Position relative de deux courbes : contrôle de maths en première
Voici un contrôle de maths en première sur le thème « position relative de deux courbes », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce sujet t’entraîne à comparer deux fonctions, d’abord sur un graphique, puis par le calcul. Tu lis des points d’intersection, ensuite tu étudies le signe de la différence \(f(x) – g(x)\) entre une parabole et une droite. Le troisième exercice te fait démontrer une inégalité grâce aux variations d’une fonction et à son minimum.
Enfin, un problème de fabrication de vélos réunit tout le chapitre : factorisation, tableau de signes, dérivée et recherche du bénéfice maximal. Fais ce contrôle à la fin du chapitre sur les variations, car il suppose que tu sais dériver un polynôme sans hésiter. La calculatrice est interdite, comme à l’épreuve anticipée.
Ce qu’évalue le contrôle : position relative de deux courbes
L’essentiel du sujet
- Niveaupremière
- Durée1 heure 30
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitre : Variations d’une fonction (4 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Lire graphiquement les points d’intersection et la position relative de deux courbes
- Étudier le signe de f(x) − g(x) pour déterminer la position relative de deux courbes
- Démontrer une inégalité en étudiant les variations d’une fonction et son minimum
- Étudier un bénéfice à l’aide de la dérivée pour trouver une production optimale
Avant de commencer le devoir
Pour chaque question de position, ramène-toi toujours au signe de la différence des deux expressions, puis factorise-la avant de dresser le tableau. Dans l’exercice 3, ne t’arrête pas aux variations : c’est la valeur du minimum qui permet de conclure. Dans le problème, garde en tête les unités, car \(x\) compte des dizaines de vélos. Enfin, vérifie chaque factorisation en la redéveloppant, par exemple sur une valeur simple de \(x\).
Le sujet du contrôle : position relative de deux courbes
Exercice 1 – Lecture graphique de deux courbes (3 points)
On considère les fonctions \(f\) et \(g\) définies sur \([-2{,}5\,;\,2{,}5]\) par \(f(x) = x^3 – 3x\) et \(g(x) = x\). Leurs courbes \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\) sont tracées ci-dessous.
- Lis d’abord les coordonnées des points d’intersection de \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\).
- Résous ensuite graphiquement l’inéquation \(f(x) \geq g(x)\) sur \([-2{,}5\,;\,2{,}5]\).
- Démontre enfin que \(f(x) – g(x) = x(x – 2)(x + 2)\), puis explique comment cette écriture confirme tes lectures.
Exercice 2 – Une parabole et une droite (4 points)
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x^2 – 2x – 1\), de courbe \(\mathcal{C}_f\), et \(\mathcal{D}_g\) la droite d’équation \(y = x + 3\). On veut étudier leur position relative, cette fois sans graphique.
- Calcule \(f(x) – (x + 3)\), puis détermine les racines de ce polynôme du second degré.
- Dresse ensuite le tableau de signes de \(f(x) – (x + 3)\) sur \(\mathbb{R}\) et déduis-en la position relative de \(\mathcal{C}_f\) et de \(\mathcal{D}_g\).
- Donne alors les coordonnées des points d’intersection de \(\mathcal{C}_f\) et de \(\mathcal{D}_g\).
Exercice 3 – Une inégalité démontrée par une étude de fonction (5 points)
On veut démontrer que, pour tout réel \(x \geq 0\), on a \(x^3 \geq 3x – 2\). Pour cela, on définit sur \([0\,;\,+\infty[\) la fonction \(h\) par \(h(x) = x^3 – 3x + 2\).
- Calcule \(h^{\prime}(x)\), puis montre que \(h^{\prime}(x) = 3(x – 1)(x + 1)\).
- Étudie le signe de \(h^{\prime}(x)\) sur \([0\,;\,+\infty[\) et dresse le tableau de variations de \(h\), en précisant \(h(0)\) et \(h(1)\).
- Déduis-en le signe de \(h(x)\) sur \([0\,;\,+\infty[\), puis conclus.
- Soit \(\mathcal{C}\) la courbe de la fonction cube. Détermine l’équation de sa tangente \(T\) au point d’abscisse 1, puis interprète graphiquement l’inégalité démontrée.
Exercice 4 – La fabrique de vélos (8 points)
Un atelier fabrique chaque mois \(x\) dizaines de vélos, avec \(x \in [0\,;\,14]\). Tous les vélos fabriqués sont vendus. Le coût total de fabrication, en centaines d’euros, est donné par \(C(x) = x^3 – 3x^2 + 6x + 432\). De plus, chaque dizaine de vélos est vendue 150 centaines d’euros, donc la recette vaut \(R(x) = 150x\).
- Par lecture graphique, donne les quantités pour lesquelles la courbe de la recette est au-dessus de celle du coût.
- On note \(B(x) = R(x) – C(x)\) le bénéfice. Montre que \(B(x) = -x^3 + 3x^2 + 144x – 432\).
- Vérifie que, pour tout \(x\), \(B(x) = (x – 3)(12 – x)(x + 12)\).
- Étudie alors le signe de \(B(x)\) sur \([0\,;\,14]\). Quelle est la position relative des deux courbes, et pour quelles quantités l’atelier est-il rentable ?
- Calcule \(B^{\prime}(x)\), puis vérifie que \(B^{\prime}(x) = -3(x – 8)(x + 6)\).
- Dresse le tableau de variations de \(B\) sur \([0\,;\,14]\), avec les valeurs aux bornes et à l’extremum.
- Combien de vélos l’atelier doit-il fabriquer par mois pour un bénéfice maximal ? Donne ce bénéfice en euros.
Réviser position relative de deux courbes avant le contrôle
Si un exercice t’a bloqué, entraîne-toi sur la fiche fonctions usuelles avant de retenter le sujet.
La page contrôles de maths en première regroupe les 25 sujets de l’année, et la rubrique contrôles corrigés du CP à la terminale permet de changer de niveau.
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