Calculer un déterminant en maths sup (MPSI) : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Cycles d’une permutation de huit éléments

On considère la permutation \(\sigma\in S_8\) définie par \(\sigma(1)=5\), \(\sigma(2)=8\), \(\sigma(3)=2\), \(\sigma(4)=4\), \(\sigma(5)=7\), \(\sigma(6)=1\), \(\sigma(7)=6\) et \(\sigma(8)=3\). La figure ci-dessous la représente par des flèches.

1. Décomposer \(\sigma\) en produit de cycles à supports disjoints.
2. En déduire une écriture de \(\sigma\) comme produit de transpositions.
3. Calculer la signature de \(\sigma\) à partir des cycles, puis en comptant ses inversions.
4. Déterminer le plus petit entier \(p\geqslant 1\) tel que \(\sigma^p\) soit l’identité.
5. Calculer \(\varepsilon(\sigma^{2027})\).

Exercice 2 – Un déterminant d’ordre 3 par deux méthodes

On pose

\[A=\begin{pmatrix}2&-1&3\\0&4&1\\5&2&-2\end{pmatrix}.\]

1. Calculer \(\det A\) en développant selon la première colonne.
2. Retrouver ce résultat par des opérations élémentaires sur les lignes.
3. La matrice \(A\) est-elle inversible ? Calculer \(\det(A^{-1})\) et \(\det(-2A)\).

Exercice 3 – Effet des opérations sur un déterminant connu

Soit \(A\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) de colonnes \(C_1,C_2,C_3\), avec \(\det A=3\).

1. Calculer \(\det(2A)\), \(\det(-A^{T})\), \(\det(A^3)\) et \(\det(A^{-1})\).
2. Calculer le déterminant de la matrice de colonnes \(C_2\), \(C_1+5C_3\) et \(C_3\).
3. Calculer le déterminant de la matrice de colonnes \(C_1+C_2\), \(C_2+C_3\) et \(C_3+C_1\).

Exercice 4 – Matrice triangulaire à paramètre

Pour \(\lambda\in\mathbb{R}\), on considère la matrice suivante.

\[T_\lambda=\begin{pmatrix}\lambda-1&2&7&0\\0&\lambda+2&-3&5\\0&0&\lambda&1\\0&0&0&\lambda-4\end{pmatrix}\]

1. Calculer \(\det T_\lambda\) sous forme factorisée.
2. Déterminer les réels \(\lambda\) pour lesquels \(T_\lambda\) est inversible.
3. Calculer \(\det\bigl(T_2\,T_3\bigr)\) sans effectuer le produit matriciel.

Exercice 5 – Pivot de Gauss sur une matrice d’ordre 4

Calculer, à l’aide d’opérations élémentaires, le déterminant suivant.

\[\Delta=\begin{vmatrix}1&2&0&-1\\2&5&1&0\\-1&0&3&2\\3&6&1&1\end{vmatrix}\]

Exercice 6 – Formes bilinéaires alternées du plan

On note \((e_1,e_2)\) la base canonique de \(\mathbb{R}^2\). Pour \(u=(u_1,u_2)\) et \(v=(v_1,v_2)\), on pose \(\psi(u,v)=2u_1v_2-2u_2v_1+u_1v_1\).

1. Soit \(\varphi\) une forme bilinéaire alternée sur \(\mathbb{R}^2\). Montrer que \(\varphi(u,v)=\varphi(e_1,e_2)\,(u_1v_2-u_2v_1)\) pour tous \(u,v\).
2. Vérifier que \(\psi\) est bilinéaire. Est-elle alternée ?
3. Déterminer toutes les formes bilinéaires alternées \(\varphi\) sur \(\mathbb{R}^2\) telles que \(\varphi\bigl((1,2),(3,1)\bigr)=10\).

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Quand trois vecteurs forment-ils une base

Pour \(m\in\mathbb{R}\), on considère dans \(\mathbb{R}^3\) les vecteurs \(u=(1,m,1)\), \(v=(m,1,1)\) et \(w=(1,1,m)\).

1. Calculer \(\det(u,v,w)\) dans la base canonique et l’écrire sous forme factorisée.
2. En déduire les valeurs de \(m\) pour lesquelles \((u,v,w)\) est une base de \(\mathbb{R}^3\).
3. Pour \(m=-2\), expliciter une relation de dépendance linéaire entre \(u\), \(v\) et \(w\).

