Le calcul littéral en 4ème : corrigé détaillé des exercices 1 à 10

Sommaire

Ce corrigé exercices calcul littéral 4ème reprend les dix premiers exercices de la fiche. Ils suivent une progression régulière : d’abord réduire une expression en distinguant les termes en \(x\), en \(x^2\) et les constantes, puis supprimer des parenthèses précédées d’un signe « + » ou « − », ensuite traduire une phrase en expression littérale, et enfin développer avec la simple distributivité puis la double distributivité \((a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd\). Un programme de calcul permet de passer d’un exemple numérique à une expression générale.

Chaque résolution présente les étapes intermédiaires, car c’est là que se glissent les erreurs de signe. Quand l’énoncé le demande, on teste le résultat pour des valeurs simples de \(x\) : c’est aussi un bon réflexe de vérification en contrôle. Travaillez chaque expression seul, puis comparez avec la solution terme par terme ; si votre résultat diffère, remplacez \(x\) par 1 dans les deux expressions pour trouver laquelle est juste.

Les énoncés se trouvent sur la fiche Calcul littéral : exercices de maths en 4ème corrigés en PDF. (30 exercices au total). Cherchez d’abord chaque exercice au brouillon, puis comparez avec la correction.

Corrigé des exercices 1 à 10 sur le calcul littéral en 4ème

Exercice 1 : Réduction d'expressions littérales

Revoir l’énoncé de l’exercice 1

On peut additionner uniquement des termes de même nature (des \(x\) avec des \(x\), des \(x^2\) avec des \(x^2\)) ; un produit se réduit toujours.

\[ \begin{aligned} A &= 2x+x = 3x & B &= 3x\times x = 3x^2 \\ C &= 4x-x = 3x & D &= 3x+2 \text{ (ne se réduit pas)} \\ E &= x\times 2x = 2x^2 & F &= x^2+x \text{ (ne se réduit pas)} \\ G &= 0\times x = 0 & H &= 1+2x \text{ (ne se réduit pas)} \\ I &= 0+x = x & J &= 5x\times 6x = 30x^2 \\ K &= 4\times x\times 5 = 20x & L &= x\times x+x = x^2+x \end{aligned} \]

Réponse : \(3x\) ; \(3x^2\) ; \(3x\) ; \(3x+2\) ; \(2x^2\) ; \(x^2+x\) ; \(0\) ; \(1+2x\) ; \(x\) ; \(30x^2\) ; \(20x\) ; \(x^2+x\).

Exercice 2 : Calcul littéral : suppression de parenthèses

Revoir l’énoncé de l’exercice 2

Des parenthèses précédées d’un « + » se suppriment sans rien changer ; précédées d’un « − », on les supprime en changeant le signe de chaque terme qu’elles contiennent.

\[ \begin{aligned} M &= (x+3)+(4x-5) = x+3+4x-5 = 5x-2 \\ N &= 6-2t-(4t-8) = 6-2t-4t+8 = -6t+14 \\ O &= -(8a+3)-4a = -8a-3-4a = -12a-3 \\ P &= (2y+7)+(-5y+3) = 2y+7-5y+3 = -3y+10 \\ Q &= 5z-6-(7-2z)+3z = 5z-6-7+2z+3z = 10z-13 \\ R &= (3-4x)-(-2x+8) = 3-4x+2x-8 = -2x-5 \end{aligned} \]

Réponse : \(M = 5x-2\), \(N = -6t+14\), \(O = -12a-3\), \(P = -3y+10\), \(Q = 10z-13\), \(R = -2x-5\).

Exercice 3 : Calcul littéral : réduire

Revoir l’énoncé de l’exercice 3

On regroupe les termes en \(x^2\), puis en \(x\) (ou en \(a\), en \(b\)), puis les nombres.

\[ \begin{aligned} A &= x-6-5x^2-30-x = -5x^2+(x-x)+(-6-30) = -5x^2-36 \\ B &= 12x-x^2-10+x-3-8x^2+1-2x = (-x^2-8x^2)+(12x+x-2x)+(-10-3+1) = -9x^2+11x-12 \\ C &= -3-a+b+5a-9+(-3a-5b) = (-a+5a-3a)+(b-5b)+(-3-9) = a-4b-12 \\ D &= x^2-(3x^2-15x+4)+(15x^2-12x-3) \\ &= x^2-3x^2+15x-4+15x^2-12x-3 = 13x^2+3x-7 \end{aligned} \]

Réponse : \(A = -5x^2-36\), \(B = -9x^2+11x-12\), \(C = a-4b-12\), \(D = 13x^2+3x-7\).

