Normes et normes équivalentes en maths spé (MP) : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Une norme construite par composition

Pour \((x, y) \in \mathbb{R}^2\), on pose \(N(x, y) = \max\bigl(|x + 2y|,\ |3y|\bigr)\).

1. Montrer que \(N\) est une norme sur \(\mathbb{R}^2\).
2. Déterminer les sommets de la boule unité fermée de \(N\) et la représenter.
3. Établir \(N \leqslant 3\|\cdot\|_\infty\) et \(\|\cdot\|_\infty \leqslant \frac{5}{3} N\), puis montrer que ces constantes sont optimales.

Exercice 2 – Trois normes d’un même vecteur

Dans \(\mathbb{R}^3\), on considère \(v = (2, -3, 6)\) et \(w = (1, 1, -1)\).

1. Calculer \(\|v\|_1\), \(\|v\|_2\) et \(\|v\|_\infty\).
2. Calculer la distance de \(v\) à \(w\) pour chacune des trois normes.
3. Vérifier sur \(v\) les inégalités \(\|v\|_\infty \leqslant \|v\|_2 \leqslant \|v\|_1 \leqslant 3\|v\|_\infty\) et dire si l’une d’elles est une égalité.

Exercice 3 – Trois candidats qui ne sont pas des normes

Les trois applications ci-dessous, définies sur \(\mathbb{R}^2\) et à valeurs positives, échouent chacune à un axiome. Identifier lequel et l’illustrer par un exemple chiffré.

1. \(N_1(x, y) = |2x – y|\).
2. \(N_2(x, y) = x^2 + |y|\).
3. \(N_3(x, y) = \bigl(\sqrt{|x|} + \sqrt{|y|}\bigr)^2\).

Exercice 4 – Normes usuelles d’une fonction polynomiale

Dans \(C([0, 1], \mathbb{R})\), on considère \(f(t) = t – t^3\).

1. Calculer \(\|f\|_\infty\).
2. Calculer \(\|f\|_1\) et \(\|f\|_2\).
3. Ranger ces trois nombres par ordre croissant et comparer avec le cours.

Exercice 5 – Valeurs d’adhérence d’une suite du plan

Dans \(\mathbb{R}^2\), on définit pour \(n \geqslant 1\) :

\[ u_n = \Bigl(\cos\frac{n\pi}{3},\ (-1)^n \frac{n}{n + 1}\Bigr). \]

1. Calculer les limites des six suites extraites \((u_{6k + r})_k\), pour \(r \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}\).
2. En déduire l’ensemble des valeurs d’adhérence de \((u_n)\).
3. La suite \((u_n)\) converge-t-elle ? Est-elle bornée ?

Exercice 6 – Une partie bornée du plan

On note \(A\) l’ensemble des points \((x, y)\) du plan qui vérifient \(x^2 – xy + y^2 \leqslant 6\). Cette partie est représentée ci-dessous.

1. Prouver l’inégalité \(2(x^2 – xy + y^2) \geqslant x^2 + y^2\) pour tous réels \(x\) et \(y\).
2. En déduire que \(A\) est bornée pour \(\|\cdot\|_2\), avec \(\|(x, y)\|_2 \leqslant 2\sqrt{3}\) sur \(A\).
3. Montrer que la constante \(2\sqrt{3}\) est atteinte. La partie \(A\) est-elle bornée pour \(\|\cdot\|_1\) ?

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Deux normes sur les polynômes de degré au plus 2

Sur \(E = \mathbb{R}_2[X]\), on pose :

\[ N_1(P) = \int_0^1 |P(t)|\,\mathrm{d}t, \qquad N_2(P) = |P(0)| + |P(1)| + |P(2)|. \]

1. Montrer que \(N_1\) et \(N_2\) sont des normes sur \(E\).
2. L’application \(N_2\) est-elle une norme sur \(\mathbb{R}_3[X]\) ?
3. Calculer \(N_1(P)\) et \(N_2(P)\) pour \(P = X^2 – X\).
4. Justifier sans calcul l’existence d’un réel \(c > 0\) tel que \(N_1 \leqslant c\, N_2\) sur \(E\).

Exercice 8 – Une norme sur les fonctions de classe C1

Sur l’espace \(E\) des fonctions réelles de classe \(C^1\) sur \([0, 1]\), on associe à chaque \(f\) le réel \(N(f) = \|f^{\prime}\|_\infty + \bigl|f(\tfrac{1}{2})\bigr|\).

