Sections de solides, latitude et longitude : corrigé du contrôle de maths en 3ème
Voici le corrigé du contrôle de maths en 3ème sur le thème « sections de solides, latitude et longitude », question par question.
Cette correction reprend les cinq exercices avec une rédaction de niveau brevet. Pour chaque section, elle donne la nature de la figure puis justifie ses dimensions par la face ou le rayon correspondant. Le calcul du rayon de la section de boule est rédigé avec le théorème de Pythagore, et la figure est reprise avec la longueur trouvée.
Dans la pyramide, le coefficient de réduction sert deux fois : pour les longueurs, puis au cube pour le volume. Enfin, les calculs sur le globe détaillent la proportion d’un grand cercle et l’usage du cosinus pour le rayon d’un parallèle. Compare ta copie avec le barème proposé sous chaque exercice.
L’énoncé complet se trouve ici : Sections de solides, latitude et longitude : contrôle de maths en 3ème.
Barème du contrôle corrigé : sections de solides, latitude et longitude
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Sections d’un pavé et d’un cylindre | 4 points |
| 2. La pyramide coupée | 4 points |
| 3. Une boule tranchée | 4 points |
| 4. Se repérer dans un pavé | 3 points |
| 5. Latitude, longitude et distances | 5 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : sections de solides, latitude et longitude
Exercice 1 – Sections d’un pavé et d’un cylindre (4 points)
- Le plan est parallèle à la face BCGF, donc la section est un rectangle de mêmes dimensions que cette face. Or BC = AD = 5 cm et BF = AE = 3 cm. Par conséquent, IJKL est un rectangle de 5 cm sur 3 cm. La position de I ne change pas ces dimensions.
- Un plan parallèle aux bases coupe le cylindre selon un disque de même rayon que les bases, soit 4 cm.
\(\text{Aire} = \pi \times 4^2 = 16\pi \approx 50{,}3\)
La section est un disque de rayon 4 cm, d’aire environ \(50{,}3\text{ cm}^2\). - Un plan qui contient l’axe coupe le cylindre selon un rectangle. Sa largeur est un diamètre de la base, soit \(2 \times 4 = 8\) cm, et sa longueur est la hauteur, 10 cm. La section est donc un rectangle de 8 cm sur 10 cm.
Piège classique : prendre le rayon 4 cm comme largeur du rectangle de la question 3. Pourtant, le plan contient l’axe, donc il coupe la base selon un diamètre.
Exercice 2 – La pyramide coupée (4 points)
- La section d’une pyramide par un plan parallèle à sa base est une réduction de la base. Comme ABCD est un carré, A’B’C’D’ est un carré.
- Le coefficient de réduction est \(k = \dfrac{SO^{\prime}}{SO} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}\).
Ainsi, \(A^{\prime}B^{\prime} = \dfrac{1}{3} \times 6 = 2\).
Le coefficient vaut \(\dfrac{1}{3}\) et A’B’ = 2 cm. - D’abord, \(V_{SABCD} = \dfrac{6^2 \times 9}{3} = \dfrac{324}{3} = 108\), soit \(108\text{ cm}^3\).
Ensuite, dans une réduction de coefficient \(k\), les volumes sont multipliés par \(k^3\) :
\(V_{SA^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}} = \left(\dfrac{1}{3}\right)^3 \times 108 = \dfrac{108}{27} = 4\).
Vérification : \(\dfrac{2^2 \times 3}{3} = 4\). La grande pyramide a un volume de \(108\text{ cm}^3\) et la petite de \(4\text{ cm}^3\).
Piège classique : multiplier le volume par \(\dfrac{1}{3}\) au lieu de \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^3\). En effet, les longueurs sont divisées par 3, mais les volumes par 27.
Exercice 3 – Une boule tranchée (4 points)
- La section d’une boule par un plan est un disque de centre H (son bord est un cercle).
