Suites géométriques et exponentielle : contrôle de maths en première
Voici un contrôle de maths en première sur le thème « suites géométriques et exponentielle », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce sujet de synthèse relie deux chapitres que l’on croit souvent séparés : les suites géométriques et la fonction exponentielle. Tu montreras d’abord qu’une suite écrite avec \(\mathrm{e}^{na}\) est géométrique, puis tu calculeras une somme de termes. Ensuite, un élevage de truites te fera comparer un modèle discret et un modèle continu sur le même graphique.
Tu compléteras aussi un algorithme de seuil en Python, avant un petit problème sur la lumière qui décroît sous la mer. Fais ce contrôle en fin de deuxième trimestre, quand les deux chapitres sont terminés : il prépare aussi l’épreuve anticipée grâce à sa partie d’automatismes.
Ce qu’évalue le contrôle : suites géométriques et exponentielle
L’essentiel du sujet
- Niveaupremière
- Durée2 heures
- Calculatriceautorisée
- Barèmesur 20
Chapitres : Suites numériques et Fonction exponentielle (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Reconnaître qu’une suite de la forme e puissance na est géométrique et en donner la raison
- Calculer un terme et une somme de termes consécutifs d’une suite géométrique
- Comparer un modèle discret par une suite et un modèle continu par une fonction exponentielle
- Compléter et exécuter un algorithme Python de seuil avec une boucle while
- Étudier le sens de variation d’une suite géométrique et d’une fonction exponentielle
Avant de commencer le devoir
Commence par l’exercice 1 sans calculatrice, car les règles de calcul sur les puissances et sur l’exponentielle y rapportent vite des points. Pour prouver qu’une suite est géométrique, écris toujours \(u_{n+1}\) en fonction de \(u_n\), puis isole le facteur constant. Ensuite, dans l’exercice 3, ne confonds pas la raison \(1{,}2\) et le nombre \(\mathrm{e}^{0{,}18}\). Enfin, pour le programme Python, fais tourner la boucle à la main sur deux passages afin de vérifier la condition d’arrêt.
Le sujet du contrôle : suites géométriques et exponentielle
Exercice 1 – Automatismes sans calculatrice (4 points)
Pour cet exercice, la calculatrice reste rangée. Réponds en donnant une valeur exacte, puis justifie brièvement.
- Écris le nombre \(A = \dfrac{\left(\mathrm{e}^{2}\right)^{3} \times \mathrm{e}^{-1}}{\mathrm{e}^{4}}\) sous la forme la plus simple possible.
- La suite \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac{1}{2}\) avec \(v_1 = 6\). Calcule alors \(v_4\).
- Donne ensuite la valeur de la somme \(S = 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729\).
- Enfin, résous dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(\mathrm{e}^{2x-1} = \mathrm{e}^{x+3}\).
Exercice 2 – Une suite née de l’exponentielle (4 points)
On définit la suite \((w_n)\) pour tout entier naturel \(n\) par \(w_n = \mathrm{e}^{1 – 0{,}4n}\).
- Donne la valeur exacte de \(w_0\) et de \(w_1\).
- Démontre que la suite \((w_n)\) est géométrique, puis précise son premier terme et sa raison.
- Déduis-en le sens de variation de \((w_n)\), en justifiant.
- On note \(T\) la somme des dix premiers termes, de \(w_0\) jusqu’à \(w_9\) inclus. Exprime \(T\) à l’aide de \(\mathrm{e}\), puis donne une valeur approchée au centième.
Exercice 3 – Les truites de l’étang (6 points)
Au 1er janvier 2026, Bastien lâche 2 000 truites dans l’étang de sa pisciculture. Il hésite ensuite entre deux modèles pour prévoir l’évolution de la population, exprimée en milliers de truites.
Modèle discret : chaque année, la population augmente de 20 %. On note \(u_n\) le nombre de milliers de truites au 1er janvier de l’année \(2026 + n\), donc \(u_0 = 2\).
Modèle continu : au bout de \(t\) années, avec \(t \geq 0\), la population vaut \(f(t) = 2\,\mathrm{e}^{0{,}18t}\) milliers de truites.
Le graphique ci-dessous représente les termes \(u_0\) à \(u_8\) et la courbe de \(f\) dans le même repère.
- Justifie que la suite \((u_n)\) est géométrique, puis exprime \(u_n\) en fonction de \(n\).
- Calcule \(u_5\), puis interprète ce nombre en truites.
- Calcule \(f^{\prime}(t)\) et déduis-en le sens de variation de \(f\) sur \([0 \,;\, +\infty[\).
- Montre que, pour tout entier naturel \(n\), \(f(n) = 2 \times \left(\mathrm{e}^{0{,}18}\right)^{n}\). Compare ensuite les nombres \(\mathrm{e}^{0{,}18}\) et \(1{,}2\) : quel modèle prévoit le plus de truites après une année entière ou plus ?
- Par lecture graphique, estime au dixième d’année près le moment où, selon le modèle continu, la population atteint 6 000 truites.
- Calcule \(u_8\) et \(f(8)\) au millième. Quel écart, en nombre de truites, sépare les deux prévisions au 1er janvier 2034 ? Commente ce résultat.
Exercice 4 – Un seuil cherché en Python (3 points)
L’étang ne peut pas nourrir plus de 10 000 truites. Bastien veut donc savoir au bout de combien d’années le modèle discret de l’exercice 3 dépasse 10 milliers de truites. Pour cela, il écrit la fonction Python incomplète ci-dessous.
Il affiche aussi, avec sa calculatrice, quelques valeurs de \(u_n\) arrondies au millième.
- Recopie et complète les lignes 4 et 6 du programme.
- À l’aide du tableau, détermine la valeur renvoyée par
seuil(). - Interprète ce résultat dans le contexte de l’étang.
- Quand le seuil passe à 12 000 truites, quelle modification faut-il faire, et quelle valeur la fonction renvoie-t-elle alors ?
Exercice 5 – La lumière sous la mer (3 points)
Salomé prépare une plongée photo. D’après un modèle simple, l’intensité lumineuse à \(x\) mètres sous la surface vaut \(L(x) = 100\,\mathrm{e}^{-0{,}1x}\), en pourcentage de l’intensité mesurée à la surface.
- Montre que, pour tout réel \(x \geq 0\), \(L(x+1) = \mathrm{e}^{-0{,}1} \times L(x)\). Traduis ensuite ce résultat par un pourcentage de baisse, arrondi au dixième.
- On relève l’intensité tous les 5 mètres : on pose \(p_k = L(5k)\) pour tout entier naturel \(k\). Démontre que \((p_k)\) est géométrique, puis calcule \(p_2\) arrondi au dixième.
- L’appareil de Salomé exige au moins 25 % de la lumière de surface. Justifie d’abord que \(L\) est décroissante, puis détermine, au mètre près, la profondeur maximale à laquelle elle peut photographier sans flash.
Réviser suites géométriques et exponentielle avant le contrôle
Si un exercice t’a bloqué, relis la leçon suites numériques puis fonction exponentielle ; entraîne-toi sur la fiche les suites et limites et variations de suites avant de retenter le sujet.
La page contrôles de maths en première regroupe les 25 sujets de l’année, et la rubrique contrôles corrigés du CP à la terminale permet de changer de niveau.
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