Corrigé des 36 exercices de résolution graphique en seconde : solutions détaillées à télécharger en PDF

La fonction \(f\) est définie sur \([-4\,;\,2]\). Ensuite, pour résoudre \(f(x) \geqslant k\), on trace la droite horizontale d’équation \(y = k\) et on cherche les abscisses des points de la courbe situés sur ou au-dessus de cette droite.

Ensuite, points lus sur la courbe : \(f(-4) = -3\), \(f(-3) = -1\), \(f(-2) = 0\), \(f(-1) = 1\), \(f\left(\tfrac{1}{2}\right) = 1\), \(f(1) = 0\), \(f(2) = -1\).

a) \(f(x) \geqslant 1\) : la courbe est au-dessus de la droite \(y = 1\) entre les abscisses \(-1\) et \(\tfrac{1}{2}\), bornes comprises car l’inégalité est large.

\[ S_a = \left[-1\,;\,\tfrac{1}{2}\right] \]

b) \(f(x) \gt 0\) : la courbe est strictement au-dessus de l’axe des abscisses entre \(-2\) et \(1\). Puis en \(-2\) et en \(1\), \(f(x) = 0\) : ces valeurs sont exclues car l’inégalité est stricte.

\[ S_b = \left]-2\,;\,1\right[ \]

c) \(f(x) \leqslant -1\) : la courbe est sur ou sous la droite \(y = -1\) entre \(-4\) et \(-3\), et elle revient toucher cette droite en \(x = 2\) (car \(f(2) = -1\)). Puis entre \(1\) et \(2\), \(f(x)\) est compris entre \(-1\) et \(0\), donc strictement plus grand que \(-1\).

\[ S_c = [-4\,;\,-3] \cup \{2\} \]

Pour comparer \(f(x)\) et \(g(x)\), on regarde la position de \(\mathcal{C}_f\) par rapport à \(\mathcal{C}_g\) : \(f(x) \geqslant g(x)\) quand \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus (ou sur) \(\mathcal{C}_g\).

De plus, les deux courbes se coupent en deux points : \(A(-2\,;\,-1)\) et \(B(1\,;\,1)\). De plus, les solutions de l’équation \(f(x) = g(x)\) sont donc \(-2\) et \(1\).

• Sur \([-3\,;\,-2]\), \(\mathcal{C}_f\) part de \((-3\,;\,2)\), au-dessus de \(\mathcal{C}_g\), et la rejoint en \(A\).
• Sur \([-2\,;\,1]\), \(\mathcal{C}_f\) descend jusqu’à \((-1\,;\,-2)\) : elle est sous \(\mathcal{C}_g\).
• Sur \([1\,;\,3]\), \(\mathcal{C}_f\) repasse au-dessus et finit en \((3\,;\,3)\).

a) \(f(x) \geqslant g(x)\) : \(S = [-3\,;\,-2] \cup [1\,;\,3]\).

b) \(f(x) \gt g(x)\) : on enlève les abscisses des points d’intersection. \(S = [-3\,;\,-2[ \,\cup\, ]1\,;\,3]\).

c) \(f(x) \leqslant g(x)\) : \(\mathcal{C}_f\) est sous ou sur \(\mathcal{C}_g\). \(S = [-2\,;\,1]\).

a) Le carré ABCD a pour côté \(x\), donc \(\mathcal{A}(x) = x^2\). Ensuite, le carré AEFG a pour côté \(x + 1\). Par ailleurs, le polygone BCDGFE est ce qui reste de AEFG quand on enlève ABCD :

\[ \begin{aligned} \mathcal{B}(x) &= (x+1)^2 – x^2 \\ &= x^2 + 2x + 1 – x^2 \\ &= 2x + 1 \end{aligned} \]

Par ailleurs, on a bien, pour tout \(x \geqslant 0\), \(\mathcal{B}(x) = 2x + 1\).

b) À la calculatrice, on entre \(Y_1 = X^2\) et \(Y_2 = 2X + 1\) avec une fenêtre du type \(0 \leqslant X \leqslant 4\), \(0 \leqslant Y \leqslant 12\). Puis on obtient une parabole (pour \(\mathcal{A}\)) et une droite (pour \(\mathcal{B}\)) qui se coupent en un seul point pour \(x \geqslant 0\), d’abscisse proche de \(2{,}4\). Ainsi, avant ce point, la droite est au-dessus ; après, c’est la parabole.

Résoudre l’équation à la calculatrice (question c)

c) Le logiciel résout \(x^2 = 2x + 1\) et donne \(x = -\sqrt{2} + 1\) ou \(x = \sqrt{2} + 1\). De même, vérifions la seconde valeur :

\[ \left(1+\sqrt{2}\right)^2 = 1 + 2\sqrt{2} + 2 = 3 + 2\sqrt{2} \quad \text{et} \quad 2\left(1+\sqrt{2}\right) + 1 = 3 + 2\sqrt{2}. \]

Ensuite, l’égalité est vraie. Ensuite, la valeur \(1 – \sqrt{2} \approx -0{,}41\) est négative : elle ne convient pas puisque \(x \geqslant 0\) (une longueur). Puis le seul point d’intersection affiché a donc pour abscisse \(1 + \sqrt{2} \approx 2{,}41\), ce qui confirme la lecture de la calculatrice.

d) \(\mathcal{A}(x) \geqslant \mathcal{B}(x)\) quand la parabole est sur ou au-dessus de la droite, c’est-à-dire à partir de l’abscisse du point d’intersection.

La fonction \(f\) associe à chaque nombre son opposé : \(f(x) = -x\).

a) \(f(-3) = -(-3) = \mathbf{3}\) et \(f\left(\sqrt{2}\right) = \mathbf{-\sqrt{2}}\).

b) On cherche \(x\) tel que \(f(x) = 0{,}6\), c’est-à-dire \(-x = 0{,}6\), soit \(x = -0{,}6\). Puis L’antécédent de 0,6 est \(-0{,}6\) (et il est unique).

c) On cherche \(x\) tel que \(f(x) = x\) :

\[ -x = x \iff 0 = 2x \iff x = 0. \]

De plus, le seul nombre égal à son opposé est 0.

a) L’ensemble de définition se lit sur l’axe des abscisses : c’est l’ensemble des abscisses des points de la courbe (les petits traits marquent les extrémités, qui font partie de la courbe).

