Fractions et nombres décimaux : corrigé du contrôle de maths en CM2
Voici le corrigé du contrôle de maths en CM2 sur le thème « fractions et nombres décimaux », question par question.
Cette correction suit les six exercices dans l’ordre du sujet. Pour chaque conversion, elle explique pourquoi le dénominateur 10, 100 ou 1 000 fixe le nombre de chiffres après la virgule. Les comparaisons passent toutes par la même méthode : on écrit d’abord chaque fraction sous forme de nombre décimal, puis on compare rang par rang.
La droite graduée est aussi redessinée avec les points D, E et F à leur place exacte. Dans les problèmes, chaque calcul posé est détaillé, puis suivi d’une phrase-réponse avec l’unité. Compare donc ta copie ligne par ligne, puis compte tes points grâce au barème placé sous chaque exercice. Les encadrés signalent enfin les erreurs fréquentes, comme croire qu’un quart vaut 0,4.
L’énoncé complet se trouve ici : Fractions et nombres décimaux : contrôle de maths en CM2.
Barème du contrôle corrigé : fractions et nombres décimaux
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Le panneau de la kermesse | 3 points |
| 2. Deux écritures pour un nombre | 4 points |
| 3. La droite graduée de 0 à 2 | 4 points |
| 4. Fraction ou virgule, qui gagne ? | 3,5 points |
| 5. La récolte de prunes | 2,5 points |
| 6. Le goûter des quatre amis | 3 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : fractions et nombres décimaux
Exercice 1 – Le panneau de la kermesse (3 points)
- Le panneau compte 20 carreaux et 3 colonnes de 5 carreaux sont peintes, soit \(3 \times 5 = 15\) carreaux. Par ailleurs, 3 colonnes sur 4 sont orange. Sacha a peint \(\frac{15}{20}\) du panneau, c’est-à-dire \(\frac{3}{4}\).
- Un quart de 100 vaut 25, donc trois quarts de 100 valent \(3 \times 25 = 75\). Ainsi, \(\frac{3}{4} = \frac{75}{100}\), soit 75 centièmes. La part peinte est 0,75.
- Une seule colonne sur quatre est blanche, soit \(\frac{5}{20}\) ou \(\frac{1}{4}\). Or \(\frac{1}{4} = \frac{25}{100}\). La part blanche est \(\frac{1}{4}\), c’est-à-dire 0,25. On vérifie alors que \(0{,}75 + 0{,}25 = 1\), soit le panneau entier.
Piège classique : écrire \(\frac{3}{4} = 3{,}4\). Pourtant, une partie du panneau est plus petite que le panneau entier, donc sa valeur est inférieure à 1.
Exercice 2 – Deux écritures pour un nombre (4 points)
- Le dénominateur fixe le rang du dernier chiffre : dixièmes pour 10, centièmes pour 100, millièmes pour 1 000.
\(\frac{9}{10} = 0{,}9\) ; \(\frac{406}{100} = 4{,}06\) ; \(\frac{2035}{1000} = 2{,}035\) ; \(\frac{17}{1000} = 0{,}017\). - On compte les chiffres après la virgule : un chiffre donne des dixièmes, deux des centièmes et trois des millièmes.
\(3{,}8 = \frac{38}{10}\) ; \(0{,}52 = \frac{52}{100}\) ; \(1{,}007 = \frac{1007}{1000}\). - Il y a 7 unités, 4 dixièmes, 0 centième et 5 millièmes. Le rang des centièmes est donc occupé par un zéro. \(7 + \frac{4}{10} + \frac{5}{1000} = 7{,}405\).
Piège classique : écrire \(\frac{17}{1000} = 0{,}17\) ou oublier le zéro de 7,405. En effet, des millièmes demandent toujours trois chiffres après la virgule.
Exercice 3 – La droite graduée de 0 à 2 (4 points)
- Chaque unité est partagée en 10, donc une petite graduation vaut un dixième, soit 0,1. Le point A est à 4 graduations après 0, puis B à 3 graduations après 1 et C à 9 graduations après 1. A repère 0,4 ; B repère 1,3 ; C repère 1,9.
- 1,3 correspond à 13 dixièmes. Le point B repère \(\frac{13}{10}\).