Exercice 8 – Déterminant d’un endomorphisme de polynômes

On note \(E=\mathbb{R}_2[X]\) et on définit \(u : E\to E\) par \(u(P)=(X+2)P^{\prime}+P\).

1. Vérifier que \(u\) est un endomorphisme de \(E\).
2. Écrire la matrice de \(u\) dans la base \((1,X,X^2)\) et calculer \(\det u\).
3. En déduire que \(u\) est un automorphisme, puis calculer \(\det(u\circ u)\) et \(\det(3u)\).

Exercice 9 – Matrice des maximums

Pour \(n\geqslant 2\), on note \(M_n\) la matrice d’ordre \(n\) de coefficient \(\max(i,j)\) en position \((i,j)\).

1. Écrire \(M_3\) et calculer son déterminant.
2. Effectuer, pour \(i\) allant de 1 à \(n-1\), l’opération \(L_i\leftarrow L_i-L_{i+1}\). Décrire la matrice obtenue.
3. En déduire \(\det M_n\) pour tout \(n\geqslant 2\).

Exercice 10 – Récurrence tridiagonale à racine double

Pour \(n\geqslant 1\), on note \(D_n\) le déterminant d’ordre \(n\) qui porte des 4 sur la diagonale, des 2 juste au-dessus et des 2 juste en dessous, et des 0 ailleurs.

1. Calculer \(D_1\), \(D_2\) et \(D_3\).
2. Établir, pour \(n\geqslant 3\), une relation entre \(D_n\), \(D_{n-1}\) et \(D_{n-2}\).
3. En déduire une expression de \(D_n\) en fonction de \(n\).

Exercice 11 – Interpolation et Vandermonde

On cherche un polynôme \(P\in\mathbb{R}_3[X]\) tel que \(P(-1)=2\), \(P(0)=1\), \(P(1)=0\) et \(P(2)=5\).

1. Écrire le système linéaire vérifié par les coefficients de \(P\) et identifier sa matrice.
2. Calculer le déterminant de ce système et en déduire que \(P\) existe et est unique.
3. Déterminer \(P\).

Exercice 12 – Inverse par la comatrice

On pose

\[A=\begin{pmatrix}2&1&0\\1&1&1\\0&1&3\end{pmatrix}.\]

1. Calculer \(\det A\).
2. Calculer la comatrice de \(A\), puis \(A^{-1}\). Contrôler le résultat par un produit.
3. Résoudre le système \(2x+y=1\), \(x+y+z=0\), \(y+3z=2\).

Exercice 13 – Matrices antisymétriques d’ordre impair

Une matrice \(A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) est antisymétrique si \(A^{T}=-A\).

1. Montrer que si \(n\) est impair, toute matrice antisymétrique d’ordre \(n\) a un déterminant nul.
2. Montrer par un exemple que le résultat tombe en défaut pour \(n=2\).
3. On pose \(B=\begin{pmatrix}0&2&-1\\-2&0&3\\1&-3&0\end{pmatrix}\). Trouver un vecteur non nul \(X\) tel que \(BX=0\).

Exercice 14 – Déterminant de la comatrice

Soit \(n\geqslant 2\) et \(A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\).

1. On suppose \(A\) inversible. Montrer que \(\det\bigl(\mathrm{com}(A)\bigr)=(\det A)^{n-1}\).
2. On suppose \(A\) non inversible. Montrer par l’absurde que \(\mathrm{com}(A)\) n’est pas inversible.
3. Conclure que la formule de la première question vaut pour toute matrice \(A\).
4. Application : une matrice \(A\) d’ordre 4 a pour déterminant \(-2\). Calculer \(\det\bigl(\mathrm{com}(A)\bigr)\).

Exercice 15 – Signature du retournement

Soit \(n\geqslant 2\). Le retournement \(\rho\) de \(S_n\) associe à chaque entier \(k\) l’entier \(n+1-k\).

1. Déterminer le nombre d’inversions de \(\rho\), puis sa signature.
2. Décomposer \(\rho\) en transpositions à supports disjoints, et retrouver ainsi \(\varepsilon(\rho)\).
3. Vérifier la cohérence des deux formules selon le reste de \(n\) modulo 4.
4. Soit \(a_1,\dots,a_n\) des réels et \(N\) la matrice dont le seul coefficient non nul de la ligne \(i\) est \(a_i\), placé en colonne \(n+1-i\). Calculer \(\det N\).

