La soustraction et les durées en 6ème : corrigé détaillé des exercices 1 à 10

On pose la soustraction en alignant les virgules et on complète par des zéros pour avoir le même nombre de décimales.

• a. \( 16{,}26 – 4{,}35 = 11{,}91 \) (on emprunte une dizaine au rang des dixièmes : 12 − 3 = 9).
• b. \( 182{,}40 – 25{,}63 = 156{,}77 \) (on écrit 182,4 = 182,40).
• c. \( 28{,}53 – 19{,}60 = 8{,}93 \)
• d. \( 214{,}53 – 23{,}82 = 190{,}71 \)

Vérification par l’addition : \( 11{,}91 + 4{,}35 = 16{,}26 \), \( 156{,}77 + 25{,}63 = 182{,}4 \), \( 8{,}93 + 19{,}6 = 28{,}53 \), \( 190{,}71 + 23{,}82 = 214{,}53 \).

On remplace chaque terme par un nombre « rond » proche, facile à calculer de tête.

• a. \( 52{,}758 \approx 50 \) et \( 46{,}7 \approx 50 \), donc \( 52{,}758 + 46{,}7 \approx 100 \) (valeur exacte : 99,458).
• b. \( 97{,}3674 \approx 100 \) et \( 4{,}692 \approx 5 \), donc la somme vaut environ \( 105 \) (valeur exacte : 102,059 4).
• c. \( 10{,}397 \approx 10 \) et \( 4{,}7549 \approx 5 \), donc la différence vaut environ \( 5 \) (valeur exacte : 5,642 1).
• d. \( 49{,}0214 \approx 49 \) et \( 0{,}0039 \approx 0 \), donc la différence vaut environ \( 49 \) (valeur exacte : 49,017 5).

On arrondit chaque terme au millier (ou à la centaine) le plus proche, puis on choisit la proposition la plus proche.

Contrôle avec les valeurs exactes : 6 063 ; 62 024 ; 3 075 ; 11 057 ; 20 595 ; 8 703 ; 5 372 ; 45 784 ; 6 065 ; 98 256.

a. Somme 78,92 et un terme 29,6 : le terme manquant est une différence.

\[ 78{,}92 – 29{,}6 = 49{,}32 \quad \text{(vérification : } 29{,}6 + 49{,}32 = 78{,}92) \]

b. Différence 43,7 et un des nombres 5,68. Comme 5,68 est plus petit que 43,7, c’est forcément le nombre que l’on soustrait : le second est le plus grand.

\[ 43{,}7 + 5{,}68 = 49{,}38 \quad \text{(vérification : } 49{,}38 – 5{,}68 = 43{,}7) \]

c. Différence 68,72 et un des nombres 70,35. Deux cas sont possibles :

• si 70,35 est le plus grand : \( 70{,}35 – 68{,}72 = 1{,}63 \) ;
• si 70,35 est le plus petit : \( 70{,}35 + 68{,}72 = 139{,}07 \).

On calcule séparément les heures et les minutes, puis on convertit : 60 min = 1 h.

Additions

• a) 2 h 22 min + 3 h 15 min = 5 h 37 min
• b) 7 h 28 min + 4 h 27 min = 11 h 55 min
• c) 5 h 34 min + 6 h 26 min = 11 h 60 min = 12 h
• d) 9 h 48 min + 4 h 39 min = 13 h 87 min = 13 h + 1 h 27 min = 14 h 27 min

Soustractions (si les minutes ne suffisent pas, on transforme 1 h en 60 min)

• a) 3 h 39 min − 2 h 15 min = 1 h 24 min
• b) 13 h 42 min − 4 h 17 min = 9 h 25 min
• c) 5 h 34 min − 3 h 35 min : 34 \( \lt \) 35, on écrit 5 h 34 min = 4 h 94 min ; 4 h 94 min − 3 h 35 min = 1 h 59 min
• d) 11 h 28 min − 4 h 39 min : 11 h 28 min = 10 h 88 min ; 10 h 88 min − 4 h 39 min = 6 h 49 min

1. \( 1{,}6 \times 87{,}30 = 139{,}68 \). Anatole a payé 139,68 €.

