Lois géométrique et de Poisson en maths spé (MP) : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Une loi sur les entiers non nuls définie par une fraction

On cherche une variable \(X\) à valeurs dans \(\mathbb{N}^*\) telle que \(P(X = k) = \dfrac{c}{k(k+1)(k+2)}\) pour tout \(k \geqslant 1\).

1. Vérifier que \(\dfrac{1}{k(k+1)(k+2)} = \dfrac{1}{2}\Bigl(\dfrac{1}{k(k+1)} – \dfrac{1}{(k+1)(k+2)}\Bigr)\) et en déduire la valeur de \(c\).
2. Calculer \(P(X > n)\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
3. Déterminer la loi de \(Y = \min(X, 3)\).

Exercice 2 – Reconnaître une loi géométrique par sa queue

1. Une variable \(X\) à valeurs dans \(\mathbb{N}^*\) vérifie \(P(X > n) = \bigl(\frac{3}{4}\bigr)^n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\). Déterminer sa loi.
2. Une variable \(Y\) à valeurs dans \(\mathbb{N}\) vérifie \(P(Y \geqslant n) = 3^{-n}\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\). Déterminer la loi de \(Y\), puis celle de \(Y + 1\).

Exercice 3 – Valeurs remarquables d’une loi de Poisson

Soit \(X\) une variable de loi \(\mathcal{P}(2)\), dont le diagramme est représenté ci-dessous.

1. Calculer \(P(X = 0)\) et \(P(X \leqslant 2)\), puis en donner des valeurs approchées.
2. Déterminer les valeurs de \(k\) pour lesquelles \(P(X = k)\) est maximale.
3. Calculer la probabilité que \(X\) soit pair.

Exercice 4 – Lois marginales d’un tableau à double entrée

Le couple \((X, Y)\) prend ses valeurs dans \(\{0, 1, 2\} \times \{-1, 1\}\). Pour \(Y = -1\), les probabilités valent \(\frac{1}{12}\), \(\frac{1}{6}\) et \(\frac{1}{12}\) pour \(X = 0, 1, 2\). Pour \(Y = 1\), elles valent \(\frac{1}{6}\), \(\frac{1}{3}\) et \(\frac{1}{6}\).

1. Vérifier qu’il s’agit d’une loi de probabilité et déterminer les lois marginales.
2. Les variables \(X\) et \(Y\) sont-elles indépendantes ?
3. Déterminer la loi de \(XY\).

Exercice 5 – Indépendance deux à deux sans indépendance mutuelle

Soit \(X\) et \(Y\) indépendantes, de loi uniforme sur \(\{0, 1, 2\}\). On note \(Z\) le reste de la division euclidienne de \(X + Y\) par 3.

1. Déterminer la loi de \(Z\).
2. Montrer que \(X\) et \(Z\) sont indépendantes, ainsi que \(Y\) et \(Z\).
3. La famille \((X, Y, Z)\) est-elle mutuellement indépendante ?

Exercice 6 – Loi géométrique conditionnée

Soit \(X\) une variable de loi \(\mathcal{G}\bigl(\frac{1}{2}\bigr)\).

1. Déterminer la loi conditionnelle de \(X\) sachant l’événement \(\{X \leqslant 3\}\).
2. Calculer \(P(X > 3)\), puis déterminer la loi de \(X – 3\) sachant \(\{X > 3\}\).

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Minimum de deux lois géométriques indépendantes

Soit \(X \sim \mathcal{G}\bigl(\frac{1}{3}\bigr)\) et \(Y \sim \mathcal{G}\bigl(\frac{1}{4}\bigr)\) indépendantes.

1. Déterminer la loi de \(\min(X, Y)\).
2. Calculer \(P(X = Y)\).
3. Calculer \(P(X < Y)\), puis \(P(X > Y)\).

Exercice 8 – Maximum de deux lois géométriques indépendantes

Soit \(X\) et \(Y\) indépendantes, de même loi \(\mathcal{G}\bigl(\frac{1}{2}\bigr)\), et \(M = \max(X, Y)\).

1. Calculer \(P(M \leqslant n)\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
2. En déduire que \(P(M = n) = 2^{1-n} – 3 \cdot 4^{-n}\) pour tout \(n \geqslant 1\).
3. La variable \(M\) suit-elle une loi géométrique ?

Exercice 9 – Somme de deux lois géométriques indépendantes

Soit \(p \in \,]0, 1[\) et \(X\), \(Y\) indépendantes de même loi \(\mathcal{G}(p)\). On pose \(S = X + Y\).