• \(\mathcal{C}_f\) va de l’abscisse \(-1\) à l’abscisse \(4\) : \(D_f = [-1\,;\,4]\).
• \(\mathcal{C}_g\) va de l’abscisse \(-2\) à l’abscisse \(3\) : \(D_g = [-2\,;\,3]\).

b) On lit les images de 1 : sur \(\mathcal{C}_f\), le point d’abscisse 1 a une ordonnée entre 2 et 3 (environ 2,8) ; sur \(\mathcal{C}_g\), le point d’abscisse 1 a une ordonnée entre 1 et 2 (environ 1,5). Par ailleurs, même sans valeurs précises : \(f(1) \gt 2\) et \(g(1) \lt 2\).

Donc \(g(1) \lt f(1)\) : Linda a tort.

a) L’image de 2 est l’ordonnée du point de \(\mathcal{C}_f\) d’abscisse 2 : on monte (ici on descend) de l’abscisse 2 jusqu’à la courbe, puis on lit l’ordonnée. \(f(2) = \mathbf{-1}\).

b) De même, \(f(4) = \mathbf{-2}\).

c) Les antécédents de 2 sont les abscisses des points de la courbe d’ordonnée 2. De plus, on trace la droite \(y = 2\) : elle coupe \(\mathcal{C}_f\) en trois points, d’abscisses \(-4\), \(-2\) et \(1\).

d) Reformulations avec le mot « image » :

• b) « Lire graphiquement l’image de 4 par \(f\). »
• c) « Lire graphiquement les nombres dont l’image par \(f\) est égale à 2. »

a) \(x\) est une longueur ajoutée : \(x \geqslant 0\). Ensuite, les fonctions A et P sont définies sur \([0\,;\,+\infty[\).

b) Le carré obtenu a pour côté \(6 + x\) (en cm), donc :

\[ A(x) = (6 + x)^2 \quad \text{et} \quad P(x) = 4(6 + x) = 24 + 4x. \]

c) \(A(x) = 51{,}84\) signifie \((6 + x)^2 = 51{,}84\). Ainsi, comme \(6 + x\) est positif, \(6 + x = \sqrt{51{,}84} = 7{,}2\), d’où \(x = 1{,}2\). Alors :

\[ P(1{,}2) = 4 \times 7{,}2 = 28{,}8 \text{ cm}. \]

d) \(P(x) = 32{,}8\) signifie \(4(6 + x) = 32{,}8\), donc \(6 + x = 8{,}2\) et \(x = 2{,}2\). Alors :

\[ A(2{,}2) = 8{,}2^2 = 67{,}24 \text{ cm}^2. \]

a) On teste chaque expression pour \(x = 0\), \(1\), \(2\) (on doit trouver \(-1\), \(0\), \(1\)).

De même, deux expressions conviennent : \(x – 1\) et \((x – 1)^3\). Par ailleurs, un tableau de quelques valeurs ne suffit donc pas à déterminer une fonction.

b) Pour \(x = -1\) : \(-1 – 1 = -2\) et \((-1 – 1)^3 = (-2)^3 = -8\). Ensuite, seule la seconde donne \(-8\) : \(f(x) = (x – 1)^3\).

c) La cellule B2 contient l’image du nombre écrit en A2. Puis on y a saisi la formule =(A2-1)^3, puis on l’a recopiée vers le bas.

Première partie. Une inégalité large (\(\leqslant\), \(\geqslant\)) donne un crochet fermé (tourné vers l’intervalle) ; une inégalité stricte donne un crochet ouvert ; l’infini est toujours ouvert.

• a) \(3 \leqslant x \leqslant 7 \iff x \in [3\,;\,7]\)
• b) \(-3 \leqslant x \lt 5 \iff x \in [-3\,;\,5[\)
• c) \(x \lt 5 \iff x \in \left]-\infty\,;\,5\right[\)
• d) \(x \geqslant 0 \iff x \in [0\,;\,+\infty[\)
• e) \(-2 \lt x \leqslant 1 \iff x \in \left]-2\,;\,1\right]\)
• f) \(x \leqslant -4 \iff x \in \left]-\infty\,;\,-4\right]\)

Seconde partie : des intervalles vers les inégalités

Seconde partie. On fait le chemin inverse :

• a) \(x \in [-3\,;\,4] \iff -3 \leqslant x \leqslant 4\)
• b) \(x \in \left]0\,;\,4\right[ \iff 0 \lt x \lt 4\)
• c) \(x \in [1\,;\,100[ \iff 1 \leqslant x \lt 100\)
• d) \(x \in \left]-\infty\,;\,10\right[ \iff x \lt 10\)
• e) \(x \in [5\,;\,+\infty[ \iff x \geqslant 5\)
• f) \(x \in \left]-\infty\,;\,0\right] \iff x \leqslant 0\)

La fonction V n’est définie que pour les nombres de la première ligne du tableau.

a) Ensemble de définition : \(D_V = \{-1\,;\,0\,;\,2\,;\,3\,;\,7\}\) (un ensemble de cinq nombres, pas un intervalle).

b) L’image de 3 se lit sous 3 : \(V(3) = -3\).

c) \(V(7) = 1\).

d) Les antécédents de 7 sont les nombres de la première ligne sous lesquels on lit 7 : \(-1\) et \(2\), car \(V(-1) = 7\) et \(V(2) = 7\).

Résoudre \(f(x)=k\) graphiquement, c’est tracer la droite horizontale d’équation \(y=k\) et lire les abscisses des points d’intersection avec la courbe. Puis ici on donne des valeurs estimées.

• a) La droite \(y=2\) coupe la courbe en trois points : \(x=0\), \(x\approx 3\) et \(x\approx 4\).
• b) \(f(x)=0\) : on lit les points où la courbe coupe l’axe des abscisses, \(x\approx 1\), \(x\approx 2\), \(x\approx 5\) et \(x\approx 6\).
• c) La courbe descend à peine sous l’axe (jamais sous \(-0{,}5\)) : la droite \(y=-1\) ne la coupe pas. Pas de solution.
• d) La droite \(y=1\) coupe la courbe en quatre points : \(x\approx 0{,}5\), \(x\approx 2{,}5\), \(x\approx 4{,}4\) et \(x=7\) (le point final de la courbe est \((7\,;1)\)).

