Nature d’une série numérique en maths sup (MPSI) : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Trois divergences grossières

Déterminer la nature des séries suivantes, de terme général défini pour \(n\geq 1\).

1. \(u_n=\frac{n^2}{3n^2+5}\).
2. \(v_n=\left(1+\frac{2}{n}\right)^{n}\).
3. \(w_n=\frac{(-1)^n n}{n+4}\).
4. Le terme \(t_n=\frac{1}{n+4}\) tend vers 0. Peut-on en déduire la nature de \(\sum t_n\) ? Justifier.

Exercice 2 – Une somme télescopique à pas trois

On considère la série \(\sum_{n\geq 1}\frac{1}{(n+2)(n+5)}\).

1. Déterminer deux réels \(\alpha\) et \(\beta\) tels que \(\frac{1}{(n+2)(n+5)}=\frac{\alpha}{n+2}+\frac{\beta}{n+5}\) pour tout \(n\geq 1\).
2. Calculer la somme partielle \(S_N=\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{(n+2)(n+5)}\) pour \(N\geq 3\).
3. En déduire que la série converge et calculer sa somme.

Exercice 3 – Sommes géométriques combinées

1. Justifier la convergence et calculer \(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{2^n+(-1)^n}{5^n}\).
2. Justifier la convergence et calculer \(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{3^{n+1}}{4^n}\).
3. Déterminer l’ensemble des complexes \(z\) pour lesquels \(\sum_{n\geq 0}\left(\frac{z}{1+i}\right)^{n}\) converge, puis donner sa somme.

Exercice 4 – Autour de la série exponentielle

Justifier la convergence des séries suivantes et calculer leur somme.

1. \(\sum_{n\geq 0}\frac{n+2}{n!}\).
2. \(\sum_{n\geq 0}\frac{2^n}{(n+1)!}\).
3. \(\sum_{n\geq 0}\frac{n^2}{n!}\). On pourra écrire \(n=(n-1)+1\).

Exercice 5 – Nature par équivalent

Déterminer la nature des séries de terme général suivant, défini pour \(n\geq 2\).

1. \(a_n=\frac{\sqrt{n}+1}{n^2+3}\).
2. \(b_n=\frac{1}{n^{2/3}+\ln n}\).
3. \(c_n=\tan\left(\frac{1}{n}\right)\).
4. \(d_n=n\left(e^{1/n^{3}}-1\right)\).

Exercice 6 – Majoration du module

Montrer que les séries suivantes convergent absolument.

1. \(\sum_{n\geq 1}\frac{\cos(5n)}{n\sqrt{n}}\).
2. \(\sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^n}{n^2+n}\), dont on calculera aussi la somme \(\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^2+n}\) des valeurs absolues.
3. \(\sum_{n\geq 0}\frac{e^{in\sqrt{2}}}{n^2+1}\).

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Équivalent d’une somme de racines cubiques

Pour \(n\geq 1\), on pose \(S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^{1/3}}\).

1. Justifier que, pour \(n\geq 2\), \(\frac{3}{2}\left((n+1)^{2/3}-1\right)\leq S_n\leq 1+\frac{3}{2}\left(n^{2/3}-1\right)\).
2. En déduire un équivalent simple de \(S_n\).
3. Déterminer la nature de la série \(\sum_{n\geq 1}\frac{1}{S_n}\).

La figure représente la fonction \(t\mapsto t^{-1/3}\) et les rectangles qui servent à l’encadrement.

Exercice 8 – Équivalent du reste d’ordre quatre

On note \(R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{1}{k^4}\) pour \(n\geq 1\).

1. Justifier l’existence de \(R_n\).
2. Montrer que \(\frac{1}{3(n+1)^3}\leq R_n\leq\frac{1}{3n^3}\).
3. En déduire un équivalent de \(R_n\).
4. Déterminer un entier \(n\) tel que \(S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^4}\) approche la somme de la série à \(10^{-6}\) près.

Exercice 9 – Une série alternée non absolument convergente

On pose \(u_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n+2}}\) pour \(n\geq 0\), et on note \(S\) la somme de \(\sum u_n\) lorsqu’elle existe.

