Simulation et échantillonnage en seconde : corrigé détaillé des exercices

Au programme de seconde, pour une proportion \( p \) et un échantillon de taille \( n \), l’intervalle de fluctuation au seuil de 95 % est :

\[ I = \left[ p – \frac{1}{\sqrt{n}} \,;\, p + \frac{1}{\sqrt{n}} \right] \]

Sa longueur vaut donc \( \left(p + \frac{1}{\sqrt{n}}\right) – \left(p – \frac{1}{\sqrt{n}}\right) = \frac{2}{\sqrt{n}} \) : elle ne dépend que de \( n \).

a) Pour \( n = 1600 \) :

\[ \begin{aligned} \sqrt{1600} &= 40 \\ \frac{2}{\sqrt{1600}} &= \frac{2}{40} = 0{,}05 \end{aligned} \]

Avec \( p = 0{,}04 \), on obtient \( I = [0{,}04 – 0{,}025 \,;\, 0{,}04 + 0{,}025] = [0{,}015 \,;\, 0{,}065] \). La longueur de I est 0,05.

b) On cherche \( n \) tel que la longueur soit \( \frac{0{,}05}{2} = 0{,}025 \) :

\[ \begin{aligned} \frac{2}{\sqrt{n}} &= 0{,}025 \\ \sqrt{n} &= \frac{2}{0{,}025} = 80 \\ n &= 80^2 = 6400 \end{aligned} \]

Pour diviser la longueur par 2, il faut multiplier \( \sqrt{n} \) par 2, donc multiplier la taille de l’échantillon par 4.

a) Un numéro supérieur ou égal à 5, c’est 5 ou 6 : 2 issues sur 6, donc une probabilité de \( \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \). Algorithme en langage naturel :

S ← 0
Pour i allant de 1 à 50
    D ← nombre entier aléatoire entre 1 et 6
    Si D ≥ 5 alors S ← S + 1
Fin Pour
F ← S / 50
Afficher F

La variable S compte les succès (5 ou 6) ; la fréquence est le nombre de succès divisé par le nombre de lancers.

b) Traduction en Python :

from random import randint
S = 0
for i in range(50):
    D = randint(1, 6)
    if D >= 5:
        S = S + 1
print(S / 50)

Lors d’une exécution, on a obtenu 17 lancers donnant 5 ou 6, soit une fréquence de \( \frac{17}{50} = 0{,}34 \). Le résultat change à chaque exécution : c’est la fluctuation d’échantillonnage. Les fréquences affichées sont en général proches de \( \frac{1}{3} \approx 0{,}33 \) : dans environ 95 % des cas, elles se situent entre \( \frac{1}{3} – \frac{1}{\sqrt{50}} \approx 0{,}19 \) et \( \frac{1}{3} + \frac{1}{\sqrt{50}} \approx 0{,}47 \).

a) On modélise la cueillette d’une fleur par un nombre aléatoire \( x \) de \( [0 \,;\, 1[ \) : si \( x \lt 0{,}6 \), la fleur est bleue (cela arrive avec une probabilité 0,6), sinon elle est jaune.

B ← 0
Pour i allant de 1 à 45
    x ← nombre aléatoire de [0 ; 1[
    Si x < 0,6 alors B ← B + 1
Fin Pour
Afficher B / 45

En Python : from random import random puis une boucle for i in range(45) dans laquelle on ajoute 1 à B lorsque random() < 0.6 ; on affiche enfin B / 45.

b) Il suffit de remplacer 45 par une variable n saisie par l’utilisateur :

Saisir n
B ← 0
Pour i allant de 1 à n
    x ← nombre aléatoire de [0 ; 1[
    Si x < 0,6 alors B ← B + 1
Fin Pour
Afficher B / n

En Python : n = int(input(« Taille de l’échantillon : « )), puis for i in range(n) et print(B / n).

