Limite d’une suite et convergence en maths sup (MPSI) : cours et méthodes

Un réel \(M\) qui dépasse ou égale chaque terme \(u_n\) est appelé un majorant ; lorsqu’il en existe un, on dit que \((u_n)\) est majorée. De la même façon, un minorant \(m\) vérifie \(m \leqslant u_n\) à chaque rang, et la suite est alors minorée. Une suite à la fois majorée et minorée est dite bornée. De façon équivalente, la suite des valeurs absolues \((|u_n|)\) admet un majorant \(K\).

La suite est croissante si \(u_{n+1} \geqslant u_n\) pour tout \(n\), et décroissante si \(u_{n+1} \leqslant u_n\) pour tout \(n\). Elle est monotone si elle est croissante ou décroissante.

Soit \(\ell \in \mathbb{R}\). On dit que \((u_n)\) converge vers \(\ell\) si

\[\forall \varepsilon > 0,\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall n \in \mathbb{N},\ \left(n \geqslant N \Rightarrow \ell – \varepsilon \leqslant u_n \leqslant \ell + \varepsilon\right).\]

On dit que \((u_n)\) tend vers \(+\infty\) si, pour tout réel \(A\), il existe \(N\) tel que \(u_n \geqslant A\) pour tout \(n \geqslant N\). Une suite qui ne converge pas est dite divergente.

Montrons que \(u_n = \frac{3n+1}{n+2}\) converge vers \(3\). D’abord, nous calculons l’écart : \(u_n – 3 = \frac{3n + 1 – 3n – 6}{n+2} = \frac{-5}{n+2}\). Donc \(|u_n – 3| = \frac{5}{n+2}\). Soit \(\varepsilon > 0\). L’inégalité \(\frac{5}{n+2} \leqslant \varepsilon\) équivaut à \(n \geqslant \frac{5}{\varepsilon} – 2\). Par conséquent, il suffit de prendre pour \(N\) un entier supérieur à \(\frac{5}{\varepsilon}\). Par exemple, pour \(\varepsilon = 10^{-2}\), le rang \(N = 500\) convient.

Si une suite converge, sa limite est unique. De plus, toute suite convergente est bornée.

Supposons que \((u_n)\) converge vers \(\ell\) et vers \(\ell^{\prime}\), avec \(\ell \neq \ell^{\prime}\). Posons \(\varepsilon = \frac{|\ell – \ell^{\prime}|}{3}\). À partir d’un certain rang, on a à la fois \(|u_n – \ell| \leqslant \varepsilon\) et \(|u_n – \ell^{\prime}| \leqslant \varepsilon\). L’inégalité triangulaire donne alors \(|\ell – \ell^{\prime}| \leqslant 2\varepsilon\), ce qui est absurde.

Ensuite, avec \(\varepsilon = 1\), il existe \(N\) tel que \(|u_n| \leqslant |\ell| + 1\) pour \(n \geqslant N\). Il reste un nombre fini de termes, \(u_0, \dots, u_{N-1}\). Donc \(K = \max\left(|u_0|, \dots, |u_{N-1}|, |\ell| + 1\right)\) majore tous les \(|u_n|\).

Soient deux suites convergentes, de limites réelles \(\ell\) et \(\ell^{\prime}\). Leur somme a pour limite \(\ell + \ell^{\prime}\), leur produit \(\ell\ell^{\prime}\), et pour tout réel \(\lambda\), la suite \((\lambda u_n)\) a pour limite \(\lambda\ell\). Lorsque \(\ell^{\prime} \neq 0\), les termes \(v_n\) finissent par ne plus s’annuler, et le quotient a pour limite \(\ell / \ell^{\prime}\).

Avec des limites infinies, les mêmes règles restent valables, à quatre exceptions près : \(+\infty – \infty\), \(0 \times \infty\), \(\infty / \infty\) et \(0 / 0\). On parle alors de formes indéterminées.

Pour tous réels \(\alpha > 0\), \(\beta > 0\) et \(q > 1\), les croissances comparées donnent

\[\frac{(\ln n)^{\alpha}}{n^{\beta}} \to 0, \qquad \frac{n^{\alpha}}{q^{n}} \to 0, \qquad \frac{q^{n}}{n!} \to 0.\]

Autrement dit, la factorielle l’emporte sur les suites géométriques, qui l’emportent sur les puissances de \(n\), qui l’emportent elles-mêmes sur les puissances du logarithme.

Il ne suffit pas que deux termes consécutifs se rapprochent pour que la suite converge. Par exemple, pour \(u_n = \sqrt{n}\), on a \(u_{n+1} – u_n = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}\), qui tend vers \(0\). Pourtant, \(\sqrt{n}\) tend vers \(+\infty\).