1. Montrer que \(\sum u_n\) converge.
2. Montrer qu’elle ne converge pas absolument.
3. Comparer \(S\) et \(S_5=\sum_{k=0}^{5}u_k\) sans calculer \(S\).
4. Déterminer un rang \(n\) à partir duquel \(S_n\) approche \(S\) à \(10^{-2}\) près.

Exercice 10 – Équivalents et signe variable : un piège

Pour \(n\geq 1\), on pose \(u_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}+2(-1)^n}\).

1. Vérifier que \(u_n\) est bien défini, puis montrer que \(u_n\) est équivalent à \(\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\).
2. On pose \(x_n=\frac{2(-1)^n}{\sqrt{n}}\). Vérifier que \(\frac{1}{1+x}=1-x+\frac{x^2}{1+x}\) pour \(x\neq -1\), puis en déduire que \(u_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}-\frac{2}{n}+v_n\), avec \(|v_n|\leq\frac{8}{n^{3/2}}\) pour \(n\geq 16\).
3. Déterminer la nature de \(\sum u_n\).
4. Expliquer pourquoi ce résultat ne contredit pas le cours.

Exercice 11 – Logarithmes et puissances

Déterminer la nature des séries de terme général suivant.

1. \(\frac{(\ln n)^2}{n^{4/3}}\) pour \(n\geq 1\).
2. \(\frac{1}{\sqrt{n}\,\ln n}\) pour \(n\geq 2\).
3. \(n^{5}e^{-\sqrt{n}}\) pour \(n\geq 0\).
4. \(\frac{1}{(\ln n)^{3}}\) pour \(n\geq 2\).

Exercice 12 – Choisir les paramètres pour converger

Soit \(a\) et \(b\) deux réels. Pour \(n\geq 1\), on pose \(u_n=\sqrt{n^2+n+1}-n-a-\frac{b}{n}\).

1. Établir le développement \(\sqrt{n^2+n+1}=n+\frac{1}{2}+\frac{3}{8n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)\).
2. Déterminer les couples \((a,b)\) pour lesquels \(\sum u_n\) converge.
3. Pour \(a=\frac{1}{2}\) et \(b=0\), préciser la nature de \(\sum u_n\) en justifiant le signe utilisé.

Exercice 13 – Une constante à la Euler

Pour \(n\geq 1\), on pose \(x_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}-2\sqrt{n}\) et \(w_n=x_{n+1}-x_n\).

1. Montrer que \(w_n=-\frac{1}{\sqrt{n+1}\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)^{2}}\).
2. En déduire un équivalent de \(w_n\), puis la nature de \(\sum w_n\).
3. Montrer que \((x_n)\) converge vers un réel \(C\) et que \(C<-1\).
4. En déduire que \(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}=2\sqrt{n}+C+o(1)\).

Exercice 14 – Discussion selon un paramètre réel

Soit \(x>0\). Pour \(n\geq 0\), on pose \(u_n(x)=\frac{x^n}{1+x^{2n}}\).

1. Étudier la nature de \(\sum u_n(x)\) lorsque \(0<x<1\).
2. Traiter le cas \(x=1\).
3. Montrer que \(u_n(x)=u_n(1/x)\), puis traiter le cas \(x>1\).

Exercice 15 – Une divergence très lente

Pour \(n\geq 2\), on pose \(S_n=\sum_{j=2}^{n}\frac{1}{j\,\ln j}\).

1. Étudier les variations de \(f:t\mapsto\frac{1}{t\ln t}\) sur \([2,+\infty[\) et en donner une primitive.
2. Montrer que \(\ln(\ln(n+1))-\ln(\ln 2)\leq S_n\leq\frac{1}{2\ln 2}+\ln(\ln n)-\ln(\ln 2)\).
3. En déduire la nature de \(\sum\frac{1}{n\ln n}\) et un équivalent de \(S_n\).
4. Montrer que \(S_n\geq 3\) dès que \(n+1\geq 2^{e^{3}}\), et commenter l’ordre de grandeur obtenu.

