Intégrabilité sur un intervalle en maths spé (MP) : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Intégrales de référence et valeurs

Déterminer la nature des intégrales suivantes et, en cas de convergence, leur valeur.

1. D’abord, l’intégrale \(\displaystyle\int_0^1\frac{\mathrm{d}t}{t^{3/4}}\).
2. Ensuite, l’intégrale \(\displaystyle\int_2^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{t^{5/4}}\).
3. Puis l’intégrale \(\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-3t/2}\,\mathrm{d}t\).
4. Enfin, l’intégrale \(\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt[3]{t}}\).

Exercice 2 – Deux calculs par primitive

Justifier la convergence, puis calculer :

1. d’une part, \(\displaystyle A=\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{t(t+2)}\) ;
2. d’autre part, \(\displaystyle B=\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{t^2+4}\).

Exercice 3 – Nature par comparaison

Sans chercher de primitive, déterminer la nature de chaque intégrale.

1. Tout d’abord, \(\displaystyle\int_0^{+\infty}t^2e^{-\sqrt{t}}\,\mathrm{d}t\).
2. De plus, \(\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\ln t}{t}\,\mathrm{d}t\).
3. Enfin, \(\displaystyle\int_0^1\frac{\mathrm{d}t}{t^{1/3}\sqrt{1-t}}\).

Exercice 4 – Intégrabilité selon un paramètre

1. Pour quels réels \(\alpha\) la fonction \(t\mapsto\frac{t^\alpha}{1+t^3}\) est-elle intégrable sur \(]0,+\infty[\) ?
2. Ensuite, montrer que \(t\mapsto\frac{\arctan t}{t^{3/2}}\) est intégrable sur \(]0,+\infty[\).

Exercice 5 – Une intégration par parties sur une demi-droite

On pose \(K=\int_0^{+\infty}t^2e^{-2t}\,\mathrm{d}t\).

1. Justifier la convergence de \(K\).
2. Ensuite, à l’aide de deux intégrations par parties rédigées avec soin, calculer \(K\).

Exercice 6 – Deux changements de variable qui donnent π

1. Justifier la convergence de \(\int_0^1\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{t(1-t)}}\), puis la calculer avec \(t=\sin^2\theta\), \(\theta\in\,]0,\frac{\pi}{2}[\).
2. De même, justifier la convergence de \(\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{t\sqrt{t-1}}\), puis la calculer avec \(u=\sqrt{t-1}\).

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Une intégrale nulle par symétrie

On considère \(L=\int_0^{+\infty}\frac{\ln t}{(1+t)^2}\,\mathrm{d}t\).

1. Montrer que la fonction intégrée est intégrable sur \(]0,+\infty[\).
2. Ensuite, effectuer le changement de variable \(t=\frac{1}{u}\) et en déduire la valeur de \(L\).

Exercice 8 – Logarithmes et puissances à l’infini

Pour \(\alpha,\beta\) réels, on étudie \(\int_2^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{t^\alpha(\ln t)^\beta}\).

1. Dans le cas \(\alpha=1\), déterminer la nature à l’aide du changement de variable \(u=\ln t\).
2. Ensuite, pour \(\alpha>1\), montrer la convergence en comparant à \(t^{-(1+\alpha)/2}\).
3. Enfin, pour \(\alpha<1\), montrer la divergence en comparant à \(\frac{1}{t}\).

Exercice 9 – Semi-convergence de cos(t)/√t

1. Par une intégration par parties sur \([1,x]\), montrer que \(\int_1^{+\infty}\frac{\cos t}{\sqrt{t}}\,\mathrm{d}t\) converge.
2. En revanche, en utilisant \(|\cos t|\geqslant\cos^2t\), montrer que \(t\mapsto\frac{\cos t}{\sqrt{t}}\) n’est pas intégrable sur \([1,+\infty[\).

Par exemple, la figure montre l’intégrande et l’intégrale partielle correspondante.

Exercice 10 – Équivalents de deux restes

1. Justifier l’existence de \(R_1(x)=\int_x^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{t^4+t}\) pour \(x\geqslant 1\), puis en donner un équivalent quand \(x\to+\infty\).
2. On pose \(R_2(x)=\int_x^{+\infty}\frac{e^{-t}}{t}\,\mathrm{d}t\) pour \(x>0\). Par une intégration par parties, montrer que \(R_2(x)=\frac{e^{-x}}{x}-\int_x^{+\infty}\frac{e^{-t}}{t^2}\,\mathrm{d}t\).
3. En déduire, par conséquent, que \(R_2(x)\sim\frac{e^{-x}}{x}\) quand \(x\to+\infty\).

Exercice 11 – Équivalents de deux intégrales partielles

1. Donner un équivalent de \(F(x)=\int_0^x\sqrt{1+t^4}\,\mathrm{d}t\) quand \(x\to+\infty\).
2. Ensuite, on pose \(G(x)=\int_2^x\frac{\mathrm{d}t}{\ln t}\). Montrer que \(G(x)=\frac{x}{\ln x}-\frac{2}{\ln 2}+\int_2^x\frac{\mathrm{d}t}{(\ln t)^2}\).
3. En déduire, par conséquent, que \(G(x)\sim\frac{x}{\ln x}\) quand \(x\to+\infty\).

Exercice 12 – Limite à l’infini d’une fonction intégrable

Soit \(f\) continue et intégrable sur \([0,+\infty[\).

1. On suppose que \(f\) admet une limite \(\ell\in\mathbb{R}\) en \(+\infty\). Montrer que \(\ell=0\).
2. En revanche, construire une fonction continue, positive, intégrable sur \([0,+\infty[\), qui prend la valeur \(1\) en chaque entier \(n\geqslant 1\).
3. Enfin, on suppose \(f\) de classe \(\mathcal{C}^1\) et \(f^{\prime}\) intégrable. Montrer que \(f\) tend vers \(0\) en \(+\infty\).

