Fonction valeur absolue et comparaisons : corrigé du contrôle de maths en seconde
Voici le corrigé du contrôle de maths en seconde sur le thème « fonction valeur absolue et comparaisons », question par question.
Cette correction reprend chaque question avec la justification attendue en seconde : une définition citée, une lecture graphique décrite ou un calcul posé. Pour la courbe en V, une figure montre les points d’intersection et l’intervalle solution, à côté du tableau de variations complété.
Pour la comparaison de \(x\), \(x^2\) et \(\dfrac{1}{x}\), tu trouveras une démonstration par factorisation, et non une simple observation. De plus, chaque exercice se termine par son barème, puis par les erreurs fréquentes, notamment sur les crochets. Enfin, refais les questions manquées sans regarder la correction, afin de fixer les méthodes.
L’énoncé complet se trouve ici : Fonction valeur absolue et comparaisons : contrôle de maths en seconde.
Barème du contrôle corrigé : fonction valeur absolue et comparaisons
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. La courbe en V | 4 points |
| 2. Équations avec la valeur absolue | 4 points |
| 3. Trois courbes dans un même repère | 4 points |
| 4. Comparer sans calculatrice | 4 points |
| 5. Deux modèles de pénalité | 4 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : fonction valeur absolue et comparaisons
Exercice 1 – La courbe en V (4 points)
- Si \(x \geq 0\), alors \(|x| = x\). Si \(x < 0\), alors \(|x| = -x\).
Ainsi \(|-4| = 4\), \(|2{,}5| = 2{,}5\) et \(|0| = 0\). - La courbe descend jusqu’à l’origine, puis elle remonte. Donc \(f\) est décroissante sur \(]-\infty \,;\, 0]\) et croissante sur \([0 \,;\, +\infty[\). Son minimum vaut 0, atteint en \(x = 0\). Le tableau de variations est dessiné à droite de la figure ci-dessous.
- La droite \(y = 3\) coupe la courbe en deux points, d’abscisses \(-3\) et \(3\). Donc \(S = \{-3 \,;\, 3\}\).
- On cherche les points de la courbe situés strictement sous la droite \(y = 2\). Leurs abscisses sont comprises entre \(-2\) et \(2\), bornes exclues. Donc \(S = ]-2 \,;\, 2[\).
Piège classique : écrire \([-2 \,;\, 2]\) pour \(|x| < 2\). Or l’inégalité est stricte, donc les bornes \(-2\) et \(2\) sont exclues.
Exercice 2 – Équations avec la valeur absolue (4 points)
- Sur la droite graduée, \(x\) et \(-x\) sont à la même distance de 0. Donc \(|-x| = |x|\), c’est-à-dire \(f(-x) = f(x)\). La courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées : la fonction est paire.
- Les nombres situés à distance 7 de 0 sont \(-7\) et \(7\). Donc \(S = \{-7 \,;\, 7\}\).
En revanche, une valeur absolue est une distance, donc elle n’est jamais négative. L’équation \(|x| = -1\) n’a aucune solution. - On cherche les réels situés à une distance de 0 supérieure ou égale à 4. Ce sont ceux qui vérifient \(x \leq -4\) ou \(x \geq 4\). Donc \(S = ]-\infty \,;\, -4] \cup [4 \,;\, +\infty[\).
- Les nombres \(-6\) et \(-2\) appartiennent à \(]-\infty \,;\, 0]\), où \(f\) est décroissante. Or \(-6 < -2\), donc leurs images sont rangées dans l’ordre inverse. Ainsi \(f(-6) > f(-2)\). On le vérifie d’ailleurs : \(6 > 2\).
Piège classique : donner seulement \(x = 7\). Pourtant \(-7\) est aussi à distance 7 de 0, donc l’équation a deux solutions.
Exercice 3 – Trois courbes dans un même repère (4 points)
- \(C_1\) est une droite qui passe par l’origine et par le point \((2 \,;\, 2)\). C’est la courbe de \(g(x) = x\).
Ensuite, \(C_2\) est une parabole qui passe par \((0 \,;\, 0)\) et par \((2 \,;\, 4)\). C’est la courbe de \(h(x) = x^2\).
Enfin, \(C_3\) n’a pas de point d’abscisse 0 et passe par \((2 \,;\, 0{,}5)\). C’est l’hyperbole de \(k(x) = \dfrac{1}{x}\). - Les trois courbes se coupent au point de coordonnées \((1 \,;\, 1)\). Vérifions : \(g(1) = 1\), \(h(1) = 1^2 = 1\) et \(k(1) = \dfrac{1}{1} = 1\). Le point commun est \((1 \,;\, 1)\).