1. Montrer que \(P(S = n) = (n – 1)\,p^2 (1 – p)^{n-2}\) pour tout \(n \geqslant 2\).
2. Déterminer la loi conditionnelle de \(X\) sachant \(\{S = n\}\).
3. Interpréter \(S\) à l’aide d’une suite d’épreuves de Bernoulli.

Exercice 10 – Loi de Poisson conditionnée par une somme

On se donne deux réels \(\lambda, \mu > 0\), un entier \(n\), et deux variables indépendantes \(X\) et \(Y\) de lois respectives \(\mathcal{P}(\lambda)\) et \(\mathcal{P}(\mu)\).

1. Montrer que la loi de \(X\) sachant \(\{X + Y = n\}\) est la loi binomiale \(\mathcal{B}\bigl(n, \frac{\lambda}{\lambda + \mu}\bigr)\).
2. Application : \(\lambda = 1\) et \(\mu = 3\). Calculer \(P(X = 2 \mid X + Y = 4)\).

Exercice 11 – Clients d’une boutique et tri aléatoire

Le nombre \(N\) de clients entrant dans une boutique en une heure suit la loi \(\mathcal{P}(\lambda)\). Les décisions d’achat sont indépendantes entre elles et de \(N\), et chacune est positive avec probabilité \(p \in \,]0, 1[\). Le nombre d’acheteurs est noté \(A\) : sachant \(\{N = n\}\), la variable \(A\) suit la loi \(\mathcal{B}(n, p)\).

1. Déterminer la loi conjointe de \((A, N)\).
2. Montrer que \(A \sim \mathcal{P}(\lambda p)\) et que \(N – A \sim \mathcal{P}\bigl(\lambda(1 – p)\bigr)\).
3. Montrer que \(A\) et \(N – A\) sont indépendantes.
4. Application : \(\lambda = 6\) et \(p = \frac{1}{3}\). Calculer la probabilité qu’aucun client n’achète, puis celle d’avoir exactement 2 acheteurs sachant que 6 clients sont entrés.

Exercice 12 – Pièces défectueuses et approximation de Poisson

Une machine produit 400 pièces par jour. Les pièces présentent un défaut de façon indépendante, chacune avec probabilité \(0{,}005\). Soit \(X\) le nombre de pièces à défaut sorties en un jour.

1. Donner la loi de \(X\) et exprimer \(P(X = 0)\) et \(P(X \leqslant 2)\).
2. Pour \(\lambda > 0\) et \(k \in \mathbb{N}\) fixés, montrer directement que \(\binom{n}{k}\bigl(\frac{\lambda}{n}\bigr)^k\bigl(1 – \frac{\lambda}{n}\bigr)^{n-k}\) tend vers \(e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}\).
3. Donner des valeurs approchées de \(P(X = 0)\) et \(P(X \leqslant 2)\) à l’aide d’une loi de Poisson. Les valeurs exactes sont environ \(0{,}1347\) et \(0{,}6767\) : commenter.

Exercice 13 – Le lemme des coalitions en pratique

Soit \(X_1, X_2, X_3, X_4\) mutuellement indépendantes, de même loi \(\mathcal{G}\bigl(\frac{1}{2}\bigr)\).

1. Déterminer la loi de \(U = \min(X_1, X_2)\) et calculer \(P(X_3 + X_4 = 2)\).
2. Justifier que \(U\) et \(V = X_3 + X_4\) sont indépendantes, puis calculer \(P(U = 1, V = 2)\).
3. On pose \(S = X_1 + X_2\) et \(D = X_1 – X_2\). Calculer \(P(D = 1)\) et montrer que \(S\) et \(D\) ne sont pas indépendantes.

Exercice 14 – Premier changement dans une suite de lancers

Soit \((B_n)_{n \geqslant 1}\) une suite i.i.d. de variables de Bernoulli de paramètre \(p \in \,]0, 1[\). On note \(T\) le plus petit entier \(n \geqslant 2\) tel que \(B_n \neq B_{n-1}\), lorsqu’il existe.

1. Calculer \(P(T = n \mid B_1 = 1)\) et \(P(T = n \mid B_1 = 0)\) pour \(n \geqslant 2\).
2. En déduire que \(P(T = n) = p(1 – p)\bigl(p^{n-2} + (1 – p)^{n-2}\bigr)\) pour tout \(n \geqslant 2\).
3. Vérifier que \(T\) est presque sûrement fini.
4. Reconnaître la loi de \(T – 1\) lorsque \(p = \frac{1}{2}\).

