique \(P \in \mathbb{R}_4[X]\) tel que \(\delta(P) = Q\), \(P(0) = 0\) et \(P^{\prime}(0) = 0\).

Exercice 8 – Un isomorphisme d’interpolation

Soit \(\varphi : \mathbb{R}_2[X] \to \mathbb{R}^3\) définie par \(\varphi(P) = \left(P(0),\ P(1),\ P^{\prime}(1)\right)\).

1. Montrer que \(\varphi\) est linéaire.
2. Montrer que \(\varphi\) est un isomorphisme.
3. Déterminer le polynôme \(P\) tel que \(\varphi(P) = (1, 0, 3)\).

Exercice 9 – Multiplication à gauche par une matrice de rang 1

On pose \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}\) et, pour \(M \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})\), \(\mu(M) = AM\).

1. Montrer que \(\mu\) est un endomorphisme de \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\).
2. Montrer que \(M\) appartient à \(\mathrm{Ker}\, \mu\) si et seulement si chaque colonne de \(M\) est colinéaire à \(\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}\). En déduire une base de \(\mathrm{Ker}\, \mu\).
3. Décrire \(\mathrm{Im}\, \mu\) et en donner une base.
4. Vérifier le théorème du rang sur cet exemple.

Exercice 10 – Composée nulle et somme des rangs

Soient \(E\), \(F\), \(G\) de dimension finie, \(u \in \mathcal{L}(E,F)\) et \(v \in \mathcal{L}(F,G)\) telles que \(v \circ u = 0\).

1. Montrer que \(\mathrm{Im}\, u \subset \mathrm{Ker}\, v\).
2. En déduire que \(\mathrm{rg}\, u + \mathrm{rg}\, v \leqslant \dim F\).
3. Soit \(w \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^5)\) telle que \(w^2 = 0\). Montrer que \(\mathrm{rg}\, w \leqslant 2\).
4. Construire un endomorphisme \(w\) de \(\mathbb{R}^5\) tel que \(w^2 = 0\) et \(\mathrm{rg}\, w = 2\).

Exercice 11 – Noyau et image imposés dans R⁴

Dans \(\mathbb{R}^4\), on pose \(a_1 = (1, 0, 1, 0)\), \(a_2 = (0, 1, 0, -1)\), \(b_1 = (1, 1, 0, 0)\) et \(b_2 = (0, 0, 1, 1)\).

1. Montrer que \((a_1, a_2, e_3, e_4)\) est une base de \(\mathbb{R}^4\), où \(e_3 = (0, 0, 1, 0)\) et \(e_4 = (0, 0, 0, 1)\).
2. Construire \(u \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^4)\) telle que \(\mathrm{Ker}\, u = \mathrm{Vect}(a_1, a_2)\) et \(\mathrm{Im}\, u = \mathrm{Vect}(b_1, b_2)\). Donner \(u(x, y, z, t)\).
3. Construire \(v \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^4)\) telle que \(\mathrm{Ker}\, v = \mathrm{Im}\, v = \mathrm{Vect}(e_1, e_2)\).
4. Montrer qu’aucun endomorphisme de \(\mathbb{R}^3\) ne vérifie \(\mathrm{Ker}\, u = \mathrm{Im}\, u\).

Exercice 12 – Dimension d’une image réciproque

Soient \(E\), \(F\) de dimension finie, \(u \in \mathcal{L}(E,F)\) et \(G\) un sous-espace de \(F\).

1. On note \(r\) la restriction de \(u\) à \(u^{-1}(G)\). Montrer que \(\mathrm{Ker}\, r = \mathrm{Ker}\, u\) et que \(\mathrm{Im}\, r = G \cap \mathrm{Im}\, u\).
2. En déduire \(\dim u^{-1}(G) = \dim (G \cap \mathrm{Im}\, u) + \dim \mathrm{Ker}\, u\).
3. On suppose \(E = \mathbb{R}^4\), \(F = \mathbb{R}^3\), \(\mathrm{rg}\, u = 2\) et \(G\) un plan de \(\mathbb{R}^3\). Montrer que \(\dim u^{-1}(G) \geqslant 3\).

