Nombres complexes en terminale : corrigé détaillé des exercices 1 à 10

On calcule d’abord les puissances de \(1+i\) :

\[ (1+i)^2=1+2i+i^2=2i,\qquad (1+i)^3=2i(1+i)=2i+2i^2=-2+2i. \]
\[ \begin{aligned} P(1+i) &= (-2+2i)+2\times 2i-6(1+i)+8 \\ &= -2+2i+4i-6-6i+8 \\ &= 0. \end{aligned} \]

De même, \((1-i)^2=-2i\) et \((1-i)^3=-2i(1-i)=-2-2i\) :

\[ \begin{aligned} P(1-i) &= (-2-2i)+2\times(-2i)-6(1-i)+8 \\ &= -2-2i-4i-6+6i+8 \\ &= 0. \end{aligned} \]

Remarque : les coefficients de \(P\) étant réels, \(P(\overline{z})=\overline{P(z)}\), donc \(P(1-i)=\overline{P(1+i)}=0\) pouvait se déduire directement.

a) \(f(3)=\dfrac{2i\times 3-1}{3-1}=\dfrac{-1+6i}{2}=-\dfrac12+3i\).

b) \(2i\times\dfrac12 i-1=i^2-1=-2\), donc

\[ f\left(\tfrac12 i\right)=\frac{-2}{-1+\frac12 i}=\frac{-2\left(-1-\frac12 i\right)}{(-1)^2+\left(\frac12\right)^2}=\frac{2+i}{\frac54}=\frac85+\frac45 i. \]

c) On simplifie d’abord : \(\dfrac{1+i}{1-i}=\dfrac{(1+i)^2}{(1-i)(1+i)}=\dfrac{2i}{2}=i\). Donc

\[ f(i)=\frac{2i\times i-1}{i-1}=\frac{-3}{-1+i}=\frac{-3(-1-i)}{(-1)^2+1^2}=\frac{3+3i}{2}=\frac32+\frac32 i. \]

On met chaque quotient sous forme algébrique en multipliant par le conjugué du dénominateur (\((3+5i)(3-5i)=9+25=34\)) :

\[ z_1=\frac{(1-i)(3-5i)}{34}=\frac{3-5i-3i+5i^2}{34}=\frac{-2-8i}{34}=-\frac{1}{17}-\frac{4}{17}i, \]
\[ z_2=\frac{(1+i)(3+5i)}{34}=\frac{3+5i+3i+5i^2}{34}=\frac{-2+8i}{34}=-\frac{1}{17}+\frac{4}{17}i. \]

On remarque que \(z_2=\overline{z_1}\). Alors :

• \(z_1+z_2=-\dfrac{2}{17}\) : partie imaginaire nulle, c’est un réel ;
• \(z_1-z_2=-\dfrac{8}{17}i\) : partie réelle nulle, c’est un imaginaire pur.

Pour \(az^2+bz+c=0\) à coefficients réels, on calcule \(\Delta=b^2-4ac\). Si \(\Delta\lt 0\), les solutions sont \(\dfrac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}\), conjuguées.

• 1. a) \(2z^2+3z-5=0\) : \(\Delta=9+40=49\), \(z=\dfrac{-3\pm 7}{4}\) : \(S=\left\{-\frac52\,;\,1\right\}\).
• 1. b) \(2z^2+3z+5=0\) : \(\Delta=9-40=-31\) : \(S=\left\{\frac{-3-i\sqrt{31}}{4}\,;\,\frac{-3+i\sqrt{31}}{4}\right\}\).
• 2. a) \(z^2+4=0\iff z^2=(2i)^2\) : \(S=\{-2i\,;\,2i\}\).
• 2. b) \(z^2-4z+4=(z-2)^2=0\) : \(S=\{2\}\) (racine double, \(\Delta=0\)).
• 3. a) En multipliant par 6 : \(2z^2+z+6=0\), \(\Delta=1-48=-47\) : \(S=\left\{\frac{-1-i\sqrt{47}}{4}\,;\,\frac{-1+i\sqrt{47}}{4}\right\}\).
• 3. b) \(9z^2+25=0\iff z^2=-\dfrac{25}{9}=\left(\dfrac53 i\right)^2\) : \(S=\left\{-\frac53 i\,;\,\frac53 i\right\}\).
• 4. a) \(3z^2+6z+4=0\) : \(\Delta=36-48=-12\), \(\sqrt{12}=2\sqrt3\), \(z=\dfrac{-6\pm 2i\sqrt3}{6}\) : \(S=\left\{-1-\frac{\sqrt3}{3}i\,;\,-1+\frac{\sqrt3}{3}i\right\}\).
• 4. b) \(5z^2+2z=z(5z+2)=0\) : \(S=\left\{0\,;\,-\frac25\right\}\).