La fonction ALEA() renvoie un nombre aléatoire de l’intervalle \( [0 \,;\, 1[ \) : 0 peut sortir, 1 jamais.

a) =ALEA() affiche un nombre de \( [0 \,;\, 1[ \).

b) Si \( 0 \leqslant x \lt 1 \), alors \( 0 + 0{,}65 \leqslant x + 0{,}65 \lt 1 + 0{,}65 \), donc =ALEA()+0,65 affiche un nombre de \( [0{,}65 \,;\, 1{,}65[ \).

c) \( \frac{1}{4} = 0{,}25 \), donc =ALEA()+1/4 affiche un nombre de \( [0{,}25 \,;\, 1{,}25[ \).

ENT donne la partie entière. Si \( x = \text{ALEA()} \) est dans \( [0 \,;\, 1[ \) et \( a \) dans \( ]0 \,;\, 1[ \), alors \( x + a \) est dans \( [a \,;\, 1 + a[ \), donc ENT(\( x + a \)) vaut 0 ou 1. Il vaut 1 lorsque \( x + a \geqslant 1 \), c’est-à-dire \( x \geqslant 1 – a \). Comme ALEA() est uniforme sur \( [0 \,;\, 1[ \), la probabilité que \( x \geqslant 1 – a \) est la longueur de \( [1 – a \,;\, 1[ \), soit \( a \).

a) =ENT(ALEA()+0,5) : \( P(1) = 0{,}5 \) et \( P(0) = 1 – 0{,}5 = 0{,}5 \).

b) =ENT(ALEA()+0,27) : le résultat vaut 1 si ALEA() \( \geqslant 0{,}73 \). \( P(1) = 0{,}27 \) et \( P(0) = 0{,}73 \).

c) =ENT(ALEA()+4/7) : \( P(1) = \frac{4}{7} \) et \( P(0) = 1 – \frac{4}{7} = \frac{3}{7} \).

a) ALEA() est dans \( [0 \,;\, 1[ \), donc ALEA()+0,6 est dans \( [0{,}6 \,;\, 1{,}6[ \) et =ENT(ALEA()+0,6) vaut 0 ou 1. Il vaut 1 quand ALEA() \( \geqslant 0{,}4 \), ce qui arrive avec une probabilité \( 1 – 0{,}4 = 0{,}6 \). On associe donc 1 à un haricot blanc (probabilité 0,6) et 0 à un haricot rouge (probabilité 0,4) : chaque cellule simule un tirage avec remise.

b) On saisit =ENT(ALEA()+0,6) en A1 et on recopie la formule jusqu’en A38 ; en B1, =SOMME(A1:A38) compte les haricots blancs. Lors d’une simulation, on a obtenu :

0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0

soit 26 haricots blancs sur 38.

c) La fréquence des haricots blancs dans cet échantillon est :

\[ f = \frac{26}{38} = \frac{13}{19} \approx 0{,}68 \]

Elle n’est pas égale à 0,6 car l’échantillon est tiré au hasard : la composition change d’un échantillon à l’autre. C’est la fluctuation d’échantillonnage. 0,6 est la proportion dans le sac ; la fréquence observée s’en approche seulement, d’autant mieux que l’échantillon est grand.

a) Avec la commande « nombre aléatoire » (NbrAléat, Ran# ou rand selon la calculatrice), on obtient un nombre de \( [0 \,;\, 1[ \). On convient qu’un nombre inférieur à 0,75 représente une perle dorée (probabilité 0,75) et un nombre supérieur ou égal à 0,75 une perle argentée. On peut aussi saisir ent(NbrAléat + 0,75), qui renvoie 1 pour une perle dorée et 0 pour une perle argentée, puis appuyer 45 fois sur Entrée. Une simulation a donné :

1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0

soit 31 perles dorées et 14 perles argentées.

b) Fréquence des perles dorées dans ce collier :

\[ f = \frac{31}{45} \approx 0{,}69 \]

Cette fréquence n’est pas nécessairement égale à 0,75 : le collier n’est qu’un échantillon tiré au hasard, sa composition fluctue d’un collier à l’autre. Au seuil de 95 %, les fréquences se situent en général entre \( 0{,}75 – \frac{1}{\sqrt{45}} \approx 0{,}60 \) et \( 0{,}75 + \frac{1}{\sqrt{45}} \approx 0{,}90 \) ; 0,69 est bien dans cet intervalle.

