Corrigé des 23 exercices sur les polygones et constructions en 6ème à télécharger en PDF

Dans un triangle, le côté opposé à un sommet est le côté qui ne passe pas par ce sommet ; le sommet opposé à un côté est le sommet qui n’est pas sur ce côté.

• a. Dans le triangle GFH, [GH] est le côté opposé au sommet F.
• b. Dans le triangle DHE, D est le sommet opposé au côté [EH].
• c. Ensuite, dans le triangle FEH, [FE] est le côté opposé au sommet H.
• d. Dans le triangle GDE (ou DGE, EDG…), E est le sommet opposé au côté [GD].

a. De même, le quadrilatère VERT est partagé par la diagonale [ET] en deux triangles dont on connaît les trois côtés.

1. Tracer [VE] de 2,5 cm.
2. Arc de centre V et de rayon 3,5 cm, arc de centre E et de rayon 4,2 cm : ils se coupent en T.
3. Du côté opposé à V par rapport à (ET) : arc de centre E de rayon 4 cm et arc de centre T de rayon 3 cm : ils se coupent en R.
4. Tracer [ER], [RT] et [VT].

b. Également, on lit le codage : RE = OG = 5,3 cm (trois traits), EG = OU = 6,2 cm (un trait), RG = GU = 7 cm (deux traits). Ensuite, les triangles REG et OGU ont donc les mêmes longueurs de côtés. Par ailleurs, on considère, comme sur le croquis, que E, G et U sont alignés.

Exercice 2 : Reproduire les figures (corrigé polygones 6ème) (suite)

1. Tracer une droite, y placer E, G et U avec EG = 6,2 cm et GU = 7 cm.
2. R : arc de centre E de rayon 5,3 cm et arc de centre G de rayon 7 cm.
3. O : arc de centre G de rayon 5,3 cm et arc de centre U de rayon 6,2 cm (du même côté que R).
4. Ensuite, Tracer [RE], [RG], [RO], [OG], [OU].

Méthode pour chaque triangle : on trace un côté, puis deux arcs de cercle dont les rayons sont les deux autres longueurs ; leur intersection est le troisième sommet. Puis on laisse les arcs visibles.

• ABC : [AB] = 3,5 cm ; arc de centre A de rayon 3 cm ; arc de centre B de rayon 4 cm → C.
• DEF : [DE] = 4,2 cm ; arc de centre D de rayon 4,8 cm ; arc de centre E de rayon 4 cm → F.
• Ensuite, HIG : [HI] = 3,7 cm ; arc de centre H de rayon 6,5 cm ; arc de centre I de rayon 5 cm → G.

Les constructions sont possibles car, pour chaque triangle, le plus grand côté est inférieur à la somme des deux autres (par exemple \( 6{,}5 \lt 3{,}7 + 5 = 8{,}7 \)).

a. Le codage donne SU = UT = ST = TW = 4,5 cm (un trait) et UV = VT = 3,8 cm (deux traits).

1. Tracer [SW] de 9 cm et placer T au milieu (ST = TW = 4,5 cm).
2. Ensuite, Construire le triangle équilatéral SUT : arcs de rayon 4,5 cm centrés en S et en T.
3. Construire V : arcs de rayon 3,8 cm centrés en U et en T, du côté de W ; UVT est isocèle en V.
4. Tracer [UV], [VT] et [VW].

b.

1. Tracer [ED] de 5 cm, puis la perpendiculaire à (ED) en E et placer A tel que EA = 2 cm : ADE est rectangle en E.
2. Ainsi, BDE équilatéral : arcs de rayon 5 cm centrés en E et en D → B.
3. C : sur le croquis, (EC) est perpendiculaire à (BD). Dans le triangle équilatéral BDE, cette droite partage l’angle de 60° en E en deux angles de 30° : on trace la demi-droite d’origine E faisant un angle de 30° avec [ED].
4. CDE isocèle en D : DC = DE = 5 cm. Ensuite, Arc de centre D de rayon 5 cm, il coupe la demi-droite en C.