Exercice 13 – Rang d’une composée

On se donne trois espaces \(E\), \(F\), \(G\) de dimensions finies, ainsi que \(u \in \mathcal{L}(E,F)\) et \(v \in \mathcal{L}(F,G)\).

1. Établir la majoration \(\mathrm{rg}(v \circ u) \leqslant \min(\mathrm{rg}\, u, \mathrm{rg}\, v)\).
2. Dans le cas où \(v\) est injective, prouver que \(\mathrm{rg}(v \circ u) = \mathrm{rg}\, u\).
3. Soient \(u \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^3, \mathbb{R}^2)\) et \(v \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^2, \mathbb{R}^3)\). Montrer que \(v \circ u\) n’est pas un automorphisme de \(\mathbb{R}^3\).
4. On prend \(u(x, y, z) = (x + y,\ y + z)\) et \(v(a, b) = (a,\ b,\ a – b)\). Calculer \(v \circ u\), son rang et son noyau.

Exercice 14 – Inverse à partir d’une relation polynomiale

Soit \(E\) un espace de dimension finie et \(u \in \mathcal{L}(E)\) tel que \(u^3 – 2u^2 + u = 2\,\mathrm{Id}_E\).

1. Montrer que \(u \in \mathrm{GL}(E)\) et exprimer \(u^{-1}\) comme combinaison de \(u^2\), \(u\) et \(\mathrm{Id}_E\).
2. Vérifier que l’endomorphisme \(u(x, y, z) = (2x,\ -z,\ y)\) de \(\mathbb{R}^3\) satisfait la relation, puis calculer \(u^{-1}(x, y, z)\) par la formule obtenue.
3. Sans relation particulière, montrer que si \(v \circ u = \mathrm{Id}_E\), alors \(u \circ v = \mathrm{Id}_E\).

Exercice 15 – Noyaux et images itérés d’un décalage

Soit \(d\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^3\) défini par \(d(x, y, z) = (y,\ z,\ 0)\).

1. Déterminer \(\mathrm{Ker}\, d\), \(\mathrm{Im}\, d\), \(\mathrm{Ker}\, d^2\) et \(\mathrm{Im}\, d^2\), puis montrer que \(d^3 = 0\).
2. Vérifier les inclusions \(\mathrm{Ker}\, d \subset \mathrm{Ker}\, d^2\) et \(\mathrm{Im}\, d^2 \subset \mathrm{Im}\, d\).
3. Montrer que \(\mathrm{Ker}\, d \subset \mathrm{Im}\, d\). Le noyau et l’image sont-ils supplémentaires ?

Pour approfondir

Exercice 16 – Noyau et image supplémentaires

On fixe un endomorphisme \(u\) d’un espace \(E\) de dimension \(n\). On considère les quatre assertions : (i) \(\mathrm{Ker}\, u \cap \mathrm{Im}\, u = \{0\}\) ; (ii) \(E = \mathrm{Ker}\, u \oplus \mathrm{Im}\, u\) ; (iii) \(\mathrm{Ker}\, u = \mathrm{Ker}\, u^2\) ; (iv) \(\mathrm{Im}\, u = \mathrm{Im}\, u^2\).

1. Prouver l’équivalence de (i) et (ii).
2. Prouver l’équivalence de (i) et (iii).
3. Prouver l’équivalence de (iii) et (iv).
4. Application : pour \(u(x, y, z) = (x + y,\ x + y,\ z)\) sur \(\mathbb{R}^3\), vérifier que noyau et image sont supplémentaires.

Exercice 17 – Inégalité de Sylvester

Soient \(E\), \(F\), \(G\) de dimension finie, \(u \in \mathcal{L}(E,F)\) et \(v \in \mathcal{L}(F,G)\).

