Repérage dans le plan : corrigés des exercices de maths en 2de.

Exercice 1 : rectangle et coordonnées du milieu
a) Les coordonnées des points A, B, C, D et E sont:

– $A\,(0%2C0)$
– $B\,(3%2C0)$
– $C\,(3%2C2)$
– $D\,(0%2C2)$
– $E\,(2%2C0)$

b) I est le milieu de la diagonale .
$I\,=\,(\,\frac{x_B\,%2B\,x_D}{2}%2C\,\frac{y_B\,%2B\,y_D}{2}\,)\,=\,(\,\frac{3\,%2B\,0}{2}%2C\,\frac{0\,%2B\,2}{2}\,)\,=\,(\,\frac{3}{2}%2C\,1\,)\,=\,(\,1.5%2C\,1\,)$

c) Calculer la distance .

$ID\,=\,\sqrt{(x_I\,-\,x_D)^2\,%2B\,(y_I\,-\,y_D)^2}\,=\,\sqrt{(\frac{3}{2}\,-\,0\,)^2\,%2B\,(1\,-\,2)^2}\,=\,\sqrt{(\frac{3}{2})^2\,%2B\,(-1)^2}\,=\,\sqrt{\frac{9}{4}\,%2B\,1}\,=\,\sqrt{\frac{9}{4}\,%2B\,\frac{4}{4}}\,=\,\sqrt{\frac{13}{4}}\,=\,\frac{\sqrt{13}}{2}$
La distance est donc $\frac{\sqrt{13}}{2}$ unités.

Exercice 2 : coordonnées de points dans 2 carrés
1. On considère le repère orthonormé .

a) Les coordonnées des points :
$A\,(0%2C\,-1.5)%2C\,\%3B\,B\,(0%2C\,0)%2C\,\%3B\,C\,(1.5%2C\,0)%2C\,\%3B\,D\,(0%2C\,1.5)%2C\,\%3B\,E\,(1.5%2C\,1.5)%2C\,\%3B\,F\,(1.5%2C\,-1.5)$

b) Les centres des carrés S et T :
$S\,(\,\frac{0\,%2B\,1.5}{2}%2C\,\frac{0\,%2B\,1.5}{2}\,)\,=\,S\,(\,0.75%2C\,0.75\,)$
$T\,(\,\frac{1.5\,%2B\,3}{2}%2C\,\frac{0\,%2B\,1.5}{2}\,)\,=\,T\,(\,2.25%2C\,0.75\,)$

c) Calcul de la distance :
La distance entre deux points $(x_1%2C\,y_1)$ et $(x_2%2C\,y_2)$ se calcule par la formule :
$d\,=\,\sqrt{\,(x_2\,-\,x_1)^2\,%2B\,(y_2\,-\,y_1)^2\,}$

En appliquant cette formule :
$AT\,=\,\sqrt{\,(2.25\,-\,0)^2\,%2B\,(0.75\,-\,(-1.5))^2\,}$
$AT\,=\,\sqrt{\,2.25^2\,%2B\,2.25^2\,}$
$AT\,=\,\sqrt{\,5.0625\,%2B\,5.0625\,}$
$AT\,=\,\sqrt{\,10.125\,}$
$AT\,\approx\,3.18\,\%2C\,cm$

2. a) Reprendre les questions précédentes avec le repère $(A%3B\,B%2C\,D)$ .

Dans le repère $(A%3B\,B%2C\,D)$ :
$B\,(1.5%2C\,0)%2C\,\%3B\,C\,(3%2C\,0)%2C\,\%3B\,D\,(0%2C\,-1.5)%2C\,\%3B\,E\,(3%2C\,1.5)%2C\,\%3B\,F\,(0%2C\,1.5)$

Centres des carrés S et T dans ce repère :
$S\,(\,\frac{1.5\,%2B\,0}{2}%2C\,\frac{0\,%2B\,0}{2}\,)\,=\,S\,(\,0.75%2C\,-0.75\,)$
$T\,(\,\frac{3\,%2B\,1.5}{2}%2C\,\frac{0\,%2B\,1.5}{2}\,)\,=\,T\,(\,2.25%2C\,0.75\,)$

Calcul de la distance :
$AT\,=\,\sqrt{\,(2.25\,-\,0)^2\,%2B\,(\,0.75\,-\,0\,)^2\,}$
$AT\,=\,\sqrt{\,2.25^2\,%2B\,0.75^2\,}$
$AT\,=\,\sqrt{\,5.0625\,%2B\,0.5625\,}$
$AT\,=\,\sqrt{\,5.625\,}$
$AT\,\approx\,2.37\,\%2C\,cm$

b) Reprendre les questions précédentes avec le repère $(D%3B\,A%2C\,C)$ .

Dans le repère $(D%3B\,A%2C\,C)$ :
$A\,(0%2C\,0)%2C\,\%3B\,B\,(0%2C\,1.5)%2C\,\%3B\,C\,(1.5%2C\,1.5)%2C\,\%3B\,E\,(1.5%2C\,0)%2C\,\%3B\,F\,(0%2C\,-1.5)$

Centres des carrés S et T dans ce repère :
$S\,(\,\frac{0\,%2B\,0}{2}%2C\,\frac{1.5\,%2B\,(-1.5)}{2}\,)\,=\,S\,(\,0%2C\,0\,)$
$T\,(\,\frac{1.5\,%2B\,1.5}{2}%2C\,\frac{1.5\,%2B\,0}{2}\,)\,=\,T\,(\,1.5%2C\,0.75\,)$

Calcul de la distance :
$AT\,=\,\sqrt{\,(1.5\,-\,0)^2\,%2B\,(0.75\,-\,0)^2\,}$
$AT\,=\,\sqrt{\,1.5^2\,%2B\,0.75^2\,}$
$AT\,=\,\sqrt{\,2.25\,%2B\,0.5625\,}$
$AT\,=\,\sqrt{\,2.8125\,}$
$AT\,\approx\,1.68\,\%2C\,cm$

Exercice 3 : triangle rectangle et sa nature
$Soit\,ABC\,un\,triangle\,rectangle\,en\,B.$
$\angle\,BAC\,=\,60^\circ$
$BC\,=\,4\,\,cm$

$Nous\,savons\,que\,BCD\,est\,un\,triangle\,equilateral.$
$Les\,points\,A%2C\,C%2C\,E\,sont\,alignes.$
$\angle\,CED\,=\,45^\circ$

$a)\,Figure\,tracee\,et\,codee\,%3A$

$\begin{tikzpicture}%0D%0A\draw\,(0%2C0)\,node%5Banchor=north%5D\,{C}\,--\,(4%2C0)\,node%5Banchor=north%5D\,{B}%0D%0A--\,(4%2A0.5%2C4%2Asqrt(3)%2F2)\,node%5Banchor=south%5D\,{D}%0D%0A--\,cycle%3B%0D%0A\draw\,(4%2C0)\,--\,(4%2A0.5%2C4%2Asqrt(3)%2F2)%3B%0D%0A\draw\,(0%2C0)\,--\,(-4%2C0)\,node%5Banchor=north%5D\,{A}%3B%0D%0A\draw\,(4%2A0.5%2C4%2Asqrt(3)%2F2)\,--\,(4%2A0.5-4%2C4%2Asqrt(3)%2F2)%0D%0Anode%5Banchor=east%5D\,{E}%3B%0D%0A\draw\,(0%2C0)\,--\,(4%2A0.5-4%2C4%2Asqrt(3)%2F2)%3B%0D%0A\end{tikzpicture}$

$b)\,Nature\,du\,triangle\,CDE\,%3A$
$\angle\,CED\,=\,45^\circ$
$Sachant\,que\,le\,triangle\,ABC\,est\,rectangle\,et\,isocele\,en\,A%2C\,la\,mesure\,de\,l'angle\,ACB\,est\,de\,\,\angle\,ACB\,=\,30^\circ.$
$Ainsi%2C\,\,\angle\,DCB\,=\,\angle\,DBC\,=\,60^\circ\,\,(car\,BCD\,est\,un\,triangle\,equilateral).$

$Les\,angles\,au\,point\,C\,sont\,%3A$
$\angle\,DCE\,=\,\angle\,DCB\,%2B\,\angle\,BCE\,=\,60^\circ\,%2B\,45^\circ\,=\,105^\circ$
$\angle\,DCE\,%2B\,\angle\,EDC\,=\,180^\circ\,-\,\angle\,CED\,=\,180^\circ\,-\,45^\circ\,=\,135^\circ$

$\angle\,EDC\,=\,135^\circ\,-\,105^\circ\,=\,30^\circ$
$Ainsi%2C\,les\,angles\,du\,triangle\,\,\triangle\,CDE\,\,sont%3A$
$\angle\,CED\,=\,45^\circ%2C\,\angle\,EDC\,=\,30^\circ%2C\,et\,\angle\,DCE\,=\,105^\circ$
$Nous\,constatons\,que\,le\,triangle\,\,\triangle\,CDE\,\,n'est\,ni\,equilateral\,ni\,isocele\,en\,general\,(pas\,de\,propriete\,de\,cote\,egal).$

$Deduire\,la\,longueur\,CE\,%3A$

$En\,utilisant\,la\,loi\,des\,sinus\,dans\,le\,triangle\,\,\triangle\,CDE\,.$
$Soit\,DE\,=\,x%2C\,alors\,nous\,avons%3A$

$\sin(\angle\,CED)\,=\,\sin(45^\circ)%2C$
$\sin(\angle\,DCE)\,=\,\sin(105^\circ)$

$\frac{CE}{\sin(\angle\,DCE)}\,=\,\frac{DE}{\sin(\angle\,EDC)}\,=\,\frac{4\,\sqrt{3}\,%2F\,2}{\sin(30^\circ)}$
$CE\,=\,\frac{x\,%2A\,\sin(105^\circ)}{\sin(45^\circ)}$
$CE\,=\,\frac{4\sqrt{3}}{2\sin(105^\circ)}$
$CE\,=\,4cm\,\,car\,le\,triangle\,est\,egalement\,divise\,par\,la\,mediane\,depuis\,le\,sommet\,D.$

$Finalement%2C\,CE\,=\,4cm.$

Exercice 4 : lire les coordonnées des points
1. Pour la première figure :
– Les coordonnées du point sont $(-1%2C\,1)$ .
– Les coordonnées du point sont $(1%2C\,1)$ .
– Les coordonnées du point sont $(0%2C\,-1)$ .

2. Pour la deuxième figure :
– Les coordonnées du point sont $(-1%2C\,1)$ .
– Les coordonnées du point sont $(1%2C\,0)$ .
– Les coordonnées du point sont $(2%2C\,1)$ .

3. Pour la troisième figure :
– Les coordonnées du point sont $(-2%2C\,1)$ .
– Les coordonnées du point sont $(1%2C\,-2)$ .
– Les coordonnées du point sont $(2%2C\,1)$ .

4. Pour la quatrième figure :
– Les coordonnées du point sont $(0%2C\,2)$ .
– Les coordonnées du point sont $(2%2C\,3)$ .
– Les coordonnées du point sont $(1%2C\,1)$ .

En résumé, les coordonnées des points , et sont :
$\begin{align%2A}%0D%0AFigure\,1\,%3A\,%26\,\quad\,A=(-1%2C\,1)%2C\,\quad\,B=(1%2C\,1)%2C\,\quad\,C=(0%2C\,-1)\,\\%0D%0AFigure\,2\,%3A\,%26\,\quad\,A=(-1%2C\,1)%2C\,\quad\,B=(1%2C\,0)%2C\,\quad\,C=(2%2C\,1)\,\\%0D%0AFigure\,3\,%3A\,%26\,\quad\,A=(-2%2C\,1)%2C\,\quad\,B=(1%2C\,-2)%2C\,\quad\,C=(2%2C\,1)\,\\%0D%0AFigure\,4\,%3A\,%26\,\quad\,A=(0%2C\,2)%2C\,\quad\,B=(2%2C\,3)%2C\,\quad\,C=(1%2C\,1)%0D%0A\end{align%2A}$

Exercice 5 : donner les noms des points
Sur la première figure, le point de coordonnées $(-1%2C\,2)$ est nommé .

Sur la deuxième figure, le point de coordonnées $(-1%2C\,2)$ est nommé .

Exercice 6 : valeur de longueur et coordonnées du milieu
1) Valeur exacte de la longueur du segment :

Les coordonnées des points et sont respectivement $A(5%2C\,-1)$ et $B(-2%2C\,1)$ .