On compte les carreaux pour comparer les côtés et on vérifie les angles droits.

• ABCD est un carré : chaque côté se lit « 3 carreaux dans un sens, 1 dans l’autre », les quatre côtés sont égaux et les angles sont droits.
• EFGH est un parallélogramme : [EH] et [FG] sont horizontaux, de même longueur (5 carreaux), mais [EF] est plus court et les angles ne sont pas droits.
• Donc, IJKL est un losange : ses diagonales [IK] (verticale) et [JL] (horizontale) sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu, et elles n’ont pas la même longueur.
• MNOP est un rectangle : quatre angles droits, côtés [MN] et [NO] de longueurs différentes.
• QRST est un parallélogramme : côtés opposés parallèles et de même longueur, mais ni angle droit ni quatre côtés égaux.

De même, on lit sur le croquis : ABC est rectangle en B, AB = 6 cm, BC = 8 cm, AC = 10 cm ; I, J, K sont les milieux de [AB], [BC] et [AC].

1. Tracer [BC] de 8 cm, puis la perpendiculaire à (BC) en B et placer A avec BA = 6 cm. Vérifier : AC mesure bien 10 cm.
2. Placer les milieux : BI = 3 cm, BJ = 4 cm, AK = 5 cm.
3. Tracer le demi-cercle de centre I et de rayon 3 cm, à l’extérieur du triangle.
4. Par conséquent, Tracer le demi-cercle de centre J et de rayon 4 cm, à l’extérieur du triangle.
5. Tracer le demi-cercle de centre K et de rayon 5 cm, du côté de B : il passe par B.
6. Colorier les deux croissants compris entre les petits demi-cercles et le grand : ce sont les lunules.

a. Nature

• ABCD est un losange : ses quatre côtés sont codés de même longueur (3 cm).
• EFGH est un rectangle : il a quatre angles droits (EH = 5 cm, HG = 3 cm).
• JKLM est un carré : quatre angles droits et quatre côtés égaux (7 cm).
• PQRS est un rectangle : quatre angles droits (SR = 4 cm, diagonale SQ = 7 cm).

b. Ainsi, Constructions

• ABCD : tracer la diagonale [DB] de 4,5 cm, puis A et C avec des arcs de rayon 3 cm centrés en D et en B, de part et d’autre.
• EFGH : [HG] = 3 cm, perpendiculaires en H et en G, EH = GF = 5 cm.
• JKLM : [ML] = 7 cm, perpendiculaires en M et en L, MJ = LK = 7 cm.
• PQRS : [SR] = 4 cm, perpendiculaire à (SR) en R, arc de centre S et de rayon 7 cm qui la coupe en Q, puis P avec un angle droit en S et en Q. On obtient \( RQ \approx 5{,}7 \) cm.

a. On trace un triangle ABC quelconque.

b. À l’équerre et à la règle (en faisant glisser l’équerre le long de la règle) :

• Donc, (d) passe par A et est parallèle à (BC) ;
• (d′) passe par B et est parallèle à (AC) ; elle coupe (d) en E ;
• (d″) passe par C et est parallèle à (AB) ; elle coupe (d) en F et (d′) en G.

c. On trace (EC), (BF) et (AG).

Remarque : les trois droites (EC), (BF) et (AG) se coupent en un même point : on dit qu’elles sont concourantes. Ensuite, on remarque aussi que A, B et C sont les milieux des côtés du grand triangle EFG, et que chacune des trois droites passe par le milieu d’un côté du triangle ABC.

• a. \( (AC) \perp (BC) \) : l’angle en C est droit. Également, ABC est un triangle rectangle en C.
• b. MN = NP : MNP est isocèle en N ; \( (MN) \perp (NP) \) : l’angle en N est droit. MNP est un triangle rectangle isocèle en N.
• c. Isocèle en E : EF = EG ; isocèle en F : FE = FG. Donc EF = FG = GE : EFG est un triangle équilatéral.