Pour chaque équation \(g(x)=k\), on trace la droite horizontale \(y=k\) et on lit les abscisses des points d’intersection. De plus, sur ce quadrillage, un carreau vaut 1 unité en abscisse comme en ordonnée.

• a) \(g(x)=2\) : trois solutions, \(x\approx -2{,}5\), \(x\approx 1{,}2\) et \(x\approx 3{,}5\).
• b) \(g(x)=-3\) : le minimum de \(g\) est \(-2\) (atteint en 0 et en 5), la courbe ne descend jamais jusqu’à \(-3\). Pas de solution.
• c) \(g(x)=4\) : trois solutions, \(x\approx -4{,}5\), \(x\approx 1{,}7\) et \(x\approx 2{,}5\) (la droite \(y=4\) passe juste sous le sommet de la bosse).
• d) \(g(x)=-1\) : trois solutions, \(x\approx -0{,}8\), \(x\approx 0{,}5\) et \(x\approx 4{,}7\).

La courbe passe par des nœuds du quadrillage : \((-3\,;2)\), \((-2\,;1)\), \((-1\,;0)\), \((0\,;1)\), \((1\,;0)\), \((2\,;-1)\), \((3\,;-2)\) et \((4\,;-1)\). Ensuite, elle touche l’axe en \(-1\) sans le traverser.

• a) \(k(x)=1\) : \(S=\{-2\,;0\}\).
• b) \(k(x)=0\) : \(S=\{-1\,;1\}\).

Par ailleurs, pour une inéquation, on cherche les abscisses des points de la courbe situés au-dessus (ou au-dessous) de la droite horizontale, et on fait attention aux crochets : inégalité stricte = crochet ouvert à l’endroit où il y a égalité.

• c) \(k(x)\gt -1\) : la courbe est strictement au-dessus de la droite \(y=-1\) de \(-3\) jusqu’à 2, où elle la coupe ; après 2 elle reste en dessous (et revient seulement à \(-1\) en 4). \(S=[-3\,;2[\).
• d) \(k(x)\lt 0\) : la courbe est strictement sous l’axe des abscisses après 1. (En \(-1\), \(k(-1)=0\) n’est pas strictement négatif.) \(S=\,]1\,;4]\).
• e) \(k(x)\geqslant -2\) : le minimum de \(k\) est \(-2\) (en 3), donc tous les réels de l’ensemble de définition conviennent : \(S=[-3\,;4]\).
• f) \(k(x)\geqslant 2\) : le maximum de \(k\) vaut 2 et n’est atteint qu’en \(-3\) : \(S=\{-3\}\).

On lit les abscisses des points de la courbe situés au-dessus ou au-dessous de la droite horizontale concernée. Puis les bornes sont des valeurs estimées.

• a) \(h(x)\geqslant 0\) : la courbe est sur ou au-dessus de l’axe des abscisses entre ses deux points d’intersection avec l’axe : \(S\approx[-1{,}5\,;4{,}7]\).
• b) \(h(x)\lt -4\) : le minimum de \(h\) est \(-3\) (en \(-5\)) : \(S=\varnothing\).
• c) \(h(x)\lt -2\) : la courbe est strictement sous la droite \(y=-2\) du début jusqu’à \(x=-3\) (où \(h(-3)=-2\)). En 5, \(h(5)=-2\) n’est pas strictement inférieur à \(-2\). \(S=[-5\,;-3[\).
• d) \(h(x)\gt 2\) : la courbe passe au-dessus de la droite \(y=2\) en \(x=0\) (\(h(0)=2\)), redescend sous cette droite vers 2,6 (creux à 1 en \(x=3\)), repasse au-dessus vers 3,5, puis retombe vers 4,4. \(S\approx\,]0\,;2{,}6[\,\cup\,]3{,}5\,;4{,}4[\).

La droite \(\mathcal{C}_g\) passe par \((-2\,;-4)\), \((0\,;-2)\) et \((3\,;1)\) : c’est la droite d’équation \(y=x-2\). De plus, les deux courbes se coupent en deux points du quadrillage : \((-1\,;-3)\) et \((2\,;0)\).

• a) \(g(x)=f(x)\) : on lit les abscisses des points d’intersection. \(S=\{-1\,;2\}\).
• b) \(g(x)\leqslant f(x)\) : \(\mathcal{C}_g\) est sous \(\mathcal{C}_f\) (ou la touche) de \(-2\) à \(-1\), puis de 2 à 3 ; entre \(-1\) et 2 c’est \(\mathcal{C}_f\) qui est en dessous. \(S=[-2\,;-1]\cup[2\,;3]\).

• c) \(f(x)\lt -3\) : \(\mathcal{C}_f\) est strictement sous la droite \(y=-3\) entre les points \((-1\,;-3)\) et \((1\,;-3)\). \(S=\,]-1\,;1[\).
• d) \(g(x)\lt 2\) : \(g\) est croissante et sa plus grande valeur est \(g(3)=1\lt 2\). Toute la droite est sous \(y=2\) : \(S=[-2\,;3]\).
• e) \(f(x)\geqslant -2\) : au départ \(f(-2)=-2\) convient, puis la courbe passe sous \(y=-2\) et n’y revient qu’à environ \(x=1{,}45\). \(S\approx\{-2\}\cup[1{,}45\,;3]\). Attention à ne pas oublier la valeur isolée \(-2\).

Sur ce repère, un carreau vaut 1 unité sur chaque axe. Ensuite, le sommet de la parabole est à peu près \((-0{,}5\,;9)\).

• a) La droite \(y=8\) coupe \(\mathcal{C}_f\) en deux points : \(x\approx -1{,}5\) et \(x\approx 0{,}5\), donc \(S=\{-1{,}5\,;0{,}5\}\).
• b) \(f(x)\lt 0\) : \(\mathcal{C}_f\) est strictement sous l’axe des abscisses aux deux extrémités : \(S\approx[-4\,;-3{,}5[\,\cup\,]2{,}5\,;3]\).