- Sur \(]0 \,;\, 1[\), la courbe \(C_2\) est en dessous, puis vient \(C_1\), et \(C_3\) est au-dessus. Donc \(x^2 < x < \dfrac{1}{x}\).
- Sur \(]1 \,;\, +\infty[\), l’ordre des courbes s’inverse : \(C_3\) est en dessous et \(C_2\) au-dessus. Donc \(\dfrac{1}{x} < x < x^2\).
Exercice 4 – Comparer sans calculatrice (4 points)
- On calcule \(0{,}4^2 = 0{,}16\) et \(\dfrac{1}{0{,}4} = \dfrac{10}{4} = 2{,}5\). Donc \(0{,}16 < 0{,}4 < 2{,}5\), soit \(x^2 < x < \dfrac{1}{x}\).
- On calcule \(5^2 = 25\) et \(\dfrac{1}{5} = 0{,}2\). Donc \(0{,}2 < 5 < 25\), soit \(\dfrac{1}{x} < x < x^2\).
- On factorise : \(x^2 – x = x(x – 1)\).
Si \(x > 1\), alors \(x > 0\) et \(x – 1 > 0\).
Le produit de deux nombres positifs est positif, donc \(x^2 – x > 0\).
Ainsi, pour tout \(x > 1\), \(x^2 > x\).
De même, si \(0 < x < 1\), alors \(x – 1 < 0\), donc \(x(x – 1) < 0\) et \(x^2 < x\). - Comme \(0 < 0{,}93 < 1\), on a \(0{,}93^2 < 0{,}93\).
Puis, comme \(1{,}7 > 1\), son inverse est inférieur à 1. Donc \(\dfrac{1}{1{,}7} < 1{,}7\).
Piège classique : penser qu’un carré est toujours plus grand que le nombre. Cependant, entre 0 et 1, élever au carré rend le nombre plus petit.
Exercice 5 – Deux modèles de pénalité (4 points)
- Avec le modèle V, \(|-0{,}5| = 0{,}5\). Avec le modèle carré, \((-0{,}5)^2 = 0{,}25\). Les coûts sont 0,5 et 0,25.
- Avec le modèle V, \(|2| = 2\). Avec le modèle carré, \(2^2 = 4\). Les coûts sont 2 et 4.
- Modèle V : \(0{,}5 + 0{,}2 + 1{,}5 + 2 = 4{,}2\).
Modèle carré : \(0{,}25 + 0{,}04 + 2{,}25 + 4 = 6{,}54\).
Le coût total vaut 4,2 avec le modèle V et 6,54 avec le modèle carré. - On pose \(X = |e|\), qui est positif, et alors \(e^2 = X^2\). D’après l’exercice 4, si \(0 < X < 1\), alors \(X^2 < X\). Donc le modèle carré coûte moins cher lorsque l’erreur est comprise strictement entre \(-1\) et \(1\), sans être nulle. Au contraire, si \(|e| > 1\), alors \(e^2 > |e|\).
- Le modèle carré pénalise peu les erreurs de moins de 1 mm, mais il pénalise fortement les grandes. Par exemple, une erreur de 2 mm coûte 4 au lieu de 2. L’atelier doit donc choisir le modèle carré.
Piège classique : oublier que \((-0{,}5)^2\) est positif. En effet, le carré d’un nombre négatif est toujours positif, comme sa valeur absolue.
À retenir de ce contrôle
- La valeur absolue d’un nombre est sa distance à zéro : |x| vaut x si x est positif et −x si x est négatif.
- La fonction valeur absolue est décroissante sur ]−∞ ; 0], croissante sur [0 ; +∞[, et son minimum 0 est atteint en 0.
- Pour a positif, |x| = a a deux solutions, −a et a, tandis que |x| < a correspond à l’intervalle ]−a ; a[.
- Si 0 < x < 1, alors x² < x < 1/x ; si x > 1, l’ordre s’inverse et 1/x < x < x².
- Le carré d’une erreur pénalise moins que sa valeur absolue les écarts inférieurs à 1, mais davantage les écarts supérieurs à 1.
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Consolider fonction valeur absolue et comparaisons après ce corrigé
Pour ne plus perdre de points sur ce thème, relis la leçon fonction carrée, cube, racine carrée et inverse ; entraîne-toi sur la fiche fonction carrée et polynôme et fonction inverse.
D’autres évaluations corrigées t’attendent sur la page contrôles de maths en seconde.
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