1. ABC isocèle en A : [BC] = 4 cm, arcs de rayon 5 cm centrés en B et en C → A (AB = AC = 5 cm).
2. DEF isocèle en E avec EF = 6 cm : donc ED = EF = 6 cm. Tracer [EF], construire au rapporteur l’angle \( \widehat{DEF} = 130^\circ \), puis placer D sur le côté de l’angle à 6 cm de E. Les angles à la base mesurent chacun \( (180 – 130) \div 2 = 25^\circ \).
3. Ensuite, GHI équilatéral de côté 4 cm : [GH] = 4 cm, arcs de rayon 4 cm centrés en G et en H → I.
4. JKL rectangle en L : tracer un angle droit de sommet L, placer J à 5 cm et K à 6 cm de L sur les deux côtés.
5. PQR rectangle isocèle en Q : angle droit en Q, QR = QP = 4 cm.

a. On trace [AB] = 5 cm, puis la perpendiculaire à (AB) en A (équerre), sur laquelle on place C avec AC = 8 cm. Puis on relie B et C : ABC est rectangle en A et [BC] est l’hypoténuse.

b. Avec le rapporteur centré en A, on trace une demi-droite qui fait un angle de 30° avec [AB], à l’intérieur de l’angle droit : elle coupe [BC] en E.

c. F est sur la demi-droite [EA) mais pas sur le segment [AE] : on prolonge donc [EA] au-delà de A et on place F avec AF = 3 cm. De plus, les points E, A et F sont alignés, A étant entre E et F.

d.

• Ensuite, la demi-droite [AE) partage l’angle droit \( \widehat{BAC} \) en deux angles : \( \widehat{CAE} = \widehat{BAC} – \widehat{BAE} = 90^\circ – 30^\circ = 60^\circ \). Donc \( \widehat{CAE} = 60^\circ \).
• E, A et F sont alignés avec A entre les deux, donc \( \widehat{EAF} \) est un angle plat (180°). Les angles \( \widehat{CAE} \) et \( \widehat{CAF} \) se complètent pour former cet angle plat : \( \widehat{CAF} = 180^\circ – 60^\circ = 120^\circ \). Donc \( \widehat{CAF} = 120^\circ \).
• De même, \( \widehat{BAE} \) et \( \widehat{FAB} \) forment l’angle plat \( \widehat{EAF} \) : \( \widehat{FAB} = 180^\circ – 30^\circ = 150^\circ \). Donc \( \widehat{FAB} = 150^\circ \).

Vérification : autour du point A, \( 30^\circ + 60^\circ + 120^\circ + 150^\circ = 360^\circ \), c’est bien un tour complet.

a. à d. On trace [AB] = 3 cm, puis avec le rapporteur un angle de 100° en A, sur lequel on place C avec AC = 5 cm. Ensuite, on place M sur [AB] avec AM = 1 cm. Avec la règle et l’équerre, on trace la parallèle à (BC) passant par M (elle coupe (AC) en N), la perpendiculaire à (BC) passant par M (elle coupe (BC) en Q), puis la parallèle à (MQ) passant par N (elle coupe (BC) en P).

e. On sait que (MN) // (BC) et que (MQ) ⊥ (BC). Or, si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre. Donc (MQ) ⊥ (MN) : les droites (MQ) et (MN) sont perpendiculaires.

f. On sait que (NP) // (MQ) et que (MQ) ⊥ (BC). D’après la même propriété, (NP) ⊥ (BC). Ensuite, Comme P et Q sont sur (BC), la droite (PQ) est la droite (BC). Donc (NP) ⊥ (PQ) : les droites (NP) et (PQ) sont perpendiculaires.

Exercice 12 : Quadrilatère inscrit dans un triangle (suite)

g. Le quadrilatère MNPQ a un angle droit en Q (car (MQ) ⊥ (BC)), un angle droit en M (question e) et un angle droit en P (question f). Or un quadrilatère qui a trois angles droits est un rectangle (le quatrième angle est forcément droit lui aussi : en N, (MN) // (BC) et (NP) ⊥ (BC), donc (NP) ⊥ (MN)).