La formule de la distance entre deux points $(x_1%2C\,y_1)$ et $(x_2%2C\,y_2)$ est :
$d\,=\,\sqrt{(x_2\,-\,x_1)^2\,%2B\,(y_2\,-\,y_1)^2}$

En appliquant cette formule :
$d\,=\,\sqrt{((-2)\,-\,5)^2\,%2B\,(1\,-\,(-1))^2}$
$d\,=\,\sqrt{(-7)^2\,%2B\,2^2}$
$d\,=\,\sqrt{49\,%2B\,4}$
$d\,=\,\sqrt{53}$

La valeur exacte de la longueur du segment est donc $\sqrt{53}$ .

2) Coordonnées du milieu du segment :

Les coordonnées du milieu d’un segment dont les extrémités sont $(x_1%2C\,y_1)$ et $(x_2%2C\,y_2)$ sont données par :
$M\,(\,\frac{x_1\,%2B\,x_2}{2}%2C\,\frac{y_1\,%2B\,y_2}{2}\,)$

En appliquant cette formule :
$M\,(\,\frac{5\,%2B\,(-2)}{2}%2C\,\frac{-1\,%2B\,1}{2}\,)$
$M\,(\,\frac{3}{2}%2C\,\frac{0}{2}\,)$
$M\,(\,\frac{3}{2}%2C\,0\,)$

Les coordonnées du milieu du segment sont donc $(\,\frac{3}{2}%2C\,0\,)$ .

Exercice 7 : coordonnées dans un repère et triangle
Correction de l’exercice :

1. Les points et de coordonnées respectives $(2%2C\,-1)$ et $(-6%2C\,-1)$ sont placés sur l’axe des abscisses à une distance de cm l’un de l’autre.

2. Pour construire le point tel que soit un triangle isocèle en avec une hauteur de cm :

– La hauteur du triangle correspond à la distance entre le point et l’axe des (ligne où $y\,=\,-1$ ).
– Le point doit se trouver à cm de l’axe des , donc : a pour ordonnée $y\,=\,-1\,\pm\,4$ , soit $y\,=\,3$ ou $y\,=\,-5$ .

Le milieu du segment est à $x\,=\,\frac{2\,%2B\,(-6)}{2}\,=\,-2$ .

Les coordonnées possibles de sont donc $(-2%2C\,3)$ ou $(-2%2C\,-5)$ .

3. Les coordonnées du point sont soit $(-2%2C\,3)$ soit $(-2%2C\,-5)$ .

4. Pour construire le symétrique de par rapport à (l’axe des abscisses $y\,=\,-1$ ) :

– Si a pour coordonnées $(-2%2C\,3)$ , alors son symétrique par rapport à $y\,=\,-1$ a pour $y%E2%80%99\,=\,-1\,-\,(3\,-\,(-1))\,=\,-1\,-\,4\,=\,-5$ . Donc les coordonnées sont $(-2%2C\,-5)$ .
– Si a pour coordonnées $(-2%2C\,-5)$ , alors son symétrique a pour $y'\,=\,-1\,-\,(-5\,-\,(-1))\,=\,-1\,%2B\,4\,=\,3$ . Donc les coordonnées sont $(-2%2C\,3)$ .

5. Les coordonnées du symétrique de par rapport à sont $(-2%2C\,-5)$ si $C\,=\,(-2%2C\,3)$ et $(-2%2C\,3)$ si $C\,=\,(-2%2C\,-5)$ .

Exercice 8 : construire des points dans un repère
1. Placer les points et de coordonnées respectives $(4\,%3B\,-3)$ et $(-2\,%3B\,3)$ .

2. Construire un point tel que $\triangle\,EDF$ soit équilatéral.

– Calculons la distance entre et :
$DE\,=\,\sqrt{(4\,-\,(-2))^2\,%2B\,(-3\,-\,3)^2}\,=\,\sqrt{6^2\,%2B\,(-6)^2}\,=\,\sqrt{36\,%2B\,36}\,=\,\sqrt{72}\,=\,6\sqrt{2}.$

– Les coordonnées du milieu de :
$M\,=\,(\,\frac{4\,%2B\,(-2)}{2}%2C\,\frac{-3\,%2B\,3}{2}\,)\,=\,(1%2C\,0).$

– Les coordonnées de telles que $\triangle\,EDF$ soit équilatéral (rotation de ou de autour de de $\pm\,60^\circ$ ) :
$F\,=\,(\,1\,%2B\,\frac{4\,-\,1}{2}\,-\,\sqrt{3}\,\frac{-3\,-\,0}{2}%2C\,0\,%2B\,\frac{-3\,-\,0}{2}\,%2B\,\sqrt{3}\,\frac{4\,-\,1}{2}\,)\,=\,(1\,%2B\,1.5\,-\,3\sqrt{3}%2C\,0\,-\,1.5\,%2B\,3\sqrt{3})\,=\,(-1\,-\,3\sqrt{3}%2C\,3\sqrt{3}\,-\,1.5).$

3. Lire les coordonnées du point .
$F\,(\,-1\,-\,3\sqrt{3}%2C\,3\sqrt{3}\,-\,1.5\,).$

4. Construire le symétrique de par rapport à .

– Les coordonnées de , symétrique de par rapport à , sont données par :
$E'\,=\,2F\,-\,E.$
Ainsi,
$E'\,=\,2\,(-1\,-\,3\sqrt{3}%2C\,3\sqrt{3}\,-\,1.5)\,-\,(-2%2C\,3)\,=\,(-2\,-\,6\sqrt{3}%2C\,6\sqrt{3}\,-\,3)\,-\,(-2%2C\,3)\,=\,(0\,-\,6\sqrt{3}%2C\,6\sqrt{3}\,-\,6).$

5. Lire ses coordonnées.
$E'\,(\,-6\sqrt{3}%2C\,6\sqrt{3}\,-\,6\,).$

Exercice 9 : coordonnées des milieux de segments
Correction de l’exercice de mathématiques

1. Dans le plan muni d’un repère $(O%3B\,I%2C\,J)$ , les points $(\,-2%2C\,6%3B\,4%2C7)$ et $(6%2C\,3%3B\,-5%2C9)$ .

Les coordonnées du milieu du segment :

$M\,=\,(\,\frac{x_A\,%2B\,x_B}{2}%2C\,\frac{y_A\,%2B\,y_B}{2}\,)$

$x_M\,=\,\frac{-2%2C6\,%2B\,6%2C3}{2}\,=\,\frac{3%2C7}{2}\,=\,1%2C85$

$y_M\,=\,\frac{4%2C7\,-\,5%2C9}{2}\,=\,\frac{-1%2C2}{2}\,=\,-0%2C6$

Ainsi, les coordonnées de sont $(1%2C85%3B\,-0%2C6)$ .

2. On a les points , et de coordonnées respectives $(\,\frac{1}{3}%2C\,\frac{2}{5}\,)$ , $(\,4%2C\,\frac{1}{6}\,)$ et $(\,\sqrt{5}%2C\,\frac{\sqrt{3}}{2}\,)$ .

– Pour le milieu de :

$D\,=\,(\,\frac{\frac{1}{3}\,%2B\,4}{2}%2C\,\frac{\frac{2}{5}\,%2B\,\frac{1}{6}}{2}\,)$

$x_D\,=\,\frac{\frac{1}{3}\,%2B\,4}{2}\,=\,\frac{\frac{1}{3}\,%2B\,\frac{12}{3}}{2}\,=\,\frac{\frac{13}{3}}{2}\,=\,\frac{13}{6}$

$y_D\,=\,\frac{\frac{2}{5}\,%2B\,\frac{1}{6}}{2}\,=\,\frac{\frac{12}{30}\,%2B\,\frac{5}{30}}{2}\,=\,\frac{\frac{17}{30}}{2}\,=\,\frac{17}{60}$

Ainsi, les coordonnées de sont $(\,\frac{13}{6}%3B\,\frac{17}{60}\,)$ .

– Pour le milieu de :

$E\,=\,(\,\frac{4\,%2B\,\sqrt{5}}{2}%2C\,\frac{\frac{1}{6}\,%2B\,\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}\,)$

$x_E\,=\,\frac{4\,%2B\,\sqrt{5}}{2}$

$y_E\,=\,\frac{\frac{1}{6}\,%2B\,\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}\,=\,\frac{\frac{1}{6}\,%2B\,\frac{3\sqrt{3}}{6}}{2}\,=\,\frac{\frac{1\,%2B\,3\sqrt{3}}{6}}{2}\,=\,\frac{1\,%2B\,3\sqrt{3}}{12}$

Ainsi, les coordonnées de sont $(\,\frac{4\,%2B\,\sqrt{5}}{2}%3B\,\frac{1\,%2B\,3\sqrt{3}}{12}\,)$ .

– Pour le milieu de :

$F\,=\,(\,\frac{\frac{1}{3}\,%2B\,\sqrt{5}}{2}%2C\,\frac{\frac{2}{5}\,%2B\,\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}\,)$

$x_F\,=\,\frac{\frac{1}{3}\,%2B\,\sqrt{5}}{2}$

$y_F\,=\,\frac{\frac{2}{5}\,%2B\,\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}\,=\,\frac{\frac{4}{10}\,%2B\,\frac{5\sqrt{3}}{10}}{2}\,=\,\frac{\frac{4\,%2B\,5\sqrt{3}}{10}}{2}\,=\,\frac{4\,%2B\,5\sqrt{3}}{20}$

Ainsi, les coordonnées de sont $(\,\frac{\frac{1}{3}\,%2B\,\sqrt{5}}{2}%3B\,\frac{4\,%2B\,5\sqrt{3}}{20}\,)$ .

3. Dans le plan muni d’un repère $(O%3B\,I%2C\,J)$ on place les points et de coordonnées respectives $(34\,\%2C\,582%3B\,-43\,\%2C\,590)$ et $(10\,\%2C\,991%3B\,59\,\%2C\,267)$ .

Calcul des coordonnées du milieu de :

$M\,=\,(\,\frac{x_C\,%2B\,x_D}{2}%2C\,\frac{y_C\,%2B\,y_D}{2}\,)$

$x_M\,=\,\frac{34\,\%2C\,582\,%2B\,10\,\%2C\,991}{2}\,=\,\frac{45\,\%2C\,573}{2}\,=\,22\,\%2C\,786%2C5$

$y_M\,=\,\frac{-43\,\%2C\,590\,%2B\,59\,\%2C\,267}{2}\,=\,\frac{15\,\%2C\,677}{2}\,=\,7\,\%2C\,838%2C5$

Les coordonnées du milieu sont donc $(22\,\%2C\,786%2C5%3B\,7\,\%2C\,838%2C5)$ .

Pour déterminer le point d’intersection avec la médiatrice, il convient de spécifier le processus de calcul des équations de droites et de leurs intersections, mais cette étape dépend de la méthode particulière de l’intersection avec la médiatrice.

Exercice 10 : coordonnées du milieu et parallélogramme
Correction de l’exercice :

1. Dans le plan muni d’un repère $(O%3B\,I%2C\,J)$ , on a placé les points et de coordonnées respectives $(3\,%3B\,-2)$ et $(0\,%3B\,3)$ . Déterminer les coordonnées du point tel que soit le milieu du segment .

Les coordonnées du milieu du segment sont données par :
$M\,=\,(\,\frac{x_A\,%2B\,x_B}{2}%2C\,\frac{y_A\,%2B\,y_B}{2}\,)$

Sachant que $M(0\,%3B\,3)$ , nous avons :
$0\,=\,\frac{3\,%2B\,x_B}{2}\,\implies\,3\,%2B\,x_B\,=\,0\,\implies\,x_B\,=\,-3$
$3\,=\,\frac{-2\,%2B\,y_B}{2}\,\implies\,-2\,%2B\,y_B\,=\,6\,\implies\,y_B\,=\,8$

Ainsi, les coordonnées de sont $(-3\,%3B\,8)$ .

2. Dans le plan muni d’un repère $(O%3B\,I%2C\,J)$ , on a placé les points et de coordonnées respectives $(-6%2C\,9\,%3B\,-3%2C3)$ et $(0%3B\,-4%2C6)$ . Déterminer les coordonnées du point symétrique de par rapport au point .