\(z^2-(1+\sqrt3)z+\sqrt3=0\). Discriminant :

\[ \Delta=(1+\sqrt3)^2-4\sqrt3=1+2\sqrt3+3-4\sqrt3=1-2\sqrt3+3=(1-\sqrt3)^2. \]

\(\Delta\gt 0\) et \(\sqrt\Delta=|1-\sqrt3|=\sqrt3-1\). Les solutions sont réelles :

\[ z_1=\frac{1+\sqrt3-(\sqrt3-1)}{2}=1,\qquad z_2=\frac{1+\sqrt3+\sqrt3-1}{2}=\sqrt3. \]

Vérification : somme \(1+\sqrt3\) et produit \(\sqrt3\), conformes aux coefficients.

a) \(\theta=\pi\) : \(\cos\pi=-1\), l’équation devient \(z^2+2z+1=0\), soit \((z+1)^2=0\) : \(S=\{-1\}\).

b) \(\theta=\dfrac\pi3\) : \(\cos\dfrac\pi3=\dfrac12\), l’équation devient \(z^2-z+1=0\). \(\Delta=1-4=-3\lt 0\), donc

\[ z=\frac{1-i\sqrt3}{2}\quad\text{ou}\quad z=\frac{1+i\sqrt3}{2}. \]

Ce sont \(\cos\dfrac\pi3\pm i\sin\dfrac\pi3\), c’est-à-dire \(\mathrm{e}^{\pm i\pi/3}\) : en général, les solutions sont \(\cos\theta\pm i\sin\theta\).

Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul.

\(z^2+3z+1=0\) : \(\Delta=9-4=5\gt 0\), \(z=\dfrac{-3-\sqrt5}{2}\) ou \(z=\dfrac{-3+\sqrt5}{2}\).

\(z^2-z+6=0\) : \(\Delta=1-24=-23\lt 0\), \(z=\dfrac{1-i\sqrt{23}}{2}\) ou \(z=\dfrac{1+i\sqrt{23}}{2}\).

a) Regroupons les facteurs de Xcas deux par deux. D’une part

\[ (z+i\sqrt2)(z-i\sqrt2)=z^2-(i\sqrt2)^2=z^2+2. \]

D’autre part, les deux premiers facteurs s’écrivent \(\left(z-\frac{-3+i\sqrt7}{2}\right)\left(z-\frac{-3-i\sqrt7}{2}\right)\). Leur produit est \(z^2-Sz+P\) avec \(S=-3\) et \(P=\dfrac{9+7}{4}=4\) : c’est \(z^2+3z+4\). Il reste à vérifier :

\[ (z^2+3z+4)(z^2+2)=z^4+2z^2+3z^3+6z+4z^2+8=z^4+3z^3+6z^2+6z+8=P(z). \]

La copie d’écran est donc justifiée.

b) \(P(z)=0\) équivaut à \(z^2+3z+4=0\) ou \(z^2+2=0\). La première a pour discriminant \(9-16=-7\), d’où \(z=\dfrac{-3\pm i\sqrt7}{2}\) ; la seconde donne \(z=\pm i\sqrt2\).

Si \(z_1+z_2=S\) et \(z_1z_2=P\), alors \(z_1\) et \(z_2\) sont les solutions de \(z^2-Sz+P=0\), car \((z-z_1)(z-z_2)=z^2-(z_1+z_2)z+z_1z_2\).

Ici \(S=-2\), \(P=10\) : on résout \(z^2+2z+10=0\). \(\Delta=4-40=-36=(6i)^2\), donc

\[ z=\frac{-2-6i}{2}=-1-3i\quad\text{ou}\quad z=\frac{-2+6i}{2}=-1+3i. \]

Vérification : \((-1-3i)+(-1+3i)=-2\) et \((-1-3i)(-1+3i)=1+9=10\).

• \(z_1=(2+3i)(-1+i)=-2+2i-3i+3i^2=\mathbf{-5-i}\) ; \(z_2=(1-i)^2=1-2i+i^2=\mathbf{-2i}\).
• \(z_1=(5-i)(1-2i)(3+2i)\) : \((5-i)(1-2i)=5-10i-i+2i^2=3-11i\), puis \((3-11i)(3+2i)=9+6i-33i-22i^2=\mathbf{31-27i}\). \(z_2=\dfrac1i=\dfrac{-i}{-i^2}=\mathbf{-i}\).
• \(z_1=(2+i)^2(2-i)^2=\big((2+i)(2-i)\big)^2=(4+1)^2=\mathbf{25}\). \(z_2=\dfrac{1}{5+2i}=\dfrac{5-2i}{25+4}=\mathbf{\dfrac{5}{29}-\dfrac{2}{29}i}\).
• \(z_1=\dfrac{3+4i}{1+i}=\dfrac{(3+4i)(1-i)}{2}=\dfrac{3-3i+4i-4i^2}{2}=\mathbf{\dfrac72+\dfrac12 i}\). \(z_2=\dfrac{1}{\sqrt3+4i}=\dfrac{\sqrt3-4i}{3+16}=\mathbf{\dfrac{\sqrt3}{19}-\dfrac{4}{19}i}\).