On lit sur la figure : A, B, C alignés avec AB = 3 cm et BC = 4 cm ; AD = 4 cm avec un angle droit en A ; un angle droit en C entre [CA] et [CE] ; un angle droit en B entre [BD] et [BE]. Par ailleurs, la longueur CE n’est pas donnée : c’est l’angle droit en B qui fixe la position de E.

a. Par ailleurs, Programme de construction

1. Tracer un segment [AC] de 7 cm et placer le point B sur [AC] tel que AB = 3 cm (donc BC = 4 cm).
2. Tracer la perpendiculaire à (AC) passant par A et placer sur cette droite le point D tel que AD = 4 cm.
3. Tracer le segment [BD].
4. Tracer la perpendiculaire à (AC) passant par C (du même côté que D).
5. Tracer la perpendiculaire à (BD) passant par B : elle coupe la perpendiculaire précédente en un point que l’on nomme E.
6. Par conséquent, Tracer les segments [BE] et [CE] et coder les angles droits.

b. On suit ce programme avec la règle graduée et l’équerre.

Exercice 13 : Programme de construction (corrigé polygones 6ème) (suite)

Contrôle : sur une figure bien faite, on mesure CE ≈ 3 cm et BD ≈ BE ≈ 5 cm.

Lecture du codage. [CD], [DE] et [CE] portent le même codage (deux traits) : CD = DE = CE = 6 cm, donc CDE est un triangle équilatéral de côté 6 cm. [BA] et [BC] portent un trait : AB = BC. Puis il y a un angle droit en B dans le triangle BCD, et \( \widehat{BCD} = 30^\circ \), AC = 3 cm.

Ainsi, Remarque utile. Dans le triangle équilatéral CDE, chaque angle mesure 60°, donc \( \widehat{BCE} = \widehat{BCD} + \widehat{DCE} = 30^\circ + 60^\circ = 90^\circ \) : (BC) est perpendiculaire à (CE).

Construction

1. Tracer [CE] de 6 cm, puis construire D au compas (arcs de 6 cm de centres C et E) : triangle équilatéral CDE.
2. Tracer en C la perpendiculaire à (CE), du côté de D (ou l’angle de 30° avec [CD] au rapporteur).
3. Avec l’équerre, tracer la perpendiculaire à cette droite passant par D : elle la coupe en B (angle droit en B). Par conséquent, on mesure BD = 3 cm et BC ≈ 5,2 cm.
4. Prendre au compas l’écartement BC, tracer un arc de centre B ; tracer un arc de centre C et de rayon 3 cm. Leur point d’intersection, au-dessus de [BC], est A.
5. Tracer [AB] et [AC].

1. On trace un segment [RS] de 6 cm.

2. Tous les points cherchés sont à 6 cm de S : ils sont donc sur le cercle de centre S et de rayon 6 cm (qui passe aussi par R). Ensuite, pour chaque paire, on trace l’arc de centre R avec le rayon demandé : il coupe ce cercle en deux points, placés de part et d’autre de la droite (RS).

• rayon 1 cm autour de R : points A et B ;
• De même, rayon 3 cm : points C et D ;
• rayon 5 cm : points E et F ;
• rayon 7 cm : points G et H ;
• rayon 9 cm : points I et J ;
• rayon 11 cm : points K et L (c’est possible car 11 cm est plus petit que 6 + 6 = 12 cm).

3. Par conséquent, on trace les 12 triangles RSA, RSB, RSC, RSD, RSE, RSF, RSG, RSH, RSI, RSJ, RSK et RSL.

Exercice 15 : Construction de triangles et cercles (corrigé polygones (suite)

4. Codage. SR, SA, SB, SC, …, SL mesurent tous 6 cm : on leur met le même codage (par exemple un trait). Puis un codage différent pour chaque paire : RA = RB (deux traits), RC = RD (trois traits), RE = RF (un rond), RG = RH (une croix), RI = RJ, RK = RL (d’autres symboles).

On remarque que chaque triangle est isocèle en S, puisque SR = SX = 6 cm pour chaque point X construit.