Les coordonnées du point symétrique de par rapport à sont données par :
$F\,=\,(\,\frac{x_E\,%2B\,x_H}{2}%2C\,\frac{y_E\,%2B\,y_H}{2}\,)$

Sachant que $F(0%3B\,-4%2C6)$ , nous avons :
$0\,=\,\frac{-6%2C9\,%2B\,x_H}{2}\,\implies\,-6%2C9\,%2B\,x_H\,=\,0\,\implies\,x_H\,=\,6%2C9$
$-4%2C6\,=\,\frac{-3%2C3\,%2B\,y_H}{2}\,\implies\,-3%2C3\,%2B\,y_H\,=\,-9%2C2\,\implies\,y_H\,=\,-4%2C6$

Ainsi, les coordonnées de sont $(6%2C9\,%3B\,-12%2C5)$ .

3. Dans le plan muni d’un repère $(O%3B\,I%2C\,J)$ , on a placé les points , et de coordonnées respectives
$B\,(\,\frac{1}{2}\,%3B\,-\frac{3}{4}\,)%2C\,\quad\,A\,(\,\frac{4}{5}\,%3B\,\frac{7}{5}\,)\,\quad\,et\,\quad\,N\,(\,\frac{5}{6}\,%3B\,\frac{2}{3}\,)$
Calculer les coordonnées du milieu de .

Les coordonnées du milieu du segment sont données par :
$M\,=\,(\,\frac{x_B\,%2B\,x_N}{2}%2C\,\frac{y_B\,%2B\,y_N}{2}\,)$

Donc :
$x_M\,=\,\frac{\frac{1}{2}\,%2B\,\frac{5}{6}}{2}\,=\,\frac{3}{4}$
$y_M\,=\,\frac{-\frac{3}{4}\,%2B\,\frac{2}{3}}{2}\,=\,-\frac{1}{12}$

Ainsi, les coordonnées du milieu sont $(\,\frac{13}{28}%2C\,-\frac{1}{12}\,)$ .

Calculer les coordonnées du point tel que soit un parallélogramme.

Pour que soit un parallélogramme, il faut que
$\vec{AB}\,=\,\vec{NC}$

Sachant que
$\vec{AB}\,=\,(\,\frac{4}{5}\,-\,\frac{1}{2}%3B\,\frac{7}{5}\,%2B\,\frac{3}{4}\,)\,=\,(\,\frac{3}{10}%2C\,\frac{-31}{20}\,).$

Donc :
$x_C\,=\,x_A\,-\,4x_B\,=\,4\,-\,xAB$
$y_C\,=\,%2B31\,%2B\,y_N$

Ainsi,

Exercice 11 : coordonnées d’un point et sommets de triangle
Les sommets du triangle PAT ont pour coordonnées $P(-2%2C\,4)$ , $A(0%2C\,-1)$ et $T(5%2C\,-2)$ .

Le point est le milieu du segment . Les coordonnées de se calculent comme suit :
$E\,(\,\frac{0%2B5}{2}%2C\,\frac{-1%2B(-2)}{2}\,)\,=\,E\,(\,\frac{5}{2}%2C\,\frac{-3}{2}\,)$

Nous devons trouver l’équation de la droite . La pente de est :
$m_{TP}\,=\,\frac{-2\,-\,4}{5\,-\,(-2)}\,=\,\frac{-6}{7}$

L’équation de la droite est donc de la forme :
$y\,=\,\frac{-6}{7}x\,%2B\,b$

Pour trouver , on utilise le point $T(5%2C\,-2)$ :
$-2\,=\,\frac{-6}{7}\,\cdot\,5\,%2B\,b\,\implies\,-2\,=\,\frac{-30}{7}\,%2B\,b\,\implies\,b\,=\,-2\,%2B\,\frac{30}{7}\,\implies\,b\,=\,\frac{-14\,%2B\,30}{7}\,=\,\frac{16}{7}$

Ainsi, l’équation de la droite est :
$y\,=\,\frac{-6}{7}x\,%2B\,\frac{16}{7}$

La droite parallèle à passant par aura la même pente. Son équation est donc de la forme :
$y\,=\,\frac{-6}{7}x\,%2B\,c$

Pour déterminer , on utilise les coordonnées de $E\,(\,\frac{5}{2}%2C\,\frac{-3}{2}\,)$ :
$\frac{-3}{2}\,=\,\frac{-6}{7}\,\cdot\,\frac{5}{2}\,%2B\,c\,\implies\,\frac{-3}{2}\,=\,\frac{-30}{14}\,%2B\,c\,\implies\,c\,=\,\frac{-3}{2}\,%2B\,\frac{15}{7}\,\implies\,c\,=\,\frac{-21\,%2B\,30}{14}\,=\,\frac{9}{14}$

L’équation de la droite parallèle à passant par est :
$y\,=\,\frac{-6}{7}x\,%2B\,\frac{9}{14}$

Ensuite, nous devons trouver l’intersection de cette droite avec . La pente de est :
$m_{PA}\,=\,\frac{-1-4}{0-(-2)}\,=\,\frac{-5}{2}$

L’équation de est :
$y\,=\,\frac{-5}{2}x\,%2B\,b$

Pour trouver , on utilise le point $P(-2%2C\,4)$ :
$4\,=\,\frac{-5}{2}\,\cdot\,(-2)\,%2B\,b\,\implies\,4\,=\,5\,%2B\,b\,\implies\,b\,=\,-1$

L’équation de est :
$y\,=\,\frac{-5}{2}x\,-\,1$

Pour trouver les coordonnées de , on résout le système formé par les équations des droites :
$\begin{cases}%0D%0Ay\,=\,\frac{-6}{7}x\,%2B\,\frac{9}{14}\,\\%0D%0Ay\,=\,\frac{-5}{2}x\,-\,1%0D%0A\end{cases}$

En égalant les deux équations :
$\frac{-6}{7}x\,%2B\,\frac{9}{14}\,=\,\frac{-5}{2}x\,-\,1$

Pour éliminer les fractions, nous pouvons multiplier chaque terme par 14 (le plus petit commun multiple):
$14\,(\,\frac{-6}{7}x\,)\,%2B\,14\,(\,\frac{9}{14}\,)\,=\,14\,(\,\frac{-5}{2}x\,)\,%2B\,14(-1)$
$-12x\,%2B\,9\,=\,-35x\,-\,14$

En isolant :
$9\,%2B\,14\,=\,-35x\,%2B\,12x\,\implies\,23\,=\,-23x\,\implies\,x\,=\,-1$

En substituant dans l’une des équations, par exemple $y\,=\,\frac{-5}{2}x\,-\,1$ :
$y\,=\,\frac{-5}{2}\,\cdot\,(-1)\,-\,1\,=\,\frac{5}{2}\,-\,1\,=\,\frac{5}{2}\,-\,\frac{2}{2}\,=\,\frac{3}{2}$

Ainsi, les coordonnées de sont $(-1%2C\,\frac{3}{2})$ .

Exercice 12 : placer les symétriques et coordonnées
1) Les coordonnées des points dans le repère sont les suivantes :
– $A\,(-3%2C\,-2)$
– $B\,(0%2C\,3)$
– $C\,(-3%2C\,0)$
– $D\,(4%2C\,0)$

2) Pour placer le symétrique du point par rapport à , on réfléchit par rapport à $J\,(0%2C\,0)$ . Les coordonnées de seront les opposées de celles de :
$E\,(0%2C\,-3)$

3) Les coordonnées du milieu de se calculent à l’aide de la formule :
$F\,(\,\frac{x_A\,%2B\,x_B}{2}%2C\,\frac{y_A\,%2B\,y_B}{2}\,)$
En substituant les coordonnées :
$F\,(\,\frac{-3\,%2B\,0}{2}%2C\,\frac{-2\,%2B\,3}{2}\,)\,=\,F\,(\,-1.5%2C\,0.5\,)$

Les coordonnées du milieu de se calculent de la même manière :
$G\,(\,\frac{x_A\,%2B\,x_C}{2}%2C\,\frac{y_A\,%2B\,y_C}{2}\,)$
En substituant les coordonnées :
$G\,(\,\frac{-3\,%2B\,(-3)}{2}%2C\,\frac{-2\,%2B\,0}{2}\,)\,=\,G\,(\,-3%2C\,-1\,)$

4) Pour calculer les distances, on utilise la formule de la distance entre deux points $(x_1%2C\,y_1)$ et $(x_2%2C\,y_2)$ :
$distance\,=\,\sqrt{(x_2\,-\,x_1)^2\,%2B\,(y_2\,-\,y_1)^2}$

Pour :
$AC\,=\,\sqrt{(-3\,-\,(-3))^2\,%2B\,(0\,-\,(-2))^2}\,=\,\sqrt{0\,%2B\,4}\,=\,2$

Pour :
$CE\,=\,\sqrt{(0\,-\,(-3))^2\,%2B\,(-3\,-\,0)^2}\,=\,\sqrt{3^2\,%2B\,(-3)^2}\,=\,\sqrt{9\,%2B\,9}\,=\,\sqrt{18}\,=\,3\sqrt{2}$

Pour :
$AE\,=\,\sqrt{(0\,-\,(-3))^2\,%2B\,(-3\,-\,(-2))^2}\,=\,\sqrt{3^2\,%2B\,(-1)^2}\,=\,\sqrt{9\,%2B\,1}\,=\,\sqrt{10}$

5) La nature du triangle ACE peut être déterminée en utilisant le théorème de Pythagore. Si AE^2 est égal à la somme de AC^2 et CE^2 , alors le triangle est rectangle en .

Calculons AE^2 , AC^2 et CE^2 :
$AE^2\,=\,(\sqrt{10})^2\,=\,10$
$AC^2\,=\,2^2\,=\,4$
$CE^2\,=\,(3\sqrt{2})^2\,=\,18$

Vérifions si $AE^2\,=\,AC^2\,%2B\,CE^2$ :
$10\,=\,4\,%2B\,6$

Comme l’égalité n’est pas vérifiée, le triangle ACE n’est pas rectangle en .

Pour constater la nature précise du triangle, notons que les longueurs montrent qu’il n’est ni isocèle ni équilatéral. Le triangle ACE est donc un triangle quelconque.

Exercice 13 : périmètre d’un triangle et coordonnées
1) Calculer le périmètre du triangle ABC .

On commence par déterminer les distances entre chaque pair de points.

La distance entre deux points $(x_1%2C\,y_1)$ et $(x_2%2C\,y_2)$ est donnée par :

$d\,=\,\sqrt{(x_2\,-\,x_1)^2\,%2B\,(y_2\,-\,y_1)^2}$

Calculons chacune des distances :

Pour :

$A\,(\,\frac{5}{3}%3B\,-\frac{1}{6}\,)%2C\,\quad\,B\,(\,2%3B\,\frac{1}{3}\,)$

$AB\,=\,\sqrt{(\,2\,-\,\frac{5}{3}\,)^2\,%2B\,(\,\frac{1}{3}\,-\,(-\frac{1}{6})\,)^2\,}%0D%0A=\,\sqrt{(\,\frac{6}{3}\,-\,\frac{5}{3}\,)^2\,%2B\,(\,\frac{1}{3}\,%2B\,\frac{1}{6}\,)^2\,}%0D%0A=\,\sqrt{(\,\frac{1}{3}\,)^2\,%2B\,(\,\frac{2}{6}\,%2B\,\frac{1}{6}\,)^2\,}%0D%0A=\,\sqrt{(\,\frac{1}{3}\,)^2\,%2B\,(\,\frac{1}{2}\,)^2\,}%0D%0A=\,\sqrt{\frac{1}{9}\,%2B\,\frac{1}{4}\,}%0D%0A=\,\sqrt{\frac{4\,%2B\,9}{36}\,}%0D%0A=\,\sqrt{\frac{13}{36}\,}%0D%0A=\,\frac{\sqrt{13}}{6}$

Pour :

$A\,(\,\frac{5}{3}%3B\,-\frac{1}{6}\,)%2C\,\quad\,C\,(\,\frac{2}{3}%3B\,\frac{3}{2}\,)$

$AC\,=\,\sqrt{(\,\frac{2}{3}\,-\,\frac{5}{3}\,)^2\,%2B\,(\,\frac{3}{2}\,-\,(\,-\frac{1}{6}\,)\,)^2\,}%0D%0A=\,\sqrt{(\,-1\,)^2\,%2B\,(\,\frac{3}{2}\,%2B\,\frac{1}{6}\,)^2\,}%0D%0A=\,\sqrt{1\,%2B\,(\,\frac{9}{6}\,%2B\,\frac{1}{6}\,)^2\,}%0D%0A=\,\sqrt{1\,%2B\,(\,\frac{10}{6}\,)^2\,}%0D%0A=\,\sqrt{1\,%2B\,(\,\frac{5}{3}\,)^2\,}%0D%0A=\,\sqrt{1\,%2B\,\frac{25}{9}\,}%0D%0A=\,\sqrt{\frac{9\,%2B\,25}{9}\,}%0D%0A=\,\sqrt{\frac{34}{9}\,}%0D%0A=\,\frac{\sqrt{34}}{3}$

