Diagonaliser et trigonaliser en maths spé (MP) : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Polynôme caractéristique contrôlé par la trace

On considère \(M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & -1 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})\).

1. Calculer \(\chi_M\) en développant le déterminant.
2. Contrôler le résultat à l’aide de la trace, du déterminant et des mineurs principaux d’ordre 2.
3. Montrer que \(M\) possède une valeur propre réelle dans l’intervalle \(]-1, 0[\).

Exercice 2 – Diagonaliser une matrice de taille 2

Soit \(N = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\).

1. Déterminer \(\chi_N\) et les valeurs propres de \(N\).
2. Donner une base de chaque sous-espace propre.
3. Écrire une matrice inversible \(P\) et une matrice diagonale \(D\) telles que \(N = P D P^{-1}\), puis calculer \(P^{-1}\).

Exercice 3 – Deux matrices triangulaires

Soit \(T_1 = \begin{pmatrix} -1 & 4 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}\) et \(T_2 = \begin{pmatrix} -1 & 4 & 7 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}\).

1. Donner sans calcul le polynôme caractéristique de chacune de ces matrices.
2. Montrer que \(T_2\) est diagonalisable, sans chercher ses vecteurs propres.
3. Montrer que \(T_1\) n’est pas diagonalisable.

Exercice 4 – Valeur propre manquante par la trace

Soit \(A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 4 & 4 \\ -1 & -1 & -2 \end{pmatrix}\).

1. Calculer le rang de \(A – 2 I_3\) et celui de \(A – 3 I_3\). En déduire que \(2\) et \(3\) sont valeurs propres de \(A\).
2. Déterminer la troisième valeur propre à l’aide de la trace, puis contrôler avec le déterminant.
3. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable sur \(\mathbb{R}\) ?

Exercice 5 – Valeurs propres complexes conjuguées

Soit \(K = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\).

1. Déterminer \(\chi_K\) puis expliquer pourquoi aucune matrice réelle inversible \(P\) ne rend \(P^{-1} K P\) diagonale.
2. Établir qu’une telle réduction devient possible avec des coefficients complexes, puis exhiber deux vecteurs propres complexes.
3. Placer les valeurs propres dans le plan complexe et vérifier que leur produit vaut \(\det(K)\).

Exercice 6 – Multiplicité et dimension en taille 4

Soit \(M = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}\).

1. Donner \(\chi_M\) ainsi que la multiplicité de chaque valeur propre.
2. Calculer la dimension de chaque sous-espace propre.
3. Conclure sur la diagonalisabilité de \(M\), en citant le critère utilisé.

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Valeur propre double et matrice de passage

Soit \(A = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 4 \end{pmatrix}\).

1. Calculer \(\chi_A\) et le factoriser.
2. Déterminer les sous-espaces propres et justifier que \(A\) est diagonalisable.
3. Écrire \(P\) et \(D\) telles que \(A = P D P^{-1}\), et vérifier l’égalité \(AP = PD\).

Exercice 8 – Discussion selon un paramètre

Pour \(a \in \mathbb{R}\), on pose \(M_a = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 \\ 0 & 2 & a \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\).

1. Donner les valeurs propres de \(M_a\) avec leurs multiplicités.
2. Déterminer, selon \(a\), le rang de \(M_a – I_3\).
3. En déduire les valeurs de \(a\) pour lesquelles \(M_a\) est diagonalisable.
4. Pour \(a = 1\), diagonaliser \(M_1\) en donnant la matrice de passage.

Exercice 9 – Matrices de rang 1

Soit \(n \geq 2\), et \(U, V\) deux vecteurs colonnes non nuls de \(\mathbb{R}^n\). On pose \(A = U V^{T}\).

1. Montrer que \(A\) est de rang 1 et que \(A^2 = \mathrm{tr}(A)\, A\).
2. Déterminer \(\dim \ker A\). En déduire que \(\chi_A = X^{n-1}\big(X – \mathrm{tr}(A)\big)\).
3. Montrer que \(A\) est diagonalisable si et seulement si \(\mathrm{tr}(A) \neq 0\).
4. Diagonaliser \(A\) lorsque \(U = (1, 2, -1)^{T}\) et \(V = (2, 1, 1)^{T}\).
5. Que dire lorsque \(U = (1, 1, 0)^{T}\) et \(V = (1, -1, 5)^{T}\) ?