2. On convertit tout en kg : 600 g = 0,6 kg et 250 g = 0,25 kg.

\[ 1{,}2 + 0{,}6 + 0{,}25 + 1{,}3 = 3{,}35 \]

Le panier pèse 3,35 kg.

3. 150 m = 0,15 km. \( 1{,}4 + 0{,}15 + 10{,}5 = 12{,}05 \). Caroline parcourt 12,05 km.

4. 1 min = 60 s : \( 300\,000 \times 60 = 18\,000\,000 \). La lumière parcourt 18 000 000 km en une minute.

5. \( 30 \times 80 \times 10 = 24\,000 \) g, soit 24 kg. Il faut prévoir 24 pots de 1 kg.

6. Pour 500 km, on consomme 5 fois la consommation pour 100 km.

\[ \begin{aligned} \text{Essence : } & 9{,}5 \times 5 = 47{,}5 \text{ L} \quad ; \quad 47{,}5 \times 1{,}33 = 63{,}175 \text{ €, arrondi à } 63{,}18 \text{ €} \\ \text{Diesel : } & 6{,}5 \times 5 = 32{,}5 \text{ L} \quad ; \quad 32{,}5 \times 1{,}1 = 35{,}75 \text{ €} \\ \text{Économie : } & 63{,}18 – 35{,}75 = 27{,}43 \text{ €} \end{aligned} \]

Pour trouver un terme manquant, on utilise l’opération inverse.

• \( 127 + \ldots = 419 \) : \( 419 – 127 = \mathbf{292} \)
• \( 418 – \ldots = 320 \) : \( 418 – 320 = \mathbf{98} \)
• \( \ldots \times 14 = 0{,}014 \) : \( 0{,}014 \div 14 = \mathbf{0{,}001} \)
• \( \ldots + 13{,}5 = 97{,}5 \) : \( 97{,}5 – 13{,}5 = \mathbf{84} \)
• \( \ldots + 4\,193 = 7\,002 \) : \( 7\,002 – 4\,193 = \mathbf{2\,809} \)
• \( \ldots – 4\,193 = 7\,002 \) : \( 7\,002 + 4\,193 = \mathbf{11\,195} \)

1. Diviser par 10, 100, 1 000, c’est déplacer la virgule de 1, 2, 3 rangs vers la gauche.

• a. 70 : 10 = 7
• b. 12 000 : 1 000 = 12
• c. 12 400 : 100 = 124
• d. 13 957,82 : 1 000 = 13,957 82

2. Divisions euclidiennes (le reste doit être plus petit que le diviseur) :

• a. \( 149 = 8 \times 18 + 5 \) : quotient 18, reste 5
• b. \( 3\,764 = 9 \times 418 + 2 \) : quotient 418, reste 2
• c. \( 1\,057 = 3 \times 352 + 1 \) : quotient 352, reste 1
• d. \( 12\,455 = 265 \times 47 + 0 \) : quotient 47, reste 0
• e. \( 78\,456 = 49 \times 1\,601 + 7 \) : quotient 1 601, reste 7

3. Division euclidienne de 85 par 6 : \( 85 = 6 \times 14 + 1 \).

Le prix unitaire s’obtient en divisant le total par la quantité ; la quantité de chaussettes en divisant 195 par 3.

• Casquette : \( 60 \div 5 = 12 \) €
• Chaussure : \( 301 \div 7 = 43 \) €
• Polo : \( 252 \div 9 = 28 \) €
• Chaussettes : \( 195 \div 3 = 65 \) paires
• Survêtement : \( 808 – (60 + 301 + 252 + 195) = 808 – 808 = 0 \) €

Avec les nombres de l’énoncé, les quatre autres lignes font déjà 808 € : le survêtement est donc offert (0 €). Le calcul est juste, c’est l’énoncé qui aboutit à ce cas particulier.

\[ 10 \times 1{,}5787 = 15{,}787 \]

Multiplier par 10 décale la virgule d’un rang vers la droite. Pour arrondir au centime (2 chiffres après la virgule), on regarde le chiffre des millièmes : 7 est supérieur ou égal à 5, on arrondit donc les centièmes au-dessus : 15,787 ≈ 15,79.