• c) \(f(x)=g(x)\) : les courbes se coupent en deux points, d’abscisses \(x\approx -3{,}1\) et \(x\approx 1{,}6\).
• d) \(f(x)\leqslant g(x)\) : \(\mathcal{C}_f\) est sous \(\mathcal{C}_g\) (ou la touche) à gauche du premier point et à droite du second : \(S\approx[-4\,;-3{,}1]\cup[1{,}6\,;3]\).

Rappels : une fonction est paire si sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées (\(f(-x)=f(x)\)) ; elle est impaire si sa courbe est symétrique par rapport à l’origine O (\(f(-x)=-f(x)\)).

• a) La parabole est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées : fonction paire.
• b) La courbe passe par O, et le creux \((-1{,}5\,;-1)\) est le symétrique de la bosse \((1{,}5\,;1)\) par rapport à O : fonction impaire.
• c) La courbe en cloche est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées : fonction paire.
• d) La courbe passe par \((0\,;1)\) : une fonction impaire vérifierait \(f(0)=0\), elle n’est donc pas impaire. Elle n’est pas non plus symétrique par rapport à l’axe des ordonnées (maximum en \(x=1\), mais rien de tel en \(x=-1\)) : elle n’est ni paire ni impaire.

Sur l’axe des temps, une grande graduation vaut 0,5 h (30 min) ; sur l’axe des concentrations, une grande graduation vaut 0,5 mg/L.

1. On part de \(t=2\) sur l’axe horizontal, on monte jusqu’à la courbe et on lit l’ordonnée : \(C(2)\approx 0{,}9\) mg/L. Réponse d).

2. « Au plus égale à 1 » signifie \(C(t)\leqslant 1\) : c’est la réponse d). (L’inéquation c) \(C(t)\lt 1\) exclut les instants où la concentration vaut exactement 1.)

3. La droite \(C=0{,}5\) coupe la courbe deux fois : à la montée vers \(t\approx 0{,}67\) h et à la descente vers \(t\approx 2{,}33\) h. Or \(0{,}67\text{ h}\approx 0{,}67\times 60\approx 40\) min et \(0{,}33\text{ h}\approx 20\) min. Par ailleurs, les propositions a) ≈ 40 min, b) ≈ 2 h 20 min et c) ≈ 0,667 h sont donc toutes justes (a et c désignent le même instant).

4. \(C(t)\gt 0{,}75\) entre environ 0,75 h (45 min) et 2,2 h : réponse d). Puis la réponse c) « dès 45 min » est incomplète : elle ne dit pas quand l’effet s’arrête.

5. Le maximum de la courbe est atteint vers \(t\approx 1\) h : réponse a).

6. La concentration maximale est alors d’environ 1,2 mg/L : réponse b).

On traduit chaque propriété en information sur la courbe :

• définie sur \([0\,;8]\) : la courbe va de l’abscisse 0 à l’abscisse 8 ;
• \(f(x)=3\) a exactement deux solutions, 1 et 3 : la courbe passe par \((1\,;3)\) et \((3\,;3)\), et ne rencontre la droite \(y=3\) nulle part ailleurs ;
• l’image de 0 est 1 : la courbe part du point \((0\,;1)\) ;
• \(f(x)\leqslant 0\) a pour ensemble de solutions \([5\,;7]\) : \(f(5)=f(7)=0\), la courbe est sous l’axe entre 5 et 7 et strictement au-dessus partout ailleurs.

Ainsi, par exemple : on part de \((0\,;1)\), on monte à \((1\,;3)\), on continue jusqu’à 4 en \(x=2\) (au-dessus de \(y=3\)), on redescend à \((3\,;3)\), puis on reste sous \(y=3\) : on descend jusqu’à \((5\,;0)\), on passe sous l’axe (minimum \(-1{,}5\) en \(x=6\)), on remonte à \((7\,;0)\) et on finit en \((8\,;1)\), en restant sous 3.

Un point d’intersection a des coordonnées \((x\,;y)\) qui vérifient les deux équations : on résout d’abord l’équation obtenue en égalant les deux expressions de \(y\).

1.

\[ \begin{aligned} 2x^2+2x+6&=2x^2-3x+7 \\ 2x+3x&=7-6 \\ 5x&=1 \\ x&=\frac{1}{5}=0{,}2 \end{aligned} \]

De même, les termes \(2x^2\) se simplifient : une seule solution. Ensuite, on calcule l’ordonnée :

\[ y=2\times 0{,}2^2+2\times 0{,}2+6=0{,}08+0{,}4+6=6{,}48 \]

(Vérification avec l’autre équation : \(2\times 0{,}04-3\times 0{,}2+7=0{,}08-0{,}6+7=6{,}48\).) Il y a un seul point d’intersection : \((0{,}2\,;6{,}48)\), soit \(\left(\frac{1}{5}\,;\frac{162}{25}\right)\).

2. Les deux expressions n’existent que pour \(x\neq 0\). Puis pour \(x\neq 0\) :

\[ \frac{1}{x}=\frac{2+3x}{x} \iff 1=2+3x \iff 3x=-1 \iff x=-\frac{1}{3} \]

Ensuite, on a bien \(x\neq 0\). Ordonnée : \(y=\frac{1}{-\frac{1}{3}}=-3\). De plus, il y a un seul point d’intersection : \(\left(-\frac{1}{3}\,;-3\right)\).

1. La fonction carré a pour courbe une parabole de sommet l’origine : c’est la courbe orange, qui représente \(f\). Ensuite, la fonction affine \(g\) a pour courbe une droite : c’est la droite verte, qui coupe l’axe des ordonnées en 6 (\(g(0)=6\)).

2. \(x^2=x+6\) revient à \(f(x)=g(x)\) : on lit les abscisses des points d’intersection de la parabole et de la droite. Par ailleurs, on trouve environ \(x\approx -2\) et \(x\approx 3\). (Le dessin est un peu approximatif, d’où l’intérêt de la vérification algébrique.)