1. De même, Reproduction

1. Tracer un segment [AD] de 17 + 31 + 15 = 63 mm. Placer E à 17 mm de A et F à 17 + 31 = 48 mm de A (donc FD = 15 mm).
2. Avec l’équerre, tracer la perpendiculaire à (AD) en E et y placer B avec EB = 23 mm.
3. Tracer la perpendiculaire à (AD) en F, du même côté, et y placer C avec FC = 15 mm.
4. Tracer les segments [AB], [BE], [BF], [BC], [CF] et [CD], puis coder les angles droits.

2. Également, on sait que (BE) ⊥ (AD) et (CF) ⊥ (AD). Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles. Donc (BE) // (CF).

Également, ce que dit le codage. Les six côtés de l’hexagone et les six segments qui joignent le centre aux sommets portent tous le même codage : ils ont la même longueur. Puis l’hexagone est donc formé de six triangles équilatéraux accolés autour du centre.

Conséquence : chaque sommet est à 4 cm du centre O, donc les sommets sont sur un cercle de centre O et de rayon 4 cm ; et deux sommets voisins sont à 4 cm l’un de l’autre.

Méthode de construction

1. Tracer un cercle de centre O et de rayon 4 cm, et placer un point sur ce cercle.
2. Sans changer l’écartement du compas (4 cm), piquer sur ce point et tracer un petit arc qui coupe le cercle : c’est le sommet suivant.
3. Recommencer depuis ce nouveau point, et ainsi de suite : on obtient six points, le sixième arc retombe exactement sur le point de départ.
4. Ainsi, Relier les six points dans l’ordre à la règle.

Donc, on ne peut tracer une droite qu’à partir d’objets déjà construits : (d’) a besoin de A et de (BC), (d) a besoin de (d’) et de B, et O a besoin des deux droites. De plus, le triangle vient donc en premier et le point O en dernier.

1. Trace un triangle ABC rectangle en A tel que AB = 8 cm et AC = 6 cm.
2. Trace la droite (d’) parallèle à la droite (BC) passant par le point A.
3. Trace la droite (d) perpendiculaire à la droite (d’) passant par B.
4. Nomme O le point d’intersection des droites (d) et (d’).

On lit le codage de chaque étape : à l’étape 1, [AB] et [AC] ont le même codage (deux traits) ; à l’étape 2, [DC] et [DA] ont le même codage (un trait) ; à l’étape 3, [DE] et [EA] ont aussi un trait, donc ils mesurent comme [DA], 5,2 cm.

Étape 1 : Trace un triangle ABC rectangle et isocèle en A tel que AB = AC = 7,4 cm.

Étape 2 : Place le point D, de l’autre côté de la droite (AC) par rapport à B, tel que DA = DC = 5,2 cm (deux arcs de compas de rayon 5,2 cm, de centres A et C). Ensuite, trace [DA] et [DC] : le triangle ACD est isocèle en D.

Étape 3 : Place le point E, de l’autre côté de la droite (AD) par rapport à C, tel que EA = ED = 5,2 cm. Par ailleurs, trace [EA] et [ED] : le triangle ADE est équilatéral de côté 5,2 cm.

a. Ainsi, Programme de construction

1. Tracer un triangle ABF rectangle en A tel que AB = AF = 1 cm.
2. Tracer la perpendiculaire à (BF) passant par B et placer dessus, du côté opposé à A, le point C tel que BC = 1 cm. Tracer [FC].
3. Tracer la perpendiculaire à (CF) passant par C et placer dessus le point D tel que CD = 1 cm (en tournant toujours dans le même sens). Tracer [FD].
4. Tracer la perpendiculaire à (DF) passant par D et placer dessus le point E tel que DE = 1 cm. Tracer [FE].

b. Chaque nouveau triangle s’appuie sur le côté [F…] du triangle précédent. Puis les segments issus de F sont de plus en plus longs : on mesure environ 1,4 cm pour BF, 1,7 cm pour CF, exactement 2 cm pour DF et environ 2,2 cm pour EF, un bon moyen de contrôler sa construction.