1. Établir que \(N\) vérifie les trois axiomes d’une norme.
2. Prouver l’inégalité \(\|f\|_\infty \leqslant |f(\tfrac{1}{2})| + \tfrac{1}{2}\|f^{\prime}\|_\infty\), puis comparer \(\|f\|_\infty\) et \(N(f)\).
3. Les normes \(N\) et \(\|\cdot\|_\infty\) sont-elles équivalentes sur \(E\) ?
4. On note \(M(f)\) le plus grand des deux nombres \(\|f\|_\infty\) et \(\|f^{\prime}\|_\infty\). Prouver que \(M\) et \(N\) sont équivalentes.

Exercice 9 – Meilleures constantes entre normes usuelles

Soit \(n \geqslant 2\).

1. Montrer que \(\|x\|_2 \leqslant \|x\|_1 \leqslant \sqrt{n}\,\|x\|_2\) pour tout \(x \in \mathbb{K}^n\).
2. Déterminer les cas d’égalité dans chacune des deux inégalités.
3. En déduire que \(1\) et \(\sqrt{n}\) sont les meilleures constantes possibles.

Exercice 10 – Une bosse qui glisse vers l’origine

Dans \(C([0, 1], \mathbb{R})\), on pose \(f_n(t) = n t\, e^{-nt}\) pour \(n \geqslant 1\).

1. Calculer \(\|f_n\|_\infty\).
2. Calculer \(\|f_n\|_1\) et montrer que \(f_n \to 0\) pour \(\|\cdot\|_1\).
3. Montrer que \(\|g\|_2^2 \leqslant \|g\|_\infty \|g\|_1\) pour toute \(g\) continue sur \([0, 1]\). En déduire que \(f_n \to 0\) pour \(\|\cdot\|_2\).
4. Montrer que \((f_n)\) ne converge pour \(\|\cdot\|_\infty\) vers aucune fonction.

Exercice 11 – Normes non équivalentes sur les polynômes

À un polynôme réel \(P\), de coefficients \(a_0, \dots, a_d\), on associe deux nombres : la somme \(N_c(P)\) des valeurs absolues de ses coefficients, et le maximum \(N_s(P)\) de \(|P|\) sur le segment \([0, 1]\).

1. Vérifier que \(N_c\) et \(N_s\) définissent deux normes sur \(\mathbb{R}[X]\).
2. Montrer que \(N_s \leqslant N_c\).
3. Calculer \(N_s(P_n)\) et \(N_c(P_n)\) pour \(P_n = (1 – X)^n\). Conclure.
4. Trouver une suite de polynômes qui tend vers 0 pour \(N_s\) mais dont la norme \(N_c\) tend vers \(+\infty\).

Exercice 12 – Convergence dans un produit d’espaces normés

On munit \(\mathbb{R}^2\) de \(\|\cdot\|_1\) et \(F = C([0, 1], \mathbb{R})\) de \(\|\cdot\|_\infty\). Sur \(\mathbb{R}^2 \times F\), on considère la norme produit \(N(x, f) = \max\bigl(\|x\|_1, \|f\|_\infty\bigr)\).

1. Justifier que la convergence de \((x_n, f_n)\) vers \((x, f)\) pour \(N\) équivaut à celle de chacune de ses deux composantes, dans son propre espace.
2. On pose \(x_n = \bigl(\frac{1}{n},\ 2 + \frac{(-1)^n}{n}\bigr)\) et \(f_n(t) = \dfrac{t}{1 + nt}\) pour \(n \geqslant 1\). Calculer \(\|f_n\|_\infty\).
3. Étudier la convergence de \((x_n, f_n)\) et montrer que cette suite est bornée.

Exercice 13 – Suites extraites paires et impaires

Soit \((E, N)\) un espace normé et \((u_n)\) une suite de \(E\).

1. Montrer que si \((u_{2n})\) et \((u_{2n+1})\) convergent vers une même limite \(\ell\), alors \((u_n)\) converge vers \(\ell\).
2. Dans \(\mathbb{R}^2\), on pose \(v_n = \Bigl(\dfrac{n + (-1)^n}{n + 1},\ \sin\dfrac{n\pi}{2}\Bigr)\). Déterminer toutes les valeurs d’adhérence de \((v_n)\).
3. On pose \(w_n = \Bigl(\dfrac{n + (-1)^n}{n + 1},\ \dfrac{1}{n + 1}\sin\dfrac{n\pi}{2}\Bigr)\). Montrer à l’aide de la question 1 que \((w_n)\) converge et donner sa limite.

Exercice 14 – Une norme sous-multiplicative sur les matrices

Pour \(A = (a_{ij}) \in M_n(\mathbb{K})\), on pose \(\nu(A) = \sum_{i,j} |a_{ij}|\).

1. Justifier que \(\nu\) est une norme et montrer que \(\nu(AB) \leqslant \nu(A)\,\nu(B)\).
2. Soit \(A = \dfrac{1}{10}\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\). Montrer que \(A^k \to 0\) quand \(k \to +\infty\).
3. Calculer \((I_2 – A)^{-1}\).
4. On pose \(S_p = \sum_{k=0}^{p} A^k\). Montrer que \(S_p \to (I_2 – A)^{-1}\).

