Images et antécédents d’une fonction : corrigé du contrôle de maths en seconde
Voici le corrigé du contrôle de maths en seconde sur le thème « images et antécédents d’une fonction », question par question.
Cette correction détaille chaque remplacement de \(x\) par sa valeur, avec les parenthèses qui évitent les erreurs de signe. Pour les antécédents, elle écrit l’équation à résoudre, la résout pas à pas, puis vérifie la solution en calculant son image.
Les lectures graphiques sont ensuite illustrées sur la courbe, où les pointillés montrent comment passer d’un axe à l’autre. Le programme Python est traduit en formule, puis développé. Enfin, le problème de l’enclos est rédigé jusqu’à l’interprétation concrète des deux solutions. Compare ta copie avec le barème, puis relis les pièges classiques signalés à la fin de certains exercices.
L’énoncé complet se trouve ici : Images et antécédents d’une fonction : contrôle de maths en seconde.
Barème du contrôle corrigé : images et antécédents d’une fonction
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Calculer des images | 4 points |
| 2. Chercher des antécédents par le calcul | 4 points |
| 3. Lectures sur une courbe | 4 points |
| 4. Une fonction écrite en Python | 4 points |
| 5. L’enclos contre la grange | 4 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : images et antécédents d’une fonction
Exercice 1 – Calculer des images (4 points)
- On remplace \(x\) par chaque valeur, entre parenthèses :
\(f(0) = 2 \times 0^2 – 5 \times 0 + 1 = 1\)
\(f(-2) = 2 \times (-2)^2 – 5 \times (-2) + 1 = 8 + 10 + 1 = 19\)
\(f(3) = 2 \times 3^2 – 5 \times 3 + 1 = 18 – 15 + 1 = 4\)
Ainsi, \(f(0) = 1\), \(f(-2) = 19\) et \(f(3) = 4\). - On calcule \(f\left(\dfrac{1}{2}\right) = 2 \times \dfrac{1}{4} – \dfrac{5}{2} + 1 = \dfrac{1}{2} – \dfrac{5}{2} + 1\).
Or \(\dfrac{1}{2} – \dfrac{5}{2} = -2\), donc \(-2 + 1 = -1\).
L’image de \(\dfrac{1}{2}\) par \(f\) est \(-1\). - Comme \(\left(\sqrt{2}\right)^2 = 2\), on obtient \(f\left(\sqrt{2}\right) = 2 \times 2 – 5\sqrt{2} + 1 = 5 – 5\sqrt{2}\). Donc \(f\left(\sqrt{2}\right) = 5 – 5\sqrt{2}\).
- D’une part, \(f(-1) = 2 \times 1 + 5 + 1 = 8\) : c’est bien l’ordonnée de \(A\). D’autre part, \(f(2) = 8 – 10 + 1 = -1\), qui est différent de 0. Le point \(A\) appartient à la courbe, mais le point \(B\) n’y appartient pas.
Piège classique : écrire \(-2^2 = -4\) au lieu de \((-2)^2 = 4\). Les parenthèses autour d’un nombre négatif sont donc indispensables.
Exercice 2 – Chercher des antécédents par le calcul (4 points)
- On résout \(g(x) = 8\), c’est-à-dire \(3x – 7 = 8\).
Alors \(3x = 15\), puis \(x = 5\). Vérification : \(g(5) = 15 – 7 = 8\).
L’antécédent de 8 par \(g\) est 5. - On résout \(x^2 – 4 = 5\), soit \(x^2 = 9\).
Cette équation a deux solutions, \(x = 3\) et \(x = -3\), car \(3^2 = 9\) et \((-3)^2 = 9\).
Les antécédents de 5 par \(h\) sont \(-3\) et 3. - L’équation \(x^2 – 4 = -6\) équivaut à \(x^2 = -2\). Or un carré est toujours positif ou nul, donc cette équation n’a pas de solution. Le nombre \(-6\) n’a aucun antécédent par \(h\).
- Pour \(x = 3\), le dénominateur vaut \(3 – 3 = 0\), et on ne peut pas diviser par 0. La fonction \(k\) n’est donc pas définie en 3.
- Pour \(x \neq 3\), on résout \(\dfrac{2x + 1}{x – 3} = 1\), ce qui équivaut à \(2x + 1 = x – 3\).
Ainsi, \(2x – x = -3 – 1\), donc \(x = -4\), qui est bien différent de 3.
Vérification : \(k(-4) = \dfrac{-8 + 1}{-4 – 3} = \dfrac{-7}{-7} = 1\).
L’antécédent de 1 par \(k\) est \(-4\).
Piège classique : oublier la solution négative de \(x^2 = 9\). Un nombre strictement positif a toujours deux racines carrées opposées.
Exercice 3 – Lectures sur une courbe (4 points)
- La courbe commence au point d’abscisse \(-3\) et se termine au point d’abscisse 5. La fonction \(f\) est définie sur \([-3 ; 5]\).