Si \(u_n \to \ell\), \(v_n \to \ell^{\prime}\) et si \(u_n \leqslant v_n\) à partir d’un certain rang, alors \(\ell \leqslant \ell^{\prime}\).

Raisonnons par l’absurde et supposons \(\ell > \ell^{\prime}\). Posons \(\varepsilon = \frac{\ell – \ell^{\prime}}{3}\). À partir d’un certain rang, \(u_n \geqslant \ell – \varepsilon\) et \(v_n \leqslant \ell^{\prime} + \varepsilon\). Or \(\ell – \varepsilon > \ell^{\prime} + \varepsilon\). Donc \(u_n > v_n\) pour ces rangs, ce qui contredit l’hypothèse.

On suppose que, pour \(n\) assez grand, \(u_n\) est coincé entre \(a_n\) et \(b_n\), et que ces deux suites ont une limite commune \(\ell\). Alors \((u_n)\) converge, et sa limite vaut \(\ell\).

De même, si \(u_n \geqslant a_n\) et \(a_n \to +\infty\), alors \(u_n \to +\infty\).

Soit \(\varepsilon > 0\). À partir d’un certain rang, on a \(\ell – \varepsilon \leqslant a_n\) et \(b_n \leqslant \ell + \varepsilon\). Pour ces rangs, l’encadrement donne \(\ell – \varepsilon \leqslant u_n \leqslant \ell + \varepsilon\). C’est exactement la définition de la convergence vers \(\ell\).

1. Deviner la limite \(\ell\), par exemple en calculant quelques termes.
2. Majorer \(|u_n – \ell|\) par une quantité simple \(w_n\) : on remplace les termes oscillants comme \(\sin n\) par leurs bornes.
3. Vérifier que \(w_n\) tend vers \(0\).
4. Conclure en citant le théorème d’encadrement.

Étudions \(u_n = \frac{\sin n}{\sqrt{n}}\) pour \(n \geqslant 1\). Comme \(|\sin n| \leqslant 1\), on a \(-\frac{1}{\sqrt{n}} \leqslant u_n \leqslant \frac{1}{\sqrt{n}}\). Les deux bornes tendent vers \(0\). Par encadrement, \(u_n\) tend donc vers \(0\). La figure montre les termes coincés entre les deux courbes.

Soit \((u_n)\) une suite réelle croissante. Deux cas seulement sont possibles. Si elle admet un majorant, elle a une limite finie, égale au \(\sup\) de ses termes. Sinon, elle tend vers \(+\infty\). Pour une suite décroissante, on échange majorant et minorant, \(\sup\) et \(\inf\), \(+\infty\) et \(-\infty\).

Soit \((u_n)\) croissante et majorée. Notons \(\ell = \sup\{u_n,\ n \in \mathbb{N}\}\) : ce réel existe d’après la propriété de la borne supérieure. Fixons \(\varepsilon > 0\). Le réel \(\ell – \varepsilon\) est plus petit que la borne supérieure ; aucun majorant des termes ne peut donc lui être égal. Par conséquent, un terme \(u_N\) dépasse strictement \(\ell – \varepsilon\). Ensuite, pour \(n \geqslant N\), la croissance donne \(\ell – \varepsilon < u_N \leqslant u_n \leqslant \ell\). Par conséquent, \(|u_n – \ell| \leqslant \varepsilon\) pour tout \(n \geqslant N\).

Considérons \(u_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k\,2^k}\). D’abord, \(u_{n+1} – u_n = \frac{1}{(n+1)2^{n+1}} > 0\) : la suite est croissante. Ensuite, comme \(\frac{1}{k\,2^k} \leqslant \frac{1}{2^k}\), la somme géométrique donne \(u_n \leqslant 1 – \frac{1}{2^n} < 1\). Étant croissante et bornée supérieurement par \(1\), la suite admet ainsi une limite finie \(\ell \leqslant 1\), d’après le théorème de la limite monotone.

On dit que \((u_n)\) et \((v_n)\) forment un couple de suites adjacentes lorsque \((u_n)\) croît, \((v_n)\) décroît et la différence \(v_n – u_n\) a pour limite \(0\).

Un couple de suites adjacentes possède une limite commune \(\ell\). En outre, avec \((u_n)\) croissante, l’encadrement \(u_n \leqslant \ell \leqslant v_n\) est valable à chaque rang.

