Riemann, primitives et IPP en L1 de maths : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Intégrale d’une fonction en escalier

Sur \([0, 5]\), on définit la fonction \(\varphi\) par :

\[
\varphi(x) = \begin{cases} 3 & \text{si } 0 \leqslant x < 1 \\ -2 & \text{si } 1 \leqslant x < 2{,}5 \\ 1 & \text{si } 2{,}5 \leqslant x < 4 \\ \frac{1}{2} & \text{si } 4 \leqslant x \leqslant 5 \end{cases}
\]

1. Donner une subdivision adaptée à \(\varphi\), puis une subdivision adaptée plus fine. La figure représente \(\varphi\).
2. Calculer \(\int_0^5 \varphi\) et \(\int_0^5 |\varphi|\).
3. Vérifier sur cet exemple l’inégalité \(\left|\int_0^5 \varphi\right| \leqslant \int_0^5 |\varphi|\).

Exercice 2 – Quatre intégrales par primitives usuelles

Calculer les intégrales suivantes en justifiant l’existence d’une primitive.

1. \(A = \int_0^2 \left(3x^2 – 4x + 1\right)\mathrm{d}x\).
2. \(B = \int_1^4 \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}}\).
3. \(C = \int_0^{\pi/3} \sin(3x)\,\mathrm{d}x\).
4. \(D = \int_0^{\ln 2} \mathrm{e}^{2x}\,\mathrm{d}x\).

Exercice 3 – Linéarité et relation de Chasles

Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions continues sur \([0, 5]\) telles que \(\int_0^2 f = 5\), \(\int_0^5 f = -1\) et \(\int_0^5 g = 4\).

1. Calculer \(\int_2^5 f\), \(\int_5^2 f\) et \(\int_0^5 (2f – 3g)\).
2. La fonction \(f\) peut-elle être positive sur \([0, 5]\) ? Peut-elle être positive sur \([0, 2]\) ?
3. Montrer que \(f\) s’annule au moins une fois sur \([0, 5]\).

Exercice 4 – Deux intégrations par parties

Dans chaque cas, on précisera d’abord les fonctions \(u\) et \(v\) choisies, puis on vérifiera qu’elles sont de classe \(C^1\).

1. Calculer \(\int_0^1 x\,\mathrm{e}^{2x}\,\mathrm{d}x\).
2. Calculer \(\int_1^{\mathrm{e}} \ln x\,\mathrm{d}x\) en écrivant \(\ln x = 1 \times \ln x\). En déduire une primitive de \(\ln\) sur \(\left]0, +\infty\right[\).

Exercice 5 – Deux changements de variable

Ici, la nouvelle variable est imposée. Il faut donc surtout calculer correctement le nouvel élément différentiel et les nouvelles bornes.

1. Calculer \(\int_0^1 x\left(1 + x^2\right)^3\mathrm{d}x\) à l’aide du changement de variable \(u = 1 + x^2\).
2. Calculer \(\int_0^{\pi/2} \cos x\,\sin^4 x\,\mathrm{d}x\) à l’aide du changement de variable \(u = \sin x\).

Exercice 6 – Encadrer sans calculer

On pose \(I = \int_0^1 \frac{\mathrm{d}x}{1 + x^4}\).

1. Montrer que \(\frac{1}{2} \leqslant I \leqslant 1\).
2. Comparer \(x^4\) et \(x^2\) sur \([0, 1]\), puis en déduire que \(\frac{\pi}{4} \leqslant I \leqslant 1\).

Exercice 7 – Dériver une intégrale à borne variable

1. Justifier que \(F(x) = \int_0^x \sqrt{1 + t^4}\,\mathrm{d}t\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\), calculer \(F^{\prime}\) et en déduire le sens de variation de \(F\).
2. Calculer la dérivée de \(G(x) = \int_1^{x^3} \ln\left(1 + t^2\right)\mathrm{d}t\) sur \(\mathbb{R}\).
3. Calculer la dérivée de \(H(x) = \int_{\sin x}^{1} \mathrm{e}^{t^2}\,\mathrm{d}t\) sur \(\mathbb{R}\).

Pour s’entraîner

Exercice 8 – L’intégrale de x carré par encadrement

Soit \(f(x) = x^2\) sur \([0, 1]\) et \(n \geqslant 1\). On utilise la subdivision régulière \(x_k = \frac{k}{n}\). On rappelle que \(\sum_{k=1}^{m} k^2 = \frac{m(m + 1)(2m + 1)}{6}\).