Exercice 4 : Calcul littéral : écrire et développer

Revoir l’énoncé de l’exercice 4

Du texte à l’écriture mathématique.

a) le double de \(x\) augmenté de 1 : \(2x+1\) ;
b) la somme de 3 et du triple de \(x\) : \(3+3x\) ;
c) le tiers de \(x\), diminué de 5 : \(\dfrac{x}{3}-5\) ;
d) le produit par 5 de la somme de \(x\) et de 4 : \(5(x+4)\), soit \(5x+20\) ;
e) la somme de 6 et du produit de \(x\) par 7 : \(6+7x\).

Développer et réduire.

\[ \begin{aligned} A &= 3(t-2)-2(1-t) = 3t-6-2+2t = 5t-8 \\ B &= (1-x)(3x-2) = 3x-2-3x^2+2x = -3x^2+5x-2 \\ C &= (a-2b)(2a-b) = 2a^2-ab-4ab+2b^2 = 2a^2-5ab+2b^2 \\ D &= 4(1-a)(2-a) = 4(2-a-2a+a^2) = 4(a^2-3a+2) = 4a^2-12a+8 \\ E &= 1(3-x^2)+4(x-1)(5-2x) = 3-x^2+4(5x-2x^2-5+2x) \\ &= 3-x^2+4(-2x^2+7x-5) = 3-x^2-8x^2+28x-20 = -9x^2+28x-17 \end{aligned} \]

Réponse : a) \(2x+1\) ; b) \(3+3x\) ; c) \(\frac{x}{3}-5\) ; d) \(5(x+4)\) ; e) \(6+7x\). \(A = 5t-8\), \(B = -3x^2+5x-2\), \(C = 2a^2-5ab+2b^2\), \(D = 4a^2-12a+8\), \(E = -9x^2+28x-17\).

Exercice 5 : Programme de calcul

Revoir l’énoncé de l’exercice 5

1. Avec −2 : \(-2-3 = -5\) ; \(-5\times(-5) = 25\) ; \(25\div 4 = 6{,}25\) ; \(6{,}25+(-2) = 4{,}25\).

Avec 7 : \(7-3 = 4\) ; \(4\times(-5) = -20\) ; \(-20\div 4 = -5\) ; \(-5+7 = 2\).

2. Avec \(x\) : on applique les mêmes étapes.

\[ \begin{aligned} &x \;\to\; x-3 \;\to\; -5(x-3) = -5x+15 \;\to\; \frac{-5x+15}{4} \\ &\text{résultat : } \frac{-5x+15}{4}+x = \frac{-5x+15+4x}{4} = \frac{-x+15}{4} \end{aligned} \]

Vérification : pour \(x = -2\), \(\frac{2+15}{4} = \frac{17}{4} = 4{,}25\) ; pour \(x = 7\), \(\frac{-7+15}{4} = 2\).

Réponse : 1. on obtient 4,25 pour −2 et 2 pour 7 ; 2. le programme donne \(\dfrac{15-x}{4}\).

Exercice 6 : Calcul algébrique

Revoir l’énoncé de l’exercice 6

Situation 1.

\[ \begin{aligned} D &= x^2+3x-1+x^2-15x-2x+4-5x^2 = (1+1-5)x^2+(3-15-2)x+(-1+4) = -3x^2-14x+3 \\ E &= 12x^2-8+3x-8x^2+7+7x-3x = 4x^2+7x-1 \\ F &= 9a+15a^2-15a-11a^2-3a-4a^2+2 = (15-11-4)a^2+(9-15-3)a+2 = -9a+2 \end{aligned} \]

Situation 2.