Lecture du codage. [BA], [AD], [DC], [CB], [AF], [FD], [DE] et [EC] portent tous le même codage : ils ont la même longueur. Donc BADC est un losange (A et C de part et d’autre de [BD]), et AFD et CED sont des triangles équilatéraux. Ensuite, les deux ronds indiquent FG = GE.

Mesures. Sur la figure de la fiche, on mesure environ 2 cm pour le côté du losange, 1 cm pour [AC] et 3 cm pour FG et GE (contrôle ces mesures sur ta propre feuille, elles dépendent de l’impression). Par conséquent, Tripler les dimensions, c’est multiplier toutes les longueurs par 3 ; les angles ne changent pas : côté 6 cm, AC = 3 cm, FG = GE = 9 cm.

Construction de la figure triplée

1. Tracer [AC] de 3 cm. Placer B et D de part et d’autre de [AC], à 6 cm de A et de C (arcs de compas de rayon 6 cm) : losange BADC.
2. Construire F au compas (FA = FD = 6 cm) à l’extérieur du losange, puis E (EC = ED = 6 cm) : triangles équilatéraux AFD et CED.
3. De plus, Tracer les trois arcs : de centre E de B à F, de centre F de B à E, de centre B de F à E. Ils ont tous le même rayon, car BF = FE = EB (le triangle BFE est équilatéral).
4. Placer G à droite de D tel que GF = GE = 9 cm, puis tracer [FG] et [GE].

Exercice 21 : Reproduire une figure (suite)

1. De plus, le grand triangle. Tracer un côté de 12 cm, puis deux arcs de compas de rayon 12 cm centrés à ses extrémités : leur intersection donne le troisième sommet d’un triangle équilatéral de 12 cm.

2. Le deuxième triangle. Le quart de 12 cm est \( 12 \div 4 = 3 \) cm. Puis en tournant toujours dans le même sens (par exemple du sommet du haut vers celui de gauche, puis de gauche à droite, puis de droite vers le haut), on place sur chaque côté un point à 3 cm du sommet de départ. De plus, on relie ces trois points : on obtient un triangle équilatéral « tourné » dont on mesure le côté, environ 7,9 cm.

3. Également, les suivants. On recommence dans ce nouveau triangle : on mesure son côté, on en prend le quart et on reporte cette longueur sur chaque côté, toujours dans le même sens. Ensuite, on trouve environ :

On s’arrête quand les triangles deviennent trop petits, puis on colorie en alternant deux couleurs.

a. Également, Nature de chaque quadrilatère

• ABCD a ses quatre côtés de même longueur (même codage), donc c’est un losange de côté 3 cm, dont la diagonale [DB] mesure 4,5 cm.
• EFGH a quatre angles droits, donc c’est un rectangle de longueur 5 cm et de largeur 3 cm.
• JKLM a quatre angles droits et quatre côtés de même longueur, donc c’est un carré de côté 7 cm.
• PQRS a quatre angles droits, donc c’est un rectangle ; on connaît sa largeur SR = 4 cm et sa diagonale SQ = 7 cm.

b. Constructions en vraie grandeur

• Losange ABCD : tracer la diagonale [DB] de 4,5 cm, puis des arcs de rayon 3 cm centrés en D et en B, de chaque côté de [DB] ; ils se coupent en A et en C.
• Rectangle EFGH : tracer [HG] de 3 cm, les perpendiculaires en H et en G, placer E et F à 5 cm de H et de G, relier.
• De plus, Carré JKLM : tracer [JK] de 7 cm, les perpendiculaires en J et en K, placer M et L à 7 cm, relier.
• Rectangle PQRS : tracer [SR] de 4 cm, puis la perpendiculaire à (SR) en R. L’arc de centre S et de rayon 7 cm coupe cette perpendiculaire en Q. On termine avec la perpendiculaire en S et la parallèle à (SR) passant par Q, qui se coupent en P. On mesure RQ ≈ 5,7 cm.