1. Notons \(r\) la restriction de \(v\) au sous-espace \(\mathrm{Im}\, u\). Étudier le noyau et l’image de \(r\), puis établir \(\mathrm{rg}(v \circ u) = \mathrm{rg}\, u – \dim(\mathrm{Ker}\, v \cap \mathrm{Im}\, u)\).
2. En déduire l’inégalité \(\mathrm{rg}\, u + \mathrm{rg}\, v – \dim F \leqslant \mathrm{rg}(v \circ u)\).
3. Soient \(u, v \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^6)\) de rang \(4\). Montrer que \(\mathrm{rg}(v \circ u) \geqslant 2\).
4. Pour \(u \in \mathcal{L}(E)\) avec \(\dim E = n\), montrer que \(\mathrm{rg}\, u^2 \geqslant 2\, \mathrm{rg}\, u – n\).

La figure schématise la chaîne \(E \to F \to G\) et la partie de \(\mathrm{Im}\, u\) perdue dans le noyau de \(v\).

Exercice 18 – Problème – Interpolation et théorème du rang

Soient \(n \geqslant 1\) et \(a_0, a_1, \dots, a_n\) des réels deux à deux distincts. On pose \(\omega = (X – a_0)(X – a_1) \cdots (X – a_n)\).

Partie A. Pour \(m \geqslant n\), on définit \(\Phi_m : \mathbb{R}_m[X] \to \mathbb{R}^{n+1}\) par \(\Phi_m(P) = \left(P(a_0), P(a_1), \dots, P(a_n)\right)\).

1. Montrer que \(\Phi_m\) est linéaire.
2. Montrer que \(\Phi_n\) est un isomorphisme. Énoncer le résultat d’interpolation obtenu.
3. Pour \(m > n\), montrer que \(\Phi_m\) est surjective, puis calculer \(\dim \mathrm{Ker}\, \Phi_m\).
4. Pour \(m > n\), montrer que \(\mathrm{Ker}\, \Phi_m = \{\omega Q,\ Q \in \mathbb{R}_{m-n-1}[X]\}\).

Partie B. Application numérique.

1. Déterminer l’unique \(P \in \mathbb{R}_2[X]\) tel que \(P(-1) = 4\), \(P(0) = 1\) et \(P(2) = 1\).
2. Décrire tous les \(P \in \mathbb{R}_4[X]\) qui prennent ces trois mêmes valeurs en \(-1\), \(0\) et \(2\).

Partie C. On définit \(\chi : \mathbb{R}_3[X] \to \mathbb{R}^4\) par \(\chi(P) = \left(P(0),\ P^{\prime}(0),\ P(1),\ P^{\prime}(1)\right)\).

1. Montrer que \(\chi\) est un isomorphisme.
2. Déterminer le polynôme \(H\) tel que \(\chi(H) = (0, 1, 0, 0)\).

Exercice 19 – Problème – Endomorphismes de rang 1

Soient \(E\) un espace de dimension finie \(n \geqslant 2\) et \(u \in \mathcal{L}(E)\) de rang \(1\).

1. Justifier qu’il existe \(a \neq 0\) tel que \(\mathrm{Im}\, u = \mathrm{Vect}(a)\). Montrer qu’il existe une forme linéaire \(\ell\) sur \(E\) telle que \(u(x) = \ell(x)\, a\) pour tout \(x\).
2. On pose \(\lambda = \ell(a)\). Montrer que \(u^2 = \lambda u\).
3. Donner la dimension de \(\mathrm{Ker}\, u\). Montrer que si \(\lambda \neq 0\), alors \(E = \mathrm{Ker}\, u \oplus \mathrm{Vect}(a)\), et que si \(\lambda = 0\), alors \(a \in \mathrm{Ker}\, u\).
4. On suppose \(\lambda \neq 1\). Montrer que \(u – \mathrm{Id}_E\) est inversible, d’inverse \(\dfrac{1}{\lambda – 1}\left(u – (\lambda – 1)\mathrm{Id}_E\right)\).
5. Application : sur \(\mathbb{R}^3\), on pose \(u(x, y, z) = (x – y + 2z)\,(1, 2, 3)\). Calculer \(\lambda\), vérifier \(u^2 = \lambda u\), donner une base de \(\mathrm{Ker}\, u\) et exprimer \((u – \mathrm{Id})^{-1}\).

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