\[ \begin{aligned} G &= +3-(a-b)+5+(-a+b)+a = 3-a+b+5-a+b+a = -a+2b+8 \\ H &= -3-(-a+b)+5a-9+(-3a-5b) = -3+a-b+5a-9-3a-5b = 3a-6b-12 \end{aligned} \]

Situation 3. 1. On développe avec la double distributivité.

\[ \begin{aligned} a.\ & \left(x-\frac{3}{7}\right)(7x-14) = 7x^2-14x-3x+6 = 7x^2-17x+6 \\ b.\ & \left(3+\frac{3}{8}x\right)(8-x) = 24-3x+3x-\frac{3}{8}x^2 = 24-\frac{3}{8}x^2 \end{aligned} \]

2. Tests :

a. Pour \(x = 0\) : forme de départ \(\left(-\frac{3}{7}\right)\times(-14) = 6\) et forme développée \(6\). Pour \(x = 1\) : \(\frac{4}{7}\times(-7) = -4\) et \(7-17+6 = -4\). Les résultats concordent.
b. Pour \(x = 0\) : \(3\times 8 = 24\) et \(24\). Pour \(x = 1\) : \(\frac{27}{8}\times 7 = \frac{189}{8}\) et \(24-\frac{3}{8} = \frac{189}{8}\). Les résultats concordent.

Réponse : \(D = -3x^2-14x+3\), \(E = 4x^2+7x-1\), \(F = -9a+2\), \(G = -a+2b+8\), \(H = 3a-6b-12\) ; a. \(7x^2-17x+6\) ; b. \(24-\frac{3}{8}x^2\).

Exercice 7 : Identité remarquable

Revoir l’énoncé de l’exercice 7

On écrit le carré comme un produit, puis on utilise la double distributivité.

\[ \begin{aligned} A &= (x+4)^2 = (x+4)(x+4) = x^2+4x+4x+16 = x^2+8x+16 \\ B &= (2x-3)^2 = (2x-3)(2x-3) = 4x^2-6x-6x+9 = 4x^2-12x+9 \end{aligned} \]

Remarque : le terme du milieu n’est pas oublié ; \((x+4)^2\) n’est pas égal à \(x^2+16\).

Réponse : \(A = x^2+8x+16\) et \(B = 4x^2-12x+9\).

Exercice 8 : Parenthèses et calcul littéral

Revoir l’énoncé de l’exercice 8

\[ \begin{aligned} E &= -(x+1)+(x-1)-(x+2) = -x-1+x-1-x-2 = -x-4 \\ F &= (6x-1)+7-(3-6x) = 6x-1+7-3+6x = 12x+3 \end{aligned} \]

Réponse : \(E = -x-4\) et \(F = 12x+3\).

Exercice 9 : Développer et réduire

Revoir l’énoncé de l’exercice 9

\[ \begin{aligned} A &= (x+1)(x+4) = x^2+4x+x+4 = x^2+5x+4 \\ B &= (x+1)(4-x) = 4x-x^2+4-x = -x^2+3x+4 \\ C &= (x-1)(4+x) = 4x+x^2-4-x = x^2+3x-4 \\ D &= (x-1)(x-4) = x^2-4x-x+4 = x^2-5x+4 \end{aligned} \]

Réponse : \(A = x^2+5x+4\), \(B = -x^2+3x+4\), \(C = x^2+3x-4\), \(D = x^2-5x+4\).

Exercice 10 : Calcul littéral, développer et factoriser

Revoir l’énoncé de l’exercice 10

Situation 1. Pour un produit, on multiplie les nombres entre eux et les lettres entre elles.

\[ \begin{aligned} a.\ & 2x\times 7 = 14x & b.\ & -5y\times(-2) = 10y \\ c.\ & 4x\times(-5) = -20x & d.\ & -5\times 9a = -45a \\ e.\ & -3x\times x = -3x^2 & f.\ & 5b\times(-2b) = -10b^2 \\ g.\ & \frac{2}{3}a\times(-6a) = -4a^2 & h.\ & 3x-5+4x-13-9x = -2x-18 \\ i.\ & -2x+3-9x-4+3x = -8x-1 & j.\ & 5x-2-4x+7-3x-2-9x-11 = -11x-8 \end{aligned} \]

Situation 2.