Supposons \((u_n)\) croissante et \((v_n)\) décroissante. La suite \(v_n – u_n\) est décroissante et tend vers \(0\), donc elle est positive. Ainsi, \(u_0 \leqslant u_n \leqslant v_n \leqslant v_0\). Par conséquent, \((u_n)\) est croissante et majorée par \(v_0\), et \((v_n)\) est décroissante et minorée par \(u_0\). Les deux suites convergent donc, vers \(\ell\) et \(\ell^{\prime}\). Enfin, \(\ell^{\prime} – \ell = \lim (v_n – u_n) = 0\).

1. Étudier le signe de \(u_{n+1} – u_n\), puis celui de \(v_{n+1} – v_n\).
2. Calculer \(v_n – u_n\) et montrer qu’il tend vers \(0\).
3. Conclure en citant le théorème des suites adjacentes.
4. Exploiter l’encadrement \(u_n \leqslant \ell \leqslant v_n\) pour obtenir des valeurs approchées de \(\ell\).

Posons \(u_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^3}\) et \(v_n = u_n + \frac{1}{2n^2}\) pour \(n \geqslant 1\). D’abord, \((u_n)\) est croissante. Ensuite, nous calculons

\[v_{n+1} – v_n = \frac{1}{(n+1)^3} + \frac{1}{2(n+1)^2} – \frac{1}{2n^2} = \frac{1}{(n+1)^3} – \frac{2n+1}{2n^2(n+1)^2}.\]

Après réduction au dénominateur \(2n^2(n+1)^3\), le numérateur vaut \(2n^2 – (2n+1)(n+1) = -3n – 1\). Il est négatif, donc \((v_n)\) décroît. Enfin, \(v_n – u_n = \frac{1}{2n^2}\) tend vers \(0\). Les suites sont adjacentes. Par exemple, \(u_5 \approx 1{,}1857\) et \(v_5 \approx 1{,}2057\) encadrent la limite commune.

On choisit une application \(\varphi\) de \(\mathbb{N}\) dans \(\mathbb{N}\), strictement croissante, qui sélectionne des rangs. La suite \((u_{\varphi(n)})\) ainsi obtenue s’appelle une sous-suite, ou suite extraite, de \((u_n)\). Par exemple, \((u_{2n})\), \((u_{2n+1})\) et \((u_{n^2})\) sont extraites de \((u_n)\).

Si \((u_n)\) tend vers \(\ell\), fini ou infini, alors toute suite extraite de \((u_n)\) tend aussi vers \(\ell\). Réciproquement, si \((u_{2n})\) et \((u_{2n+1})\) tendent vers la même limite \(\ell\), alors \((u_n)\) tend vers \(\ell\).

Une récurrence immédiate montre que \(\varphi(n) \geqslant n\) pour tout \(n\). Ainsi, si \(|u_n – \ell| \leqslant \varepsilon\) pour \(n \geqslant N\), on a aussi \(|u_{\varphi(n)} – \ell| \leqslant \varepsilon\) pour \(n \geqslant N\). Pour la réciproque, on choisit \(N_1\) et \(N_2\) adaptés aux deux suites extraites. Ensuite, tout entier \(n \geqslant \max(2N_1, 2N_2 + 1)\) est de la forme \(2p\) avec \(p \geqslant N_1\), ou \(2p + 1\) avec \(p \geqslant N_2\).

1. Repérer la périodicité cachée dans la suite : signe \((-1)^n\), angle \(\frac{n\pi}{k}\), partie entière de \(\frac{n}{k}\).
2. Choisir des rangs qui figent cette partie périodique, par exemple \(2n\) et \(2n + 1\), ou \(kn\) et \(kn + 1\).
3. Calculer la limite de chaque sous-suite obtenue.
4. Conclure à la divergence si les deux limites diffèrent, ou si l’une des sous-suites diverge.

Soit \((u_n)\) une suite de réels, supposée bornée. Il existe alors une application \(\varphi\), strictement croissante de \(\mathbb{N}\) dans lui-même, telle que \((u_{\varphi(n)})\) converge.

Nous procédons par dichotomie. Supposons \(a_0 \leqslant u_n \leqslant b_0\) pour tout \(n\). On coupe \([a_0, b_0]\) en deux moitiés. L’une d’elles contient \(u_n\) pour une infinité d’indices \(n\) ; on la note \([a_1, b_1]\). En répétant l’opération, on construit des segments emboîtés \([a_k, b_k]\) de longueur \(\frac{b_0 – a_0}{2^k}\), qui contiennent chacun une infinité de termes. Ensuite, on choisit des indices \(\varphi(0) < \varphi(1) < \cdots\) avec \(u_{\varphi(k)} \in [a_k, b_k]\). Or \((a_k)\) et \((b_k)\) sont adjacentes, de limite commune \(\ell\). Par encadrement, \(u_{\varphi(k)}\) tend vers \(\ell\).