Exercice 15 – Une loi conjointe produit sur les couples d’entiers

On considère un couple \((X, Y)\) à valeurs dans \(\mathbb{N}^2\) tel que \(P(X = i, Y = j) = c\, 2^{-i}\, 3^{-j}\) pour tous \(i, j \in \mathbb{N}\). Le début du tableau est représenté ci-dessous.

1. Trouver la constante \(c\). Calculer ensuite chacune des deux marginales.
2. Le couple est-il formé de variables indépendantes ? Identifier les lois de \(X + 1\) et \(Y + 1\).
3. Calculer \(P(X = Y)\), \(P(X < Y)\) et \(P(X > Y)\).
4. Déterminer la loi de \(\min(X, Y) + 1\).

Pour approfondir

Exercice 16 – Absence de mémoire et loi géométrique

1. On considère une variable \(X\) à valeurs entières strictement positives. On suppose que \(P(X > n)\) n’est jamais nul et que \(P(X > n + k) = P(X > n)\,P(X > k)\) quels que soient les entiers naturels \(n\) et \(k\). Établir que \(X\) est de loi géométrique et identifier son paramètre.
2. Soit \(Y\) à valeurs dans \(\mathbb{N}\) et \(p \in \,]0, 1[\). On suppose \(P(Y \geqslant n) > 0\) et \(P(Y = n \mid Y \geqslant n) = p\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\). Déterminer la loi de \(Y + 1\).
3. Une variable \(Z\) à valeurs dans \(\mathbb{N}^*\) vérifie \(P(Z = n \mid Z \geqslant n) = \frac{1}{n + 1}\) pour tout \(n \geqslant 1\). Déterminer sa loi et la comparer à celle du premier exemple guidé du cours.

Exercice 17 – Somme d’un nombre géométrique de lois géométriques

Soit \(a, b \in \,]0, 1[\), une suite \((X_i)_{i \geqslant 1}\) i.i.d. de loi \(\mathcal{G}(b)\), et \(N \sim \mathcal{G}(a)\) indépendante de la suite. Pour \(k \geqslant 1\), on note \(S_k = X_1 + \dots + X_k\).

1. Montrer par récurrence que \(P(S_k = n) = \binom{n-1}{k-1} b^k (1 – b)^{n-k}\) pour tout \(n \geqslant k\).
2. On pose \(S = S_N\), c’est-à-dire \(S(\omega) = S_{N(\omega)}(\omega)\). Montrer que \(S \sim \mathcal{G}(ab)\).
3. Application : un joueur lance un dé jusqu’à obtenir un six, puis recommence tant qu’une pièce équilibrée tombe sur face. Interpréter le nombre total de lancers de dé et donner sa loi.

Exercice 18 – Problème de contrôle qualité sur une chaîne de production

Partie A : convergence vers la loi de Poisson. Soit \(\lambda > 0\), \((p_n)\) une suite de \(]0, 1[\) telle que \(n p_n \to \lambda\), et \(X_n \sim \mathcal{B}(n, p_n)\).

1. Pour chaque entier \(k\) fixé, établir que \(P(X_n = k)\) converge vers \(\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}\).

Partie B : une estimation. Un poste contrôle 500 pièces par jour, chacune défectueuse avec probabilité \(0{,}004\), indépendamment.

2. Donner une valeur approchée de la probabilité d’observer au plus une pièce défectueuse en une journée.

Partie C : deux machines. Deux machines indépendantes produisent chaque jour \(X \sim \mathcal{P}(2)\) et \(Y \sim \mathcal{P}(1)\) défauts. On note \(S = X + Y\).

3. Déterminer la loi de \(S\) et calculer \(P(S \leqslant 1)\).
4. Sachant que 4 défauts ont été relevés dans la journée, quelle est la probabilité qu’ils viennent tous de la première machine ?

Partie D : le premier jour sans défaut. Les nombres de défauts \(S_1, S_2, \dots\) des jours successifs sont i.i.d. de loi \(\mathcal{P}(3)\). On note \(T\) le premier jour \(j\) tel que \(S_j = 0\).

5. Montrer que \(T\) est presque sûrement fini et suit une loi géométrique dont on donnera le paramètre.
6. Calculer la probabilité d’attendre plus de dix jours le premier jour sans défaut.

Pour aller plus loin

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