Par exemple, la figure suggère une construction pour la question 2.

Exercice 13 – Norme 1 et produits de fonctions intégrables

On note \(E\) l’espace des fonctions continues et intégrables sur \(I=\,]0,+\infty[\).

1. Montrer que \(\|f\|_1=\int_I|f|\) définit une norme sur \(E\).
2. Ensuite, soit \(f\in E\) bornée. Montrer que \(f^2\) est intégrable sur \(I\).
3. Enfin, trouver une fonction \(f\) continue et intégrable sur \(]0,1]\) dont le carré n’est pas intégrable.

Exercice 14 – Intégration par parties sur ]0, +∞[

On pose \(N=\int_0^{+\infty}\ln\Big(1+\frac{1}{t^2}\Big)\,\mathrm{d}t\).

1. Étudier le comportement de la fonction intégrée en \(0\) et en \(+\infty\). En déduire la convergence de \(N\).
2. Ensuite, calculer la dérivée de \(t\mapsto\ln\big(1+\frac{1}{t^2}\big)\) et les limites de \(t\ln\big(1+\frac{1}{t^2}\big)\) aux deux bornes.
3. Finalement, par une intégration par parties justifiée, en déduire la valeur de \(N\).

Exercice 15 – Nature selon α de l’intégrale de (1 − cos t)/t^α

Soit \(\alpha>0\). On étudie \(\int_0^{+\infty}\frac{1-\cos t}{t^\alpha}\,\mathrm{d}t\).

1. Étudier la convergence en \(0\).
2. Ensuite, étudier la convergence en \(+\infty\) lorsque \(\alpha>1\).
3. Lorsque \(0<\alpha\leqslant 1\), montrer que \(\int_1^{+\infty}\frac{\cos t}{t^\alpha}\,\mathrm{d}t\) converge. En déduire la nature de l’intégrale étudiée.
4. Enfin, conclure en donnant l’ensemble des \(\alpha\) qui conviennent.

Pour approfondir

Exercice 16 – Sinus cardinal et son carré

1. Montrer que \(\int_0^{+\infty}\frac{\sin t}{t}\,\mathrm{d}t\) converge. On traitera séparément \(]0,1]\) et \([1,+\infty[\).
2. Pour \(k\in\mathbb{N}^*\), minorer \(\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{|\sin t|}{t}\,\mathrm{d}t\) par \(\frac{2}{(k+1)\pi}\). En déduire que \(t\mapsto\frac{\sin t}{t}\) n’est pas intégrable sur \(]0,+\infty[\).
3. De plus, montrer que \(t\mapsto\frac{\sin^2t}{t^2}\) est intégrable sur \(]0,+\infty[\).
4. Enfin, par une intégration par parties puis le changement de variable \(u=2t\), montrer que \(\int_0^{+\infty}\frac{\sin^2t}{t^2}\,\mathrm{d}t=\int_0^{+\infty}\frac{\sin u}{u}\,\mathrm{d}u\).

Exercice 17 – Les intégrales de 1/(1 + t^n) sur [0, +∞[

Pour \(n\geqslant 2\), on pose \(I_n=\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{1+t^n}\).

1. Justifier l’existence de \(I_n\).
2. Ensuite, montrer que \(I_n-1=\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{1+t^n}-\int_0^1\frac{t^n}{1+t^n}\,\mathrm{d}t\).
3. À l’aide du changement de variable \(t=\frac{1}{u}\), établir \(I_n-1=\int_0^1\frac{u^{n-2}(1-u^2)}{1+u^n}\,\mathrm{d}u\).
4. En déduire l’encadrement \(\frac{1}{n^2-1}\leqslant I_n-1\leqslant\frac{2}{n^2-1}\), puis la limite de \(I_n\).

Exercice 18 – Problème – Intégrales de Frullani

Dans tout le problème, \(0<a<b\).

Partie A : le cas de l’exponentielle. On pose \(g(t)=\frac{e^{-at}-e^{-bt}}{t}\) pour \(t>0\).

1. Montrer que \(g\) est positive et intégrable sur \(]0,+\infty[\).
2. Pour \(0<\varepsilon<X\), établir \(\int_\varepsilon^Xg(t)\,\mathrm{d}t=\int_{a\varepsilon}^{b\varepsilon}\frac{e^{-u}}{u}\,\mathrm{d}u-\int_{aX}^{bX}\frac{e^{-u}}{u}\,\mathrm{d}u\).
3. Ensuite, encadrer chacune de ces deux intégrales à l’aide de \(\ln\frac{b}{a}\).
4. En déduire que \(\int_0^{+\infty}g(t)\,\mathrm{d}t=\ln\frac{b}{a}\).

Partie B : le cas général. Soit \(f\) continue sur \([0,+\infty[\), admettant une limite finie \(L\) en \(+\infty\).

1. Montrer que \(\int_0^{+\infty}\frac{f(at)-f(bt)}{t}\,\mathrm{d}t\) converge et vaut \((f(0)-L)\ln\frac{b}{a}\).
2. Expliquer, par ailleurs, pourquoi l’hypothèse de limite en \(+\infty\) est indispensable à cette méthode.

Partie C : applications.

1. Calculer \(\int_0^{+\infty}\frac{e^{-t}-e^{-3t}}{t}\,\mathrm{d}t\).
2. Enfin, calculer \(\int_0^{+\infty}\frac{\arctan(2t)-\arctan t}{t}\,\mathrm{d}t\).

Pour aller plus loin

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