Pour approfondir

Exercice 16 – Un Vandermonde lacunaire

Pour \(a,b,c\in\mathbb{R}\), on pose

\[\Delta(a,b,c)=\begin{vmatrix}1&a&a^3\\1&b&b^3\\1&c&c^3\end{vmatrix}.\]

1. On suppose \(a\neq b\) et on remplace \(c\) par une indéterminée \(X\). Montrer que l’on obtient un polynôme \(P\) de degré 3, dont on donnera le coefficient dominant et deux racines.
2. Montrer que le coefficient de \(X^2\) dans \(P\) est nul, et en déduire la troisième racine.
3. Conclure que \(\Delta(a,b,c)=(b-a)(c-a)(c-b)(a+b+c)\) pour tous réels \(a,b,c\).
4. Déterminer les réels \(c\) tels que \(\Delta(1,2,c)=0\).

Exercice 17 – Matrice des distances entre indices

Pour \(n\geqslant 2\), on note \(A_n\) la matrice d’ordre \(n\) de coefficient \(|i-j|\) en position \((i,j)\).

1. Calculer \(\det A_2\) et \(\det A_3\).
2. Effectuer, pour \(i\) allant de 1 à \(n-1\), l’opération \(L_i\leftarrow L_i-L_{i+1}\), et décrire les lignes obtenues.
3. Ajouter ensuite la première colonne à chacune des autres colonnes. En déduire que \(\det A_n=(-1)^{n-1}(n-1)\,2^{n-2}\).

Exercice 18 – Perturbation par la matrice pleine de 1

Soit \(n\geqslant 2\), \(J\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) la matrice dont tous les coefficients valent 1, et \(A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\). On pose \(f(x)=\det(A+xJ)\) pour \(x\in\mathbb{R}\).

1. En retranchant la première colonne aux autres, montrer que \(f\) est une fonction affine.
2. Soit \(d_1,\dots,d_n\) des réels et \(D\) la matrice diagonale de coefficients \(d_1,\dots,d_n\). En utilisant la multilinéarité, montrer que

\[\det(D+xJ)=\prod_{i=1}^{n}d_i+x\sum_{i=1}^{n}\prod_{j\neq i}d_j.\]

3. Soit \(a_1,\dots,a_n,b\) des réels. En déduire le déterminant de la matrice qui porte \(a_1,\dots,a_n\) sur la diagonale et \(b\) partout ailleurs.
4. Application numérique : calculer le déterminant de la matrice de lignes \((2,1,1)\), \((1,3,1)\), \((1,1,5)\), puis vérifier par un calcul direct.

Exercice 19 – Problème – Déterminant tridiagonal et cosinus

Pour \(n\geqslant 1\) et \(x\in\mathbb{R}\), on note \(D_n(x)\) le déterminant d’ordre \(n\) qui porte \(x\) sur la diagonale, 1 juste au-dessus et juste en dessous, et 0 ailleurs. On pose \(D_0(x)=1\). Le motif de la matrice est représenté ci-dessous pour \(n=6\).

1. Calculer \(D_1(x)\) et \(D_2(x)\), puis établir que \(D_n(x)=x\,D_{n-1}(x)-D_{n-2}(x)\) pour \(n\geqslant 2\).
2. Montrer que \(D_n\) est une fonction polynomiale unitaire de degré \(n\).
3. Soit \(\theta\in\,]0,\pi[\). Montrer que \(D_n(2\cos\theta)=\dfrac{\sin\bigl((n+1)\theta\bigr)}{\sin\theta}\) pour tout \(n\geqslant 0\).
4. En déduire les \(n\) racines de \(D_n\), puis une factorisation de \(D_n(x)\).
5. Calculer \(D_n(2)\) à l’aide de la récurrence.
6. En déduire que \(\displaystyle\prod_{k=1}^{n}\sin^2\Bigl(\frac{k\pi}{2n+2}\Bigr)=\frac{n+1}{4^n}\).
7. Vérifier les résultats des questions 4 et 6 dans le cas \(n=3\).

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