1. Définir deux fonctions en escalier \(\varphi_n \leqslant f \leqslant \psi_n\) constantes sur chaque \(\left[x_k, x_{k+1}\right[\).
2. Montrer que \(\int_0^1 \varphi_n = \frac{(n – 1)(2n – 1)}{6n^2}\) et \(\int_0^1 \psi_n = \frac{(n + 1)(2n + 1)}{6n^2}\).
3. En déduire, sans utiliser de primitive, que \(f\) est intégrable et que \(\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x = \frac{1}{3}\).

Exercice 9 – Une fonction bornée non intégrable

Sur \([0, 1]\), on définit \(f(x) = 1\) si \(x\) est rationnel et \(f(x) = -1\) sinon.

1. Montrer que toute fonction en escalier \(\varphi \leqslant f\) vérifie \(\int_0^1 \varphi \leqslant -1\).
2. Montrer que toute fonction en escalier \(\psi \geqslant f\) vérifie \(\int_0^1 \psi \geqslant 1\). En déduire que \(f\) n’est pas intégrable.
3. La fonction \(|f|\) est-elle intégrable ? Que peut-on en conclure sur la réciproque de « si \(f\) est intégrable, alors \(|f|\) l’est » ?

Exercice 10 – Trois limites par sommes de Riemann

Déterminer la limite de chacune des suites suivantes.

1. \(u_n = \frac{1}{n\sqrt{n}}\sum_{k=1}^{n} \sqrt{k}\).
2. \(v_n = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{n}{(n + k)^2}\).
3. \(w_n = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \sin\left(\frac{k\pi}{n}\right)\).

Exercice 11 – Intégrations par parties répétées

Une seule intégration par parties ne suffit pas toujours. En effet, il faut parfois la répéter jusqu’à faire disparaître le polynôme, ou jusqu’à retrouver l’intégrale de départ.

1. Calculer \(\int_0^{\pi} x\sin x\,\mathrm{d}x\), puis \(I = \int_0^{\pi} x^2\cos x\,\mathrm{d}x\).
2. On pose \(J = \int_0^{\pi/2} \mathrm{e}^{x}\sin x\,\mathrm{d}x\). Par deux intégrations par parties successives, établir une relation entre \(J\) et lui-même, puis calculer \(J\).

Exercice 12 – Changements de variable plus fins

Cette fois, on exprime l’ancienne variable \(x\) en fonction de la nouvelle variable \(u\). Ensuite, on calcule \(\mathrm{d}x\) en fonction de \(\mathrm{d}u\).

1. Calculer \(\int_1^4 \frac{\mathrm{d}x}{x + \sqrt{x}}\) en posant \(u = \sqrt{x}\).
2. Vérifier que \(\frac{1}{u(u + 1)} = \frac{1}{u} – \frac{1}{u + 1}\) pour \(u > 0\). Calculer ensuite \(\int_0^1 \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{e}^x + 1}\) en posant \(u = \mathrm{e}^x\).

Exercice 13 – Deux inégalités de Cauchy-Schwarz

Dans les deux questions, tout l’enjeu consiste à choisir les deux fonctions auxquelles on applique l’inégalité de Cauchy-Schwarz.

1. Soit \(f\) continue et strictement positive sur \([0, 1]\). Montrer que \(\left(\int_0^1 f\right)\left(\int_0^1 \frac{1}{f}\right) \geqslant 1\). Vérifier ce résultat pour \(f(x) = 1 + x\).
2. Montrer que \(\int_0^1 \sqrt{1 + x^3}\,\mathrm{d}x \leqslant \frac{\sqrt{5}}{2}\).

Exercice 14 – Une fonction intégrale entre x et 3x

Pour \(x > 0\), on pose \(h(x) = \int_x^{3x} \frac{\mathrm{e}^{-t}}{t}\,\mathrm{d}t\).

1. Justifier que \(h\) est bien définie et dérivable sur \(\left]0, +\infty\right[\), puis calculer \(h^{\prime}(x)\) et étudier son signe.
2. Montrer que pour tout \(x > 0\), on a \(\mathrm{e}^{-3x}\ln 3 \leqslant h(x) \leqslant \mathrm{e}^{-x}\ln 3\).
3. En déduire les limites de \(h\) en \(0\) et en \(+\infty\). La figure représente \(h\) et son encadrement.

Exercice 15 – Suite d’intégrales et relation de récurrence

Pour tout entier \(n \geqslant 0\), on pose \(I_n = \int_0^1 x^n\,\mathrm{e}^{x}\,\mathrm{d}x\).

1. Calculer \(I_0\) et \(I_1\).
2. Montrer que \(0 \leqslant I_n \leqslant \frac{\mathrm{e}}{n + 1}\), puis en déduire la limite de \((I_n)\).
3. Établir, par intégration par parties, que \(I_{n+1} = \mathrm{e} – (n + 1)I_n\). En déduire \(I_2\) et \(I_3\).
4. Montrer que \((I_n)\) est décroissante.

