Parties ouvertes, fermées et denses : contrôle de maths en MP
Voici un contrôle de maths en MP sur le thème « parties ouvertes, fermées et denses », avec son barème et un corrigé détaillé.
Cette interrogation d’une heure trente porte sur la topologie des espaces vectoriels normés, au premier trimestre de MP. Vous montrerez d’abord qu’une partie du plan est fermée par la caractérisation séquentielle, puis qu’une autre est ouverte comme image réciproque. Ensuite, trois calculs d’adhérence vous attendent, dans \(\mathbb{R}\) et dans un espace normé quelconque. Le quatrième exercice établit la densité de \(GL_n(\mathbb{R})\) et en tire une égalité de polynômes caractéristiques. Enfin, le problème étudie l’ensemble des matrices diagonalisables de taille 2 : ni ouvert, ni fermé, ni dense, il possède pourtant un intérieur et une adhérence simples. Ce contrôle prépare ainsi aux questions d’oral sur la topologie matricielle.
Ce qu’évalue le contrôle : parties ouvertes, fermées et denses
L’essentiel du sujet
- NiveauMP
- Durée1 h 30
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitre : Ouverts, fermés, adhérence et limites (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Montrer qu’une partie de R² est fermée grâce à la caractérisation séquentielle
- Prouver qu’une partie est ouverte en l’écrivant comme préimage d’intervalles ouverts par des fonctions continues
- Calculer l’adhérence d’une partie de R, d’une partie convexe du plan et d’une boule ouverte
- Établir la densité de GL_n(R) dans M_n(R) et l’exploiter par un argument de continuité
- Déterminer l’intérieur et l’adhérence de l’ensemble des matrices diagonalisables de taille 2
Avant de commencer le devoir
Pour un fermé, prenez une suite d’éléments de la partie qui converge et montrez que sa limite y reste, en passant à la limite dans des inégalités larges. Pour un ouvert, écrivez plutôt la partie comme image réciproque d’un ouvert par une fonction continue. Quand on vous demande une adhérence, prouvez toujours les deux inclusions. Enfin, dans le problème, le discriminant du polynôme caractéristique sert de fil conducteur.
Le sujet du contrôle : parties ouvertes, fermées et denses
Exercice 1 – Une partie fermée et sa projection (3 points)
Le plan \(\mathbb{R}^2\) est muni d’une norme quelconque (elles sont toutes équivalentes). On considère \(F = \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \,;\, x \geq 0 \text{ et } xy \geq 1\right\}\), représentée ci-dessous, et l’application \(p : (x, y) \mapsto x\).
- Établir d’abord, par la caractérisation séquentielle, que \(F\) est fermée dans \(\mathbb{R}^2\).
- Déterminer \(p(F)\). Cette partie de \(\mathbb{R}\) est-elle donc fermée ? Que peut-on alors dire de l’image directe d’un fermé par une application continue ?
Exercice 2 – Un ouvert entre une parabole et une droite (3 points)
On pose \(U = \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \,;\, y > x^2 – 1 \text{ et } x + y < 1\right\}\) et \(C = \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \,;\, y \geq x^2 – 1 \text{ et } x + y \leq 1\right\}\). La parabole et la droite se coupent en \((1\,;0)\) et en \((-2\,;3)\) ; les bords en pointillés ne font pas partie de \(U\).
- Prouver tout d’abord que \(U\) est un ouvert de \(\mathbb{R}^2\) et que \(C\) en est un fermé.
- Montrer que l’adhérence de \(U\) est égale à \(C\). On pourra utiliser le point \(b = (0\,;0)\) et les points \((1 – t)\,a\) pour \(a \in C\) et \(t \in \left]0\,;1\right]\).
Exercice 3 – Adhérences dans R et dans un espace normé (4 points)
Pour \(n \geq 1\), on pose \(a_n = (-1)^n \left(1 + \frac{1}{n}\right)\) et \(A = \left\{a_n \,;\, n \geq 1\right\}\). La droite graduée montre les premiers termes, qui s’accumulent de part et d’autre.
- Déterminer l’adhérence et l’intérieur de \(A\) dans \(\mathbb{R}\).
- Donner ensuite, en justifiant, l’adhérence et l’intérieur de \(\mathbb{Q} \cap \left]0\,;1\right[\).
- Soit enfin \((E, \|\cdot\|)\) un espace vectoriel normé, \(a \in E\) et \(r > 0\). Montrer que l’adhérence de la boule ouverte \(B(a, r)\) est la boule fermée \(B_f(a, r)\).
Exercice 4 – Densité des matrices inversibles (4 points)
Soit \(n \geq 1\). L’espace \(M_n(\mathbb{R})\) est muni d’une norme quelconque, et \(\chi_M(x) = \det(x I_n – M)\) désigne le polynôme caractéristique de \(M\).
- Justifier d’abord que \(GL_n(\mathbb{R})\) est un ouvert de \(M_n(\mathbb{R})\).
- Soit \(A \in M_n(\mathbb{R})\). Montrer qu’il existe un entier \(p_0\) tel que \(A – \frac{1}{p} I_n\) soit inversible pour tout \(p \geq p_0\).
- En déduire que \(GL_n(\mathbb{R})\) est dense dans \(M_n(\mathbb{R})\).
- Soit \(A\) et \(B\) dans \(M_n(\mathbb{R})\). Établir d’abord que \(\chi_{AB} = \chi_{BA}\) lorsque \(A\) est inversible, puis étendre ce résultat à toutes les matrices \(A\) par un argument de continuité.
Exercice 5 – Problème : les matrices diagonalisables de taille 2 (6 points)
Dans \(M_2(\mathbb{R})\), la lettre \(\mathcal{D}\) désigne la partie formée des matrices diagonalisables sur \(\mathbb{R}\). À toute matrice \(M = \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \theta \end{pmatrix}\), on associe alors le réel \(\delta(M) = (\alpha – \theta)^2 + 4\beta\gamma\). On définit ensuite \(\Omega = \left\{M \,;\, \delta(M) > 0\right\}\) et \(T = \left\{M \,;\, \delta(M) \geq 0\right\}\).
- Vérifier que \(\delta(M)\) est le discriminant de \(\chi_M\). Justifier ensuite que \(\Omega\) est ouvert et que \(T\) est fermé.
- Montrer alors les inclusions \(\Omega \subset \mathcal{D} \subset T\).
- À l’aide des matrices \(M_p = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 + \frac{1}{p} \end{pmatrix}\), prouver que \(\mathcal{D}\) n’est pas fermé.
- Montrer que \(\mathcal{D}\) n’est pas ouvert, puis qu’il n’est pas dense dans \(M_2(\mathbb{R})\) grâce à la matrice \(R = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\).
- Prouver que l’adhérence de \(\mathcal{D}\) est égale à \(T\). On pourra trigonaliser une matrice \(M\) telle que \(\delta(M) = 0\).
- Déterminer enfin l’intérieur de \(\mathcal{D}\).
Réviser parties ouvertes, fermées et denses avant le contrôle
Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours ouverts, fermés, adhérence et limites ; entraînez-vous sur les exercices ouverts, fermés, adhérence et limites avant de retenter le sujet.
La page contrôles de maths en MP regroupe les 25 sujets de l’année, et la page maths post-bac permet de changer d’année.
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