Pour :

$B\,(\,2%3B\,\frac{1}{3}\,)%2C\,\quad\,C\,(\,\frac{2}{3}%3B\,\frac{3}{2}\,)$

$BC\,=\,\sqrt{(\,\frac{2}{3}\,-\,2\,)^2\,%2B\,(\,\frac{3}{2}\,-\,\frac{1}{3}\,)^2\,}%0D%0A=\,\sqrt{(\,-\frac{4}{3}\,)^2\,%2B\,(\,\frac{9}{6}\,-\,\frac{2}{6}\,)^2\,}%0D%0A=\,\sqrt{(\,\frac{4}{3}\,)^2\,%2B\,(\,\frac{7}{6}\,)^2\,}%0D%0A=\,\sqrt{\frac{16}{9}\,%2B\,\frac{49}{36}\,}%0D%0A=\,\sqrt{\frac{64\,%2B\,49}{36}\,}%0D%0A=\,\sqrt{\frac{113}{36}\,}%0D%0A=\,\frac{\sqrt{113}}{6}$

Le périmètre du triangle ABC est donc :

$P\,=\,AB\,%2B\,AC\,%2B\,BC\,=\,\frac{\sqrt{13}}{6}\,%2B\,\frac{\sqrt{34}}{3}\,%2B\,\frac{\sqrt{113}}{6}$

$P\,=\,\frac{\sqrt{13}}{6}\,%2B\,\frac{2\sqrt{34}}{6}\,%2B\,\frac{\sqrt{113}}{6}$

$P\,=\,\frac{\sqrt{13}\,%2B\,2\sqrt{34}\,%2B\,\sqrt{113}}{6}$

2) Calculer les coordonnées des points $A'%2C\,B'$ et , milieux respectifs des segments , et .

Les coordonnées du milieu de deux points $(x_1%2C\,y_1)$ et $(x_2%2C\,y_2)$ sont :

$(\,\frac{x_1\,%2B\,x_2}{2}%2C\,\frac{y_1\,%2B\,y_2}{2}\,)$

Pour (milieu de ):

$A'\,(\,\frac{2\,%2B\,\frac{2}{3}}{2}%2C\,\frac{\frac{1}{3}\,%2B\,\frac{3}{2}}{2}\,)%0D%0A=\,(\,\frac{\frac{6}{3}\,%2B\,\frac{2}{3}}{2}%2C\,\frac{\frac{2}{6}\,%2B\,\frac{9}{6}}{2}\,)%0D%0A=\,(\,\frac{\frac{8}{3}}{2}%2C\,\frac{\frac{11}{6}}{2}\,)%0D%0A=\,(\,\frac{8}{6}%2C\,\frac{11}{12}\,)%0D%0A=\,(\,\frac{4}{3}%2C\,\frac{11}{12}\,)$

Pour (milieu de ):

$B'\,(\,\frac{\frac{5}{3}\,%2B\,\frac{2}{3}}{2}%2C\,\frac{-\frac{1}{6}\,%2B\,\frac{3}{2}}{2}\,)%0D%0A=\,(\,\frac{\frac{7}{3}}{2}%2C\,\frac{\frac{-1}{6}\,%2B\,\frac{9}{6}}{2}\,)%0D%0A=\,(\,\frac{7}{6}%2C\,\frac{8}{12}\,)%0D%0A=\,(\,\frac{7}{6}%2C\,\frac{2}{3}\,)$

Pour (milieu de ):

$C'\,(\,\frac{\frac{5}{3}\,%2B\,2}{2}%2C\,\frac{-\frac{1}{6}\,%2B\,\frac{1}{3}}{2}\,)%0D%0A=\,(\,\frac{\frac{5}{3}\,%2B\,\frac{6}{3}}{2}%2C\,\frac{-\frac{1}{6}\,%2B\,\frac{2}{6}}{2}\,)%0D%0A=\,(\,\frac{\frac{11}{3}}{2}%2C\,\frac{\frac{1}{6}}{2}\,)%0D%0A=\,(\,\frac{11}{6}%2C\,\frac{1}{12}\,)$

Ainsi, les coordonnées des points , et sont :

$A'\,(\,\frac{4}{3}%2C\,\frac{11}{12}\,)%2C\,\quad\,B'\,(\,\frac{7}{6}%2C\,\frac{2}{3}\,)%2C\,\quad\,C'\,(\,\frac{11}{6}%2C\,\frac{1}{12}\,)$

3) En déduire le périmètre du triangle A'B'C' .

Nous allons de nouveau utiliser la formule de la distance pour chacun des segments de A'B'C' .

Pour A'B' :

$A'\,(\,\frac{4}{3}%2C\,\frac{11}{12}\,)%2C\,\quad\,B'\,(\,\frac{7}{6}%2C\,\frac{2}{3}\,)$

$A'B'\,=\,\sqrt{(\,\frac{7}{6}\,-\,\frac{4}{3}\,)^2\,%2B\,(\,\frac{2}{3}\,-\,\frac{11}{12}\,)^2\,}%0D%0A=\,\sqrt{(\,\frac{7}{6}\,-\,\frac{8}{6}\,)^2\,%2B\,(\,\frac{8}{12}\,-\,\frac{11}{12}\,)^2\,}%0D%0A=\,\sqrt{(\,-\frac{1}{6}\,)^2\,%2B\,(\,-\frac{3}{12}\,)^2\,}%0D%0A=\,\sqrt{(\,-\frac{1}{6}\,)^2\,%2B\,(\,-\frac{1}{4}\,)^2\,}%0D%0A=\,\sqrt{\frac{1%0D%0A%0D%0A%3Ca\,id=%22exercice-14%22>%3C%2Fa>%3Cspan\,class=%22titrecorrection%22>Exercice\,14\,%3A\,patron\,d'une\,pyramide\,et\,coordonnees%3C%2Fspan>%0D%0APour\,determiner\,les\,coordonnees\,des\,points\,$\,E_1%2C\,E_2%2C\,E_3\,$\,et\,$\,E_4\,$\,en\,utilisant\,les\,reperes\,orthonormes\,$(A\,%3B\,B%2C\,D)$%2C\,nous\,allons\,d%E2%80%99abord\,identifier\,les\,positions\,des\,points\,$A$%2C\,$B$\,et\,$D$%2C\,puis\,determiner\,la\,position\,des\,points\,$C$\,et\,les\,extremites\,$E_1%2C\,E_2%2C\,E_3$\,et\,$E_4$.%0D%0A%0D%0A1.\,$A$\,se\,trouve\,a\,l'origine\,donc%3A%0D%0A\%5B%0D%0AA\,(0%2C\,0)$ Exercice 14 : patron d’une pyramide et coordonnees
Pour determiner les coordonnees des points $E_1%2C\,E_2%2C\,E_3$ et E_4 en utilisant les reperes orthonormes $(A\,%3B\,B%2C\,D)$ , nous allons d’abord identifier les positions des points , et , puis determiner la position des points et les extremites $E_1%2C\,E_2%2C\,E_3$ et E_4 .

1. se trouve a l’origine donc:
\[
A (0, 0) » align= »absmiddle » />

2. est situé sur l’axe des abscisses (horizontale) à une distance de 4 unités de :
$B\,(4%2C\,0)$

3. est situé sur l’axe des ordonnées (verticale) à une distance de 4 unités de :
$D\,(0%2C\,4)$

4. étant à la même distance de que est de , les coordonnées de :
$C\,(4%2C\,4)$

On peut maintenant calculer les coordonnées des points E_i . Ces points se trouvent aux sommets des triangles équilatéraux basés sur les segments , , et . Chaque segment mesure unités.

5. Le point E_1 est au sommet du triangle équilatéral basé sur . E_1 est situé à $(-4%2F2%2C\,4%2F2\sqrt{3})$ :
$E_1\,=\,(\,-2%2C\,2\sqrt{3}\,)$

6. Le point E_2 est au sommet du triangle équilatéral basé sur . E_2 est situé à $(4%2F2%2C\,-4%2F2\sqrt{3})$ :
$E_2\,=\,(\,2%2C\,-2\sqrt{3}\,)$

7. Le point E_3 est au sommet du triangle équilatéral basé sur . E_3 est situé à $(4\,%2B\,4%2F2%2C\,4\,%2B\,4%2F2\sqrt{3})$ :
$E_3\,=\,(\,6%2C\,4\,%2B\,2\sqrt{3}\,)$

8. Le point E_4 est au sommet du triangle équilatéral basé sur . E_4 est situé à $(4\,%2B\,4%2F2%2C\,4\,-\,4%2F2\sqrt{3})$ :
$E_4\,=\,(\,6%2C\,4\,-\,2\sqrt{3}\,)$

Ainsi, les coordonnées des points $E_1%2C\,E_2%2C\,E_3$ et E_4 sont :
$E_1\,=\,(\,-2%2C\,2\sqrt{3}\,)$
$E_2\,=\,(\,2%2C\,-2\sqrt{3}\,)$
$E_3\,=\,(\,6%2C\,4\,%2B\,2\sqrt{3}\,)$
$E_4\,=\,(\,6%2C\,4\,-\,2\sqrt{3}\,)$

Exercice 15 : calculer des longueurs et coordonnées
1) Calcul des longueurs des côtés du triangle TAC :

$\overline{TA}\,=\,\sqrt{(-2\,-\,(-1))^2\,%2B\,(2\,-\,2)^2\,%2B\,(1\,-\,3)^2}\,=\,\sqrt{1^2\,%2B\,0^2\,%2B\,(-2)^2}\,=\,\sqrt{1\,%2B\,0\,%2B\,4}\,=\,\sqrt{5}$

$\overline{TC}\,=\,\sqrt{(-2\,-\,6)^2\,%2B\,(2\,-\,0)^2\,%2B\,(1\,-\,6)^2}\,=\,\sqrt{(-8)^2\,%2B\,2^2\,%2B\,(-5)^2}\,=\,\sqrt{64\,%2B\,4\,%2B\,25}\,=\,\sqrt{93}$

$\overline{AC}\,=\,\sqrt{(-1\,-\,6)^2\,%2B\,(2\,-\,0)^2\,%2B\,(3\,-\,6)^2}\,=\,\sqrt{(-7)^2\,%2B\,2^2\,%2B\,(-3)^2}\,=\,\sqrt{49\,%2B\,4\,%2B\,9}\,=\,\sqrt{62}$

2) On démontre que le triangle TAC est rectangle en vérifiant que la somme des carrés de deux côtés égale le carré du troisième côté:

$\overline{TA}^2\,%2B\,\overline{AC}^2\,=\,(\sqrt{5})^2\,%2B\,(\sqrt{62})^2\,=\,5\,%2B\,62\,=\,67$

$\overline{TC}^2\,=\,(\sqrt{93})^2\,=\,93$

Donc, $\overline{TA}^2\,%2B\,\overline{AC}^2\,\neq\,\overline{TC}^2$ .

Vérifions les autres combinaisons:

$\overline{TA}^2\,%2B\,\overline{TC}^2\,=\,(\sqrt{5})^2\,%2B\,(\sqrt{93})^2\,=\,5\,%2B\,93\,=\,98$

$\overline{AC}^2\,=\,(\sqrt{62})^2\,=\,62$

Il n’y a pas d’égalité, donc verifions le dernier ensemble:

$\overline{TC}^2\,%2B\,\overline{AC}^2\,=\,(\sqrt{93})^2\,%2B\,(\sqrt{62})^2\,=\,93\,%2B\,62\,=\,155$

$\overline{TA}^2\,=\,(\sqrt{5})^2\,=\,5$

Comme on ne trouve pas d’égalité, il est donc nécessaire de vérifier correctement si une erreur n’a pas été commise dans le fait de reconnaitre l’ordre des calculs pour $\triangle\,TCA$ .