Il y a \( 200 \) échantillons (on vérifie : la somme des effectifs N vaut 200). Il faut un intervalle centré en 0,38 qui contient au moins 95 % des échantillons, soit au moins \( 0{,}95 \times 200 = 190 \) échantillons. On élargit l’intervalle pas à pas de 0,02 de chaque côté :

L’intervalle \( [0{,}28 \,;\, 0{,}48] \) ne contient que 88,5 % des échantillons ; \( [0{,}26 \,;\, 0{,}50] \) en contient 191, soit \( \frac{191}{200} = 95{,}5\ \% \geqslant 95\ \% \).

On peut comparer avec la formule du cours : \( \left[0{,}38 – \frac{1}{\sqrt{50}} \,;\, 0{,}38 + \frac{1}{\sqrt{50}}\right] \approx [0{,}24 \,;\, 0{,}52] \), un intervalle voisin.

La formule du cours \( \left[ p – \frac{1}{\sqrt{n}} \,;\, p + \frac{1}{\sqrt{n}} \right] \) s’applique lorsque \( n \geqslant 25 \) et \( 0{,}2 \leqslant p \leqslant 0{,}8 \).

a) Ici \( n = 100 \geqslant 25 \) et \( \frac{1}{\sqrt{100}} = \frac{1}{10} = 0{,}1 \).

Blé : \( p = 0{,}58 \), qui est bien entre 0,2 et 0,8 :

\[ I_{\text{blé}} = [0{,}58 – 0{,}1 \,;\, 0{,}58 + 0{,}1] = [0{,}48 \,;\, 0{,}68] \]

Épeautre : \( p = 0{,}22 \), qui est bien entre 0,2 et 0,8 :

\[ I_{\text{épeautre}} = [0{,}22 – 0{,}1 \,;\, 0{,}22 + 0{,}1] = [0{,}12 \,;\, 0{,}32] \]

b) Pour le riz rouge et pour les lentilles, \( p = 0{,}1 \). Or \( 0{,}1 \lt 0{,}2 \) : la condition \( 0{,}2 \leqslant p \leqslant 0{,}8 \) n’est pas remplie, donc la formule du cours ne peut pas être utilisée. (Elle donnerait d’ailleurs \( [0 \,;\, 0{,}2] \), un intervalle trop large, dont la borne inférieure 0 n’a guère de sens.)

La fréquence observée de bébés présentant une déformation du crâne est :

\[ f = \frac{205}{440} \approx 0{,}466 \]

Avec \( n = 440 \), on a \( \frac{1}{\sqrt{440}} \approx 0{,}048 \). Règle de décision : si \( f \) n’appartient pas à l’intervalle de fluctuation au seuil de 95 % associé à la proportion \( p \), on rejette \( p \) (avec un risque d’erreur de 5 %) ; sinon on ne la rejette pas.

a) \( p = 0{,}5 \) : \( I = [0{,}5 – 0{,}048 \,;\, 0{,}5 + 0{,}048] \approx [0{,}452 \,;\, 0{,}548] \). Comme \( 0{,}452 \lt 0{,}466 \lt 0{,}548 \), \( f \in I \) : l’étude n’amène pas à rejeter la proportion de 50 %.

b) \( p = 0{,}61 \) : \( I \approx [0{,}562 \,;\, 0{,}658] \). Comme \( 0{,}466 \lt 0{,}562 \), \( f \notin I \) : l’étude amène à rejeter la proportion de 61 %.

c) \( p = 0{,}03 \) : ici \( p \lt 0{,}2 \), la formule n’est pas applicable. On raisonne avec l’intervalle de confiance au niveau 95 % de la proportion, donné par la fréquence observée :

\[ \left[ f – \frac{1}{\sqrt{n}} \,;\, f + \frac{1}{\sqrt{n}} \right] \approx [0{,}418 \,;\, 0{,}514] \]

0,03 est très loin de cet intervalle : 3 % est incompatible avec 205 cas sur 440 (on attendrait environ \( 0{,}03 \times 440 \approx 13 \) bébés). L’étude amène à rejeter la proportion de 3 %.