Pour une partie \(A\) de \(\mathbb{R}\), les deux affirmations suivantes sont équivalentes :

• \(A\) rencontre tout intervalle ouvert non vide, c’est-à-dire que \(A\) est dense dans \(\mathbb{R}\) ;
• pour chaque réel \(x\), on peut trouver une suite à valeurs dans \(A\) qui converge vers \(x\).

Pour \(x\) réel, posons \(x_n = \frac{\lfloor 10^n x \rfloor}{10^n}\). C’est un rationnel, et \(x – 10^{-n} < x_n \leqslant x\). Par encadrement, \(x_n\) tend vers \(x\). Par conséquent, \(\mathbb{Q}\) est dense dans \(\mathbb{R}\). Ces nombres \(x_n\) sont simplement les approximations décimales par défaut de \(x\).

Soit \(u_{n+1} = a u_n + b\) avec \(a \neq 1\).

1. Chercher le point fixe \(c\), solution de \(c = ac + b\), soit \(c = \frac{b}{1-a}\).
2. Poser \(v_n = u_n – c\). En soustrayant les deux égalités, on obtient \(v_{n+1} = a v_n\).
3. En déduire \(v_n = a^n v_0\), puis \(u_n = c + a^n (u_0 – c)\).
4. Conclure : si \(|a| < 1\), la suite converge vers \(c\), quel que soit \(u_0\).

Prenons \(u_{n+1} = 0{,}6\,u_n + 2\) et \(u_0 = 0{,}5\). Le point fixe vérifie \(c = 0{,}6\,c + 2\), donc \(c = 5\). Par conséquent, \(u_n = 5 – 4{,}5 \times 0{,}6^n\). Comme \(0 < 0{,}6 < 1\), la suite converge vers \(5\). La figure représente les itérés : ils montent en escalier vers l’intersection des deux droites.

On appelle équation caractéristique l’équation \(r^2 – ar – b = 0\).

• Si elle a deux racines distinctes \(r_1\) et \(r_2\), réelles ou complexes, alors \(u_n = \lambda r_1^n + \mu r_2^n\).
• Si elle a une racine double \(r_0\), alors \(u_n = (\lambda + \mu n) r_0^n\).
• Si \(a, b\) sont réels et les racines complexes conjuguées \(\rho e^{\pm i\theta}\), alors toute suite réelle solution s’écrit \(u_n = \rho^n\left(A\cos(n\theta) + B\sin(n\theta)\right)\), avec \(A, B\) réels.

Les constantes se déterminent à l’aide de \(u_0\) et \(u_1\).

Soit \(u_{n+2} = u_{n+1} + 6u_n\), avec \(u_0 = 1\) et \(u_1 = 8\). L’équation \(r^2 – r – 6 = 0\) a pour racines \(3\) et \(-2\). Donc \(u_n = \lambda 3^n + \mu(-2)^n\). Les conditions initiales donnent \(\lambda + \mu = 1\) et \(3\lambda – 2\mu = 8\). Ainsi, \(\lambda = 2\) et \(\mu = -1\), d’où

\[u_n = 2 \times 3^n – (-2)^n.\]

Vérifions : \(u_2 = 8 + 6 = 14\), et la formule donne \(18 – 4 = 14\). Enfin, \(u_n \sim 2 \times 3^n\) tend vers \(+\infty\).

Une suite complexe \((z_n)\) converge vers \(\ell \in \mathbb{C}\) si \(|z_n – \ell|\) tend vers \(0\). Elle est bornée si la suite réelle \((|z_n|)\) est majorée.

La suite \((z_n)\) converge vers \(\ell\) si et seulement si \(\mathrm{Re}(z_n) \to \mathrm{Re}(\ell)\) et \(\mathrm{Im}(z_n) \to \mathrm{Im}(\ell)\). De plus, pour \(q \in \mathbb{C}\), la suite \((q^n)\) tend vers \(0\) si \(|q| < 1\), et diverge si \(|q| > 1\) ou si \(|q| = 1\) avec \(q \neq 1\).

Pour tout complexe \(w\), on a \(|\mathrm{Re}\,w| \leqslant |w|\), \(|\mathrm{Im}\,w| \leqslant |w|\) et \(|w| \leqslant |\mathrm{Re}\,w| + |\mathrm{Im}\,w|\). On applique ces inégalités à \(w = z_n – \ell\), puis le théorème d’encadrement aux suites réelles obtenues. Ensuite, si \(|q| < 1\), on a \(|q^n – 0| = |q|^n \to 0\).

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