- Le point de la courbe d’abscisse 0 a pour ordonnée \(-2\), tandis que celui d’abscisse 4 a pour ordonnée 2. Ainsi, \(f(0) = -2\) et \(f(4) = 2\).
- La droite d’équation \(y = 1\) coupe la courbe en trois points, d’abscisses \(-2\), 2 et 5. Les antécédents de 1 par \(f\) sont \(-2\), 2 et 5.
- On lit \(f(-1) = -1\), donc \(M\) est sur la courbe. En revanche, \(f(1) = -1\), qui n’est pas égal à 1. Le point \(M\) appartient à \(C_f\), mais pas le point \(N\).
- On trace les droites horizontales d’équations \(y = 2\) et \(y = -3\), puis on compte les points d’intersection avec la courbe. La droite \(y = 2\) coupe la courbe trois fois : vers \(x \approx -2{,}5\), vers \(x \approx 2{,}4\) et en \(x = 4\). En revanche, la courbe ne descend jamais sous \(-2\), donc elle ne rencontre pas la droite \(y = -3\). Le nombre 2 a trois antécédents, et \(-3\) n’en a aucun.
Piège classique : lire un antécédent sur l’axe des ordonnées. L’antécédent est une abscisse, alors que l’image est une ordonnée.
Exercice 4 – Une fonction écrite en Python (4 points)
- Pour f(3) : a vaut \(3 – 1 = 2\), puis b vaut \(2 \times 2 = 4\), et la fonction renvoie \(4 – 4 = 0\). Pour f(-2) : a vaut \(-2 – 1 = -3\), ensuite b vaut \((-3) \times (-3) = 9\), enfin la fonction renvoie \(9 – 4 = 5\). L’appel f(3) renvoie 0, et f(-2) renvoie 5.
- On applique la même suite de calculs à chaque valeur de \(x\) :
\(x\) \(-2\) \(-1\) 0 1 2 3 4 \(f(x)\) 5 0 \(-3\) \(-4\) \(-3\) 0 5 Le tableau est complété ci-dessus.
- Le programme calcule \(x – 1\), l’élève au carré, puis retire 4, donc \(f(x) = (x – 1)^2 – 4\). On développe avec l’identité remarquable :
\(f(x) = x^2 – 2x + 1 – 4 = x^2 – 2x – 3\).
On a bien \(f(x) = x^2 – 2x – 3\). - L’équation \(f(x) = 0\) s’écrit \((x – 1)^2 = 4\). Alors \(x – 1 = 2\) ou \(x – 1 = -2\), c’est-à-dire \(x = 3\) ou \(x = -1\). Le tableau donne justement \(f(-1) = 0\) et \(f(3) = 0\), ce qui est cohérent. Les solutions sont \(-1\) et 3.
Exercice 5 – L’enclos contre la grange (4 points)
- Les deux côtés perpendiculaires au mur utilisent \(2x\) mètres de grillage, donc le côté parallèle mesure \(20 – 2x\) mètres. Une longueur est strictement positive : \(x > 0\) et \(20 – 2x > 0\), soit \(x < 10\). Par conséquent, \(x\) appartient à \(]0 ; 10[\). L’aire d’un rectangle est le produit de ses dimensions : \(A(x) = x(20 – 2x) = 20x – 2x^2\). On a bien \(A(x) = 20x – 2x^2\) pour \(x\) dans \(]0 ; 10[\).
- On calcule \(A(3) = 60 – 18 = 42\), puis \(A(5) = 100 – 50 = 50\). Avec des côtés de 3 m, l’enclos mesure \(42\text{ m}^2\) ; avec des côtés de 5 m, il mesure \(50\text{ m}^2\).
- On développe le membre de droite :
\(-2(x – 3)(x – 7) = -2(x^2 – 7x – 3x + 21) = -2x^2 + 20x – 42\).
C’est bien \(A(x) – 42\). Ainsi, \(A(x) = 42\) équivaut à \(-2(x – 3)(x – 7) = 0\). Un produit est nul si l’un de ses facteurs est nul, donc \(x = 3\) ou \(x = 7\), deux valeurs de \(]0 ; 10[\). Les antécédents de 42 par \(A\) sont 3 et 7. - Si \(x = 3\), le côté parallèle mesure \(20 – 6 = 14\) m ; si \(x = 7\), il mesure \(20 – 14 = 6\) m. Aurélien peut choisir un enclos de 3 m sur 14 m, ou un enclos de 7 m sur 6 m.
Piège classique : compter quatre côtés de grillage au lieu de trois. Le mur de la grange remplace en effet le quatrième côté.
À retenir de ce contrôle
- L’image de a par f est le nombre f(a) : elle est unique, et on l’obtient en remplaçant x par a dans l’expression.
- Un nombre b peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents : on les trouve en résolvant l’équation f(x) = b.
- Sur une courbe, l’image se lit sur l’axe des ordonnées, tandis que les antécédents se lisent sur l’axe des abscisses.
- Un point M(a ; b) appartient à la courbe de f si et seulement si f(a) = b, ce qui se vérifie par un simple calcul.
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Consolider images et antécédents d’une fonction après ce corrigé
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