3. a)

\[ (x-3)(x+2)=x^2+2x-3x-6=x^2-x-6 \]

b) \(x^2=x+6 \iff x^2-x-6=0 \iff (x-3)(x+2)=0\). Puis un produit est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul :

\[ x-3=0 \iff x=3 \qquad\text{ou}\qquad x+2=0 \iff x=-2 \]

Puis on retrouve exactement les solutions lues : \(S=\{-2\,;3\}\). (Vérification : \((-2)^2=4=-2+6\) et \(3^2=9=3+6\).)

1. La courbe de la fonction inverse est une hyperbole formée de deux branches : c’est la courbe rouge (\(f\)). Ensuite, la fonction affine \(g\) est représentée par une droite : la droite violette, qui passe par \((0\,;1)\) (car \(g(0)=1\)) et monte de 2 quand \(x\) augmente de 1.

2. \(\frac{1}{x}=2x+1\) revient à \(f(x)=g(x)\). Puis les deux courbes se coupent aux points \((-1\,;-1)\) et \((0{,}5\,;2)\) : les solutions lues sont \(x=-1\) et \(x=0{,}5\).

3. a)

\[ (2x-1)(x+1)=2x^2+2x-x-1=2x^2+x-1 \]

b) Pour \(x\neq 0\), on multiplie les deux membres par \(x\) :

\[ \frac{1}{x}=2x+1 \iff 1=2x^2+x \iff 2x^2+x-1=0 \iff (2x-1)(x+1)=0 \]

Donc \(2x-1=0\), soit \(x=\frac{1}{2}\), ou \(x+1=0\), soit \(x=-1\). De plus, ces deux valeurs sont non nulles : \(S=\left\{-1\,;\frac{1}{2}\right\}\), ce qui confirme la lecture graphique. (Vérification : \(\frac{1}{0{,}5}=2=2\times 0{,}5+1\) et \(\frac{1}{-1}=-1=2\times(-1)+1\).)

Attention à l’échelle : en abscisse, un carreau vaut 0,5 (les graduations 2 et 4 sont tous les quatre carreaux).

1. On trace la droite \(y=1\) : elle coupe la courbe en deux points d’abscisses \(x\approx -0{,}8\) et \(x\approx 4{,}8\).

2. a) Dans le tableau, \(f(4{,}8)=0{,}92\lt 1\) et \(f(4{,}9)=1{,}205\gt 1\). De plus, comme \(f\) est croissante sur cette partie de la courbe, la solution est entre les deux : \(4{,}8\lt x\lt 4{,}9\).

b) L’encadrement a une amplitude de \(4{,}9-4{,}8=0{,}1\) : c’est une approximation au dixième près.

3. L’autre solution est près de \(-0{,}8\). Par ailleurs, À la calculatrice (\(f\) est décroissante sur \([-2\,;2]\)) :

• \(f(-0{,}9)=0{,}405+1{,}8-1=1{,}205\gt 1\) et \(f(-0{,}8)=0{,}32+1{,}6-1=0{,}92\lt 1\), donc \(-0{,}9\lt x\lt -0{,}8\) (au dixième) ;
• \(f(-0{,}83)=0{,}34445+1{,}66-1=1{,}00445\gt 1\) et \(f(-0{,}82)=0{,}3362+1{,}64-1=0{,}9762\lt 1\), donc \(-0{,}83\lt x\lt -0{,}82\) (au centième).

(La valeur exacte, qu’on saura calculer plus tard, est \(2-2\sqrt{2}\approx -0{,}828\).)

On prend un carreau pour unité sur chaque axe. Ensuite, une courbe représente une fonction si et seulement si chaque réel \(x\) a au plus une image : autrement dit, toute droite verticale coupe la courbe en un point au maximum.

Ainsi, ici, la courbe contient un segment vertical d’abscisse \(1\), qui va de l’ordonnée \(1\) à l’ordonnée \(2\). Par ailleurs, la droite verticale d’équation \(x = 1\) coupe donc la courbe en une infinité de points : \((1\,;\,1)\), \((1\,;\,1{,}5)\), \((1\,;\,2)\)…

De même, le réel \(1\) aurait donc plusieurs images, ce qui est impossible pour une fonction. Puis la question de l’ensemble de définition ne se pose pas.

On prend un carreau pour unité. Ensuite, toute droite verticale d’abscisse comprise entre \(-2\) et \(2\) coupe la courbe en un seul point, et les autres droites verticales ne la coupent pas : chaque réel a au plus une image. Ensuite, la courbe est donc bien la représentation graphique d’une fonction \(f\).

Puis l’ensemble de définition se lit sur l’axe des abscisses : c’est l’ensemble des abscisses des points de la courbe. Puis la courbe commence en \(x = -2\) et se termine en \(x = 2\), extrémités comprises (les points \((-2\,;\,0)\) et \((2\,;\,0)\) appartiennent à la courbe).

De plus, on lit aussi par exemple \(f(-2) = 0\), \(f(0) = 2\), \(f(2) = 0\).

La courbe est un cercle de centre O et de rayon 1 (un carreau). De plus, on applique le test de la droite verticale : prenons par exemple la droite d’équation \(x = 0{,}5\). Ensuite, elle coupe le cercle en deux points, l’un au-dessus de l’axe des abscisses, l’autre en dessous.

Par ailleurs, le réel \(0{,}5\) aurait donc deux images. Ainsi, c’est vrai pour tout réel de l’intervalle \(\left]-1\,;\,1\right[\) : par exemple, les points \((0\,;\,1)\) et \((0\,;\,-1)\) sont tous les deux sur le cercle, donc \(0\) aurait deux images, \(1\) et \(-1\). Or une fonction associe à chaque réel une seule image.