Corrigeons:

$\vec{TA}\,=\,(-1\,-\,(-2)%2C\,2\,-\,2%2C\,3\,-\,1)\,=\,(1%2C\,0%2C\,2)$

$\vec{TC}\,=\,(6\,-\,(-2)%2C\,0\,-\,2%2C\,6\,-\,1)\,=\,(8%2C\,-2%2C\,5)$

$\vec{TA}\,\cdot\,\vec{TC}\,=\,1\,\cdot\,8\,%2B\,0\,\cdot\,(-2)\,%2B\,2\,\cdot\,5\,=\,8\,%2B\,0\,%2B\,10=18\,\neq\,0$

Donc, identifier:
assumons \vec{AC} confirmons:
$\vec{AC}\,=\,(7%2C\,2\,%2C\,3)$

$\vec{TA}.\,\cdot\,\vec{AC}\,=\,1\,\cdot\,7\,%2B\,0%2A2\,%2B2(3)=7%2B\,0%2B6=13$
aucune perpend;

vérifier perpendiculaire détectable pour:

$\vec{TA}^2\,%2B\vec{AC^2}=5%2B62\,=67$

puis reconsidérer:
les segments supposant point exact en convergence pourrait integrer et observer relation de colinéarité ETAC- repoint convergence transversalité:

Repéres new projection spécifique

Identifiant la combinéralité :
\]

Conclusions respectant de navire.

Exercice 16 : calculer les longueurs des trois côtés d’un triangle
1) Tracer les points $M\,(\,-1\,%3B\,\frac{1}{3}\,)$ , $E\,(\,0\,%3B\,-\frac{2}{3}\,)$ et $R\,(\,\frac{2}{3}\,%3B\,1\,)$ dans un repère $(O\,%3B\,I%2C\,J)$ .

2) Les longueurs des côtés du triangle MER se calculent à l’aide de la formule de la distance entre deux points $A(x_A%2C\,y_A)$ et $B(x_B%2C\,y_B)$ :
$AB\,=\,\sqrt{(x_B\,-\,x_A)^2\,%2B\,(y_B\,-\,y_A)^2}$

– Pour :
$ME\,=\,\sqrt{(0\,-\,(-1))^2\,%2B\,(-\frac{2}{3}\,-\,\frac{1}{3})^2\,}%0D%0A=\,\sqrt{(1)^2\,%2B\,(-1)^2\,}%0D%0A=\,\sqrt{1\,%2B\,1\,}%0D%0A=\,\sqrt{2\,}$

– Pour :
$ER\,=\,\sqrt{(\frac{2}{3}\,-\,0\,)^2\,%2B\,(1\,-\,(\,-\,\frac{2}{3}\,)\,)^2\,}%0D%0A=\,\sqrt{(\frac{2}{3}\,)^2\,%2B\,(1\,%2B\,\frac{2}{3}\,)^2\,}%0D%0A=\,\sqrt{\,\frac{4}{9}\,%2B\,(\,\frac{5}{3}\,)^2\,}%0D%0A=\,\sqrt{\,\frac{4}{9}\,%2B\,\frac{25}{9}\,}%0D%0A=\,\sqrt{\,\frac{29}{9}\,}%0D%0A=\,\frac{\sqrt{29}}{3}$

– Pour :
$MR\,=\,\sqrt{(\frac{2}{3}\,-\,(-1)\,)^2\,%2B\,(1\,-\,\frac{1}{3}\,)^2\,}%0D%0A=\,\sqrt{(\frac{2}{3}\,%2B\,1\,)^2\,%2B\,(\frac{2}{3}\,)^2\,}%0D%0A=\,\sqrt{(\frac{5}{3}\,)^2\,%2B\,(\frac{2}{3}\,)^2\,}%0D%0A=\,\sqrt{\,\frac{25}{9}\,%2B\,\frac{4}{9}\,}%0D%0A=\,\sqrt{\,\frac{29}{9}\,}%0D%0A=\,\frac{\sqrt{29}}{3}$

3) Pour déterminer la nature du triangle MER , nous comparons les longueurs des côtés calculées ci-dessus.

Nous avons :
$ME\,=\,\sqrt{2}$
$ER\,=\,\frac{\sqrt{29}}{3}$
$MR\,=\,\frac{\sqrt{29}}{3}$

Puisque et ont la même longueur, cela signifie que le triangle MER est isocèle en .

Exercice 17 : déterminer les coordonnées du centre de gravité
Correction de l’exercice :

1. On appelle le point d’ordonnée positive tel que ABC soit un triangle équilatéral. Déterminons les coordonnées du point .

Les coordonnées des points et sont et . Soit . Pour que ABC soit un triangle équilatéral, les distances , et doivent être égales.

On a :
$AB\,=\,\sqrt{(5-2)^2\,%2B\,(0-0)^2}\,=\,3$

On doit donc avoir :
$AC\,=\,BC\,=\,3$

$AC\,=\,\sqrt{(x-2)^2\,%2B\,(y-0)^2}\,=\,3$
$BC\,=\,\sqrt{(x-5)^2\,%2B\,(y-0)^2}\,=\,3$

En résolvant ces deux équations :
$(x-2)^2\,%2B\,y^2\,=\,9$
$(x-5)^2\,%2B\,y^2\,=\,9$

En soustrayant la première de la deuxième :
$(x-5)^2\,-\,(x-2)^2\,=\,0$
$(x^2\,-\,10x\,%2B\,25)\,-\,(x^2\,-\,4x\,%2B\,4)\,=\,0$
$-10x\,%2B\,25\,%2B\,4x\,-\,4\,=\,0$
$-6x\,%2B\,21\,=\,0$
$x\,=\,\frac{21}{6}\,=\,3.5$

En substituant $x\,=\,3.5$ dans l’une des équations initiales :
$(3.5-2)^2\,%2B\,y^2\,=\,9$
$(1.5)^2\,%2B\,y^2\,=\,9$
$2.25\,%2B\,y^2\,=\,9$
$y^2\,=\,6.75$
$y\,=\,\sqrt{6.75}\,=\,\frac{3\sqrt{3}}{2}$

Donc les coordonnées de sont :
$C(3.5%2C\,\frac{3\sqrt{3}}{2})$

2. Soit le centre de gravité du triangle ABC . Déterminons les coordonnées du point .

Le centre de gravité est donné par la moyenne des coordonnées des sommets :
$G\,=\,(\,\frac{x_A\,%2B\,x_B\,%2B\,x_C}{3}%2C\,\frac{y_A\,%2B\,y_B\,%2B\,y_C}{3}\,)$
$G\,=\,(\,\frac{2\,%2B\,5\,%2B\,3.5}{3}%2C\,\frac{0\,%2B\,0\,%2B\,\frac{3\sqrt{3}}{2}}{3}\,)$
$G\,=\,(\,\frac{10.5}{3}%2C\,\frac{3\sqrt{3}%2F2}{3}\,)$
$G\,=\,(\,3.5%2C\,\frac{\sqrt{3}}{2}\,)$

3. Les points , et sont les milieux respectifs des segments , et .

a) Calculons les coordonnées des points , et .

Le milieu de :
$I\,=\,(\,\frac{x_A\,%2B\,x_B}{2}%2C\,\frac{y_A\,%2B\,y_B}{2}\,)$
$I\,=\,(\,\frac{2\,%2B\,5}{2}%2C\,\frac{0\,%2B\,0}{2}\,)$
$I\,=\,(3.5%2C\,0)$

Le milieu de :
$J\,=\,(\,\frac{x_A\,%2B\,x_C}{2}%2C\,\frac{y_A\,%2B\,y_C}{2}\,)$
$J\,=\,(\,\frac{2\,%2B\,3.5}{2}%2C\,\frac{0\,%2B\,\frac{3\sqrt{3}}{2}}{2}\,)$
$J\,=\,(\,2.75%2C\,\frac{3\sqrt{3}}{4}\,)$

Le milieu de :
$K\,=\,(\,\frac{x_B\,%2B\,x_C}{2}%2C\,\frac{y_B\,%2B\,y_C}{2}\,)$
$K\,=\,(\,\frac{5\,%2B\,3.5}{2}%2C\,\frac{0\,%2B\,\frac{3\sqrt{3}}{2}}{2}\,)$
$K\,=\,(\,4.25%2C\,\frac{3\sqrt{3}}{4}\,)$

b) Montrons que le triangle IJK est équilatéral.

Pour ce faire, calculons les distances , et :

$IJ\,=\,\sqrt{(4.25\,-\,2.75)^2\,%2B\,(\frac{3\sqrt{3}}{4}\,-\,\frac{3\sqrt{3}}{4})^2}$
$IJ\,=\,\sqrt{(1.5)^2\,%2B\,0}\,=\,1.5$

$JK\,=\,\sqrt{(4.25\,-\,3.5)^2\,%2B\,(\frac{3\sqrt{3}}{4}\,-\,0\,)^2}$
$JK\,=\,\sqrt{(0.75)^2\,%2B\,(\frac{3\sqrt{3}}{4})^2}$
$JK\,=\,\sqrt{0.75^2\,%2B\,(\frac{3\sqrt{3}}{4})^2}$
$JK\,=\,\sqrt{0.75^2\,%2B\,(\frac{9}{16}\,\times \,3)}$
$JK\,=\,\sqrt{0.5625\,%2B\,\frac{27}{16}}$
$JK\,=\,\sqrt{0.5625\,%2B\,1.6875}$
$JK\,=\,\sqrt{2.25}\,=\,1.5$

$KI\,=\,\sqrt{(3.5\,-\,4.25)^2\,%2B\,(0\,-\,\frac{3\sqrt{3}}{4})^2}$
$KI\,=\,\sqrt{(-0.75)^2\,%2B\,(\frac{3\sqrt{3}}{4})^2}$
$KI\,=\,\sqrt{0.75^2\,%2B\,(\frac{9}{16}\,\times \,3)}$
$KI\,=\,\sqrt{0.5625\,%2B\,\frac{27}{16}}$
$KI\,=\,\sqrt{0.5625\,%2B\,1.6875}$
$KI\,=\,\sqrt{2.25}\,=\,1.5$

Les distances , et sont égales, donc le triangle IJK est équilatéral.

c) Montrons que le point est le centre de gravité de IJK .

On utilise la moyenne des coordonnées des sommets du triangle IJK :
$G'\,=\,(\frac{x_I\,%2B\,x_J\,%2B\,x_K}{3}%2C\,\frac{y_I\,%2B\,y_J\,%2B\,y_K}{3}\,)$
$G'\,=\,(\frac{3.5\,%2B\,2.75\,%2B\,4.25}{3}%2C\,\frac{0\,%2B\,\frac{3\sqrt{3}}{4}\,%2B\,\frac{3\sqrt{3}}{4}}{3})$
$G'\,=\,(3.5%2C\,\frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}}{3}\,)$
$G'\,=\,(3.5%2C\,\frac{\sqrt{3}}{2}\,)$

Donc le point est bien le centre de gravité de IJK .

Exercice 18 : calculer des coordonnées
2. Calculer les coordonnées de , milieu du segment .

Les coordonnées de sont $(-2%2C\,2)$ et celles de sont $(5%2C\,3)$ . La formule pour les coordonnées du milieu d’un segment dont les extrémités sont $A(x_1%2C\,y_1)$ et $B(x_2%2C\,y_2)$ est :

$K\,(\,\frac{x_1\,%2B\,x_2}{2}%2C\,\frac{y_1\,%2B\,y_2}{2}\,)$

Donc, pour :

$K\,(\,\frac{-2\,%2B\,5}{2}%2C\,\frac{2\,%2B\,3}{2}\,)\,=\,K\,(\,\frac{3}{2}%2C\,\frac{5}{2}\,)$

3. Calculer les coordonnées de , milieu du segment .

Les coordonnées de sont $(2%2C\,-1)$ et celles de sont $(1%2C\,6)$ . La formule pour les coordonnées du milieu est la même :

$L\,(\,\frac{x_1\,%2B\,x_2}{2}%2C\,\frac{y_1\,%2B\,y_2}{2}\,)$

Donc, pour :

$L\,(\,\frac{2\,%2B\,1}{2}%2C\,\frac{-1\,%2B\,6}{2}\,)\,=\,L\,(\,\frac{3}{2}%2C\,\frac{5}{2}\,)$

4. En déduire que ABCD est un parallélogramme.

Comme les milieux et des segments et sont les mêmes, d’après la propriété des milieux, ABCD est un parallélogramme car les diagonales se coupent en leur milieu.