Exercice 10 – Trigonaliser une matrice de taille 3

Soit \(B = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & -2 & 0 \end{pmatrix}\).

1. Calculer \(\chi_B\) et montrer que \(B\) n’est pas diagonalisable.
2. Déterminer un vecteur propre \(v_1\) associé à \(1\) et un vecteur propre \(v_3\) associé à \(-2\).
3. Trouver un vecteur \(w\) tel que \((B – I_3) w = 2 v_1\).
4. Montrer que \((v_1, w, v_3)\) est une base de \(\mathbb{R}^3\) et écrire la matrice triangulaire \(T\) semblable à \(B\) obtenue.

Exercice 11 – Puissances d’une matrice de taille 3

Soit \(A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 4 & 4 & 2 \\ 4 & 3 & 3 \end{pmatrix}\).

1. Montrer que \(\chi_A = (X – 1)(X – 2)(X – 6)\).
2. Diagonaliser \(A\) : donner \(P\), \(D\) et calculer \(P^{-1}\).
3. Calculer \(A^k\) pour tout \(k \in \mathbb{N}\).
4. Déterminer la limite de la suite de matrices \(\big(6^{-k} A^k\big)\).

Exercice 12 – Suite récurrente d’ordre 2

On définit \((u_k)\) par \(u_0 = 1\), \(u_1 = 8\) et \(u_{k+2} = u_{k+1} + 6 u_k\) pour tout \(k \in \mathbb{N}\). On pose \(Z_k = (u_k, u_{k+1})^{T}\).

1. Trouver une matrice \(C \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) telle que \(Z_{k+1} = C Z_k\).
2. Diagonaliser \(C\).
3. En déduire une expression de \(u_k\) en fonction de \(k\), puis un équivalent de \(u_k\).

La figure ci-dessous représente les premiers termes de la suite, en échelle logarithmique pour la valeur absolue.

Exercice 13 – Un endomorphisme de polynômes

On note \(E = \mathbb{R}_3[X]\) et \(\varphi : P \mapsto (X – 2) P^{\prime}\).

1. Montrer que \(\varphi\) est un endomorphisme de \(E\).
2. Écrire sa matrice dans la base canonique \((1, X, X^2, X^3)\).
3. Justifier que \(\varphi\) est diagonalisable, puis donner une base de vecteurs propres.
4. En déduire le noyau et l’image de \(\varphi\).

Exercice 14 – Un endomorphisme de matrices

Soit \(n \geq 2\). On définit \(f\) sur \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) par \(f(M) = M + \mathrm{tr}(M) I_n\).

1. Montrer que \(f\) est un endomorphisme de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).
2. Déterminer \(f(M)\) lorsque \(\mathrm{tr}(M) = 0\), puis calculer \(f(I_n)\).
3. En déduire que \(f\) est diagonalisable et décrire ses sous-espaces propres.
4. Calculer la trace et le déterminant de \(f\).
5. Montrer que \(f\) est bijective et expliciter \(f^{-1}\).

Exercice 15 – Matrices nilpotentes

Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})\) telle que \(A^p = 0\) pour un entier \(p \geq 1\).

1. Montrer que \(0\) est la seule valeur propre complexe de \(A\), puis que \(\chi_A = X^n\).
2. Montrer que si \(A\) est de plus diagonalisable, alors \(A = 0\).
3. Soit \(N = \begin{pmatrix} 3 & -9 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}\). Calculer \(N^2\), puis trigonaliser \(N\).

Pour approfondir

Exercice 16 – Commutant d’une matrice à spectre simple

Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) possédant \(n\) valeurs propres distinctes. On écrit \(A = P D P^{-1}\) avec \(D\) diagonale. Soit \(B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) telle que \(AB = BA\).

1. Montrer que tout sous-espace propre de \(A\) est stable par \(B\).
2. En déduire que \(P^{-1} B P\) est diagonale.
3. Montrer que l’ensemble des matrices qui commutent avec \(A\) est un sous-espace vectoriel de dimension \(n\).
4. Expliciter toutes les matrices qui commutent avec \(\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\).

Exercice 17 – Traces des puissances et nilpotence

Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})\) telle que \(\mathrm{tr}(A^k) = 0\) pour tout \(k \in \{1, \ldots, n\}\).