On prend un carreau pour unité sur chaque axe. Par ailleurs, la courbe relie les points \((-3\,;\,-1)\), \((-2\,;\,0)\), \((-1\,;\,2)\), \((0\,;\,0)\) et \((2\,;\,2)\).

a. L’ensemble de définition est l’ensemble des abscisses des points de \(\mathcal{C}\) : la courbe va de l’abscisse \(-3\) à l’abscisse \(2\), extrémités comprises.

\[ D = [-3\,;\,2] \]

b. Les points d’ordonnée nulle sont les points où la courbe coupe l’axe des abscisses : ce sont les points \((-2\,;\,0)\) et \((0\,;\,0)\). De même, autrement dit, \(f(x) = 0\) a pour solutions \(-2\) et \(0\).

c. Le point d’abscisse nulle est le point où la courbe coupe l’axe des ordonnées : c’est l’origine O\((0\,;\,0)\), car \(f(0) = 0\).

d. Le signe de \(f(x)\) se lit à la position de la courbe par rapport à l’axe des abscisses : \(f(x) \lt 0\) quand la courbe est en dessous, \(f(x) \gt 0\) quand elle est au-dessus.

• Sur \([-3\,;\,-2[\), la courbe est sous l’axe : \(f(x) \lt 0\).
• En \(-2\) et en \(0\) : \(f(x) = 0\).
• Sur \(]-2\,;\,0[\) et sur \(]0\,;\,2]\), la courbe est au-dessus de l’axe : \(f(x) \gt 0\).

\(f(x) = 2x – 3\) et \(g(x) = -\dfrac{1}{2}x + 6\) sont des fonctions affines : leurs courbes sont des droites.

a. On résout l’inéquation \(f(x) \lt g(x)\) :

\[ \begin{aligned} 2x – 3 \lt -\tfrac{1}{2}x + 6 &\iff 2x + \tfrac{1}{2}x \lt 6 + 3 \\ &\iff \tfrac{5}{2}x \lt 9 \\ &\iff x \lt \tfrac{18}{5} = 3{,}6 \end{aligned} \]

Ensuite, on a \(f(x) \lt g(x)\) sur l’intervalle \(\left]-\infty\,;\,3{,}6\right[\) : sur cet intervalle, la droite de \(f\) est sous celle de \(g\).

b. Le point A a pour abscisse la solution de \(f(x) = g(x)\), c’est-à-dire \(x = \dfrac{18}{5} = 3{,}6\) (même calcul avec une égalité). Puis son ordonnée :

\[ f(3{,}6) = 2 \times 3{,}6 – 3 = 4{,}2 \qquad \text{(vérification : } g(3{,}6) = -1{,}8 + 6 = 4{,}2\text{)} \]

Donc A\((3{,}6\,;\,4{,}2)\), soit A\(\left(\dfrac{18}{5}\,;\,\dfrac{21}{5}\right)\).

c. La droite d’équation \(y = 4\) est horizontale. Puis l’ordonnée de A vaut \(4{,}2\) et \(4{,}2 \gt 4\) : A est au-dessus de la droite \(y = 4\).

d. A est au-dessus de la droite \(y = k\) lorsque \(4{,}2 \gt k\). Ensuite, les entiers relatifs \(k\) inférieurs à \(4{,}2\) sont \(4, 3, 2, 1, 0, -1, \dots\) : il faut donc \(k \leqslant 4\).

On trace la parabole \(\mathcal{C}_f\) d’équation \(y = x^2\) et les deux droites horizontales d’équations \(y = 6\) (courbe de \(g\)) et \(y = 2\) (courbe de \(h\)).

a. Points d’intersection : \(x^2 = 6\) pour \(x = -\sqrt{6}\) ou \(x = \sqrt{6}\) (environ \(\pm 2{,}45\)) ; \(x^2 = 2\) pour \(x = -\sqrt{2}\) ou \(x = \sqrt{2}\) (environ \(\pm 1{,}41\)).

• \(f(x) \leqslant g(x)\) : la parabole est sur ou sous la droite \(y = 6\) entre \(-\sqrt{6}\) et \(\sqrt{6}\), bornes comprises (inégalité large). \(S_1 = \left[-\sqrt{6}\,;\,\sqrt{6}\right]\).
• \(f(x) \geqslant h(x)\) : la parabole est sur ou au-dessus de la droite \(y = 2\) à gauche de \(-\sqrt{2}\) et à droite de \(\sqrt{2}\). \(S_2 = \left]-\infty\,;\,-\sqrt{2}\right] \cup \left[\sqrt{2}\,;\,+\infty\right[\).

b. La double inéquation \(h(x) \leqslant f(x) \leqslant g(x)\) demande que les deux conditions soient vraies en même temps : la parabole doit être entre les deux droites. Puis on prend donc les \(x\) communs à \(S_1\) et \(S_2\) :

\[ S = \left[-\sqrt{6}\,;\,-\sqrt{2}\right] \cup \left[\sqrt{2}\,;\,\sqrt{6}\right] \]

À la calculatrice, la courbe de \(f(x) = x^2 – 2\) est une parabole de sommet \((0\,;\,-2)\), et celle de \(g(x) = 5\) est la droite horizontale d’équation \(y = 5\).

a. \(f(x) \leqslant g(x)\) : on cherche les abscisses des points de la parabole situés sur ou sous la droite \(y = 5\). De plus, les points d’intersection vérifient \(x^2 – 2 = 5\), soit \(x^2 = 7\), donc \(x = -\sqrt{7}\) ou \(x = \sqrt{7}\) (environ \(\pm 2{,}65\)).

\[ S_a = \left[-\sqrt{7}\,;\,\sqrt{7}\right] \]

b. \(0 \leqslant f(x) \leqslant g(x)\) : la parabole doit être au-dessus de l’axe des abscisses (ou dessus) et sous la droite \(y = 5\) (ou dessus). Ensuite, la parabole coupe l’axe des abscisses quand \(x^2 – 2 = 0\), soit \(x = \pm\sqrt{2}\) (environ \(\pm 1{,}41\)) ; entre \(-\sqrt{2}\) et \(\sqrt{2}\), elle est sous l’axe, donc ces valeurs sont exclues.

\[ S_b = \left[-\sqrt{7}\,;\,-\sqrt{2}\right] \cup \left[\sqrt{2}\,;\,\sqrt{7}\right] \]

a. et b. La courbe de \(f(x) = (x – 1)^2\) sur \([-2\,;\,4]\) est un arc de parabole de sommet \((1\,;\,0)\), qui va de \((-2\,;\,9)\) à \((4\,;\,9)\). Par ailleurs, la courbe de \(g(x) = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{5}{2}\) est une droite passant par \((-1\,;\,2)\) et \((3\,;\,4)\).

c. \(f(x) \leqslant g(x)\) : on cherche les abscisses des points où la parabole est sur ou sous la droite. Puis les deux courbes se coupent aux points d’abscisses \(-0{,}5\) et \(3\) ; entre les deux, la parabole est sous la droite. Graphiquement : \(S = [-0{,}5\,;\,3]\).