5. Calculer , et .

La distance entre deux points $A(x_1%2C\,y_1)$ et $B(x_2%2C\,y_2)$ est donnée par :

$d\,=\,\sqrt{(x_2\,-\,x_1)^2\,%2B\,(y_2\,-\,y_1)^2}$

Pour (entre $A(-2%2C\,2)$ et $B(2%2C\,-1)$ ):

$AB\,=\,\sqrt{(2\,-\,(-2))^2\,%2B\,(-1\,-\,2)^2}\,=\,\sqrt{(4)^2\,%2B\,(-3)^2}\,=\,\sqrt{16\,%2B\,9}\,=\,\sqrt{25}\,=\,5$

Pour (entre $B(2%2C\,-1)$ et $C(5%2C\,3)$ ):

$BC\,=\,\sqrt{(5\,-\,2)^2\,%2B\,(3\,-\,(-1))^2}\,=\,\sqrt{(3)^2\,%2B\,(4)^2}\,=\,\sqrt{9\,%2B\,16}\,=\,\sqrt{25}\,=\,5$

Pour (entre $A(-2%2C\,2)$ et $C(5%2C\,3)$ ):

$AC\,=\,\sqrt{(5\,-\,(-2))^2\,%2B\,(3\,-\,2)^2}\,=\,\sqrt{(7)^2\,%2B\,(1)^2}\,=\,\sqrt{49\,%2B\,1}\,=\,\sqrt{50}\,=\,5\,\sqrt{2}$

6. En déduire la nature du triangle ABC , puis du quadrilatère ABCD .

Le triangle ABC a deux côtés égaux ( et ), donc le triangle est isocèle.

Concernant le quadrilatère ABCD , puisque ses diagonales se coupent en leur milieu et qu’il possède des côtés égaux ( $AB\,=\,BC$ et $AD\,=\,CB$ ), le quadrilatère est un parallélogramme et, en fait, c’est un losange car tous les côtés sont de même longueur ( $AB\,=\,BC\,=\,CD\,=\,DA\,=\,5$ ).

Exercice 19 : déterminer l’ordonnée et l’abscisse
1. L’ordonnée du point est :
$y_A\,=\,2$

2. L’abscisse du point est :
$x_B\,=\,2$

3. Les coordonnées des points et sont :
$C(-2%2C\,-1)\,\quad\,et\,\quad\,D(1%2C\,2)$

Exercice 20 : calculs de coordonnées
1. Le repère $(O%3B\,I%2C\,J)$ est-il un repère orthogonal ?
– Vrai. Les axes et sont perpendiculaires et forment un angle droit, ce qui définit un repère orthogonal.

2. L’abscisse du point est-elle égale à 1 ?
– Faux. Sur le graphique, le point est positionné sur l’axe au-dessus de l’origine, ce qui signifie que l’abscisse est égale à 0 (et non à 1). Si nous l’étudions plus précisément par rapport à l’échelle du graphe, nous voyons que :

3. L’ordonnée du point est-elle égale à 0 ?
– Vrai. Le point est sur l’axe des abscisses , ce qui signifie que son ordonnée est .

4. Le point a-t-il pour coordonnées ?
– Faux. Le point est positionné sous l’origine sur le graphique. En mesurant par rapport aux axes, nous voyons que ses coordonnées sont :

En résumé :
1. Vrai
2. Faux
3. Vrai
4. Faux

Voir Corrigés 11 à 20 ...

Exercice 21 : parallélogramme dans le plan
1. Calculer les coordonnées de , milieu de .

Les coordonnées des points et sont :
$A(1%2C\,3)\,\quad\,et\,\quad\,C(6%2C\,0)$

Les coordonnées du milieu de sont données par la formule :
$K(\frac{x_A\,%2B\,x_C}{2}%2C\,\frac{y_A\,%2B\,y_C}{2})$

En substituant les valeurs des coordonnées de et :
$K(\frac{1\,%2B\,6}{2}%2C\,\frac{3\,%2B\,0}{2})\,=\,K(\frac{7}{2}%2C\,\frac{3}{2})$
Donc, les coordonnées de sont :
$K(\frac{7}{2}%2C\,\frac{3}{2})$

2. Calculer les coordonnées de , milieu de .

Les coordonnées des points et sont :
$B(8%2C\,3)\,\quad\,et\,\quad\,D(3%2C\,0)$

Les coordonnées du milieu de sont données par la formule :
$L(\frac{x_B\,%2B\,x_D}{2}%2C\,\frac{y_B\,%2B\,y_D}{2})$

En substituant les valeurs des coordonnées de et :
$L(\frac{8\,%2B\,3}{2}%2C\,\frac{3\,%2B\,0}{2})\,=\,L(\frac{11}{2}%2C\,\frac{3}{2})$
Donc, les coordonnées de sont :
$L(\frac{11}{2}%2C\,\frac{3}{2})$

3. En déduire que ABCD est un parallélogramme.

Un quadrilatère est un parallélogramme si les diagonales se coupent en leur milieu. Nous avons calculé les milieux et des diagonales et respectivement.

Les coordonnées de sont $(\frac{7}{2}%2C\,\frac{3}{2})$ et les coordonnées de sont $(\frac{11}{2}%2C\,\frac{3}{2})$ .

Cependant, il semble qu’il y ait une erreur dans le calcul des coordonnées du milieu . Revérifions:

$L(\frac{8\,%2B\,3}{2}%2C\,\frac{3\,%2B\,0}{2})\,=\,L(\frac{11}{2}%2C\,\frac{3}{2})$

Il apparaît que et ne sont pas égaux. Par conséquent, il semble qu’il y ait une erreur dans les coordonnées fournies des points ou dans les calculs. Revisons les coordonnées initiales des points.

Pour prouver que ABCD est un parallélogramme, nous devons confirmer que et se trouvent au même point. Si cela ne peut être prouvé, cela indique que ABCD ce n’est pas un parallélogramme.

Nous devons vérifier les données initiales ou refaire les calculs.

Exercice 22 : confirmer ou infirmer une conjecture
1. $A(-3%2C\,0)$ , $B(2%2C\,-1)$ , $C(6%2C\,5)$ et $D(1%2C\,6)$

Calculons la longueur de chaque côté du quadrilatère ABCD ainsi que les diagonales pour déterminer sa nature.

$AB\,=\,\sqrt{(2\,-\,(-3))^2\,%2B\,((-1)\,-\,0)^2}\,=\,\sqrt{5^2\,%2B\,(-1)^2}\,=\,\sqrt{25\,%2B\,1}\,=\,\sqrt{26}$

$BC\,=\,\sqrt{(6\,-\,2)^2\,%2B\,(5\,-\,(-1))^2}\,=\,\sqrt{4^2\,%2B\,6^2}\,=\,\sqrt{16\,%2B\,36}\,=\,\sqrt{52}$

$CD\,=\,\sqrt{(1\,-\,6)^2\,%2B\,(6\,-\,5)^2}\,=\,\sqrt{(-5)^2\,%2B\,1^2}\,=\,\sqrt{25\,%2B\,1}\,=\,\sqrt{26}$

$DA\,=\,\sqrt{(1\,-\,(-3))^2\,%2B\,(6\,-\,0)^2}\,=\,\sqrt{4^2\,%2B\,6^2}\,=\,\sqrt{16\,%2B\,36}\,=\,\sqrt{52}$

Calculons les diagonales et :

$AC\,=\,\sqrt{(6\,-\,(-3))^2\,%2B\,(5\,-\,0)^2}\,=\,\sqrt{9^2\,%2B\,5^2}\,=\,\sqrt{81\,%2B\,25}\,=\,\sqrt{106}$

$BD\,=\,\sqrt{(1\,-\,2)^2\,%2B\,(6\,-\,(-1))^2}\,=\,\sqrt{(-1)^2\,%2B\,7^2}\,=\,\sqrt{1\,%2B\,49}\,=\,\sqrt{50}$

Les longueurs des côtés respectent les caractéristiques d’un parallélogramme puisque les côtés opposés sont égaux: $AB\,=\,CD\,=\,\sqrt{26}$ et $BC\,=\,DA\,=\,\sqrt{52}$ .

$Le\,quadrilatere\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FABCD%22\,alt=%22ABCD$ est donc un parallelogramme. » align= »absmiddle » />

2. $A(2%2C\,-2)$ , $B(6%2C\,0)$ , $C(3%2C\,6)$ et $D(-1%2C\,4)$

Calculons la longueur de chaque côté:

$AB\,=\,\sqrt{(6\,-\,2)^2\,%2B\,(0\,-\,(-2))^2}\,=\,\sqrt{4^2\,%2B\,2^2}\,=\,\sqrt{16\,%2B\,4}\,=\,\sqrt{20}$

$BC\,=\,\sqrt{(3\,-\,6)^2\,%2B\,(6\,-\,0)^2}\,=\,\sqrt{(-3)^2\,%2B\,6^2}\,=\,\sqrt{9\,%2B\,36}\,=\,\sqrt{45}$

$CD\,=\,\sqrt{(3\,-\,(-1))^2\,%2B\,(6\,-\,4)^2}\,=\,\sqrt{4^2\,%2B\,2^2}\,=\,\sqrt{16\,%2B\,4}\,=\,\sqrt{20}$

$DA\,=\,\sqrt{(2\,-\,(-1))^2\,%2B\,((-2)\,-\,4)^2}\,=\,\sqrt{3^2\,%2B\,(-6)^2}\,=\,\sqrt{9\,%2B\,36}\,=\,\sqrt{45}$

Calculons les diagonales et :

$AC\,=\,\sqrt{(3\,-\,2)^2\,%2B\,(6\,-\,(-2))^2}\,=\,\sqrt{1^2\,%2B\,8^2}\,=\,\sqrt{1\,%2B\,64}\,=\,\sqrt{65}$

$BD\,=\,\sqrt{(3\,-\,(-1))^2\,%2B\,(6\,-\,0)^2}\,=\,\sqrt{4^2\,%2B\,6^2}\,=\,\sqrt{16\,%2B\,36}\,=\,\sqrt{52}$

Les longueurs des côtés respectent les caractéristiques d’un parallélogramme puisque les côtés opposés sont égaux: $AB\,=\,CD\,=\,\sqrt{20}$ et $BC\,=\,DA\,=\,\sqrt{45}$ .

3. $A(0%2C\,1)$ , $B(3%2C\,2)$ , $C(2%2C\,5)$ et $D(-1%2C\,4)$

Calculons la longueur de chaque côté:

$AB\,=\,\sqrt{(3\,-\,0)^2\,%2B\,(2\,-\,1)^2}\,=\,\sqrt{3^2\,%2B\,1^2}\,=\,\sqrt{9\,%2B\,1}\,=\,\sqrt{10}$

$BC\,=\,\sqrt{(2\,-\,3)^2\,%2B\,(5\,-\,2)^2}\,=\,\sqrt{(-1)^2\,%2B\,3^2}\,=\,\sqrt{1\,%2B\,9}\,=\,\sqrt{10}$

$CD\,=\,\sqrt{(2\,-\,(-1))^2\,%2B\,(5\,-\,4)^2}\,=\,\sqrt{3^2\,%2B\,1^2}\,=\,\sqrt{9\,%2B\,1}\,=\,\sqrt{10}$

$DA\,=\,\sqrt{(0\,-\,(-1))^2\,%2B\,(1\,-\,4)^2}\,=\,\sqrt{1^2\,%2B\,(-3)^2}\,=\,\sqrt{1\,%2B\,9}\,=\,\sqrt{10}$

Calculons les diagonales et :

$AC\,=\,\sqrt{(2\,-\,0)^2\,%2B\,(5\,-\,1)^2}\,=\,\sqrt{2^2\,%2B\,4^2}\,=\,\sqrt{4\,%2B\,16}\,=\,\sqrt{20}$

$BD\,=\,\sqrt{(3\,-\,(-1))^2\,%2B\,(2\,-\,4)^2}\,=\,\sqrt{4^2\,%2B\,(-2)^2}\,=\,\sqrt{16\,%2B\,4}\,=\,\sqrt{20}$

Les côtés du quadrilatère sont tous de même longueur: $AB\,=\,BC\,=\,CD\,=\,DA\,=\,\sqrt{10}$ .

Ainsi, le quadrilatère ABCD est un losange.

Exercice 23 : coordonnées de points dans un repère
1. Le repère $(O%3B\,I%2C\,J)$ est-il orhonormé ? orthogonal ?

Le repère $(O%3B\,I%2C\,J)$ est orthonormé ou orthogonal. En effet, les axes et sont perpendiculaires et les unités de mesure sur chaque axe sont de même longueur.

2. Lire les coordonnées des points , et dans le repère $(O%3B\,I%2C\,J)$ .

– Les coordonnées du point sont $(2%2C\,1)$ .
– Les coordonnées du point sont $(-1%2C\,-2)$ .
– Les coordonnées du point sont $(0%2C\,3)$ .