Exercice 16 – Intégrale nulle et point fixe

Soit \(f\) une fonction continue sur \([0, 1]\).

1. On suppose \(\int_0^1 f = 0\). Montrer par l’absurde que \(f\) s’annule au moins une fois sur \([0, 1]\).
2. On suppose \(\int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\). Montrer qu’il existe \(c \in [0, 1]\) tel que \(f(c) = c\).
3. Plus généralement, montrer que \(f\) atteint sa valeur moyenne sur \([0, 1]\).

Pour approfondir

Exercice 17 – Limite de n fois une intégrale

Soit \(f\) une fonction de classe \(C^1\) sur \([0, 1]\). On note \(M\) le maximum de \(|f^{\prime}|\) sur \([0, 1]\).

1. Montrer que \(\left|\int_0^1 x^{n+1} f^{\prime}(x)\,\mathrm{d}x\right| \leqslant \frac{M}{n + 2}\).
2. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que \(n\int_0^1 x^n f(x)\,\mathrm{d}x\) tend vers \(f(1)\) quand \(n\) tend vers l’infini.
3. Application : déterminer la limite de \(n\int_0^1 \frac{x^n}{2 + x}\,\mathrm{d}x\).

Exercice 18 – Une limite de produit

Pour étudier un produit, on passe d’abord au logarithme, ce qui le transforme en somme.

1. Calculer \(\int_0^1 \ln(1 + x)\,\mathrm{d}x\) par intégration par parties.
2. Pour \(n \geqslant 1\), on pose \(P_n = \left(\prod_{k=1}^{n}\left(1 + \frac{k}{n}\right)\right)^{1/n}\). Déterminer la limite de \(\ln P_n\), puis celle de \(P_n\).
3. Vérifier que \(\prod_{k=1}^{n}\left(1 + \frac{k}{n}\right) = \frac{(2n)!}{n!\,n^n}\). En déduire la limite de \(\frac{1}{n}\left(\frac{(2n)!}{n!}\right)^{1/n}\).

Exercice 19 – Une équation intégrale

On cherche les fonctions \(f\) continues sur \(\mathbb{R}\) telles que :

\[
\forall x \in \mathbb{R},\quad f(x) = 2 + \int_0^x t\,f(t)\,\mathrm{d}t
\]

1. Analyse : soit \(f\) une solution. Montrer que \(f\) est dérivable, puis que \(f^{\prime}(x) = x f(x)\) et \(f(0) = 2\).
2. En étudiant la dérivée de \(x \mapsto f(x)\,\mathrm{e}^{-x^2/2}\), en déduire l’expression de \(f\).
3. Synthèse : vérifier que la fonction trouvée est solution. Conclure.

Exercice 20 – Problème – Vitesse de convergence de la méthode des rectangles

On fixe une fonction \(f\) dérivable à dérivée continue sur \([0, 1]\), et l’on note \(M = \max_{[0, 1]} |f^{\prime}|\). Pour tout entier \(n \geqslant 1\), on note \(x_k = \frac{k}{n}\) et \(R_n = \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f(x_k)\).

A. Majoration de l’erreur. On commence par contrôler l’écart sur un seul petit intervalle.

1. À l’aide de l’inégalité des accroissements finis, montrer que pour \(t \in [x_k, x_{k+1}]\), on a \(|f(t) – f(x_k)| \leqslant M(t – x_k)\).
2. En déduire que \(\left|\int_{x_k}^{x_{k+1}} f(t)\,\mathrm{d}t – \frac{1}{n}f(x_k)\right| \leqslant \frac{M}{2n^2}\).
3. Conclure que \(\left|\int_0^1 f – R_n\right| \leqslant \frac{M}{2n}\).

B. Optimalité. Ensuite, on teste la majoration sur la fonction la plus simple.

1. Pour \(f(x) = x\), calculer \(R_n\) et l’erreur \(\int_0^1 f – R_n\). Que dire de la majoration de la partie A ?

C. Application au calcul de ln 2. Enfin, on applique le résultat à une fonction précise.

1. Pour \(f(x) = \frac{1}{1 + x}\), montrer que \(R_n = \sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{n + k}\) et que \(\left|\ln 2 – R_n\right| \leqslant \frac{1}{2n}\).
2. Déterminer un entier \(n\) qui garantit une erreur au plus égale à \(10^{-3}\).
3. Calculer \(R_4\) sous forme de fraction irréductible et vérifier l’encadrement obtenu, sachant que \(\ln 2 \approx 0{,}6931\).

Pour aller plus loin

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