\[ \begin{aligned} a.\ & 25-(2a-3) = 25-2a+3 = -2a+28 \\ b.\ & 3a-(-2a+7) = 3a+2a-7 = 5a-7 \\ c.\ & -(a+3b)+(b-2a) = -a-3b+b-2a = -3a-2b \\ d.\ & (5+x)-(7x-5) = 5+x-7x+5 = -6x+10 \\ e.\ & (x^2-5x)+(2x^2+7x-8) = 3x^2+2x-8 \\ f.\ & (3x^2-5x-4)-(-4x^2+7x+5) = 3x^2-5x-4+4x^2-7x-5 = 7x^2-12x-9 \\ g.\ & \left(\frac{3}{4}a^2+\frac{2}{3}a-4\right)-\left(\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{3}a+3\right) = \frac{1}{4}a^2+\frac{1}{3}a-7 \end{aligned} \]

Situation 3.

\[ \begin{aligned} a.\ & (x+3)(x+2) = x^2+2x+3x+6 = x^2+5x+6 \\ b.\ & (2x+1)(x+4) = 2x^2+8x+x+4 = 2x^2+9x+4 \\ c.\ & (5x+6)(2x+3) = 10x^2+15x+12x+18 = 10x^2+27x+18 \\ d.\ & (7x+5)(8+9x) = 56x+63x^2+40+45x = 63x^2+101x+40 \\ e.\ & \left(x+\frac{1}{3}\right)(x+2) = x^2+2x+\frac{1}{3}x+\frac{2}{3} = x^2+\frac{7}{3}x+\frac{2}{3} \\ f.\ & \left(\frac{1}{2}x+3\right)(x+2) = \frac{1}{2}x^2+x+3x+6 = \frac{1}{2}x^2+4x+6 \end{aligned} \]

Réponse : voir les résultats encadrés ligne par ligne ci-dessus, par exemple \((7x+5)(8+9x) = 63x^2+101x+40\).

La méthode à retenir sur le calcul littéral

Réduire : regrouper les termes de même nature (\(x^2\), \(x\), constantes) et additionner leurs coefficients.
Parenthèses précédées de « − » : on les supprime en changeant le signe de chaque terme intérieur.
Simple distributivité : \(k(a+b) = ka+kb\).
Double distributivité : \((a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd\), soit quatre produits avant de réduire.
Un carré se développe comme un produit : \((a+b)^2 = (a+b)(a+b)\).
Vérifier en remplaçant la lettre par 0 ou 1 dans l’expression de départ et dans le résultat.

Les erreurs fréquentes

Additionner des termes différents : \(3x+2\) ne vaut pas \(5x\), et \(x^2+x\) ne vaut pas \(2x^2\).
Ne changer que le premier signe dans \(-(7-2z)\) : il faut écrire \(-7+2z\).
Confondre \(x\times x = x^2\) et \(x+x = 2x\).
Oublier un des quatre produits de la double distributivité, en particulier les termes croisés.
Écrire \((x+4)^2 = x^2+16\) en oubliant le double produit \(8x\).

Les exercices 11 à 30 de la fiche ne sont pas corrigés ici : ce sont de bons entraînements en autonomie une fois la méthode comprise. Retrouver tous les énoncés.

Questions fréquentes

Quelle différence entre réduire et développer ?

Développer, c’est transformer un produit en somme, par exemple \(3(t-2)\) en \(3t-6\). Réduire, c’est regrouper les termes de même nature pour écrire la somme le plus simplement possible. En général, on développe d’abord, puis on réduit.

Comment vérifier un développement sans calculatrice ?

On remplace la lettre par une valeur simple, comme 0 ou 1, dans l’expression de départ et dans l’expression obtenue. Si les deux résultats sont différents, il y a une erreur. S’ils sont égaux, c’est un bon indice, même si ce n’est pas une preuve.

À quoi sert le calcul littéral ?

Il permet de démontrer une propriété vraie pour tous les nombres, comme le résultat d’un programme de calcul, ou d’écrire une formule (aire, périmètre, prix). Il prépare aussi la résolution d’équations, étudiée juste après en quatrième.

Pour aller plus loin :

Les énoncés : Calcul littéral : exercices de maths en 4ème corrigés en PDF.
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