3. Reproduire le repère et placer les points $D(1%3B\,1)$ et $E(-1%3B\,0)$ .

Le point $D(1%2C\,1)$ se place à une unité vers la droite de l’origine, et une unité vers le haut.
Le point $E(-1%2C\,0)$ se place à une unité vers la gauche de l’origine, et ne se déplace pas sur l’axe des ordonnées.

4. Déterminer les coordonnées de tous les points dans le repère $(D%3B\,A%2C\,I)$ .

Pour transformer le repère $(O%3BI%2C\,J)$ en repère $(D%3B\,A%2C\,I)$ , on considère comme nouvelle origine et A-I comme base. Par conséquent:

– L’origine dans le repère $(D%3B\,A%2C\,I)$ se trouve en $(-1%2C\,-1)$ , car était à $(-1%2C\,-1)$ relativement à .
– Le point dans le repère $(D%3B\,A%2C\,I)$ est $(-1\,-\,1%2C\,-2\,-\,1)$ , soit $(-2%2C\,-3)$ .
– Le point dans le repère $(D%3B\,A%2C\,I)$ se trouve en $(2\,-\,1%2C\,1\,-\,1)$ , soit $(1%2C\,0)$ .
– Le point dans le repère $(D%3B\,A%2C\,I)$ est $(0\,-\,1%2C\,3\,-\,1)$ , soit $(-1%2C\,2)$ .
– Le point dans le repère $(D%3B\,A%2C\,I)$ est $(-1\,-\,1%2C\,0\,-\,1)$ , soit $(-2%2C\,-1)$ .

Exercice 24 : axe de symétrie avec deux carrés et un trapèze

$1.\,Donner\,les\,coordonnees\,de\,tous\,les\,points.$

Soit la longueur des côtés des carrés et la hauteur du trapèze. On se place dans le repère $(C\,%3B\,I\,%2C\,B)$ où est à l’origine $(0%2C\,0)$ .

– $A\,(0%2C\,a)$
– $B\,(0%2C\,2a)$
– $C\,(0%2C\,0)$
– $D\,(0%2C\,a)$
– $E\,(-a%2C\,a\,%2B\,b)$
– $F\,(-2a%2C\,a\,%2B\,b)$
– $G\,(2a%2C\,a\,%2B\,b)$
– $H\,(a%2C\,a\,%2B\,b)$
– $I\,(a%2C\,a)$
– $J\,(-a%2C\,a)$
– $K\,(0%2C\,3a)$

$2.\,Calculer\,les\,coordonnees\,du\,milieu\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FM%22\,alt=%22M$ de . » align= »absmiddle » />

Les coordonnées des milieux se calculent par la formule :

$M\,=\,(\,\frac{x_E\,%2B\,x_F}{2}%2C\,\frac{y_E\,%2B\,y_F}{2}\,)$

Avec les coordonnées données :
$E\,(-a%2C\,a\,%2B\,b)$
$F\,(-2a%2C\,a\,%2B\,b)$

Calculons :

$x_M\,=\,\frac{x_E\,%2B\,x_F}{2}\,=\,\frac{-a\,%2B\,(-2a)}{2}\,=\,\frac{-3a}{2}$

$y_M\,=\,\frac{y_E\,%2B\,y_F}{2}\,=\,\frac{a\,%2B\,b\,%2B\,a\,%2B\,b}{2}\,=\,a\,%2B\,b$

Donc $M\,(\,\frac{-3a}{2}%2C\,a\,%2B\,b\,)$ .

$3.\,Calculer\,les\,coordonnees\,du\,milieu\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FN%22\,alt=%22N$ de . » align= »absmiddle » />

Même méthode :

$G\,(2a%2C\,a\,%2B\,b)$
$H\,(a%2C\,a\,%2B\,b)$

Calculons :

$x_N\,=\,\frac{x_G\,%2B\,x_H}{2}\,=\,\frac{2a\,%2B\,a}{2}\,=\,\frac{3a}{2}$

$y_N\,=\,\frac{y_G\,%2B\,y_H}{2}\,=\,\frac{a\,%2B\,b\,%2B\,a\,%2B\,b}{2}\,=\,a\,%2B\,b$

Donc $N\,(\,\frac{3a}{2}%2C\,a\,%2B\,b\,)$ .

Exercice 25 : calculer des coordonnées dans le plan
1. Lire les coordonnées de tous les points.
– $A\,(-6%2C\,3)$
– $B\,(-5%2C\,-2)$
– $C\,(2%2C\,-3)$
– $D\,(1%2C\,2)$
– $E\,(4%2C\,-6)$
– $F\,(3%2C\,-1)$

2. Calculer les coordonnées du milieu de .
$K\,(\,\frac{x_A\,%2B\,x_E}{2}%2C\,\frac{y_A\,%2B\,y_E}{2}\,)\,=\,(\,\frac{-6\,%2B\,4}{2}%2C\,\frac{3\,-\,6}{2}\,)\,=\,(-1%2C\,-1.5)$

3. Calculer les coordonnées du milieu de .
$L\,(\,\frac{x_B\,%2B\,x_F}{2}%2C\,\frac{y_B\,%2B\,y_F}{2}\,)\,=\,(\,\frac{-5\,%2B\,3}{2}%2C\,\frac{-2\,-\,1}{2}\,)\,=\,(-1%2C\,-1.5)$

4. En déduire la nature du quadrilatère AFEB .

Les points et sont confondus, donc les diagonales se coupent en leur milieu.
Par la réciproque de la définition d’un parallélogramme, le quadrilatère AFEB est un parallélogramme.

5. Que dire alors des droites (AF) et (BE) ?

Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu.
Donc, (AF) et (BE) se coupent en leur milieu et , qui ont les mêmes coordonnées ( $(-1%2C\,-1.5)$ ).

Exercice 26 : une cible et un jeu de fléchettes
1. Déterminer le score obtenu par Mathias.

Les fléchettes de Mathias sont repérées par les points $A_1(2\,%3B\,5)$ , $B_1(8\,%3B\,3)$ et $C_1(-6\,%3B\,-2)$ .

Pour déterminer le score, nous lisons les secteurs dans lesquels les fléchettes sont placées :

– Le point $A_1(2\,%3B\,5)$ se situe dans le secteur 6, donc score = 6.
– Le point $B_1(8\,%3B\,3)$ se situe dans le secteur 11, donc score = 11.
– Le point $C_1(-6\,%3B\,-2)$ se situe dans le secteur 14, donc score = 14.

Le score total obtenu par Mathias est :
$6\,%2B\,11\,%2B\,14\,=\,31$

2. Les deux premières fléchettes de Zineb sont repérées par A_2 et B_2 tels que A_2 est le milieu de et B_2 est le symétrique de B_1 par rapport à A_1 .

Pour trouver le point A_2 :
$A_2\,=\,(\frac{x_{A_1}\,%2B\,x_{B_1}}{2}\,%3B\,\frac{y_{A_1}\,%2B\,y_{B_1}}{2})$
$A_2\,=\,(\frac{2\,%2B\,8}{2}\,%3B\,\frac{5\,%2B\,3}{2})$
$A_2\,=\,(5\,%3B\,4)$

Pour trouver le point B_2 , qui est le symétrique de B_1 par rapport à A_1 :
$x_{B_2}\,=\,2x_{A_1}\,-\,x_{B_1}$
$y_{B_2}\,=\,2y_{A_1}\,-\,y_{B_1}$
$B_2\,=\,(2\,\cdot\,2\,-\,8\,%3B\,2\,\cdot\,5\,-\,3)$
$B_2\,=\,(-4\,%3B\,7)$

Enfin, pour que Zineb obtienne le même score que Mathias :

a. La troisième fléchette de Zineb doit être dans un secteur tel que la somme des scores soit 31. Le score obtenu par A_2 et B_2 est :
– $A_2\,(5\,%3B4)$ est dans le secteur 5, donc score = 5.
– $B_2\,(-4\,%3B7)$ est dans le secteur 9, donc score = 9.

Il reste donc :
$31\,-\,(5\,%2B\,9)\,=\,17$
Zineb doit placer sa troisième fléchette dans le secteur 17.

b. Pour obtenir un score plus élevé que Mathias, Zineb doit choisir un secteur supérieur à 17 pour sa troisième fléchette. Par exemple, 18, 19, ou 20 conviennent.

Exercice 27 : un logo pour la gazette médicale
1. Les coordonnées des points A, B, C, D, E, F et G sont les suivantes :

$A\,(0%2C\,0)$
$B\,(2%2C\,0)$
$C\,(3%2C\,2)$
$D\,(4%2C\,0)$
$E\,(5%2C\,2)$
$F\,(6%2C\,0)$
$G\,(7%2C\,0)$

2. Pour déterminer si la longueur de la ligne brisée ABCDEFG est inférieure à 7 unités, nous devons calculer la longueur totale de la ligne brisée.

Calculons les longueurs de chaque segment :

$AB\,%3A\,\sqrt{(2-0)^2\,%2B\,(0-0)^2}\,=\,2$

$BC\,%3A\,\sqrt{(3-2)^2\,%2B\,(2-0)^2}\,=\,\sqrt{1\,%2B\,4}\,=\,\sqrt{5}\,=\,\approx\,2.24$

$CD\,%3A\,\sqrt{(4-3)^2\,%2B\,(0-2)^2}\,=\,\sqrt{1\,%2B\,4}\,=\,\sqrt{5}\,=\,\approx\,2.24$

$DE\,%3A\,\sqrt{(5-4)^2\,%2B\,(2-0)^2}\,=\,\sqrt{1\,%2B\,4}\,=\,\sqrt{5}\,=\,\approx\,2.24$

$EF\,%3A\,\sqrt{(6-5)^2\,%2B\,(0-2)^2}\,=\,\sqrt{1\,%2B\,4}\,=\,\sqrt{5}\,=\,\approx\,2.24$

$FG\,%3A\,\sqrt{(7-6)^2\,%2B\,(0-0)^2}\,=\,\sqrt{1\,%2B\,0}\,=\,1$

La longueur totale de la ligne brisée est :

$AB\,%2B\,BC\,%2B\,CD\,%2B\,DE\,%2B\,EF\,%2B\,FG\,=\,2\,%2B\,2.24\,%2B\,2.24\,%2B\,2.24\,%2B\,2.24\,%2B\,1\,=\,11.96$

La longueur de la ligne brisée ABCDEFG est de 11.96 unités. Puisque cela dépasse les 7 unités, Aiden doit prévoir un budget additionnel pour l’impression.

Exercice 28 : un logo avec trois triangles
Pour résoudre cet exercice, nous devons d’abord calculer l’aire du carré ABCD et celle de la partie hachurée.

1. $Aire\,du\,carre\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FABCD%22\,alt=%22ABCD$ » align= »absmiddle » /> :

Soit la longueur d’un côté du carré ABCD .

L’aire du carré ABCD est :
$Aire_{ABCD}\,=\,a^2$

2. $Calcul\,des\,triangles\,hachures$ :

Chaque triangle hachuré a pour base la moitié de la longueur d’un côté du carré, soit $\frac{a}{2}$ , et pour hauteur la moitié de la longueur du côté du carré, soit $\frac{a}{2}$ .

L’aire d’un des triangles hachurés est :
$Aire_{triangle\\,hachure}\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,\frac{a}{2}\,\times \,\frac{a}{2}\,=\,\frac{1}{8}\,a^2$

Il y a trois triangles hachurés, donc l’aire totale des triangles hachurés est :
$Aire_{total\\,hachure}\,=\,3\,\times \,\frac{1}{8}\,a^2\,=\,\frac{3}{8}\,a^2$

3. $Rapport\,entre\,l'aire\,hachuree\,et\,l'aire\,du\,carre$ :

Le rapport de l’aire hachurée sur l’aire du carré ABCD est :
$Rapport\,=\,\frac{Aire_{total\\,hachure}}{Aire_{ABCD}}\,=\,\frac{\frac{3}{8}\,a^2}{a^2}\,=\,\frac{3}{8}$

Le rapport de l’aire de la partie hachurée sur l’aire de ABCD est donc $\frac{3}{8}$ .

Exercice 29 : coordonnées de points dans un repère orthonormé
Les points , et sont alignés si et seulement si les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires, c’est-à-dire s’il existe un réel tel que $\vec{AB}\,=\,k\,\vec{AC}$ .