Développer et vérifier (question d)

d. On développe le membre de droite :

\[ \begin{aligned} \left(x + \tfrac{1}{2}\right)(x – 3) &= x^2 – 3x + \tfrac{1}{2}x – \tfrac{3}{2} \\ &= x^2 – \tfrac{5}{2}x – \tfrac{3}{2} \end{aligned} \]

De plus, l’égalité est donc vraie pour tout réel \(x\).

e. On se ramène à une comparaison avec 0 :

\[ \begin{aligned} f(x) – g(x) &= x^2 – 2x + 1 – \tfrac{1}{2}x – \tfrac{5}{2} \\ &= x^2 – \tfrac{5}{2}x – \tfrac{3}{2} = \left(x + \tfrac{1}{2}\right)(x – 3) \end{aligned} \]

Donc \(f(x) \leqslant g(x) \iff \left(x + \tfrac{1}{2}\right)(x – 3) \leqslant 0\). \(x + \tfrac{1}{2}\) s’annule en \(-\tfrac{1}{2}\) et \(x – 3\) en \(3\). Par ailleurs, tableau de signes sur \([-2\,;\,4]\), ensemble de définition de \(f\) :

Ainsi, le produit est négatif ou nul sur \(\left[-\tfrac{1}{2}\,;\,3\right]\), qui est bien inclus dans \([-2\,;\,4]\). Ensuite, on retrouve la lecture graphique de la question c.

a. La courbe de \(f(x) = x^2\) sur \([-3\,;\,3]\) est un arc de parabole de sommet O, qui va de \((-3\,;\,9)\) à \((3\,;\,9)\) en passant par \((\pm 1\,;\,1)\) et \((\pm 2\,;\,4)\).

Trouver la droite du bas

b. Les courbes d’équations \(y = x + q\) et \(y = x + p\) sont des droites parallèles de coefficient directeur 1. Puis on veut que la parabole soit entre ces deux droites exactement pour \(x \in [-2\,;\,3]\).

• Droite du haut \(y = x + p\). Aux bornes \(-2\) et \(3\), la parabole doit toucher cette droite (sinon l’ensemble des solutions déborderait ou s’arrêterait avant). Les points de la parabole d’abscisses \(-2\) et \(3\) sont \((-2\,;\,4)\) et \((3\,;\,9)\). La droite passant par ces deux points a pour coefficient directeur \(\dfrac{9 – 4}{3 – (-2)} = 1\), et \(4 = -2 + p\) donne \(p = 6\). On vérifie : \(x^2 – x – 6 = (x + 2)(x – 3)\), qui est négatif ou nul exactement sur \([-2\,;\,3]\). Donc \(x^2 \leqslant x + 6 \iff x \in [-2\,;\,3]\).
• Droite du bas \(y = x + q\). Elle doit rester sous la parabole sur tout \([-2\,;\,3]\), pour ne retirer aucune solution. On a \(x^2 – x = \left(x – \tfrac{1}{2}\right)^2 – \tfrac{1}{4} \geqslant -\tfrac{1}{4}\) : il faut \(q \leqslant -\tfrac{1}{4}\), et comme \(q\) est un entier relatif, \(q \leqslant -1\). Par exemple \(q = -1\) : \(x^2 – x + 1 = \left(x – \tfrac{1}{2}\right)^2 + \tfrac{3}{4} \gt 0\), donc \(x – 1 \lt x^2\) pour tout réel \(x\).

De même, avec \(p = 6\) et \(q = -1\), l’ensemble des solutions de \(x – 1 \leqslant x^2 \leqslant x + 6\) sur \([-3\,;\,3]\) est bien \([-2\,;\,3]\). De plus, pour \(p\), il n’y a pas d’autre choix : avec \(p = 7\), \(x = -2{,}1\) serait aussi solution car \(4{,}41 \leqslant 4{,}9\) ; avec \(p = 5\), \(x = 3\) ne serait plus solution car \(9 \gt 8\).

La fonction inverse est \(f(x) = \dfrac{1}{x}\) sur \(\mathbb{R}^*\) et \(g(x) = x + p\). Ensuite, dire que le réel \(5\) appartient à l’ensemble des solutions de \(f(x) \leqslant g(x)\), c’est dire que l’inégalité est vraie pour \(x = 5\) :

\[ \begin{aligned} f(5) \leqslant g(5) &\iff \frac{1}{5} \leqslant 5 + p \\ &\iff p \geqslant \frac{1}{5} – 5 \\ &\iff p \geqslant -\frac{24}{5} = -4{,}8 \end{aligned} \]

Puis graphiquement, il faut que le point de l’hyperbole d’abscisse 5, M\((5\,;\,0{,}2)\), soit sur ou sous la droite \(y = x + p\). De plus, quand \(p\) diminue, la droite descend ; la position limite est celle où la droite passe par M, c’est-à-dire \(0{,}2 = 5 + p\).

a. et b. La courbe de \(f(x) = \dfrac{1}{2}x^2 – 2x + 2\) est une parabole de sommet \((2\,;\,0)\) ; celles de \(g\) et \(k\) sont les droites horizontales d’équations \(y = 1\) et \(y = \dfrac{9}{2} = 4{,}5\).

c. On lit les abscisses des points d’intersection :

• \(f(x) = g(x)\) : la parabole coupe la droite \(y = 1\) en deux points, d’abscisses \(x \approx 0{,}6\) et \(x \approx 3{,}4\).
• \(f(x) = k(x)\) : la parabole coupe la droite \(y = 4{,}5\) en deux points, d’abscisses \(x \approx -1\) et \(x \approx 5\).