1. On suppose que \(A\) possède des valeurs propres non nulles. On note \(\mu_1, \ldots, \mu_r\) les valeurs propres non nulles distinctes, de multiplicités \(m_1, \ldots, m_r\). Montrer que \(\sum_{j=1}^{r} m_j \mu_j^k = 0\) pour \(k \in \{1, \ldots, r\}\).
2. À l’aide d’un déterminant de Vandermonde, obtenir une contradiction.
3. En déduire que \(A\) est semblable à une matrice triangulaire supérieure stricte, puis que \(A^n = 0\).
4. Établir la réciproque.

Exercice 18 – Matrice par blocs antidiagonale

Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) diagonalisable, de valeurs propres \(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\) comptées avec multiplicité. On pose \(M = \begin{pmatrix} 0 & A \\ A & 0 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{2n}(\mathbb{K})\).

1. Soit \(V\) un vecteur propre de \(A\) associé à \(\lambda\). Calculer \(M \begin{pmatrix} V \\ V \end{pmatrix}\) et \(M \begin{pmatrix} V \\ -V \end{pmatrix}\).
2. Soit \((V_1, \ldots, V_n)\) une base de vecteurs propres de \(A\). Montrer que les \(2n\) vecteurs \(\begin{pmatrix} V_i \\ V_i \end{pmatrix}\) et \(\begin{pmatrix} V_i \\ -V_i \end{pmatrix}\) forment une base de \(\mathbb{K}^{2n}\).
3. En déduire que \(M\) est diagonalisable et que \(\chi_M = \prod_{i=1}^{n} (X^2 – \lambda_i^2)\).
4. Application : donner \(\chi_M\) et les valeurs propres de \(M\) lorsque \(A = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\).

Exercice 19 – Problème – Migrations entre trois quartiers

Une ville compte trois quartiers numérotés 1, 2 et 3. Chaque année, les habitants se déplacent selon les règles suivantes :

• parmi les habitants du quartier 1, les trois quarts restent et un quart part vers le quartier 2 ;
• parmi ceux du quartier 2, un quart part vers le quartier 1, un quart reste et la moitié part vers le quartier 3 ;
• parmi ceux du quartier 3, un quart part vers le quartier 1, la moitié part vers le quartier 2 et un quart reste.

On note \(x_k \in \mathbb{R}^3\) le vecteur des effectifs l’année \(k\), avec \(x_0 = (200, 300, 500)^{T}\). Le graphe ci-dessous résume les transitions.

1. Écrire la matrice \(M\) telle que \(x_{k+1} = M x_k\). Montrer que l’effectif total reste constant.
2. Montrer que \(1\) est valeur propre de \(M^{T}\), puis de \(M\).
3. Calculer \(\mathrm{tr}(M)\) et \(\det(M)\). En déduire les deux autres valeurs propres de \(M\).
4. Vérifier que \((5, 3, 2)\), \((-3, 1, 2)\) et \((0, -1, 1)\) sont des vecteurs propres de \(M\).
5. Décomposer \(x_0\) dans cette base et en déduire \(x_k\) pour tout \(k\).
6. Déterminer la limite de \(x_k\). À partir de quelle année l’effectif du quartier 3 diffère-t-il de sa limite de moins d’une unité ?
7. Montrer que \(M^k\) converge vers une matrice de rang 1 que l’on explicitera.

Exercice 20 – Problème – Racines carrées d’une matrice

Soit \(A = \begin{pmatrix} 4 & 3 & -3 \\ -5 & 4 & 5 \\ -5 & 3 & 6 \end{pmatrix}\). On cherche toutes les matrices \(B \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) telles que \(B^2 = A\).

1. Vérifier que \((1, 0, 1)\), \((1, 1, 1)\) et \((0, 1, 1)\) sont des vecteurs propres de \(A\). En déduire \(P\) inversible et \(D\) diagonale telles que \(A = P D P^{-1}\), et calculer \(P^{-1}\).
2. Soit \(B\) telle que \(B^2 = A\). Montrer que \(AB = BA\).
3. En déduire que \(\Delta = P^{-1} B P\) est diagonale, puis que \(\Delta^2 = D\).
4. Déterminer toutes les solutions et préciser leur nombre.
5. Calculer explicitement la solution dont toutes les valeurs propres sont positives.
6. Montrer qu’il n’existe aucune matrice réelle \(B\) telle que \(B^2 = -A\).

Pour aller plus loin

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