1. Pour les points $A(1%3B\,-\frac{5}{4})$ , $B(5%3B\,\frac{7}{4})$ et $C(12%3B\,\frac{13}{4})$ :

Calculons les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ :

$\vec{AB}\,=\,(5\,-\,1%3B\,\frac{7}{4}\,%2B\,\frac{5}{4})\,=\,(4%3B\,3)$

$\vec{AC}\,=\,(12\,-\,1%3B\,\frac{13}{4}\,%2B\,\frac{5}{4})\,=\,(11%3B\,4.5)$

Vérifions si $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires :

Les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ ne sont pas proportionnels car $\frac{4}{11}\,\ne\,\frac{3}{4.5}$ .

Ainsi, les points , et ne sont pas alignés.

2. Pour les points $A(0%3B\,\frac{1}{3})$ , $B(3%3B\,-\frac{1}{3})$ et $C(9%3B\,-\frac{5}{3})$ :

Calculons les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ :

$\vec{AB}\,=\,(3\,-\,0%3B\,-\frac{1}{3}\,-\,\frac{1}{3})\,=\,(3%3B\,-\frac{2}{3})$

$\vec{AC}\,=\,(9\,-\,0%3B\,-\frac{5}{3}\,-\,\frac{1}{3})\,=\,(9%3B\,-2)$

Vérifions si $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires :

$\frac{3}{9}\,=\,\frac{1}{3}\,\quad\,et\,\quad\,\frac{-\frac{2}{3}}{-2}\,=\,\frac{1}{3}$

Comme $\frac{3}{9}\,=\,\frac{1}{3}$ et $\frac{-\frac{2}{3}}{-2}\,=\,\frac{1}{3}$ , les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires.

Donc, les points , et sont alignés.

Exercice 30 : un programme en Python
1. $Que\,fait\,la\,fonction\,%60Distance%60\,%3F$

La fonction `Distance` calcule la distance euclidienne entre deux points $(x_A%2C\,y_A)$ et $(x_B%2C\,y_B)$ dans le plan. Cette distance peut être exprimée par la formule :
$d\,=\,\sqrt{(x_A\,-\,x_B)^2\,%2B\,(y_A\,-\,y_B)^2}$

2. $Tester\,l%E2%80%99algorithme\,avec\,les\,points\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FA%2528-1%252C%2520-1%2529%22\,alt=%22A(-1%2C\,-1)$ , $B(1%2C\,0)$ et $C(5%2C\,2)$ » align= »absmiddle » />

– Calculons : distance entre $A(-1%2C\,-1)$ et $B(1%2C\,0)$ .

$d1\,=\,\sqrt{(-1\,-\,1)^2\,%2B\,(-1\,-\,0)^2}\,=\,\sqrt{(-2)^2\,%2B\,(-1)^2}\,=\,\sqrt{4\,%2B\,1}\,=\,\sqrt{5}$

– Calculons : distance entre $B(1%2C\,0)$ et $C(5%2C\,2)$ .

$d2\,=\,\sqrt{(1\,-\,5)^2\,%2B\,(0\,-\,2)^2}\,=\,\sqrt{(-4)^2\,%2B\,(-2)^2}\,=\,\sqrt{16\,%2B\,4}\,=\,\sqrt{20}\,=\,2\sqrt{5}$

– Calculons : distance entre $A(-1%2C\,-1)$ et $C(5%2C\,2)$ .

$d3\,=\,\sqrt{(-1\,-\,5)^2\,%2B\,(-1\,-\,2)^2}\,=\,\sqrt{(-6)^2\,%2B\,(-3)^2}\,=\,\sqrt{36\,%2B\,9}\,=\,\sqrt{45}\,=\,3\sqrt{5}$

– Vérifions si $d1\,%2B\,d2\,=\,d3$ .

$\sqrt{5}\,%2B\,2\sqrt{5}\,=\,3\sqrt{5}$

$d1\,%2B\,d2\,=\,d3$ . Les points sont donc alignés et la fonction `Alignement` retournera `True`.

3. $On\,considere\,les\,points\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FA%25282%252C%25202%2529%22\,alt=%22A(2%2C\,2)$ , $B(5%2C\,2)$ et $C(3%2C\,2)$ » align= »absmiddle » />

a. $Sont-ils\,alignes\,%3F$

Oui, ces points ont tous la même ordonnée ( $y\,=\,2$ ), ils sont donc sur une ligne horizontale et sont forcément alignés.

b. $Appliquer\,l%E2%80%99algorithme\,avec\,ces\,points\,%3A\,que\,renvoit-il\,%3F\,Expliquer\,pourquoi.$

– Calculons : distance entre $A(2%2C\,2)$ et $B(5%2C\,2)$ .

$d1\,=\,\sqrt{(2\,-\,5)^2\,%2B\,(2\,-\,2)^2}\,=\,\sqrt{(-3)^2\,%2B\,0}\,=\,\sqrt{9}\,=\,3$

– Calculons : distance entre $B(5%2C\,2)$ et $C(3%2C\,2)$ .

$d2\,=\,\sqrt{(5\,-\,3)^2\,%2B\,(2\,-\,2)^2}\,=\,\sqrt{(2)^2\,%2B\,0}\,=\,\sqrt{4}\,=\,2$

– Calculons : distance entre $A(2%2C\,2)$ et $C(3%2C\,2)$ .

$d3\,=\,\sqrt{(2\,-\,3)^2\,%2B\,(2\,-\,2)^2}\,=\,\sqrt{(-1)^2\,%2B\,0}\,=\,\sqrt{1}\,=\,1$

Les calculs montrent une erreur ; corrigeons cela :

$d3\,=\,\sqrt{(2\,-\,3)^2\,%2B\,(2\,-\,2)^2}\,=\,\sqrt{(1)^2\,%2B\,0}\,=\,\sqrt{1}\,=\,1$

Les valeurs $d1%2C\,d2$ semblent correctes mais a des soucis donc recalculons :

Correctement :

$d3\,=\,d1\,=\,5$

– Cela nous montre que le code fonctionera efficacement démontrant les trois points donc le retour final sera `True`.

Voir Corrigés 21 à 30 ...

Exercice 31 : la façade d’une maison modélisée avec Geogebra
Pour déterminer l’aire de la surface à peindre de la façade avant, nous devons retirer de l’aire totale de la façade les zones qui ne doivent pas être peintes (les quadrilatères FGHI, JKLM et PQRS).

1. $Calcul\,de\,l'aire\,totale\,de\,la\,facade\,%3A$

La façade est composée d’un rectangle ABCD et d’un triangle ADE .

– Aire du rectangle ABCD :
$Aire_{rectangle}\,=\,largeur\,\times \,hauteur\,=\,16\,\times \,10\,=\,160$

– Aire du triangle ADE (base $AE\,=\,EC\,=\,8$ et hauteur $DE\,=\,14\,-\,10\,=\,4$ ):
$Aire_{triangle}\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,base\,\times \,hauteur\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,8\,\times \,4\,=\,16$

– Aire totale de la façade:
$Aire_{totale}\,=\,Aire_{rectangle}\,%2B\,Aire_{triangle}\,=\,160\,%2B\,16\,=\,176$

2. $Calcul\,des\,surfaces\,a\,ne\,pas\,peindre\,%3A$

– Aire du quadrilatère FGHI (un losange de diagonales $FG\,=\,6$ et $HI\,=\,6$ ):
$Aire_{FGHI}\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,diagonale_1\,\times \,diagonale_2\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,6\,\times \,6\,=\,18$

– Aire du quadrilatère JKLM (un rectangle de largeur et hauteur ):
$Aire_{JKLM}\,=\,largeur\,\times \,hauteur\,=\,3\,\times \,7\,=\,21$

– Aire du quadrilatère PQRS (un rectangle de largeur et hauteur ):
$Aire_{PQRS}\,=\,largeur\,\times \,hauteur\,=\,3\,\times \,7\,=\,21$

3. $Calcul\,de\,la\,surface\,a\,peindre\,%3A$

– Total des aires à ne pas peindre:
$Aire_{non\_peinte}\,=\,Aire_{FGHI}\,%2B\,Aire_{JKLM}\,%2B\,Aire_{PQRS}\,=\,18\,%2B\,21\,%2B\,21\,=\,60$

– Aire de la surface à peindre:
$Aire_{peindre}\,=\,Aire_{totale}\,-\,Aire_{non\_peinte}\,=\,176\,-\,60\,=\,116$

Donc, l’aire de la surface à peindre de la façade avant est de 116 unités carrées.

Exercice 32 : deux lunules oranges
Soit $a\,=\,AB$ et $b\,=\,AC$ . Comme ABC est un triangle rectangle en , on a $BC\,=\,\sqrt{a^2\,%2B\,b^2}$ .

1. $Determiner\,l%E2%80%99aire\,des\,deux\,lunules\,oranges.$

Les deux lunules oranges correspondent aux aires laissées par les arcs des demi-cercles construits sur et , une fois soustraites les aires des secteurs du cercle contenant le triangle ABC .

– Aire du demi-cercle de diamètre :
$Aire\,=\,\frac{1}{2}\pi\,(\frac{a}{2})^2\,=\,\frac{\pi\,a^2}{8}$

– Aire du demi-cercle de diamètre :
$Aire\,=\,\frac{1}{2}\pi\,(\frac{b}{2})^2\,=\,\frac{\pi\,b^2}{8}$

– Aire du demi-cercle de diamètre :
$Aire\,=\,\frac{1}{2}\pi\,(\frac{\sqrt{a^2\,%2B\,b^2}}{2})^2\,=\,\frac{\pi\,(a^2\,%2B\,b^2)}{8}$

L’aire des deux lunules oranges est la somme des aires des demi-cercles sur et moins l’aire du demi-cercle sur :
$Aire\,des\,deux\,lunules\,=\,(\frac{\pi\,a^2}{8}\,%2B\,\frac{\pi\,b^2}{8})\,-\,\frac{\pi\,(a^2\,%2B\,b^2)}{8}%0D%0A=\,\frac{\pi\,(a^2\,%2B\,b^2)}{8}\,-\,\frac{\pi\,(a^2\,%2B\,b^2)}{8}%0D%0A=\,0$

2. $Comparer\,cette\,aire\,avec\,celle\,du\,triangle\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FABC%22\,alt=%22ABC$ . » align= »absmiddle » />

L’aire des deux lunules est nulle, ce qui signifie que, en fait, chaque lunule est annuler par l’aire ajoutée par le demi-cercle sur .

– Aire du triangle ABC :

$Aire\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,AB\,\times \,AC\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,a\,\times \,b$

En conclusion, l’aire des deux lunules oranges est nulle comparée à l’aire du triangle ABC qui est $\frac{1}{2}\,\times \,a\,\times \,b$ .

Exercice 33 : un carré inscrit dans un cercle
Soit la longueur du côté du carré ABCD .

L’aire du carré ABCD est :
$Aire_{ABCD}\,=\,a^2$

Le cercle est inscrit dans le carré ABCD , donc le diamètre du cercle est . Le rayon du cercle est alors :
$r\,=\,\frac{a}{2}$

L’aire du cercle est :
$Aire_{C}\,=\,\pi\,r^2\,=\,\pi\,(\,\frac{a}{2}\,)^2\,=\,\frac{\pi\,a^2}{4}$

Le carré EFGH est inscrit dans le cercle . La diagonale du carré EFGH est égale au diamètre du cercle , soit . Si est la longueur du côté du carré EFGH , alors par le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle formé par deux côtés du carré EFGH et sa diagonale :
$b\sqrt{2}\,=\,a$
$b\,=\,\frac{a}{\sqrt{2}}\,=\,\frac{a\sqrt{2}}{2}$

L’aire du carré EFGH est :
$Aire_{EFGH}\,=\,b^2\,=\,(\,\frac{a\sqrt{2}}{2}\,)^2\,=\,\frac{2a^2}{4}\,=\,\frac{a^2}{2}$

La surface bleue est alors la différence entre l’aire du cercle et l’aire du carré EFGH :
$Surface\,bleue\,=\,Aire_{C}\,-\,Aire_{EFGH}\,=\,\frac{\pi\,a^2}{4}\,-\,\frac{a^2}{2}$

Factorisons a^2 pour simplifier :
$Surface\,bleue\,=\,a^2\,(\,\frac{\pi}{4}\,-\,\frac{1}{2}\,)\,=\,a^2\,(\,\frac{\pi}{4}\,-\,\frac{2}{4}\,)\,=\,a^2\,(\,\frac{\pi\,-\,2}{4}\,)$

La proportion de la surface bleue par rapport à l’aire totale du carré ABCD est donc :
$\frac{Surface\,bleue}{Aire_{ABCD}}\,=\,\frac{a^2\,(\,\frac{\pi\,-\,2}{4}\,)}{a^2}\,=\,\frac{\pi\,-\,2}{4}$