Pour approfondir

Exercice 16 – Un sinus qui cache une série alternée

Pour \(n\geq 0\), on pose \(u_n=\sin\left(\pi\sqrt{n^2+3}\right)\) et \(y_n=\pi\left(\sqrt{n^2+3}-n\right)\).

1. Montrer que \(y_n=\frac{3\pi}{n+\sqrt{n^2+3}}\) et que \(u_n=(-1)^n\sin(y_n)\).
2. Montrer que, pour \(n\geq 3\), \(y_n\in\left]0,\frac{\pi}{2}\right[\), puis que \((\sin y_n)_{n\geq 3}\) est décroissante de limite nulle.
3. En déduire la nature de \(\sum u_n\).
4. La série converge-t-elle absolument ?
5. Majorer le reste \(|R_n|\) pour \(n\geq 3\) par une expression simple en \(n\).

Exercice 17 – Série des restes d’une série de Riemann

Soit \(a>1\). Pour \(n\geq 0\), on note \(R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{1}{k^{a}}\).

1. Montrer que \(\frac{1}{(a-1)(n+1)^{a-1}}\leq R_n\leq\frac{1}{(a-1)n^{a-1}}\) pour \(n\geq 1\).
2. Déterminer, selon \(a\), la nature de \(\sum R_n\).
3. Dans cette question, \(a=3\). Montrer que \(\sum_{n=0}^{N}R_n=\sum_{k=1}^{N+1}\frac{1}{k^2}+(N+1)R_{N+1}\) pour tout \(N\geq 0\).
4. En déduire que \(\sum_{n=0}^{+\infty}R_n=\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k^2}\) lorsque \(a=3\).

Exercice 18 – Suite récurrente et séries associées

On définit \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=\frac{u_n}{1+u_n^{2}}\) pour \(n\geq 0\).

1. Montrer que \((u_n)\) est à valeurs dans \(]0,1]\), décroissante, et qu’elle tend vers 0.
2. Montrer que \(\sum\frac{u_n^{3}}{1+u_n^{2}}\) converge et calculer sa somme.
3. Montrer que \(\frac{1}{u_{n+1}^{2}}-\frac{1}{u_n^{2}}=2+u_n^{2}\).
4. En déduire que \(\frac{1}{\sqrt{3n+1}}\leq u_n\leq\frac{1}{\sqrt{2n+1}}\) pour tout \(n\geq 0\).
5. Déterminer la nature de \(\sum u_n\), de \(\sum u_n^{2}\) et de \(\sum u_n^{3}\).

La figure montre la construction en escalier des premiers termes à partir de la courbe de \(x\mapsto\frac{x}{1+x^2}\).

Exercice 19 – Problème : somme d’une série alternée par une intégrale

On pose \(I=\int_{0}^{1}\frac{\mathrm{d}t}{1+t^{3}}\) et, pour \(N\geq 0\), \(S_N=\sum_{k=0}^{N}\frac{(-1)^k}{3k+1}\).

1. À l’aide du critère des séries alternées, montrer que \(\sum\frac{(-1)^k}{3k+1}\) converge.
2. Pour \(t\in[0,1]\), montrer que \(\sum_{k=0}^{N}(-1)^{k}t^{3k}=\frac{1}{1+t^{3}}-(-1)^{N+1}\frac{t^{3N+3}}{1+t^{3}}\).
3. En déduire que \(S_N=I-(-1)^{N+1}J_N\), où \(J_N=\int_{0}^{1}\frac{t^{3N+3}}{1+t^{3}}\,\mathrm{d}t\).
4. Montrer que \(0\leq J_N\leq\frac{1}{3N+4}\), puis que \(\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{3k+1}=I\).
5. Déterminer trois réels \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) tels que \(\frac{1}{1+t^3}=\frac{\alpha}{1+t}+\frac{\beta t+\gamma}{t^2-t+1}\).
6. Calculer \(I\) et en déduire la valeur de la somme.
7. Combien de termes suffit-il de sommer pour obtenir la somme à \(10^{-3}\) près ? Comparer avec la majoration du reste fournie par le critère des séries alternées.

Pour aller plus loin

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