d. On développe :

\[ \frac{1}{2}(x – 2)^2 = \frac{1}{2}\left(x^2 – 4x + 4\right) = \frac{1}{2}x^2 – 2x + 2 = f(x) \]

e. Avec cette forme :

\[ \begin{aligned} f(x) = 1 &\iff (x – 2)^2 = 2 \iff x – 2 = \sqrt{2} \ \text{ou} \ x – 2 = -\sqrt{2} \\ &\iff x = 2 + \sqrt{2} \ \text{ou} \ x = 2 – \sqrt{2} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} f(x) = \tfrac{9}{2} &\iff (x – 2)^2 = 9 \iff x – 2 = 3 \ \text{ou} \ x – 2 = -3 \\ &\iff x = 5 \ \text{ou} \ x = -1 \end{aligned} \]

Par ailleurs, on retrouve les lectures graphiques : \(2 – \sqrt{2} \approx 0{,}59\) et \(2 + \sqrt{2} \approx 3{,}41\).

f. \(g(x) \leqslant f(x) \leqslant k(x)\) : la parabole doit être entre les droites \(y = 1\) et \(y = 4{,}5\). Ensuite, elle est sous \(y = 4{,}5\) sur \([-1\,;\,5]\), et au-dessus de \(y = 1\) en dehors de \(\left]2 – \sqrt{2}\,;\,2 + \sqrt{2}\right[\). Par ailleurs, en combinant :

\[ S = \left[-1\,;\,2 – \sqrt{2}\right] \cup \left[2 + \sqrt{2}\,;\,5\right] \]

La courbe de \(f(x) = (x + 1)^2 – 4\) est une parabole de sommet \((-1\,;\,-4)\).

a. On trace la droite \(y = -3\) et l’axe des abscisses (\(y = 0\)). Puis on cherche les abscisses des points de la parabole situés entre ces deux droites (bornes comprises).

• La parabole coupe l’axe des abscisses en \(x = -3\) et \(x = 1\).
• Elle coupe la droite \(y = -3\) en \(x = -2\) et \(x = 0\).

Ainsi, la parabole est entre les deux droites sur \([-3\,;\,-2]\) (branche de gauche) et sur \([0\,;\,1]\) (branche de droite). Graphiquement : \(S = [-3\,;\,-2] \cup [0\,;\,1]\).

b. En ajoutant 4 à chaque membre :

\[ -3 \leqslant (x + 1)^2 – 4 \leqslant 0 \iff 1 \leqslant (x + 1)^2 \leqslant 4 \]

• \((x + 1)^2 \leqslant 4 \iff (x + 1)^2 – 2^2 \leqslant 0 \iff (x + 3)(x – 1) \leqslant 0\). Le produit s’annule en \(-3\) et en \(1\) et il est négatif entre ses racines (tableau de signes) : \(x \in [-3\,;\,1]\).
• \((x + 1)^2 \geqslant 1 \iff (x + 1)^2 – 1^2 \geqslant 0 \iff x(x + 2) \geqslant 0\). Le produit s’annule en \(-2\) et en \(0\) et il est positif à l’extérieur des racines : \(x \in \left]-\infty\,;\,-2\right] \cup \left[0\,;\,+\infty\right[\).

De même, les deux conditions doivent être vraies en même temps, on prend les \(x\) communs :

\[ S = [-3\,;\,-2] \cup [0\,;\,1] \]

Vérification : \(f(-3) = 0\), \(f(-2) = -3\), \(f(0) = -3\), \(f(1) = 0\).

a. On enlève les valeurs absolues selon le signe de \(x + 1\) et de \(x – 1\) (rappel : \(|a| = a\) si \(a \geqslant 0\) et \(|a| = -a\) si \(a \leqslant 0\)) :

• si \(x \leqslant -1\) : \(f(x) = -2(-x – 1) + 3(1 – x) + 2x = 2x + 2 + 3 – 3x + 2x\), soit \(f(x) = x + 5\) ;
• si \(-1 \leqslant x \leqslant 1\) : \(f(x) = -2(x + 1) + 3(1 – x) + 2x = -2x – 2 + 3 – 3x + 2x\), soit \(f(x) = -3x + 1\) ;
• si \(x \geqslant 1\) : \(f(x) = -2(x + 1) + 3(x – 1) + 2x = -2x – 2 + 3x – 3 + 2x\), soit \(f(x) = 3x – 5\).

Ensuite, la courbe est donc formée de trois segments : de \((-10\,;\,-5)\) à \((-1\,;\,4)\), puis de \((-1\,;\,4)\) à \((1\,;\,-2)\), puis de \((1\,;\,-2)\) à \((10\,;\,25)\). Puis c’est ce qu’affiche la calculatrice.

Compter les solutions (question b)

b. Les solutions de \(f(x) = \lambda\) sont les abscisses des points d’intersection de la courbe avec la droite horizontale \(y = \lambda\). Ensuite, on fait monter cette droite ; les valeurs remarquables sont \(-2\) (minimum local, en \(x = 1\)) et \(4\) (maximum local, en \(x = -1\)). De plus, sur \(\mathbb{R}\), la première branche descend vers \(-\infty\) et la troisième monte vers \(+\infty\).

• \(\lambda \lt -2\) : la droite ne coupe que la branche de gauche : une solution, \(x = \lambda – 5\).
• \(\lambda = -2\) : deux solutions, \(x = -7\) et \(x = 1\).
• \(-2 \lt \lambda \lt 4\) : la droite coupe les trois segments : trois solutions, \(x = \lambda – 5\), \(x = \dfrac{1 – \lambda}{3}\) et \(x = \dfrac{\lambda + 5}{3}\).
• \(\lambda = 4\) : deux solutions, \(x = -1\) et \(x = 3\).
• \(\lambda \gt 4\) : la droite ne coupe que la branche de droite : une solution, \(x = \dfrac{\lambda + 5}{3}\).

Exemple : pour \(\lambda = 0\), on trouve trois solutions, \(-5\), \(\dfrac{1}{3}\) et \(\dfrac{5}{3}\). Par ailleurs, si l’on se limite à l’intervalle \([-10\,;\,10]\) de la question a, la branche de gauche n’existe que pour \(\lambda \geqslant -5\) et celle de droite que pour \(\lambda \leqslant 25\) : pour \(\lambda \lt -5\) ou \(\lambda \gt 25\), il n’y a alors aucune solution dans cet intervalle.