Exercice 15 – Inclusion de deux boules fermées

Soit \((E, N)\) un espace normé non réduit à \(\{0\}\), \(a, b \in E\) et \(r, s > 0\).

1. Montrer que \(B_f(a, r) \subset B_f(b, s)\) si et seulement si \(N(a – b) + r \leqslant s\).
2. Dans \(\mathbb{R}^2\), on prend \(a = (0, 0)\), \(r = 1\), \(b = \bigl(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}\bigr)\) et \(s = \frac{3}{2}\). L’inclusion a-t-elle lieu pour \(\|\cdot\|_\infty\) ? Pour \(\|\cdot\|_1\) ?
3. Dans le cas où elle échoue, exhiber un point de \(B_f(a, r)\) hors de \(B_f(b, s)\).

Pour approfondir

Exercice 16 – Comparer les normes 1, 2 et infinie sur les fonctions continues

On travaille dans \(E = C([0, 1], \mathbb{R})\).

1. Établir, pour toute \(f \in E\), les deux inégalités \(\|f\|_2 \geqslant \|f\|_1\) et \(\|f\|_\infty \geqslant \|f\|_2\).
2. Pour \(n \geqslant 1\), soit \(f_n(t) = \max(0,\ 1 – nt)\). Calculer \(\|f_n\|_1\), \(\|f_n\|_2\) et \(\|f_n\|_\infty\).
3. En déduire que deux quelconques des trois normes ne sont jamais équivalentes.
4. Soit \(h_n = \sqrt{n}\, f_n\). Montrer que \(h_n \to 0\) pour \(\|\cdot\|_1\), mais pas pour \(\|\cdot\|_2\).

Exercice 17 – Normes à poids sur les fonctions continues

Soit \(E = C([0, 1], \mathbb{R})\) et \(g \in E\). Pour \(f \in E\), on pose \(N_g(f) = \|fg\|_\infty\).

1. Montrer que \(N_g\) est toujours une semi-norme.
2. Montrer que \(N_g\) est une norme si et seulement si \(g\) ne s’annule identiquement sur aucun segment \([c, d]\) avec \(c < d\).
3. On suppose que \(g\) ne s’annule pas sur \([0, 1]\). Montrer que \(N_g\) et \(\|\cdot\|_\infty\) sont équivalentes.
4. Dans cette question, \(g(t) = t\). Calculer \(N_g(f_n)\) pour \(f_n(t) = \max(0,\ 1 – nt)\) et conclure.
5. Plus généralement, montrer que si \(N_g\) est une norme et si \(g\) s’annule en un point \(t_0\), alors \(N_g\) n’est pas équivalente à \(\|\cdot\|_\infty\).

Exercice 18 – Problème sur la norme du maximum d’une fonction affine

Partie A. Pour \((x, y) \in \mathbb{R}^2\), on pose \(N(x, y) = \sup_{t \in [0, 1]} |x + ty|\).

1. Montrer que \(N(x, y) = \max\bigl(|x|,\ |x + y|\bigr)\).
2. En déduire que \(N\) est une norme sur \(\mathbb{R}^2\).
3. Déterminer les sommets de la boule unité fermée de \(N\).
4. Montrer que \(\frac{1}{2}\|\cdot\|_\infty \leqslant N \leqslant 2\|\cdot\|_\infty\), et que les deux constantes sont optimales.

Partie B. Soit \(d \in \mathbb{N}\). Sur \(\mathbb{R}_d[X]\), on pose \(\sigma(P) = \sup_{t \in [0, 1]} |P(t)|\) et \(\Phi(P) = \max_k |a_k|\), où les \(a_k\) sont les coefficients de \(P\).

5. Montrer que \(\sigma\) et \(\Phi\) sont des normes sur \(\mathbb{R}_d[X]\) et justifier qu’elles sont équivalentes.
6. Pour \(d = 1\), relier \(\sigma\) et \(\Phi\) à \(N\) et \(\|\cdot\|_\infty\), puis donner les meilleures constantes.

Partie C. On considère maintenant \(\sigma\) et \(\Phi\) sur \(\mathbb{R}[X]\) tout entier.

7. Avec \(P_n = (1 – 2X)^n\), montrer qu’il n’existe aucun \(\beta\) tel que \(\Phi \leqslant \beta\, \sigma\).
8. Avec \(Q_n = 1 + X + \dots + X^n\), montrer qu’il n’existe aucun \(\beta\) tel que \(\sigma \leqslant \beta\, \Phi\).
9. Conclure, puis expliquer pourquoi ce résultat ne contredit pas la question 5.

Pour aller plus loin

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