- Le triangle OHM est rectangle en H, et [OM] est un rayon de la boule, donc OM = 13 cm. D’après le théorème de Pythagore :
\(OM^2 = OH^2 + HM^2\)
\(13^2 = 5^2 + HM^2\)
\(HM^2 = 169 – 25 = 144\)
\(HM = \sqrt{144} = 12\)
Le rayon de la section est HM = 12 cm. - \(\text{Aire} = \pi \times 12^2 = 144\pi \approx 452{,}4\). L’aire de la section vaut environ \(452{,}4\text{ cm}^2\).
- Plus le plan est proche du centre, plus la section est grande. Il faut donc couper en passant par O : la section est alors un grand cercle de rayon 13 cm.
Piège classique : écrire \(HM^2 = 13^2 + 5^2\). Or l’hypoténuse est [OM], le côté opposé à l’angle droit, donc on soustrait.
Exercice 4 – Se repérer dans un pavé (3 points)
- B est dans le plan de base, à 4 sur l’axe des abscisses et 3 sur celui des ordonnées : B(4 ; 3 ; 0). Puis F est au-dessus de B, à l’altitude 2 : F(4 ; 3 ; 2). Enfin, G est au-dessus de C : G(0 ; 3 ; 2).
- Les points G(0 ; 3 ; 2) et F(4 ; 3 ; 2) ont la même ordonnée 3 et la même altitude 2 que N. De plus, l’abscisse 2 de N est la moyenne de 0 et 4. N est donc le milieu de l’arête [GF].
- Le centre est le milieu de la grande diagonale [OF], donc ses coordonnées sont \(\left(\dfrac{4}{2} ; \dfrac{3}{2} ; \dfrac{2}{2}\right)\). Le centre du pavé a pour coordonnées \((2 ; 1{,}5 ; 1)\).
Exercice 5 – Latitude, longitude et distances (5 points)
- Les deux villes sont sur le méridien 30° E. De plus, P est sur le parallèle 30° N et Q sur le parallèle 60° N. P(30° N ; 30° E) et Q(60° N ; 30° E).
- Un grand cercle a pour longueur \(2 \times \pi \times 6\,371 \approx 40\,030\) km.
P et Q sont sur le même méridien, et leurs latitudes diffèrent de \(60 – 30 = 30\) degrés. L’arc PQ représente donc \(\dfrac{30}{360} = \dfrac{1}{12}\) d’un grand cercle :
\(\dfrac{2 \times \pi \times 6\,371}{12} \approx 3\,336\).
L’avion parcourt environ 3 336 km. - Dans le triangle OKQ rectangle en K, [OQ] est l’hypoténuse, avec OQ = 6 371 km. Alors :
\(\cos\left(\widehat{OQK}\right) = \dfrac{KQ}{OQ}\)
\(KQ = 6\,371 \times \cos(60^\circ) = 6\,371 \times 0{,}5 = 3\,185{,}5\)
Le rayon du parallèle 60° N est de 3 185,5 km. - \(2 \times \pi \times 3\,185{,}5 \approx 20\,015\). Le parallèle 60° N mesure donc environ 20 015 km. Comme \(KQ\) est la moitié du rayon terrestre, ce parallèle est deux fois plus court que l’équateur (environ 40 030 km).
Piège classique : inverser latitude et longitude. Pourtant, la latitude se lit toujours en premier, du nord au sud, à partir de l’équateur.
À retenir de ce contrôle
- La section d’un pavé droit par un plan parallèle à une face est un rectangle de mêmes dimensions que cette face.
- Une section de pyramide parallèle à la base est une réduction de la base de coefficient k ; le volume est alors multiplié par k au cube.
- La section d’une boule par un plan est un cercle dont on trouve le rayon avec Pythagore dans le triangle formé avec le centre.
- La latitude se lit sur un méridien à partir de l’équateur, la longitude sur l’équateur à partir du méridien de Greenwich.
- Le parallèle de latitude a a pour rayon R multiplié par cos a, où R est le rayon de la Terre.
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