- Un demi vaut 0,5 : D est donc sur la 5e graduation. Ensuite, trois quarts valent 0,75 : E est au milieu entre 0,7 et 0,8. Enfin, trois demis valent \(1 + 0{,}5 = 1{,}5\) : F est au milieu entre 1 et 2. Les trois points sont placés en orange sur la droite ci-dessous.
- On calcule l’écart de chaque point avec 1 : A à 0,6 ; B à 0,3 ; C à 0,9 ; D à 0,5 ; E à \(1 – 0{,}75 = 0{,}25\) ; F à 0,5. Or 0,25 est le plus petit écart. Le point le plus proche de 1 est E.
Piège classique : choisir B, car il est juste après 1. Pourtant, E est plus près, puisque 0,25 est plus petit que 0,3.
Exercice 4 – Fraction ou virgule, qui gagne ? (3,5 points)
- On écrit d’abord la fraction avec une virgule : \(\frac{3}{4} = \frac{75}{100} = 0{,}75\). Ensuite, on compare 0,75 et 0,70 : les dixièmes sont égaux, mais 5 centièmes dépassent 0 centième. \(\frac{3}{4}\) est plus grand que 0,7.
- Un quart vaut 0,25, puis deux cinquièmes valent \(\frac{4}{10} = 0{,}4\), enfin treize dixièmes valent 1,3.
\(\frac{1}{4} < 0{,}4\) ; \(\frac{2}{5} < 0{,}45\) ; \(\frac{13}{10} > 1{,}03\). - En écriture décimale, les nombres sont 0,6 ; 0,75 ; 0,08 ; 0,5 et 0,7. On les range alors par leurs dixièmes, puis par leurs centièmes. \(0{,}08 < \frac{1}{2} < 0{,}6 < \frac{7}{10} < \frac{3}{4}\).
Piège classique : penser que \(\frac{1}{4} = 0{,}4\) ou que \(\frac{2}{5} = 2{,}5\). Le dénominateur n’est pas le chiffre écrit après la virgule : il faut d’abord obtenir 10 ou 100 en bas.
Exercice 5 – La récolte de prunes (2,5 points)
- Un cinquième de 30 kg vaut \(30 \div 5 = 6\) kg, donc trois cinquièmes valent \(6 \times 3 = 18\) kg. Noé vend 18 kg de prunes.
- On calcule \(18 \times 2{,}40\) en deux temps : \(18 \times 2 = 36\) et \(18 \times 0{,}4 = 7{,}2\). Puis \(36 + 7{,}2 = 43{,}2\). Noé gagne 43,20 €.
- Il reste \(30 – 18 = 12\) kg, puis Noé en donne le quart : \(12 \div 4 = 3\) kg. Enfin, \(12 – 3 = 9\). Il reste 9 kg de prunes à Noé.
Exercice 6 – Le goûter des quatre amis (3 points)
- Un demi-kilogramme coûte la moitié du prix du kilogramme : \(7{,}40 \div 2 = 3{,}70\). Les cerises coûtent 3,70 €.
- Les deux bouteilles coûtent \(2 \times 1{,}85 = 3{,}70\) €. On ajoute alors les trois achats :
\(3{,}70 + 9{,}60 + 3{,}70 = 17{,}00\)
Le goûter coûte 17 €. - \(20 – 17 = 3\). La marchande leur rend 3 €.
- On partage 17 € en quatre : \(16 \div 4 = 4\), puis le dernier euro, soit 100 centimes, donne \(100 \div 4 = 25\) centimes. Ainsi, \(17 \div 4 = 4{,}25\). On vérifie : \(4 \times 4{,}25 = 17\). Chaque enfant paie 4,25 €.
Piège classique : partager les 3 € de monnaie au lieu des 17 € dépensés. Or la question porte sur ce que chacun paie, c’est-à-dire sur la dépense.
À retenir de ce contrôle
- Une fraction décimale s’écrit avec une virgule : le dénominateur 10, 100 ou 1 000 indique un, deux ou trois chiffres après la virgule.
- Pour comparer une fraction et un décimal, on écrit d’abord la fraction sous forme décimale, par exemple trois quarts égalent 0,75.
- Pour prendre les trois cinquièmes d’une quantité, on la divise par 5, puis on multiplie le résultat par 3.
- Un quart vaut 0,25 et non 0,4 : le dénominateur 4 n’a aucun lien avec le chiffre écrit après la virgule.
- Dans un problème d’achats, on calcule chaque prix séparément, puis le total, et enfin la part de chacun par une division.
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